בתשובה לארז ליבנה, 03/06/05 16:19
 |
|
 |
||
|
||||
 |
בעצם, מה הבעיה? האם יש לך בעיה, אינטואיטיבית, להבין או לדמיין חלוקה של דקה ללא הגבלה - חלוקה לאינסוף חלקים? אם כן, אז הנה לך אינסוף פרקי זמן שמסתכמים לדקה אחת סופית. מה אני מחמיץ? |  |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
כן.. אני חושב שאני מבין עכשו מה שאלון ואתה אומרים, אם אני דיסקרטאי - אין פרדוקס כי ההנחה של נק' אמצע לכל מקטע אינה תקפה. אם אני רצפאי - אין פרדוקס כי ביחד עם הרצף אני מתחייב לקבל גם את נכונות הכלי "סדרות מתכנסות" אשר מבטיח לי שגם סכום של אינסוף מספרים חיוביים יכול להיות מספר סופי, ולכן האבן לא תעצר אלא תנוע. אמרתי נכון? זה כמובן, בהסתמך על ההנחה (החתולית) שרצפים אינסופיים מחייבית טיפול של סדרות מתכנסות. האמנם איך שלא הופכים בזה, זה הולך ביחד? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, בתגובה לעיל אני רוצה להגיד משהו אחר. אתה לא חייב לדעת שום דבר על סדרות מתכנסות כדי להבין, בצורה אינטואיטיבית לחלוטין, שאינסוף דברים גדולים מאפס יכולים להסתכם למשהו סופי. הניסוח שלי היה, במודע, חסר שחר מבחינה מתמטית: המתמטיקאים הרי למדו להתרחק בגועל ממשפטים כמו "חלוקה של דקה ללא הגבלה - לאינסוף חלקים". עכשיו שאני חושב על זה, כנראה זנון לא היה קונה את זה כפתרון: יש לו הרי פרדוקס (חלוקת הקטע) שמזקק בדיוק את הרעיון הזה, וטוען שזה פרדוקס. אבל בעיני הזיקוק הזה יכול לעבוד בכיוון ההפוך: מכיוון שחלוקת קטע לאינסוף כל כך לא קשה לאינטואיציה, אפשר להשתמש בהבנה הזו כמנוף להשתחרר מהתפיסה לפיה אינסוף דברים חייבים להסתכם לאינסוף. אבל יכול להיות שלמדתי מספיק מתמטיקה כדי לקלקל את האינטואיציה שלי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה משתמש פה בתפיסה ובהכרה כבסיס להוכחת קיום. אין בעיה עם זה. השאלה היא למה אתה קורא "תפיסה ברורה"? הלו אם אבקש ממך לדמיין נקודה, ויזואלית יצוץ בעיני דמיונך משהו בעל אורך ורוחב וצבע. מתמטית תגדיר נקודה כגוף חסר מימד. גוף לפי הבנתי הוא משהו נתפס. הנקודה שאתה תופס בדמיונך היא גוף ויש לה 3 מימדים ברורים. מאיפה באה ההגדרה המתמטית? גם יום מתבסס על הכלים עליהם אתה מתבסס אבל קובע שמושגים אמיתיים (כאלה שיש להם זיקה לעולם כפי שהוא) הם מושגים ברורים הנובעים מרושם של תחושה או הרהור. לדעתו המושג של חלוקה אינסופית נובע דווקא מהקושי שלנו לתפוס את החלקיק הסופי בצורה מוגדלת, למרות שהגיוננו מצביע על קיומו. לדוגמא, נדמיין קיום של יצור הקטן פי 1000 מפשפש הגלוי לחושינו (אמבה ודאי תתאים). יום אומר שאנו מסוגלים להעלות לפנינו באופן ברור את חלקיו של יצור זה זעירים ככל שיהיו, המקבילה לפה, עין וכו. הקפיצה לחלוקה אינסופית נעשית משום שאנו חשים שהיות וקודם לא צפינו ביצור כזה (או בחלקי הפשפש), כלומר דמיוננו וחושינו כשלו בתפיסתו ומכך שיש חלקיקים זעירים אף ממה שאנו מסוגלים לדמיין. העובדה היא לפי יום שאנו מסוגלים לדמיין חלקיק מינימלי ובלתי ניתן לחלוקה, ואם היינו מתאמצים היינו מדמיינים תווים מינימליים של פה עיניים וכו'. (כנ"ל לגבי אטומים - ברוחך אתה רואה חלקיק זעיר עם גרעין מסביבו מסתובבים אלקטרונים, את הגרעין אתה מחלק לפרוטונים ונוירונים, אותם אתה מסוגל לחלק לתת חלקיקים אבל בכל מקרה יש סוף לחלוקה הזו בעיני רוחך, ומכאן שיש לה סוף במציאות). איננו מסוגלים לתפוס חלוקה אינסופית. היות ומושגינו נשענים על בסיס הכרתנו מובן שאיננו תופסים חלוקה כזו. אני וגם אתה (קרוב לוודאי) מסוגלים לדמיין (דמיון פגום שכן אנחנו סופיים) פעולה אינסופית של חלוקה אבל לא את תוצריה שייצוגם בעינינו בהכרח סופי (הנקודה לעיל). מכאן שיש לנו כשל אינטואיציה ואיננו מסוגלים להפוך את הכיוון ולומר שהיות ואינטואיטיבית זה כל כך קל, משמע זה ייתכן ואף קיים. טענה שאינה מתבססת ישירות על הכרה היא טענת היחידה. אם יחידה היא מושג אמיתי אז היא גוף סופי שניתן להכפיל אותו עד אינסוף ולקבל גוף אינסופי. אם היחידה היא מושג יחסי וכל נקודה מורכבת מאינסוף נקודות הרי שאין נקודה בודדת (אין יחידה אמיתית) ואי אפשר להרכיב שום גוף, סופי או אינסופי. בגרסה הזו נראה שהרצף לא באמת קיים יש סופיות ודיסקרטיזציה, וזנון צדק למרות שטיב הקשר בין מצב א' (אכילס מפגר אחרי הצב) למצב ב' (הצב מפגר אחרי אכילס) עדיין לא ברור. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אהלן ירדן, התגובה של האייל הבדוי (תגובה 306249) שיקפה את רחשי ליבי (חוץ מהפיסקה האחרונה שהיתה קשה מעט לעיכול..). מה פתאום לחלק לאינסוף?! מה אני כבר מכיר שאני *יודע* שמתחלק כך? שאלתי את עצמי למה מתעקשת האינטואיציה שלי שסכומם של אינסוף מספרים חיוביים הוא אינסוף, והיא (אחרי התפתלויות לא מעט) ענתה לבסוף שזה מפני שהיא רגילה שכאשר מוסיפים משהו חיובי, אז הסכום גדל, ואם מוסיפים אינסוף פעמים, הסכום גדל באופן אינסופי. ככה נראה מפנים (כנראה) הקורטקס של הלא-מתמטיקאי הממוצע. דומני שאכן לימודי המתמתיקה שלך הרחיקו אותך מה-main streem האנושי : ) אגב, בדיוק אתמול ציין חבר באזניי כי נראה כי לעולם לא יוכל להפנים באמת חשיבה רקורסיבית (אשר בלא תנאי עצירה ראוי יכולה להיות אינסופית). "אינטואיציה היא סכום כל הדעות הקדומות שלנו" -היתה לי תחושה חזקה שאינטשיין אמר את המשפט הבא אבל לא מצאתי תימוכין ברשת |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב שאתה עדיין קצת מבלבל את עצמך. אתה לא "מתחייב" לקבל "כלי"; אין פה איזה מנהל עבודה שמכריח אותך לעשות דברים. סדרות מתכנסות זה לא כלי, זו אבחנה: הבט על המספרים הרציונליים. רואה אותם? רואה שם בקצה את המספרים 0.9, 0.99, 0.999, ...? כמה כאלה יש? (אינסוף). כולם קטנים מאחד? (כן). כולם קטנים ממשהו יותר קטן מאחד? (לא). זהו, לזה קוראים סדרה מתכנסת - זה סתם שם, קיצור, במקום להגיד כל פעם מחדש את התכונות האלה. אתה מדבר גם על סכומים, שזה משהו טיפה אחר: תסתכל על 0.9, 0.9+0.09, 0.9+0.09+0.009, ... זו אותה סדרה כמו קודם, רשומה כסכום שהולך וגדל. כמו קודם, הוא מתקרב והולך ל-1, ואנחנו אומרים בקיצור שהטור האינסופי מסתכם לאחד. בסוף כתבת "ולכן האבן לא תעצר אלא תנוע". זו אולי הנקודה הבסיסית: הרי לאבן לא באמת אכפת מההגדרות שלנו, נכון? היא לא נעה או עוצרת בגלל ההגדרה של סדרה מתכנסת. היא פשוט נעה. לשמחתנו, המודל המתמטי של מספרים ממשיים (או רציונליים), כולל הקיצורים המקובלים ל"סדרה מתכנסת" ו"טור מתכנס", מתארים את התנועה שלה יופי. לעומת זאת, המודל המתמטי שאומר "יש מספרים רציונליים, אבל כל סכום אינסופי הוא אינסוף" הוא מודל לגיטימי, מאוד משעמם, ולחלוטין לא מתאים לתיאור חיצים ואבנים. אז מי צריך אותו? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מי צריך אותו? כל מי שמתקשה לחשב אינטגרלים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אהלן אלון, (רק עתה גיליתי שירדן ואתה טרחתם על תשובות עבורי, תודה) "אין פה איזה מנהל עבודה שמכריח אותך לעשות דברים. סדרות מתכנסות זה לא כלי, זו אבחנה" אהממ.. דימיתי אותך כמנהל העבודה שמכריח בעת שאמרת: "אבל אם *אתה* אומר שהוא רציף, אז *אתה* מכניס סדרות אינסופיות מתכנסות לעולם" (תגובה 304273). הסדרה 0.9+0.99+0.999 מתכנסת אף היא למספר סופי? נראה לי שלא. (אז למה היא נקראת מתכנסת בעצם?) ואם לא, מדוע היא עונה לאינטואיציה (הכוזבת, אולי) שלי ואילו הסדרה 0.9+0.09+0.009 לא? יתכן שכאשר אבין את ההבדל בינהן, אדע גם מדוע סכומם של אינסוף חצאים הינו השלם. "לשמחתנו, המודל המתמטי של מספרים ממשיים (או רציונליים), כולל הקיצורים המקובלים ל"סדרה מתכנסת" ו"טור מתכנס", מתארים את התנועה שלה יופי..אז מי צריך אותו?" הוא שאמרתי, אנחנו *צריכים* את המודל המתמטי הזה כדי לעשות סדר בעניינים. היה לנו פרדוקס: הדיסקרטאי פתר אותו בכך שפסל הנחה (=לא ניתן לחצות כל דבר לשניים). הרציפאי פתר אתו בכך שהוסיף הנחה (=מודל סדרה מתכנסת/טור מתכנס). לפחות עפ"י התער של אוקהם, ידו של הדיסקרטאי על העליונה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. מי קורא לסדרה 0.9+0.99+0.999 סדרה מתכנסת? 2. הדיסקרטאי שלך מראה איך הפרדוקס נעלם בעולם דיסקרטי (הוא מניח הנחה על העולם לפחות באותה מידה שהוא פוסל הנחה). הרציפאי מראה איך הפרדוקס נעלם *גם* בעולם רציף. אי לכך, הוא נותן תיאוריה רחבה יותר באותו מחיר. אני קונה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חוץ מלהצטרף לשכ"ג, אני רק מוסיף שבכלל לא ברור שהתורה הרציפה מסובכת יותר מהדיסקרטית. במתמטיקה, הרבה דברים נהיים קלים הרבה יותר כשעובדים בממשיים במקום בשלמים. חוץ מזה, היה נדמה לי (אולי בטעות) שאתה רואה בניסוי המחשבתי של זנון *הוכחה* שהעולם חייב להיות דיסקרטי. אם אתה מדבר על אוקהם, אני מתאר לעצמי שאתה מסכים ששתי האפשרויות קיימות...? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עברתי על התכתובת מאזכור "המנושל" (ספר נהדר גם לדעתי) ואני מוצא משהו לא ברור בז'רגון הרציף. כמובן שאפשר לומר שנוח לראות את העולם כך או אחרת ולהשאיר את הפרדוקס בצד, אבל עדיין איני מבין איך אתם רואים אותו כמוכרע "רציפית". אם ניקח את רצף התמונות של גדי, מה זה משנה שעל כל תמונה עוברים פעם אחת? יש אינסוף תמונות שמראות את האבן באינסוף מקומות ועלי לעבור על כל תמונה. אין שום סיבה שבמהלך חיים אינסופיים אני אצליח להגיע לתמונה שכתוב בה - האבן מצויה בנקודה 0.1. משום שגם בינה לנקודה 0 יש אינסוף תמונות. אם אני לא עובר על כל תמונה, אני מבצע הוקוס פוקוס או דיסקרטיזציה. אם מדברים על האפסילון סביבה של האבן והקיר, נאמר שהאבן רצה מימין לשמאל, ונאמר שרואים את האבן והקיר באותו תצלום, אם יש אינסוף נקודות לעבור, האבן תמיד תהיה באפסילון סביבה ימנית של הקיר, ותמיד אוכל למצוא אפסילון קטן כרצוני, להגדיל את התמונה כך שתכיל רק את אפסילון סביבה זה, ולראות רק קיר בלי אבן. נניח שצולם הרגע הרציף המיוחל בו הסיוט נגמר והאבן נגעה בקיר. האבן היא גוף שמורכב מאינסוף נקודות, האם קיימת נקודת קצה של האבן ונקודת קצה של הקיר שנוגעות זו בזו? למה אי אפשר לחלק אותן? הרי הכל רציף, גם המרחב וגם החומר שמצוי במרחב. איך שתי נקודות בעלות מימד אפס (לא משהו קטן כרצוננו, פשוט אפס) נוגעות זו בזו? אם הן יצליחו לעשות זאת, מה קורה להנחת צפיפות המספרים הרציונליים (כמדומני זה שמה)? יוצא שקיימות שתי נקודות שביניהן לא קיימת אף נקודה לא? ובעניין ההתכנסות, מה מתכנס לאן? אם האבן עוברת אינסוף נקודות לאורך מרחב תנועתה, למה שהגבול יהיה בנקודת הקיר? למה לא ב-0.1, או בכל נקודה אחרת? יש שם אינסוף גבולות פוטנציאליים. זרקתי אבן וטענתי אותה באנרגיה. אם האנרגיה סופית, והאבן מצויה במצב אנרגטי שונה בכל נקודה ונקודה (אחרת יש לנו חוסר רציפות אנרגטי) וכן יש אינסוף נקודות, לא ייתכן כאן קוואנט של אנרגיה. ושוב אפשר לעשות אנלוגיה אנרגטית לטענת המרחק וכו'. אם אנו רוצים לבחון מרחקים קטנים כרצוננו, הרי שבסוף אנו צריכים לבחון את המרחק שגודלו 0 (לא חייבים, אפשר להלביש את הפרדוקס על בחירת המרחקים ורצוננו נתקע גם הוא). למה את המרחק הזה מאשרים בנגיעת האבן בקיר, אבל מתעלמים ממנו במעבר בין נקודה לנקודה? כשאבן עוברת בין שתי "נקודות סמוכות שמימדן 0" (אין דבר כזה למיטב הבנתי, או שהן לא סמוכות או שמימדן סופי ואינו 0) איך בדיוק היא מבצעת את המעבר? היא נעה? לא נעה? מאבדת אנרגיה? קורה שם משהו בכלל? והרי הדרישה הזו קיימת לאורך כל הקטע, ולא רק בנגיעה בקיר. אם מקבלים את הנחות הפרדוקס, או שאין ריבוי, או שהעולם הוא דיסקרטי ויש לנו בעיה במעבר בין חלקיקים סופיים של זמן ומקום. אם לא מקבלים את ההנחות, אז בסדר. בעייה בקשר הלוגי בין הטענות של זנון (בקבלת ההנחות) אני לא רואה, ולמיטב ידיעתי אף אחד לא הצביע על כזו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"עדיין איני מבין איך אתם רואים אותו כמוכרע "רציפית"." מי זה "אתם"? אני, למשל, לא רואה את שאלת דיסקרטי/רציף כמוכרעת, ונדמה לי שגם ציינתי זאת בפירוש. לגבי כל ההמשך - לפני שניגע בפרטים, אני מנסה להבין מה אתה רוצה להראות. על זה שחיצים עפים ואבנים פוגעות בקירות אנחנו מסכימים, נכון? עכשיו מה הטענה? 1. התורה המתמטית של מספרים רציונליים/ממשיים מכילה סתירות פנימיות. 2. התורה המתמטית של מספרים רציונליים/ממשיים אולי לא סותרת את עצמה, אבל היא סותרת את ההגיון הבריא. 3. התורה המתמטית של מספרים רציונליים/ממשיים אולי טובה כתרגיל מופשט, אבל לא ייתכן שיש קשר כלשהו בינה לבין חיצים ואבנים בעולם האמיתי. 4. משהו אחר? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה צודק :) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במה? (לא כל כך הבנתי את התשובה). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה צודק בזה שאמרת שהעניין בלתי מוכרע. לגבי הבעיות שהעלית כאופציונליות, יהיה מעניין לקרוא את הניתוח לגבי כל אחת (אבל אני מניח שעשית זאת). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. התורה המתמטית של הממשיים (או הרציונליים) לא מכילה שום סתירה, ככל הידוע לנו, ומי שטוען שיש כזו יצטרך להסביר את עצמו מאוד מאוד במדוייק. 2. התורה הנ"ל מאוד הגיונית, ואם יש בה דברים הנראים לא אינטואיטיביים, אפשר בד"כ להתגבר עליהם די מהר. הרבה אנשים עשו זאת בהצלחה. 3. אם משתמשים במשוואה x=vt לתיאור תנועתו של כדור הנע בקו ישר (נניח), מתקבלת התאמה נהדרת בין המודל המתמטי למדידות האמפיריות. כנ"ל עבור חיצים, אבנים שפוגעות בקירות, וכו'. התהיות שהעלית לגבי נקודות 0-ממדיות, חלוקת המרחב, תנועה מנקודה לנקודה וכו' - כולן נפתרות בקלות במודל המתמטי הדי-פשוט הזה. כאמור, ייתכן שבעצם הכל דיסקרטי; לא נורא. אבל אני לא רואה איך אחת מהשאלות שהעלית מחייבת אותנו לפסול את המודל הרציף (וכאמור, לא הצלחתי אפילו להבין אם זה מה שאתה טוען). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, יש באמת צורך להבהרה של מה שאני טוען. איני טוען שזנון צדק. התורה של פרמנידס רחוקה מלהסביר את המציאות. פרמנידס טען לבסוף שהחושים מטעים והמחשבה מגיעה לאמת, לפיכך גרסת המחשבה היא העדיפה. עם זאת, המחשבה של פרמנידס מניבה קפאון טוטלי ושום דבר מעבר לזה. לו הייתה מביאה הסבר לתודעה, הייתה פותרת אותנו מהפרדוקסים ונותנת תשובה טוטלית. במקום הסבר היא רק מעלה שאלה. אפשר לדחות את השאלה בדחיית ההנחות. אפשר לקבל את ההנחות ונשארת בעיה. הבעיה הזו מובילה אותנו לספקנות. קיימת התאמה נהדרת כמו שכתבת בין המודל המתמטי למדידות האמפיריות. עם זאת, ההתאמה לא מושלמת, יש בעיות ואין בטחון שמדובר רק בחוסר בפרטים המוכנסים למודל ולא בפגמים בסיסיים יותר כמו מודל לא שלם או שגוי בחלקו. מדובר במודל תיאורטי ולא בתיאור נאמן של המציאות. כשקראתי את תגובתך האחרונה הבנתי מה בלבל אותי בפתיל הזה. מצד אחד אתה גורס (תגובה קודמת שלך) שהפרדוקס לא מוכרע, ואף כתבת זאת קודם. מצד שני יש תחושה של נחרצות לגבי נכונות התורה המתמטית של הממשיים, והסיוג ''ככל הידוע לנו'' נראה לי סתמי לעומת הטון הכללי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"ההתאמה לא מושלמת, יש בעיות" - במכניקה של תנועת גופים? אילו בעיות? "תחושה של נחרצות לגבי נכונות התורה המתמטית של הממשיים" - הנחרצות מתייחסת לדברים שציינתי: הפרדוקסים-לכאורה אינם באמת פרדוקסים, ואינם מצביעים על כשל בתורה המתמטית או בהתאמתה למציאות. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |