בתשובה לאלון עמית, 30/06/04 11:44
מושג מתמטי עם בניה 229530
אתה יכול להרחיב קצת בעניין הקונסטרוקטיביסטים והממשיים? חשבתי שבנו אותם יופי.
מושג מתמטי עם בניה 229560
אני ממש כותב היום שטויות לרוב. התכוונתי לזרם האינטואיציוניסטי, שבראוור היה מראשיו. קונסטרוקטיביזם יש גם אבל זה משהו אחר קצת, אני חושב.

רוב המתמטיקאים מקבלים ללא סייג את הבניות של הממשיים, כמו גם את ההוכחות שהם לא בני-מנייה וכו'. עם זאת, היו (וכנראה עדיין יש) מספר מתמטיקאים שהתעקשו שרק בניות מפורשות *וסופיות* הן לגיטימיות, וכל דבר אחר הוא מוקצה. רוב המספרים הממשיים אינם ניתנים לתיאור סופי - כאן "רוב" הוא פשוט "כולם, פרט למספר בן-מנייה". שורש שתיים, כמדומני, אינו פסול עבור האינטיאיציוניסט מפני שאפשר להסביר בדיוק מה לעשות איתו (אם מעלים אותו בריבוע, יוצא שתיים, וזה בעצם כל מה שצריך לדעת על שורש שתיים) ואף אפשר לתאר אלגוריתם סופי שמייצר מפורשות את כל ספרותיו.

מצד שני, ההוכחה של תהליך האלכסון איננה בונה מספר ממשי במפורש, ועל כן אינה קבילה. כנ"ל ההוכחה הכללית שקבוצת החזקה היא בעלת עצמה גבוהה מהקבוצה המקורית, ועוד הוכחות מסוג זה.

יתרה מזו, האינטואיציוניסטים לא קיבלו את חוק "השלישי הנמנע" לפיו או ש-A או שלא A, מפני שעבורם "נכונות" מתפרשת כ"יש הוכחה מפורשת"; על כן, הוכחות בדרך השלילה לא מקובלות עליהם: נכון, הוכחת ש(לא A) אינו נכון, אך בכך לא הראית (מפורשות) את A.

כיום, לדעתי, הנושא הזה נדון במיוחד בחוגים פילוסופיים, ולא כל כך מעסיק את המתמטיקאים עצמם (בראוור, וגם קרונקר ובמידה מסויימת הרמן וייל, היו אינטאיציוניסטים, וגם מתמטיקאים מהשורה הראשונה). לא שזה הופך את התחום ללא מעניין - דווקא יש שאלות מסקרנות מאוד בפילוסופיה של המתמטיקה שהגישה האינטואיציוניסטית רלוונטית להן.

קרונקר, אגב, היא בן-פלוגתא חריף מאוד של גאורג קנטור, אבי תורת הקבוצות, בשל גישתו האינטואיציוניסטית (שאז, נדמה לי, עוד לא קראו לה כך).
אינטואציוניזם 229661
אינטואציוניזם הוא סוג של קונסטרקטיביזם.
זה אולי לא כל כך מעסיק את המתמטיקאים אבל זה בהחלט לא תרגיל בפילוסופיה של המתמטיקה בלבד. לאינטואציוניזם יש השלכות מתמטיות אמיתיות ודי מדהימות/מגוכחות מנקודת מבט מתמטית רגילה. למשל, כל פונקציה היא רציפה.

ובראוור אולי היה אינטואיציוניסט אבל זה לא הפריע לו להוכיח את המשפט שלו בצורה "קלאסית", קרי, בדרך השלילה.
אינטואציוניזם 229670
ברור שזה לא "תרגיל בפילוסופיה בלבד", אבל רוב המתמטיקאים, עובדתית, מתייחסים לתחום כאל לא יותר מקוריוז, בדיוק מסיבות כמו זו שהזכרת: כל פונקציה היא רציפה? תן לי בלם... אנשים עם רקע בלוגיקה (כמוך) נוטים להכיר את התחום טוב יותר ולפעמים ממש להתעניין בו, אבל רוב המתמטיקאים ה*אמיתיים* (סתם, סתם) יודעים עליו די מעט. לדעתי, אגב, חבל; זה די מעניין.

נדמה לי שאינטואיציוניסטים מקבלים הוכחות ב-PA. לפני מספר שנים ניגש מישהו לאנדרו ויילס ושאל אותו אם הוא סבור שההוכחה שלו ניתנת לפירמול ב-PA. ויילס ענה שאין לו מושג, והשואל ציין גם שהשאלה נראתה לו (לויילס) לא מעניינת במיוחד.

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים