בתשובה לאלון עמית (מגיח ונעלם), 24/11/04 22:27
הצבעה על ''פסוק גדל'' מעניין 263962
תודה על התגובות. בעיני, הנקודות האלה הן מהותיות, אולי לא למתמטיקאיים "יומיומיים" (המושג הזה עוד יהפוך למטבע לשון...), אלא יותר לפילוסופים של המתמטיקה.

קצת על הרקע שלי - אני בוגר תואר ראשון במתמטיקה ופילוסופיה ב"עברית" והתמקדתי בשנתי האחרונה בפילוסופיה של הלשון, של הלוגיקה ושל המתמטיקה מחד, וביסודות המתמטיקה מאידך. למדתי קורסים בפילוסופיה של המתמטיקה, במשמעות הפילוסופית של משפטי גדל, בתורת החישוביות (אצל פרופ' שלח) ובמשמעות הפילוסופית של החישוביות, בתורת הקבוצות האקסיומטית (אצל פרופ' מגידור, שם גם הוכחנו באופן פורמלי את משפט גודסטין בעזרת סודרים גבוהים עד אומגה אפס). כך שהנושאים האלה לא זרים לי, ואף מרתקים אותי.
כשלמדתי על תוכנית הילברט ו"מפלתה" אחרי משפטי גדל, וכשעשיתי על התוכנית סמינריון קצרצר, לא יכולתי להמנע מהמחשבה שהתוכנית היומרנית שמוצגת, יכולה בקלות להפוך לתוכנית עבודה בגבולות המחשבה האנושית. היו פילוסופים שניסו "להציל" את תוכנית הילברט על ידי בניית מערכת אקסיומות קונסטרוקטיבית שנבנית על סמך הקודמות בשיטת בניית פסוק גדל. הצרה שהמערכות שלהם חייבות להיות אינסופיות. לעומת זאת, מערכות כאלה הן בנות מנייה, או לכל היותר עד אומגה אפס.
היה פילוסוף נוסף (לא זוכר את שמו; פרופ' מרק שטיינר סיפר לי עליו בקורס על משפטי גדל), שטען שהפסוקים הלשוניים שהאנושות מסוגלת לייצר היא מסיבוכיות של אומגה אפס. זהו סודר שמייצג את הקינון עד לאינסוף של פסוק בתוך פסוק בשפה האנושית. זה מעיד גם על רמת המורכבות והסיבוכיות של המחשבה האנושית בכלל וגם על כך שזה יותר טבעי לנו לחשוב באופן מקוון מאשר באופן ליניארי. בסך הכל אנו מנסחים את מחשבתנו עם פסוקי "ש..." שמקוננים בתוך פסוקים עיקריים. במילים אחרות שפת היומיום שלנו דומה לשפת מחשב מאוכוונת אובייקטים, שבה מדברים בפסוק הראשי על אובייקטים, שכל אחד מהם מפנה למחשבה יותר עמוקה ומורכבת ומקוננת.

אני חושב שיש משהו מאוד מדוייק בהשלכת סודר אומגה אפס על מבנה השפה (והמחשבה?...) האנושית. מסקנה זאת חוזקה אצלי גם מתוך קריאה של הפילוסופיה של נועם חומסקי. הוא מנסה לנתח את מבנה השפה המקונן ומגיע למסקנה שיש לנו ידע שפה מולד (באופן פשטני "כי זה מבנה מסובך לאין ערוך ממבנה ליניארי, ואין סיכוי שנלמד להשתמש במבנה כזה באופן כל כך טבעי"). אני הסקתי מכך שמבנה המחשבה שלנו הוא אובייקטאלי, וזה דווקא יותר טבעי לנו ללמוד שפה שהיא מקוננת ולא ליניארית (החזרתי לחומסקי את חובת ההוכחה לגבי הידע המולד).

הקיצר, אני לא טוען שחקירת לוגיקה פורמלית תביא אותנו לכתיבת המערכת הפורמלית האולטימטיבית שבעזרתה ניתן יהיה לייצג את כל הפסוקים האפשריים או להבין את כלל המחשבה האנושית. לא נוכל לסיים את תפקידינו במתמטיקה על ידי ניסוח מערכת אקסיומות מסויימת. נדמה לי שטרסקי (בעקבות גדל) ניסח את הטענה שלא ניתן בשפה פורמלית "לדבר" על ערך האמת של פסוקים בשפה זו, אלא ניתן לעשות זאת רק בשפה מסדר גבוה יותר.

אבל אני אומר שני דברים:
א. ניתן להבין יותר טוב את מהות המחשבה האנושית והמחשבה המתמטית על ידי חקירה של הנושאים הללו. זה מקביל בעיני למה שעשה טיורינג כשיצר את מדעי המחשב. הוא בעצם חקר באופן מדוקדק ופשטני איך אדם עושה חישוב מתמטי על הנייר (נייר משבצות) ווהעמיד את כל הפעולות על מספר סופי של פעולות פשוטות של כתיבה, מחיקה ומעבר משבצת. וזה כל הסוד של מדעי המחשב - החיקוי של הפעולה האנושית הפשוטה של החישוב.
ב. במובן המתמטי ה"יומיומי" החקירה הזאת תוביל אותנו לדרכים ל"ייצור" של מערכות אקסיומטיות גבוהות ומורכבות שבעזרתן ניתן יהיה להגיע לתוצאות מתמטיות חשובות. הרי מה שעושים במתמטיקה ברמות הגבוהות הוא למצוא מהן האקסיומות הדרושות להוכחת משפטים "מענינים" במתמטיקה ושאותן נוכל לקבל להיכל הכבוד של האקסיומות המתמטיות. דוגמא טובה לכך הן אקסיומות החבורות של גלואה שאיפשרו לו לקבל תוצאות במשוואות פשוטות (הוא לא ממש ניסח את האקסיומות, אבל חקר את התנאים ההכרחיים לצורך ההרחבות של השדות).
כתבתי בזמנו באחד מהדיונים כאן על הצעה שלי לשיטה ל"הוכחת" השערת גולדבך (אם היא נכונה). השיטה היא לנסות למצוא באיזה מערכת אקסיומות היא יכיחה ומאיזו היא בלתי תלויה. אם נצליח להוכיח למשל שהיא בלתי תלויה במערכת מצומצת הכלולה בתוך PA (אך לא מכילה אותה), אזי נצליח אולי להבין איך כן ניתן להוכיחה בתוך PA. ואותו דבר גם אם היא לא יכיחה בתוך PA - אז אולי נוכל למצוא את האקסיומה שתאפשר לנו להוכיחה במערכת שמכילה את PA.
(אגב, מישהו בתגובה הציע שנוסיף אותה כאקסיומה, ואני התנגדתי, שכן אין להשערת גולדבך את התכונות שנרצה לייחס לאקסיומה. זהו פסוק שאינו מספיק טריויאלי).
בכל אופן, שיטה כזאת היא בפירוש רלוונטית למתמטיקאיים יומיומיים, דווקא מתוך חקירה של מערכות פורמליות.
הערות 263989
1) יש פער גדול בין האקסיומות של תורת החבורות לאלו של תורת הקבוצות. בראשונה יש תורה שאומרת שאם יש לנו עצמים בעלי תכונות אלו ואחרות אזי הם מקיימים משפטים מסוימים. בשניה יש לנו תורה שבאה לשמש בסיס פורמלי לכל המתמטיקה ה"יומיומית" כולה, והאקסיומות בה טוענות לנכונות באיזשהו מובן אבסולוטי.

2) יכול להיות שהתכוונת לתגובה 164381. במקרה זה, ודאי שנרצה לאמץ את השערת גולדבך כאקסיומה, אם פשוטה היא ואם סבוכה.
הצבעה על ''פסוק גדל'' מעניין 264025
לא הבנתי שום דבר ממה שאמרת, אז אני מרשה לעצמי לנדנד בצורה לא מבוקרת. כתבת:
"[....]טען שהפסוקים הלשוניים שהאנושות מסוגלת לייצר היא מסיבוכיות של אומגה אפס."

ואני קצת מתפלא: האם יש פסוק לשוני שאינו מורכב מאותיות? האם יש לנו בעיה למנות את כל הספרים האפשריים בעלי ...1,2,3, אותיות? הייתכן שסיבוכיות של פסוק הוא יותר ממספר האותיות שבו?
הצבעה על ''פסוק גדל'' מעניין 264218
תגובה יפה, אם כי איני בטוח שאני מסכים, או מבין את כולה.
אגב, במשפט "יותר טבעי לנו לחשוב באופן מקוון" האם התכוונת לnested (מקונן)?

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים