בתשובה להאייל האלמוני, 19/06/05 15:52
בשם הבורים 310405
לא הבנתי.

כדי ששבר עשרוני ייצג מספר רציונלי (כמו שליש, למשל), צריך מספר אינסופי של שברים.

0.3333333333... זה פשוט סימון מקוצר שמיצג את הסכום שלוש עשיריות+שלוש מאיות+שלוש אלפיות+...

נכון, לשליש יש סימון קצר יותר אשר מסמנים אותו כהיחס בין המספר 1 לבין המספר 3, אבל למזלנו גם למספרים אי-רציונליים יש סימונים קצרים לפחות באותה מידה (למשל, היחס בין היקף המעגל לקוטרו).

מה ההבדל המהותי (בהקשר של סופי מול אינסופי) בהשוואה ל- [1;1,1,1,1,1,1,1,1,1,...]?

אחזור על השאלה: מהו הדבר שהוא סופי באלה, אבל הוא אינסופי באלה?
בשם הבורים 310409
אני לא מסכים כל כך עם זה שהיחס בין היקף המעגל לקוטרו הוא "סימון". אני מניח (תקוף את ההנחה הזו) שאנחנו רוצים לייצג הן את המספרים הרציונליים והן את המספרים האי רציונליים בעזרת מספרים שאותם אנחנו מבינים טוב: מספרים שלמים (בייצוג עשרוני, זה בעצם מה שאנחנו עושים). במקרה הזה, לא ממש תצליח לתאר הן את היקף המעגל והן את קוטרו בצורה נוחה בעזרת מספרים שלמים (הרי אחד מהם הוא בהכרח אי רציונלי, ואז מה הרווחנו?)
בשם הבורים 310421
בוודאי שאתקוף את ההנחה הזאת - היא בדיוק הדבר שאני מתפלא שאנשים עושים בלי לחשוב פעמים: אני לא מבין מי החליט שדווקא את המספרים השלמים "אנחנו מבינים טוב" ואת האחרים אנחנו מבינים פחות טוב (או בכלל לא מבינים). אני מקווה שאתה לא מנסה לרמוז שהמספרים הטבעיים הם, נו, טבעיים יותר ממספרים אחרים.

אני "מבין טוב" את הסיפרה 1, לא פחות ולא יותר מאשר שאני "מבין טוב" את פאי. המושג "שלם", הסיפרה 1 או הסתכלות על העולם באופן דיסקרטי/קוואנטי, נראים לי מופלאים ומוזרים לא פחות מאשר מושגים רציפים (האמת היא שהשניים יותר מסתדרים לי עם האינטואיציה שלי). אני ממש לא מבין מדוע צריך לעשות למשהו רדוקציה למשהו דיסקרטי, כדי שנוכל להתחיל להגיד שאנחנו באמת מבינים אותו או כדי להגיד ש"הרווחנו משהו".
בשם הבורים 310503
אוקיי, כאן אנחנו נחלקים. אני "מבין טוב" את הטבעיים כי הם המספרים היחידים שאני מסוגל לחשוב עליהם כמייצגים את כמות האיברים בקבוצה כלשהי. לא יודע אם זה הופך אותם ל"טבעיים" יותר.

אם תרצה הצדקה קצת יותר "מתמטית", לדעתי ה"הבנה" הזו באה לידי ביטוי בכך שהפעולות האלגבריות מוגדרות על המספרים השלמים (למעשה, הבסיס נובע מכך שמגדירים פעולה של עוקב על 0, אבל לא קריטי), ואילו על המספרים הרציונליים והאי רציונליים הפעולות האלגבריות מוגדרות באמצעות הרחבה של ההגדרה על המספרים השלמים. כלומר, אנחנו משתמשים ביכולת שלנו לעבוד עם המספרים השלמים כשאנחנו באים לעבוד עם הרציונליים והאי רציונליים.

דוגמה: כשאתה מחבר 55/313 יחד עם 93/661, מה שתעשה הוא ליצור מכנה משותף (באמצעות פעולת הכפל שאתה מכיר על מספרים שלמים) ואז לחבר את שני הגורמים שבמונה (בעזרת פעולת החיבור שאתה מכיר על מספרים שלמים). אתה לא ממש מסוגל בראש (ואולי כן?) לבצע את החיבור הזה בלי לעבור "דרך" המספרים השלמים.
בשם הבורים 310517
ואללה? כלומר, אתה לא מתחכם כאן אלא דובר אמת לאמיתה? מפתיע ביותר, לאור העובדה שאת השלמים (בעיקר החיוביים שבהם) אנחנו מכירים כבר בגיל אפס (כמה חודשים, אם לדייק), ואפילו שימפנזים מכירים כמה מהם.

(ואם הייתי רוצה לעשות רושם הייתי מוסיף כאן שאצל קונווי והמספרים הסוריאליסטיים שלו, התהום פעורה דווקא בין השברים הדיאדיים לבין כל השאר. מזל שאני לא רוצה.)
בשם הבורים 310519
אני חושב ש*רק* את החיוביים שבהם (כלומר, את הטבעיים). מספרים שליליים או אפס הם לא דבר אינטואיטיבי במיוחד. אני זוכר שקראתי באיזה שהוא מקום שארדש המציא את השליליים בגיל 4, וזה נחשב הישג.
בשם הבורים 310522
כשיש לך אחות גדולה, ''אפס'' הוא מושג שאתה לומד מהר מאד.
בשם הבורים 310538
גם לספור בבינארי אתה לומד מהר מאוד (''יא אפס אחד'').
בשם הבורים 310537
אתה מוכן לפרט איך יודעים שתינוק מכיר את השלמים "כבר בגיל אפס"? (לא שאלה רטורית, באמת מעניין)
בשם הבורים 310539
תתחיל ב תגובה 193895 וגלוש במורד הפתיל.
בשם הבורים 310552
הניסוי הזה לא עובד עם גדלים רציפים? (סוכריה וסוכריה קצת יותר גדולה)
האם יש גיל בו יודעים שחמש זה יותר משלוש, אבל לא יודעים שארוך זה יותר מקצר?
בשם הבורים 310554
אויש נו (קראתי עוד פעם). עזבו, אני באמת צריך ללכת לישון, סליחה.
בשם הבורים 310558
אני לא בטוח שהקשר בין "ארוך" ו"קצר" לבין מספרים (ובפרט מספרים לא שלמים) ברור בגילים צעירים מאד. שוב אני מציע להתבונן באחינו המאותגרים-קמעא השימפנזים: אני מניח שהם יבחרו בבננה הגדולה יותר, אבל אני מסופק מאד אם זה מראה על יכולת מתמטית.
בשם הבורים 310764
באופן מאוד דומה: אני בספק אם זה שילד יודע להבחין בכך שיש יותר M&M בקבוצה אחת מאשר בקבוצה השניה, זה מראה על יכולת מתמטית (=הכרת המספרים הטבעיים). לכן, אני *מנחש* שבאותו הניסוי, אבל עם שתי קבוצות שקשה לאמוד בעין באיזה מהן יש יותר M&M (ולכן יש צורך ממש לספור), התינוק יכשל.
בשם הבורים 310839
תוארו שם כמה וכמה ניסויים, לא רק זה עם הסוכריות. הניסוי עם ה M&M כמובן ייכשל אם הילד הרך יצטרך לספור מספרים גדולים כדי להצליח, והוא מובא בעיקר כדי להראות שיש לילדים הבנה יותר מתוחכמת של המושג "כמות" ממה שפיאז'ה טען.
בשם הבורים 310886
לא הבנתי את הקשר של כל זה לטענה שלך לגבי הכרת המספרים הטבעיים מגיל אפס.

איך הגענו למסקנה שהילד מחליט איזו קבוצה גדולה יותר ע"י ספירה? (אם הם לא באמת סופרים, אלא מבצעים אומדן "בעין", באופן מאוד דומה למה שעושים כאשר מחליטים מה ארוך יותר ומה קצר יותר‏1, אז אני לא מבין מדוע כתבת "מפתיע ביותר, לאור העובדה שאת השלמים (בעיקר החיוביים שבהם) אנחנו מכירים כבר בגיל אפס" בתגובה למעלה).

במילים אחרות (המילים שלך): אני לא בטוח שהקשר בין "יותר" ו"פחות" לבין מספרים שלמים ברור בגילים צעירים מאד... אני מסופק מאד אם זה מראה על יכולת מתמטית.
_____________
1 דבר שלא מעיד על יכולות מתמטיות, לדעתך - תגובה 310558.
בשם הבורים 310889
קראת את תגובה 193984 (ובעיקר את החלק השני שלה) ואת תגובה 194118 ?
בשם הבורים 310972
כן. אני פשוט לא מסכים עם הפירוש שלך של מה שקורה שם (אני לא רואה שם רמז להבנת המושג מספר, יותר מבמקרה של הבחנה בין דברים ארוכים יותר לקצרים יותר). יש שם יכולת מנטלית לזהות באופן השוואתי מהו יותר ומהו פחות (בשביל זה אין צורך במספרים, בספירה ו/או בחיבור/חיסור).
בשם הבורים 311046
רק כדי לדייק: זה לא רק הפירוש *שלי*. כמובן, מותר לך לחלוק גם על האחרים.
השעירים בעקבות הצעירים 320828
אגב, קראתי אתמול שהניסוי נערך גם עם קופים (קופי רזוס וקופי טאמארין) וגם הם הגיבו כמו התינוקות האנושיים, כלומר גילו עניין חריג באותם מקרים בהם מס' העצמים שנגלה לעיניהם היה שונה ממה שהם ראו שמניחים מאחרי המסך לפני כן. הנסיין (שמו יינתן עפ"י דרישה כי הספר בבית) טוען בעקבות כך שגם לקופים האלה ישנה איזו תחושת "מספר" לגבי מספרים טבעיים קטנים, כולל הידע על כך ש 1 < 1+1 < 3. לא נמסר אם אחינו הפרוותיים משתמשים ב PA או ב ZF כדי להגיע לתוצאה הזאת.
השעירים בעקבות הצעירים 321216
יש שימפנזים.
שיושבים מול מחשב , סופרים עצמים בתמונה ואחרי זה בוחרים בסיפרה שמתאימה למספר.
אגב הם עושים את זה יותר מהר מקופים קרחים, הטענה היא כי בחיי הבר הם נזקקים להערכה מספרית מהירה - למשל במאבק בין קבוצות יריבות.
השעירים בעקבות הצעירים 321222
ומה הקשר לקרחות?
השעירים בעקבות הצעירים 321226
מעניין. יש לך לינק?

(ההודעה שלי עסקה, כמובן, בקופים סתם, לא ב"קופי אדם").
השעירים בעקבות הצעירים 321227
אגב, "קופי אדם" הוא שם די מעצבן ל Apes. למישהו יש רעיון טוב יותר?
השעירים בעקבות הצעירים 321237
פעם "קופים" התיחס ל Apes, בעוד Monkeys נקראו "קופיפים", אבל אז הכניסו "קיפופים" בשביל פרימאטים, והלכו הקופיפים.
השעירים בעקבות הצעירים 321261
בעיני זה דווקא שם טוב מאד. קופי אדם הם באמת דומים לאדם וגם האדם עצמו שייך לקבוצה הזו (וגורילה אחת פעם אמרה לי: אתם שכחתם מה זה להיות קוף אדם).

השם הזה אפילו דומה לטקסונומיה המדעית:

primates = קופים סתם + קופי אדם (monkeys+apes)
hominoids = קופי אדם (apes).

בכל מקרה, לגבי רעיון יותר טוב, חשבתי על איזו בירה קרה במרפסת.
השעירים בעקבות הצעירים 321318
אתה בטח גם חי בשלום עם ''כוכב לכת'' (שהוא, יש להודות, עוד יותר גרוע מ''קוף אדם''). פעם קראו ללווין ''ירח מלאכותי'', ואני חושב שיש טעם לפגם בשם עצם שמורכב משתי מלים, למרות שבטח יש עוד כאלה.
טעם לפגם 321321
שוטה הכפר?
יותר עדיף: 321325
''שם עצם''
עוד יותר עדיף: 321331
''מרכאות כפולות''
יותר עדיף: 321368
כן, וגם ''פרפר נחמד'' ו''שבוע טוב''. אני ער לקיומה של הצורה הדקדוקית הזאת.
טעם לפגם 321353
אין דבר כזה. יש ''שוטה הכפר הגלובלי''. שלוש מלים.
טעם לפגם 321367
מובן שאינני יוצא חוצץ נגד כל הסמיכויות באשר הן. אולי זאת שוב הקרינה מהאנטנות, אבל "שוטה הכפר" ו"קוף אדם" הם לא מאותה קטגוריה (ולראיה: ה"א הידיעה) גם אם יש אנשים שחושבים אחרת.
טעם לפגם 321369
''כלב זאב''
''דב נמלים'' (הפעם הגזמת).
טעם לפגם 321372
פרת משה רבנו.
טעם לפגם 321375
"בית ספר" ו- "ספריית וידאו" הן מילים הרבה יותר נפוצות מ"קוף אדם" או "כוכב לכת" והרבה פחות מדוייקות מבחינה מילולית. אני לא חושב שהן מפריעות יותר מדי. בכל אופן, לי הן לא מפריעות :)

בממלכת החי והצומח צורת הסמיכות היא מאד נפוצה. בשמות של מינים או גזעים ספציפים: "מרבה רגליים", "נר הלילה", "חתול פרסי", "אלה אטלנטית", "זבוב פירות", "תרנגול הודו", "בצל ירוק" וכו'. וגם בשמות של מחלקות: "חיות כיס", "מעלי גירה", "דו חיים", "ציפורי שיר", "עצי מחט" וכו'. בקיצור, נראה לי שגם אתה שכחת מה זה להיות קוף-אדם. אבל לא נורא, אנחנו יכולים לפתוח בקבוק של בירה ויתר קופי האדם לא.
טעם לפגם 321693
(אלה אטלנטית, חתול פרסי ובצל ירוק אינן סמיכויות. וסליחה על ההתקטננות.)
טעם לפגם 322184
על ''בית ספר'' כבר יצא הכורת, וכל דרדק יודע שמדובר ב''ביצפר''.
טעם לפגם 322185
התכוונת לבי3פר.
טעם לפגם 322767
אאז''נ, ''בית ספר'' אינו סמיכות אלא צירוף כבול, בדומה ל''עורך דין'' (לא מדובר בבית שבו גר הספר, וכולי).
טעם לפגם 321409
הי, הי, לא לכעוס. התבדחתי... אני מבין למה התכוונת.
טעם לפגם 321470
אני לא כועס.
בונובו! 321276
בשם הבורים 310422
האם היחס בין היקף המעגל לקוטרו נראה לך קצר יותר מ-‏1/3? או אולי הוא נראה כך משום שאתה מסמנו בפאי? לכמה מהמספרים האי-רציונליים יש סימונים כאלה? יותר מ-‏10? יותר מ-‏100?
אבל ל*כל* המספרים הרציונליים יש סימון בשבר פשוט אחד. ולשום מספר אי-רציונלי אין כזה. ואין לו אפילו תיאור כזה שכולל מספר סופי של שברים. נראה לי שיש כאן הבדל מסוים, לא?
בשם הבורים 310492
אבל זה הבדל סטטיסטי: הוא לא מאפשר לך לטעון "כל הרציונליים הם X, וכל האירציונליים הם Y".
בשם הבורים 310559
למה?
בשם הבורים 310699
יש מספר רציונלי ש*לא ניתן* לייצוג כשבר פשוט? יש מספר אירציונלי ש*ניתן* לייצוג כזה?

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים