בתשובה ליוסי, 29/06/04 23:04
 |
|
 |
||
|
||||
 |
הנה דוגמא חביבה להוכחה "כמעט קונסטרוקטיבית". האם קיימים שני מספרים אי-רציונליים (לא בהכרח שונים) a ו- b כך ש- a בחזקת b הוא רציונלי? כן. נתחיל וניקח גם את a וגם את b להיות שורש שתיים - אי-רציונלי מפורסם. אם a בחזקת b רציונלי, גמרנו. אחרת, ניקח את a להיות שורש שתיים בחזקת שורש שתיים (וזה מספר אי-רציונלי, ע"פ הנחת המקרה), ואת b להיות שורש שתיים, ונקבל (טיפה'לה חשבון) ש- a בחזקת b זה בדיוק שתיים - מספר רציונלי למהדרין. כלומר - זיהינו שני זוגות a,b ש*אחד* מהם מקיים את המבוקש, אבל אנחנו לא יודעים מי. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
חמוד! זאת בדיוק הדוגמא שנותנים בויקיפדיה להוכחה לא קונסטרוקטיבית ( תכף ליד האסטרטגיה הגנובה בהקס). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מערכת שיש בה חיבור וכפל המקיימים כמה תכונות בסיסיות נקראת "חוג" (דוגמאות: המספרים השלמים, או אוסף המטריצות בגודל 2 על 2). חוג נקרא "נילי" (nil ring) אם כל איבר אפשר להכפיל בעצמו מספיק פעמים, עד שמקבלים אפס (למשל: המספרים הזוגיים עם פעולות החיבור והכפל מודולו 32; או אוסף המטריצות בגודל 4x4 מעל החוג הזה). שאלה: נניח ש- R הוא חוג נילי. האם גם חוג הפולינומים במשתנה x מעל R הוא נילי? (רגע למחשבה) השאלה היתה פתוחה קרוב לארבעים שנה, עד שב- 1999 (נדמה לי) הצליחה מישהי לבנות חוג נילי R, כך שחוג הפולינומים ב*שני משתנים* מעליו אינו נילי. לא יודעים אם בדוגמא הזו חוג הפולינומים במשתנה אחד נילי או לא, אבל זו בוודאי דוגמא נגדית לשאלה. (את מי שמפקפק בקונסטרוקטיביות של הדוגמא הזו, אני שולח לקרוא את המאמר). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איזה יופי. כדאי לשים לב שמדובר בחוגים בלי יחידה, שבני-אדם מן היישוב לא תמיד קוראים להם חוגים, וגם שהשאלה הופכת לתרגיל קצר ונחמד אם החוג קומוטטיבי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"שדה" הוא אוסף עם פעולות חיבור וכפל המקיים כמה אקסיומות (דוגמאות: המספרים הרציונליים, המספרים הממשיים. אוסף השלמים אינו שדה, כי אחת הדרישות היא שיחד עם כל איבר שונה מאפס יופיע גם ההופכי שלו). אם F הוא שדה, אפשר לבנות ממנו שדה גדול יותר על-ידי הוספת משתנה x: השדה החדש כולל את כל המנות של פולינומים ב-x עם מקדמים בשדה הקטן F. לשדה שמתקבל קוראים (F(x. על התהליך הזה אפשר לחזור עם משתנה נוסף, ולקבל את (F(x,y, וכן הלאה. שאלה. נניח ש- (F(x ו- (L(x הם אותו שדה ("איזומורפיים", בלשון העם). האם זה אומר ש- F ו- L הם אותו שדה? מסיבות גאומטריות1, השאלה מעניינת במיוחד כאשר אחד השדות הוא C (אוסף המספרים המרוכבים), או שדות שנבנו ממנו על-ידי הוספת משתנים. ובכן, הצליחו לבנות דוגמא לשדה K שאם נוסיף לו שלושה משתנים, יתקבל אותו שדה כאילו הוסיפו שלושה משתנים לשדה (F=C(x,y,z. כלומר: (K(a,b,c)=F(a,b,c, בעוד ש- K ו- F שונים. אלא מה, לא יודעים אם (K(a)=F(a ולא יודעים אם (K(a,b)=F(a,b. אחד מבין הזוגות (K,F, K(a),F(a ו- (K(a,b),F(a,b נותן תשובה שלילית לשאלה המקורית, אבל לא ידוע איזה מהם. 1 "גאומטריה" היא כמובן "תכונות של חוגי פולינומים מעל C". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
Beauville, Arnaud; Colliot-Thélène, Jean-Louis; Sansuc, Jean-Jacques; Swinnerton-Dyer, Peter:
"Variétés stablement rationnelles non rationnelles" (French) [Nonrational stably rational varieties] Ann. of Math. (2) 121 (1985), no. 2, 283--318. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שאלה צדדית: כמה מלים בצרפתית צריך לדעת כדי לקרוא מאמר מתמטי בצרפתית? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
היום שמעתי את פורז (אחרי מכתב הפיטורין, כששאלו אותו אם הוא חושב שאריק שרון יתחרט עד מחרתיים) מדבר צרפתית והבנתי כל מילה. הוא אמר: "סה קומפליט". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אף אחת - הם בעצם כותבים אנגלית עם שגיאות כתיב. למשל, Variétés = Varieties (בנוסף המספרים הם ממש אותו דבר. למשל, 456 במאמר צרפתי פירושו "ארבע מאות חמשים ושש", ממש כאילו המאמר היה כתוב באנגלית).
stablement rationnelles = stably rational non = not rationnelles = rational |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נו, טוף, חייכתי. עכשיו ברצינות: כמה מלים באנגלית צריך לדעת כדי לקרוא ספר מתמטי בשפה זאת? 100? 1000? 10000? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמה מלים צריך לדעת כדי לקרוא ספר ברמת כתה ט' באנגלית? וספר קריאה "סטנדרטי" למבוגרים? וספר מקצועי בתחום מדעי החברה? (אני מניח שהתשובה תהיה איפשהו בין המספר הראשון לשני). (למתרגמים מאנגלית יש לי רק בקשה אחת: תפסיקו לתרגם Theory of Numbers ל"תאוריית המספרים"). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אלא איך? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''תורת המספרים''. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ב''קפטן אינטרנט'' היתה פעם כתבה שהתייחסה ל''תיאוריית המשחק''. היא התפרסמה לא הרבה זמן אחרי שמישהו כתב שם על ''מבני אינפרא'' באינטרנט. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
והתרגום של "ההסגר" של Greg Egan מלא ב"מצבי אייגן". | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בספיידרמן 2 יש "שמונת הערכים" במקום "ערך עצמי". | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה "ערך עצמי" מופיע בספיידרמן 2? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המרצה (לתורת הקוונטים?) של פיטר שואל בהרצאה מה הערך העצמי של האנרגיה של משהו ופיטר עונה שזה ככה וככה אלקטרון וולט. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(התכוונת בצרפתית, נכון?) מספיקה מילה אחת: Soit ("יהי"). יותר ברצינות: יש כל מיני סוגים של ספרים ומאמרים. יש "יבשים" המתארים תוצאות מתמטיות עם מינימום טקסט והסברים (הגדרה. למה. למה. טענה. למה. משפט. מסקנה.), ויש כאלה עם רקע, מוטיבציה, היסטוריה, וככה. בשביל להתמודד עם הסוג הראשון מספיק להכיר פעלים בסיסיים, מילות קישור, ולא יותר מכמה עשרות בודדות של מונחים מתמטיים בתחום הנתון. הסוג השני הוא, לפעמים, פרוזה ממש, ואין מנוס מלדעת צרפתית די טוב. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חשוב מאד לדעת ש- Corps הם שדות ולא גופה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
וגם שקרואסון זה לא תמיד אוכל (תגובה 196297), וגם ש-Anneau זה חוג ולא טבעת (אבל בשביל זה מספיק להכיר את המונח באנגלית). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני פעם הזדקקתי לתוצאה ממאמר כתוב צרפתית (שפורסם, מכל המקומות, דווקא ב- Israel Journal of Mathematics). למרות שהשליטה שלי בצרפתית היא כמעט אפסית, הופתעתי לגלות שהבנתי את הרוב. אם זה לא מספיק, אז אבא שלי סיפר לי פעם על מכר (ישראלי) שלו, שאיתר שגיאה בספר מתמטיקה טורקי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מצד שני, כדי להבין *הרצאה* בפיסיקה בצרפתית כדאי לדעת מעט יותר. פעם, באין קריירה הקודמת שלי, שהיתי באוניברסיטה צרפתית וראיתי הרצאה שכותרתה ( על פי הבנתי) היתה "חקר פני השמש באמצעות אותות מכ"ם". למרות שאני לא מבין באסטרו, הטכניקה נראתה לי מעניינת, אז נכנסתי. ברבע שעה הראשונה הראה המרצה תמונות מכ"ם של כדור הארץ שצולמו מלווינים (כמובן, תוך כדי מילמולים של c'est a dire ו donc. "יופי" ,חשבתי, "הוא מסביר קודם כל על המערכת, ועוד מעט יראה יישומים ". אחרי חצי שעה כבר התחלתי להרגיש שמשהו לא בסדר, ובתום ההרצאה, כשלא ראיתי אף צילום מכ"מ של השמש, חזרתי למשרדי וגיליתי ב לרוס שהמילה sol בצרפתית זה "קרקע" או "ארץ". | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גיגלת את זה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זו באמת יופי של דוגמה. כמו שניסחת את השאלה, אפשר למצוא פתרונות מפורשים די בקלות (למשל, e בחזקת ln 2), אבל אם מבקשים למצוא שני מספרים *אלגבריים* אי-רציונליים כנדרש, זו נהיית כמדומני חידה קטלנית ויפה. לא ברור לי שבכלל ידוע איזשהו פתרון ספציפי, ובפרט אני לא משוכנע שיש הוכחה ששורש שתיים בחזקת שורש שתיים הוא אי-רציונלי ("ברור" שהוא כזה). זה מזכיר לי מקבץ נחמד של בעיות הקשורות גם לחזקות וגם לדיון על בעיות פתוחות "אלמנטריות" שהיה כאן פעם. 1. נתון מספר c עם התכונה שכל החזקות n^c הן שלמות, לכל מספר טבעי n. האם c בהכרח שלם? 2. נתון מספר c כך ששתיים-בחזקת-c, שלוש-בחזקת-c וחמש-בחזקת-c הם שלמים. האם c שלם? 3. נתון מספר c כך ששתיים-בחזקת-c ושלוש-בחזקת-c הם שלמים. האם c שלם? המצב הוא כזה: התשובה ל-1 היא "כן", וזו חידה חביבה מאוד ולא קלה במיוחד. התשובה ל-2 היא גם "כן", אבל קשה מאוד מאוד מאוד מאוד להוכיח את זה. אני יכול להשיג סימוכין אם מישהו מתעניין. התשובה ל-3, למרבה הפלא, אינה ידועה. אני מניח שהיא גם "כן", אבל ככל הידוע לי איש לא יודע כיצד להוכיח זאת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם אני זוכר נכון, בספר ''משפטי גדל ובעיות היסוד של המתמטיקה'' של האוניברסיטה המשודרת הכותב מתאר את חידת השורש שתיים בתור דוגמא למשהו עם פתרון לא קונסטרקטיבי, ומוסיף בסוף הערה שלפיה ניתן להוכיח קונסטרקטיבית ששורש שתיים בחזקת שורש שתיים אי רציונלי. משום מה הוא לא מצרף את ההוכחה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מעניין. לא חשבתי על זה, אני אנסה עכשיו יותר ברצינות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גדי זוכר נכון. אולי כדאי שתדע, לפני שאתה מנסה יותר ברצינות, שבספר המדובר כתוב "ידוע כי שורש שתיים בחזקת שורש שתיים אינו מספר רציונלי, ההוכחה לכך קשה לאין שיעור." בהצלחה, בכל מקרה :) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז כמו שראית, "לנסות ברצינות" יכול פשוט להיגמר בזה שאתה נזכר בתותח הנכון :-) אגב, משפט גלפונד-שניידר רחוק מלהיות טריוויאלי, אבל לא הייתי אומר שהוכחתו קשה "לאין שיעור". יש לי מועמדים אחרים לתואר הזה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הספר שגדי ציטט ממנו הוא מ''האוניברסיטה המשודרת'', כלומר הוא אוסף הרצאות (ועוד לקהל הרחב, ובלי לוח). ''קשה לאין שיעור'' הוא קיצור ל''קשה מספיק כדי שלא אוכל לבזבז עליו שיעור''. (כשהייתי בתיכון גיליתי יום אחד את קסמי המשפט ''לשמחתי לא היה שיעור''). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
משפט מקסים! | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ליצן שכמוני. משום מה היה נדמה לי שמשפט גלפונד-שניידר לא עוזר פה, והוא כן. אם a אלגברי שאיננו 0 או 1 (למשל, שורש שתיים), ואם b הוא אלגברי ואי-רציונלי (למשל, שורש שתיים), אז a^b טרנסצנדנטי (ובפרט, אי רציונלי). זה משפט חשוב ומסובך למדי; אם אינני טועה, יש הוכחה שלמה שלו בנספח של הספר Algebra של Lang. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סקר בלתי מחייב - מתי בפעם הראשונה נתקלת במשפט גלפונד-שניידר? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
פעם עברתי לידו ברחוב, אבל הוא לא זיהה אותי. זה נחשב? ______ סתם כדי לאושש את טענותיו של השכ"ג. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה רציני? מה אתה סוקר? נדמה לי שנתקלתי בו בשנה א' של התואר השני. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מנסה לראות מתי בפעם הראשונה אני עלול להיתקל במשפט הזה שלא בצורה מכוונת. סקרנות של מי שתוהה מה בדיוק מצפה לו בהמשך. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הגלפונד ההוא זה אותו האחד של "ניימן", זה עם המפה על שמו? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא מצליח לזהות את המושג או המשפט שאתה שואל לגביו. תוכל לפרט? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כרגיל אני מבלבל דברים, השם של החבר שלו הוא ניימרק, לא ניימן. המשפט הוא גלפ(ו)נד-ניימרק, שמספר לנו ש C-כוכב אלגברה קומוטטיבית הינה איזומטרית ואיזומורפית אלגברית למרחב הפונקציות הרציפות על אוסף האידיאלים המקסימליים של האלגברה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חשדתי שכך הוא... :-) לא, שותפו של ניימרק הוא ישראל גלפנד (Gelfand), שהיה למיטב ידיעתי מתמטיקאי פורה הרבה יותר מ-Gelfond. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב שהמילה "אוסף" קצת מקלקלת את השלמות הפואטית של הדבר הזה, שהמשפט מספר לנו (ולמרות זאת, מדובר ביצירת מופת). יש מצב להחליף ב"חבורה"? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שיפור נוסף היה מתקבל מהחלפת "אידיאלים מקסימליים" ב"אידיאלים מקסימים1". ואנשים עוד מעיזים להתלונן שאין כאן רומנטיקה. ___________ 1- שהם אידיאלים מקסימליים בלי האקסיומה של לי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
או משהו כזה. בטח אלון מכיר את הסיפור על המרצה שהתפלא לראות טיפוסים מוזרים מגיעים לסמינר שלו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, אבל לא קשה לנחש... :-) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נשלחתי לקנות ספר לימוד לאחד מילדי. במבט ראשון על הפתק הייתי בטוח שמדובר בספר על פער הדורות בחברה הקיבוצית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במבט שני היה שם "ראשוניים", או שזה באמת כתוב עם י' אחת? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במבט שני היה דגש בפ'. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, את זה הבנתי... סתם תהיתי אם כתבו ''ראשונים'', כי זו טעות שכבר נתקלתי בה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בינתיים כבר איבדתי את הפתק. מכיון שאישתי כתבה אותו אני מניח שהיה כתוב ראשוניים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הספר אזל ההוצאה ( טיפוסי למשרד החינוך לקבוע ספרי לימוד ואז לא לדאוג לכך שידפיסו אותם), אני רק נשלחתי לקנות אותו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה פער דורות? פשוט ספר על אנשי העלייה השנייה, ברוח הבחנתו של יהונתן גפן ("סבא שלי היה ביטניק", או משהו בסגנון). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ספר, ספר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נו, זהו, שהם ראו את הנושא של הסמינר, וחשבו שמדובר על הרצאה פוליטית-מהפכנית-אנרכיסטית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"באייל הקורא" זאת תשובה מכובדת מספיק, או שאני צריך להמציא משהו? אגב משפט, זה גלפונד-שניידר, או גלפונד נגד שניידר? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חס וחלילה, זה ירחיק לעד את מעט הבנות שעוד מגיבות באייל. ולמי שמחפש עוד חידות, ישנה רשימה מסווגת לפי קושי באתר של אונ' פרינסטון: http://www.princeton.edu/~mathclub/puzzles.html |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לפני 10 שניות, בהודעה של אלון עמית, מעליך. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הוכחה קונסטרקטיבית? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מנסה לפענח אם אתה מתבדח או לא. נכשלתי. בכל אופן, לא ברור לי שיש משמעות לשאלה אם הוכחה מסוג זה היא קונסטרוקטיבית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם כך אני כנראה לא מבין על מה מדובר בכלל. קורה1. __________ 1- לעתים קרובות מדי |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הוכחה של משפט מהסוג מהסוג "קיים X" יכולה להיות קונסטרוקטיבית (הנה X) או לא (עושים שמיניות ומראים שיש כזה, אבל לא מראים מיהו). משפט גלפונד-שניידר איננו מהסוג הזה, בדיוק; הוא אומר "לכל x, y עם תכונות מסויימות, ל-x^y יש תכונה אחרת". הוא לא "בונה" כלום; אתה מביא לו x ו-y כנדרש, והוא יבטיח לך שמשהו קורה. יתרה מזו, ה"משהו" שקורה גם הוא לא מהסוג של "קיים", אלא דווקא מהסוג של "לא קיים": x^y *לא* מקיים פולינום עם מקדמים רציונליים. אם המשפט היה אומר, נניח, "...אז x^y אלגברי", היית יכול לשאול אם הוא קונסטרוקטיבי במובן זה שהוא מספק מפורשות פולינום כזה. כל זה הוא קצת סמנטי, כמו שציינו אחרים. אם אני זוכר נכון, אפשר להוכיח את המשפט גם ע"י "אם x^y אלגברי ו(עוד כל מיני תנאים), אז y רציונלי". פה כאילו אפשר שוב לשאול אם מראים "קונסטרוקטיבית" ש-y רציונלי; אני מניח שלא, אבל אני לא חושב שזה אומר הרבה על המשפט. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם כך מה כל העניין הזה קשור לאותה הוכחה קונסטרקטיבית שמחפשים בפתיל הזה (ההיא שהיא אולי קשה ביותר כדברי יובל ואולי קשה אך לא ביותר כדבריך)? חשבתי שאולי הסיבה להבדל בקושי נעוצה בעניין הקונסטרקטיבי. אבל עזוב, חבל על זמנך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(למה חבל?) לא לא, הנקודה שיובל העלה היתה שאפשר להראות ש*יש* זוג מספרים מוזר שכזה1 מבלי להצביע עליו, ואני רק ציינתי שבעזרת משפט ג"ש אפשר *להצביע* על הזוג המוזר (שורש שתיים בחזקת שורש שתיים, שורש שתיים). לצורך כך, אופייה שלה ההוכחה של ג"ש לא רלוונטי: המשפט אומר, מפורשות, ששורש-שתיים בחזקת שורש-שתיים הוא אי-רציונלי. 1 שני אי-רציונליים כך שאחד בחזקת השני הוא רציונלי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לגבי 1- הייתי מגדיר "נגזרת דיסקרטית" על n^c וגוזר מספיק פעמים ( עד הערך השלם של c ועוד אחד). הנגזרת הזאת היא גם שלם ( שלם פחות שלם וכולי) וצריכה לשאוף לאפס כאשר n גדל, אבל מכיוון שערכיה שלמים, היא חייבת לההפך לאפס זהותית בשלב מסויים. לא בדקתי, אבל אני חושב שזה יכול לעבוד. אני לא חושב שהטריק הזה יעבוד לגבי סעיף 2 כי מכפלות של 2 3 5 לא מספיק צפופות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה באמת עובד (עם עוד קצת פרטים...) עבור סעיף 1, ובאמת לא עובד בסעיף 2. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |