בתשובה לאלון עמית, 30/05/05 5:58
 |
|
 |
||
|
||||
 |
>>"האם המתמטיקה נותנת ייצוג אמין של המציאות?" נראה שכן. אחרת, קשה להסביר את ההצלחה המסחררת של מודלים מתמטיים בפיזיקה בחיזוי תופעות.>> אבל המציאות, דומני, מתקשה לתת יצוג הולם למתמטיקה. ישנם לא מעט יצורים מתמטיים שאין להם כל מקבילה במציאות. בהם מיני יצורים שכבר הוזכרו בדיון זה. יוצא שהמתמטיקה מצליחה לייצג את המציאות תוך שימוש בכלים שאין להם אח ורע במציאות. זה עובד. נכון. אבל אנחנו לא יודעים איך. האם המתמטיקה היא המצאה אנושית ? האם היא "קיימת" בכלל ? היא קיימת בתודעתנו, אבל המתמטיקה עצמה, לרבות 2=1+1, לא נמצאת בעולם התופעות. היא רק החוקיות שאנחנו מגלים מאחורי התופעות. איזה סוג של קיום הוא זה שנמצא בתודעתנו אך לא בעולם התופעות ? אני מסכים עם הסיפא - המציאות היא רציפה או דיסקרטית. אם רציפה מושג האינסוף אכן קיים בעולם התופעות, אם דיסקרטית אז סופיות היקום מכל העברים די מחייבת את קיום בורא עולם, לא ? מאז המאמר עליו קיבל איינשטין את הנובל נותר רק דבר אחד בעולם התופעות שיתכן והוא רציף וזהו המרחב זמן. אבל למרחב זמן אין קיום עצמאי אלא רק בהיותו מכיל חומר ואנרגיה. מאז היחסות הכללית הם שלובים זה בזה. לכן קל יותר להאמין שגם למרחב זמן יש קוואנטום מינימלי. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
"ישנם לא מעט יצורים מתמטיים שאין להם כל מקבילה במציאות". נכון, אבל... אז מה? "זה עובד. נכון. אבל אנחנו לא יודעים איך". אני לא בטוח שאני מבין את השאלה "איך זה עובד?", אז אני לא נורא מתפלא שאנחנו לא יודעים להשיב עליה. "האם המתמטיקה היא המצאה אנושית?" בוודאי. "האם היא "קיימת" בכלל?" כאן אין ברירה אלא להיאנח ולשאול, למה אתה מתכוון ב"קיימת". תפיסתי האישית היא שהמספרים הטבעיים (למשל) קיימים בהחלט, אבל אני מתנצל מראש ומזהיר ששאלות מסוג זה נראות לי עקרות. "איזה סוג של קיום הוא זה שנמצא בתודעתנו אך לא בעולם התופעות?" זה סוג של קיום שנמצא בתודעתנו אך לא בעולם התופעות. מין קיום שכזה. "אם רציפה מושג האינסוף אכן קיים בעולם התופעות, אם דיסקרטית אז סופיות היקום מכל העברים די מחייבת את קיום בורא עולם, לא?" גם דיסקרטית יכולה להיות אינסופית (מה הקשר?). מה זה "סופיות היקום מכל העברים"? איך (בשם שמיים) מתחייב ממשהו מסוג זה קיום "בורא עולם"? "מאז המאמר עליו קיבל איינשטין את הנובל נותר רק דבר אחד בעולם התופעות שיתכן והוא רציף וזהו המרחב זמן." אתה *בטוח* שאתה מתכוון למאמר על האפקט הפוטו-אלקטרי? למה נובע ממנו שהחומר, נניח, לא יכול להיות רציף? "אבל למרחב זמן אין קיום עצמאי אלא רק בהיותו מכיל חומר ואנרגיה." למה? "לכן קל יותר להאמין שגם למרחב זמן יש קוואנטום מינימלי." זו אפשרות. אני לא בטוח שרוב הפיסיקאים יסכימו עם הניחוש הזה, אבל אולי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם לא הראה אינשטיין במאמרו על אפקט הפוטואלקטרי שאור מתנהג באופן חלקיקי, כלומר דיסקרטי? "אבל למרחב זמן אין קיום עצמאי אלא רק בהיותו מכיל חומר ואנרגיה"(תגובה 306060) שאלה: מה קיים מלבד חומר ואנרגיה (אשר חד הם אם להאמין לאינשטיין)? אינפורמציה? תודעה? אלוהים? מה עוד יכול מרחב לאכלס? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מאיפה באה הדרישה שמרחב יאכלס משהו? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''אבל למרחב זמן אין קיום עצמאי אלא רק בהיותו מכיל חומר ואנרגיה'' | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה, זה נשמט מעיני. תודה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
פרמנידס, שוב. אה, וגם היחסות הכללית אומרת על זה משהו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הוא הראה שאפשר להסביר התנהגות של תופעות מסויימות בעזרת ההנחה שאור מתנהג כחלקיק (בתופעות אחרות עדיף דווקא לחשוב על האור כגל). אין בעיני קשר ברור לשאלה אם המרחב רציף או דיסקרטי. אני רק רוצה להזכיר שהמשפט ''למרחב זמן אין קיום עצמאי אלא רק בהיותו מכיל חומר ואנרגיה'' הוא לא שלי... אני לא ממש יודע איך להשיב על השאלות האחרות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. - ישנם לא מעט יצורים מתמטיים שאין להם כל מקבילה במציאות". - נכון, אבל... אז מה? - אז השימוש בדברים שאינם קיימים במציאות הפיזיקלית (= מטאפיזיים) לתאר דברים פיזיקליים באופן שיוכל לנבא את התנהגותם בעתיד טוען לאיזה קשר או לפחות קורלציה ביניהם. טענה שאינה טריוויאלית כלל. 2. - אני לא בטוח שאני מבין את השאלה "איך זה עובד?" - העולם הפיזי מתנהג בצורה מסוימת. אנחנו בונים מודל מתמטי להתנהגות זו בתודעתנו. המודל מצליח לנבא את ההתנהגות העתידית בעולם הפיסי. הוא עושה זאת ע"י שהוא מגלה חוקיות מסוימת בהתנהגות העולם הפיסי. האם החוקיות הזו נמצאת באמת בעולם הפיסי או רק במודל ? אם רק במודל, כיצד ממשיך העולם הפיסי לעקוב אחר הניבוי ? אם החוקיות עצמה נמצאת בעולם התופעות, אז המתמטיקה נמצאת שם גם. 3. - האם המתמטיקה היא המצאה אנושית? - בוודאי. - כלומר שאין לה דבר עם עולם התופעות ולכן סעיף 1. ו 2. לעיל. 4. - איזה סוג של קיום הוא זה שנמצא בתודעתנו אך לא בעולם התופעות? - זה סוג של קיום שנמצא בתודעתנו אך לא בעולם התופעות. מין קיום שכזה. - קיום מטאפיסי 5. - אם רציפה מושג האינסוף אכן קיים בעולם התופעות, אם דיסקרטית אז סופיות היקום מכל העברים די מחייבת את קיום בורא עולם, לא? - גם דיסקרטית יכולה להיות אינסופית (מה הקשר?). מה זה "סופיות היקום מכל העברים"? איך (בשם שמיים) מתחייב ממשהו מסוג זה קיום "בורא עולם"? - קח יקום עם מרחב זמן דיסקרטי והרץ קדימה מהמפץ הגדול עד היום. האם אין זו מטריצה סופית ? ואם מושג האינסוף אינו קיים במציאות הפיסיקלית עד כה כיצד יוכל להופיע ? ואם מושג האינסוף אינו קיים במציאות הפיסיקלית אך כן קיים במתמטיקה (המטאפיסית) אשר במערכת ההפעלה שלו אז ... (קפיצת הדרך מנטאלית לא מסודרת עדיין) יש אלוהים. 6. - מאז המאמר עליו קיבל איינשטין את הנובל נותר רק דבר אחד בעולם התופעות שיתכן והוא רציף וזהו המרחב זמן." - אתה *בטוח* שאתה מתכוון למאמר על האפקט הפוטו-אלקטרי? למה נובע ממנו שהחומר, נניח, לא יכול להיות רציף? - מודה ועוזב. אבל ראה את הדיון מ תגובה 312698 והלאה, העוסק ברציפות התכונות הבסיסיות, ובסיומו תגובה 313054 "מה שנותן את ההרגשה שהמודל הנוכחי הוא חלקי בלבד (כמו הפיזיקה של ניוטון ביחס ליחסות) וקיים מודל סופי שיקוונטט את הגרביטציה ויסביר באופן טבעי את כל האיברים המאולצים." 7. -אבל למרחב זמן אין קיום עצמאי אלא רק בהיותו מכיל חומר ואנרגיה. למה? - תגובה 310533 |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין לי יכולת להתייחס להכל; זה או מסובך לי מדי, או שאני לא מבין אותך. אציין רק ש"המתמטיקה" איננה אטום שאינו ניתן לחלוקה; יש בה כל מיני חלקים, חלקם דורשים את מושג האינסוף, חלקם לא. אם היקום דיסקרטי וסופי, מסתמא אין צורך במושג האינסוף המתמטי כדי לתאר אותו. לא צריך לרוץ לאלוהים. באותו אופן, המתמטיקה היא המצאה אנושית, שחלקים ממנה נבעו מהרצון לתאר את עולם התופעות, וחלקים אחרים לא. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"תפיסתי האישית היא שהמספרים הטבעיים (למשל) קיימים בהחלט," מדוע דווקא הטבעיים? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש מושגים מתמטיים יותר ראשוניים ופחות מעורפלים מאחרים. אני אישית מאמין שלבעייה כמו "האם יש אינסוף twin primes" יש תשובה חד-משמעית; לבעייה כמו השערת-הרצף, אני פחות בטוח: היא נשענת (באחד הניסוחים) על המושג "קבוצה-שרירותית-של-מספרים-טבעיים", שהוא מושג פחות ברור מ"מספר טבעי". בכל אופן, אני לא מתכוון לומר שהטבעיים "קיימים" במובן שניתן למצוא אותם זרוקים באיזה מחסן במעלה-החמישה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שאלה לא הכי קשורה על משהו שמציק לי: יש שמועות מרושעות שהשערת גולדבך עלולה להתגלות בתור אחד מהדברים הללו שאי אפשר להוכיח או להפריך במערכת של ZFC. עכשיו, אני יכול לקבל את זה שייתכן שלא נוכל להוכיח שההשערה נכונה אף פעם, אבל לא ברור לי האם זה גורר שקיימת מערכת שמכילה את ZFC שבה ההשערה נכונה, ומערכת שמכילה את ZFC שבה ההשערה לא נכונה. אם תגיד לי שזה לא גורר את זה, אני אשתוק. אחרת, יש לי שאלת המשך. לצורך ההקבלה - אם הבנתי נכון, יש מערכת שמכילה את ZFC (או אולי ZF? או פאנו? אני לא ממש יודע) שבה השערת הרצף נכונה, ואחת שמכילה את ZFC שבה היא לא נכונה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לשמועות מרושעות אסור להאמין. הם עוד ישכנעו אותך להתנתק מ-ZFC או לנתק את C מ-ZF, ואז אנא אתה בא? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דיברנו על זה פעם, חפש "גולדבך" בדיון על הטרחנים הכפייתיים. יש פה כמה דקויות שצריך להיזהר מהן. השערת גולדבך GC היא פסוק מהצורה "לכל n מתקיים ש-...", כש-"..." היא נוסחה הניתנת לבדיקה פשוטה בזמן סופי לכל n נתון. לכן, אם GC אכן לא תלויה באיזושהי אקסיומטיזציה של המספרים הטבעיים כמו PA או ZFC, אז בפרט היא *נכונה* עבור המספרים הטבעיים הסטנדרטיים (כי אם לא, היתה דוגמה נגדית, ודוגמה כזו ניתנת להוכחה בכל מערכת סבירה כזו). מכאן שאם אפשר *להוכיח* ש-GC לא תלויה ב-PA, למשל, זו תהיה הוכחה (משונה קצת) לנכונותה של השערת גולדבך הטבעית. המצב הוא אחר לגמרי עבור טענות אחרות על הטבעיים, כמו twin primes. שים לב גם שאם *מוכיחים* ש-GC לא תלויה במערכת X, זה גורר שהמערכת X היא עקבית, ולכן לא ניתן לבצע את ההוכחה ב-X עצמה. אפשר, למשל, להוכיח ב-ZFC ש-GC לא תלויה ב-PA, אבל אי אפשר להוכיח ב-ZFC ש-GC לא תלויה ב-ZFC - בשביל זה צריך מערכת אחרת שבה אפשר להוכיח את עקביות ZFC, ואין מי יודע מה מערכות כאלה שאנשים נוטים לקבלן כמובנות-מאליהן. הניסוח שלך, "מערכת שמכילה את ZFC" אינו מדוייק. צריך לומר "מודל של ZFC שבו השערת הרצף נכונה, ומודל אחר שבו לא". וכן, זה אכן המצב. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לגבי הוכחות אי תלות ועקביות, אתה כמובן צודק, אבל הטיעון הנ"ל נכון לכל משפט שעליו אומרים "הוכחנו עקביות" או "הוכחנו אי תלות". בדרך כלל לא מתחילים ממערכת פורמלית חזקה יותר, אלא עובדים ב-ZFC ומוכיחים עקביות יחסית כלומר מוכיחים את המשפט הפורמלי: Con(ZFC)->Con(ZFC+CH)
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נכון, במיוחד ל-ZFC. נדמה לי שהוכחות אי-תלות ב-PA דווקא לעיתים נעשות פשוט ב-ZFC (או בחלק שלה), למשל משפט גודסטין הזכור לטוב. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. אני לא יודע מה רוצים מהשערת גולדבך. קצת קשה אז נשברים? אני לא רואה שום סיבה לחשוב שהמשפט הזה לא נובע (הוא או שלילתו, אבל רק האפשרות הראשונה סבירה) מ- ZFC. 2. השערת גולדבך אינה סימטרית. אם היא *לא נכונה*, אז אפשר להשתכנע בכך בזמן סופי (יש מספר זוגי N כך שלכל מספר ראשוני קטן יותר, N-p אינו ראשוני), ולכן זה נובע מ- ZFC. לעומת זאת אם היא כן נכונה אבל משום-מה לא יכיחה ב-ZFC, אפשר לצרף אותה (או טענה אחרת שההשערה נובעת ממנה) כאקסיומה נוספת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. תאשים את הספר ההוא על "הדוד פטרוס והשערת גולדבך", שהמרצה שלי ללוגיקה אהב לרדת עליו. תמים ככל שיהיה, שמעתי שמועות מרושעות על שני אנשים שעזבו את הפקולטה למתמטיקה אחרי שקראו אותו. כן, אני בטוח שהם היו עוזבים גם ככה. כן, אני לא צריך להקשיב לשמועות מרושעות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בקשר ל-1 של עוזי, כדאי גם להזכיר (שכחתי קודם) שהשערת גולדבך כבר "כמעט" הוכחה (ביותר ממובן אחד), והיא נראית בהישג-יד. לאור זאת היא באמת לא מועמדת מוצלחת מדי להשערה-אולי-לא-תלויה. מועמדות מוצלחות הרבה יותר הן P=NP או בעיית ה-3n+1, למשל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמובן שהבחירה בגולדבך היא בגלל שקילקלו לנו את פרמה ואין שום קשר לסבירות של תלותיותה. אתה יכול לפרט (או ללנקק) בקשר לכמעט הוכחה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה זה "קלקלו לנו את פרמה"? בזה שהוכיחו אותו? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אכן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
2. תגובה 212764. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב שהבהרת שזה לא במעלה החמשה. נדמה לי ששם מחזיקים רק את האלכסון של קנטור. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |