בתשובה להאייל האלמוני, 11/04/05 14:34
שימושים של קווטרניונים 292041
נתחיל מהשאלה השנייה: לא ממש קשור. היכולת לסרק היא שאלה עדינה יותר מהיכולת למפות עם מפה אחת (מה שאפשר למפות, אפשר בקלות לסרק, אבל החלק המעניין הוא מתי אפשר לסרק דברים הדורשים יותר ממפה אחת, שזה "רוב" היריעות).

כשמנסים "לכפול" וקטורים ממימד כלשהו n, משתדלים לשמור על כמה כללים בסיסיים כמו חוק הפילוג או שימור המכפלה הפנימית. אחת מתוצאות הלוואי היא זו: קח וקטור קבוע z הניצב ליחידה (כלומר לוקטור (0, 0, ... ,1)), וכפול אותו בוקטור כלשהו x שארכו 1. את התוצאה הזז כך שבסיסה יהיה בקדקודו של x. עשה זאת לכל ה-x-ים באורך 1; תקבל סירוק של הכדור, כלומר אוסף חלק ונאה של וקטורים באורך 1 המשיקים לכדור היחידה ה-(n-1)-ממדי.

דוגמה פשוטה: אם n=2, אפשר להשתמש בכפל הרגיל של מספרים מרוכבים; ניקח z=i ונקבל וקטור יחידה משיק הפונה "שמאלה" (נגד כיוון השעון) בכל נקודה על המעגל.

לסיכום: *אם* יש כפל סביר של וקטורים n-ממדיים, *אז* יש סירוק של הספירה ה-(n-1)-ממדית, כלומר אוסף רציף של וקטורי יחידה משיקים לכל נקודה על הספירה.

דא עקא, שספירות ממימד זוגי אי אפשר לסרק. אם יש לך שיער על כל הראש, אז כשאתה מסתרק תמיד תישאר שערה שאין לה לאן ללכת. או: בכל רגע יש נקודה על-פני כדה"א שבה לא נושבת רוח. יש לזה הרבה הוכחות; לרוב מסתמכים על משפט נקודת-השבת של בראוור, ויש הוכחה יפה של מילנור המשתמשת רק בחישוב נפח פשוט.

הנה תמונה מצ'וקמקת מאוד המראה את הכדור החד-ממדי מסורק, ונסיון טיפוסי כושל לסרק את הכדור הדו-ממדי (כל החיצים הולכים פשוט מזרחה):

מסקנה: אי-אפשר לכפול שלשות, חמישיות, וכו'. למעשה המצב חמור הרבה יותר: אפשר לכפול רק זוגות (מרוכבים) או רביעיות (קווטרניונים, ויש לוותר על חוק החילוף) או שמיניות (אוקטוניונים או "מספרי קיילי", ויש לוותר גם על חוק הקיבוץ). מכאן והלאה זה לא עובד בכלל; זה כבר משפט קשה, ואני יודע די מעט על ההוכחה שלו.
שימושים של קווטרניונים 292048
תודה על ההסבר הנאה. חשדתי שזו הכוונה, אבל לא הייתי בטוח.

----------
בחיי, השטויות שמעסיקות אתכם, אפשר להשתגע...
:)
שימושים של קווטרניונים 292249
(המשפט על כפל של n-יות הוא של Hurwitz מ- 1898, והוא לא כל-כך קשה (=אפשר להסביר לתלמידי שנה ב' בשעור אחד)).
שימושים של קווטרניונים 292284
נכון! טעות שלי. המשפט הקשה שהתייחסתי אליו הוא זה שמדבר על אלגבראות-עם-חילוק באופן כללי, בלי להניח כלום על נורמות (תוצאות של אדאמס, בוט, מילנור).

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים