בתשובה להאייל האלמוני, 21/06/05 22:42
בשם הבורים 310790
אבל למה, הו למה, את מרשה לעצמך בפיתוח העשרוני לקרוא לפיתוח מחזורי אינסופי "לפתח עד הסוף", ואז זה בסדר, אבל בפיתוח לשברים משולבים לאותו דבר בדיוק (שבר מחזורי אינסופי) את מתייחסת כחישוב לא מספק? למה?

בכל מודל חישובי סביר יש רק מספר בן-מנייה של מספרים "ניתנים לחישוב" ומספר לא בן-מנייה של מספרים שאינם "ניתנים לחישוב". זה ידוע ונחמד. אבל את ניסית כל הזמן לטעון משהו לגבי מספרים *רציונליים*, לא מספרים ניתנים לחישוב. כל הפתיל הזה נועד להבהיר שאין למספרים רציונליים איזשהו יתרון חישובי מהותי, או יתרון הכרתי, על-פני *חלק* מהמספרים האי-רציונליים.
בשם הבורים 310804
א. אני אכן מדברת על *הרציונליים*. ואני אומרת שבכל שיטת חישוב שהיא, יש להם יתרון מובנה: בשברים עשרוניים - מפני שהם ניתנים לפיתוח אינסופי מחזורי, שהמספרים האי-רציונליים לא ניתנים לו. בשברים "רגילים" - משום שהם ניתנים לייצוג כשבר פשוט אחד, והאי-רציונליים לא ניתנים לו.
ב. שוב, כפי שאמרת בעצמך, רק חלק מהמספרים האי-רציונליים ניתנים לפיתוח כשברים משולבים מחזוריים. אפילו אם אתה טוען כאן (אני תוהה אם הבנתי נכון) שיש אינסוף בר מניה של אי-רצניונליים שיש להם ייצוג *נוח* כזה, הוא עדיין מתגמד מאוד לעומת האינסוף מסדר א1 של אלה שחסרים אותו. לעומת זאת, הרציונליים *כולם* ניתנים לייצוג נוח יותר ומדויק יותר בכל שיטה שתבחר (גם אם כמותם הכוללת היא בת מניה בלבד).
ג. מסקנתי מכאן היא, ש*יש* לרציונליים יתרון חישובי מהותי על פני האי-רציונליים. יותר מזה, יתרון הכרתי ודאי שיש להם, אולי למעט חריגים בודדים מאוד מבין האי-רציונליים. בחיי היומייום אנחנו נתקלים בעיקר במספרים טבעיים: שני שולחנות, מאה תלמידים וכיו"ב. אפשר להרחיב את זה לשליליים - למשל, המינוס בבנק. או לשברים פשוטים - פרוסות לחם, חלוקת רכוש וכך הלאה. אלה אמנם אינם ב*פועל* שברים פשוטים: סביר להניח ש*כל* חלוקה כמעט מסוג זה תיפול על קצוות אי-רציונליים. אבל לצורך החישוב היומיומי הם רציונליים לכל דבר. כך גם, אפילו, לגבי הרבה דברים הדורשים דיוק רב יחסית: חישובי מטענים, שרטוטים אדריכליים, אפילו בניית חלליות - נראה לי שאיש איננו מכניס אליה מספרים אי רציונליים. מעניין, לא? בהתחשב בעובדה שמספרם זניח יחסית לאי-רציונליים.
בשם הבורים 310818
חריגים בודדים מאוד: שורש שתיים, שורש שלוש, שורש חמש, שורש שש, שורש שבע, ....

מהם "קצוות אי-רציונליים"?

איש אינו מכניס מספרים אי-רציונליים לבניית חלליות? ישמרנו האל. אפילו בחללית פשוטה יש די הרבה אלכסונים של ריבועים. אפילו תוכנות-מחשב כמו Mathematica או Maple עובדות מצויין עם מספרים אי-רציונליים, וכשמדובר בחישוב מסלולה של וויאג'ר - מזל שכך הוא.

"מעניין, לא?" לא כל כך. למה?

תוכלי להקל על שנינו ולהסביר מה התיזה שאת מציגה? להזכירך, התחלת מהטענות הבאות (אני מניח שזו את):

"השם "אי רציונליים" לא ניתן למספרים האלה מסיבה שרירותית לחלוטין, אלא משום שהם דומים (לא קשורים: מלכתחילה לא דיברתי על קשר, אלא על דמיון) למבנים אי רציונליים". מדוע את סבורה כך?

"אין לנו כל דרך לדעת בדיוק מוחלט את גודלו של מספר אי רציונלי: כלומר, באופן מעשי, איננו יודעים בעצם מהו אותו מספר". כפי שהוסבר פה חזור והסבר, אנחנו יודעים "מהו" כל אחד מבין הרבה מאוד מספרים אי-רציונליים באותה מידה של הצלחה כמו מספרים רציונליים. *יש* מספרים אחרים שלא, נכון. אבל זה לא מה שאת טוענת כאן...
בשם הבורים 310904
כן, נכון, מיד כשסגרתי את תגובתי הקודמת ידעתי שעליי להוסיף הסבר מסוים אבל הייתי עייפה מדי. אני משערת (אולי תגיד שטעיתי) שגם בבניית חלליות המספרים ה*התחלתיים* שעובדים אתם הם רציונליים: למשל, סביר שלא יתכננו מראש תא שאורכו שורש שבע ורוחבו שורש שש. המספרים האי רציונליים נכנסים כ"תוצר" של הרציונליים. כפי שאמרת, למשל באלכסונים. למשל ב*חישוב* מסלולים. כשאני דיברתי על "חריגים בודדים מאוד" התכוונתי, למשל, לפאי - שנכנס מלכתחילה לכל מבנה עגול.
ובעיניי, לפחות, זה מעניין. אנסה לתת דוגמא: נכון שאין במציאות שום מבחר *אינסופי באמת* של דברים מסוג מסוים שאיננו מתמטי. ובכל זאת - דמיין לך ספרייה "אינסופית" כזו, שיש בה אינסוף (בן מניה) של ספרים הכתובים בסינית. ביניהם מפוזרים, באקראי, מיליארד ספרים ביפנית. כיוון שאינך קורא אף אחת מהשפות (לצורך העניין. למיטב ידיעתי, אתה קורא את שתיהן שוטף...), אתה בוחר לך ספר רק לפי צורתו המלבבת. מה הסיכוי שתיפול על ספר ביפנית?1
כמובן (זו אני) התחלתי ממספרים אי רציונליים: אני מדברת על תופעה שתיתכן רק בהם. וגם אם תנפה מהם את כל אותם "הרבה מאוד מספרים שאנחנו יודעים מהם באותה מידה של הצלחה כמו מספרים רציונליים", עדיין תישאר עם עוצמה לא בת מניה של מספרים ש"איננו" יודעים זאת לגביהם.

1. (יש "לתרגם" את הדוגמא, כמובן, לעוצמות א1 ו-א0 בהתאמה, לצורך הצפיפות).
בשם הבורים 310963
למה פאי חריג? אם מישהו מתכנן מעגל ברדיוס 1, יוצא לו "כתוצר" היקף של שני פאי ושטח של פאי. מדוע זה שונה מריבוע עם צלע 1 שיוצר לו אלכסון אי-רציונלי כתוצר?

אם אני מבין נכון, הטענה עכשיו השתנתה מ"אי-אפשר לדעת מספרים אי-רציונליים" ל"בני-אדם נוטים לבחור מספרים רציונליים כשהברירה בידם". זה נכון (כמובן), ולא כל כך מפתיע - ה"סיכוי" שזה יקרה באקראי הוא אפסי, אבל כשאני בוחר את רוחב המיטה שלי אני לא בוחר זאת באקראי. מה את מסיקה מכך, ולמה זה כל כך מעניין?

"אני מדברת על תופעה שתיתכן רק בהם" - איזו תופעה?
בשם הבורים 310975
(אני מקווה שאצליח לכתוב משהו וגם לשלוח אותו. המחשב מאוד מתנכר אלי כרגע).
פאי חריג משום שהוא מופיע ב*כל* חישוב שקשור למבנה מעוגל. עד כמה שידוע לי, לשורש 2 זה לא קורה *אלא*, למשל, בריבוע של 1 על 1.
לא שיניתי את טענתי לגבי אי-הידיעה של האי-רציונליים: נהפוך הוא, אמרתי שגם אם תנפה את כל האי-רציונליים ה"רבים" כהגדרתך, שאפשר לדעתם "בקלות", לכאורה - עדיין תישאר לך בדיוק אותה עצמה של מספרים ש*אי אפשר* לדעת אותם בקלות כזאת.
אבל אתה אמרת ש"אין הבדל מהותי, חישובי או הכרתי, בין הרציונליים והאי רציונליים - ובעניין זה העליתי את נטייתם של אנשים לבחור במספרים רציונליים דווקא: לי, לפחות, נראה שזה אומר ש*קיימים* הבדלים כאלה.
התופעה של מספר שאיננו יכולים לדעת את גודלו באופן מוגדר היטב היא זו שתיתכן רק לגבי האי-רציונליים. (ולגבי א1 מתוכם).
בשם הבורים 310976
זה היה טריק מאוד זול (לדעתי).

טענה: יש דמיון בין המספרים האי-רציונליים לבין מספר העוגות המוקפצות מוקפצות מוקפצות שיש לי במקרר.

הוכחה: אולי ניתן להדגים את חוסר הדמיון בין מספר העוגות המוקפצות מוקפצות מוקפצות שיש לי במקרר למספרים אי-רציונליים מאוד מסוימים (למשל פאי, e, שורש שתיים ועוד רשימה מאוד ארוכה) אבל תמיד למדגים ישארו א1 מספרים כאלה לגביהם הוא לא יצליח להפריך את הדמיון. ==> אין שום סיבה לזנוח את מה שנאמר בטענה. ==> אכן יש דמיון בין המספרים האי-רציונליים לבין מספר העוגות המוקפצות מוקפצות מוקפצות שיש לי במקרר. מ.ש.ל.
בשם הבורים 310979
מה כאן טריק? מה כאן זול? ובעיקר - על מה יצא הקצף? ("עוגות מוקפצות" הן מלאות קצף, אולי? אני לא מתמצאת).
בשם הבורים 311024
הטריק הוא פשוט. שימוש בעובדה שיש א1 איברים בקבוצה, כדי שיהיה אפשר להגיד על רוב האיברים בקבוצה מה שמתחשמק לנו.
בשם הבורים 311168
להזכירך, גם א0 היא עוצמה אינסופית. בעיקרון, לו הרעיון היה ש"יהיה אפשר להגיד על רוב האיברים בקבוצה מה שמתחשמק לנו." - זה היה צריך לפעול גם על הרציונליים.
(ואני עדיין לא מבינה בשם מי אתה נפגע? מדוע הקצף?:))
בשם הבורים 311183
על מה יצא הקצף?
על עוצמת הרצף.

(אביב תמיד הרגיש קירבה לאי-רציונלים באשר הם).
בשם הבורים 311187
אם כך, הוא כנראה מרגיש אליהם קרבה רציונליסטית מאוד. אני, למשל, מרגישה אליהם קרבה רבה בזכות מה שהם.
בשם הבורים 311236
את א0 אני מכיר. הקצף זה בשביל העוגות.

מה שאני מנסה להגיד הוא פשוט: הטענה שלך על האי-רציונלים *בכללותם* לא נכונה (גם אם היא נכונה עבור חלק אחושלוקי גדול מהם). אם הטענה שלך מסתכמת ב:המספרים שלא ניתנים לחישוב, לא ניתנים לחישוב, אז בסדר (אבל אז לפאי, שורש שתיים, e ועוד רבים‏1 אחרים אין שום קשר לטענה שלך - הם כן ניתנים לחישוב ואותם אנחנו כן מבינים).

________
1 א0?
בשם הבורים 311310
תגובה 311303
בשם הבורים 311018
פאי הוא *תמיד* היחס בין היקף מעגל לקוטרו; שורש שתיים הוא *תמיד* היחס בין אלכסון של ריבוע לצלעו. ההבדל לא נהיר לי.

אף פעם לא אמרתי כלום על העצמה של המספרים הקשים-לידיעה. לאורך כל הדרך התווכחתי רק על הטענה שהאי-רציונליים - *כל* האי-רציונליים - הם כאלה, לעומת הרציונליים שהם לא. (אמרת, למשל, "אני אכן מדברת על *הרציונליים*. ואני אומרת שבכל שיטת חישוב שהיא, יש להם יתרון מובנה", או "אי יכולתנו לדעת את גודלם המדויק של מספרים אי רציונליים...")

אם את משנה עכשיו את טענתך, לאמור:

* יש מספרים שאפשר "לדעת" אותם, והם כוללים את הרציונליים, האלגבריים האי-רציונליים, ואינסוף טרנסצנדטיים (גם הם כמובן אי-רציונליים) שהם computable; לעומתם, יש מספר לא בן-מנייה של מספרים שאי-אפשר "לדעת" אותם *

אז אין לי כל ויכוח עם הטענה הזו. אלא שכעת לא ברורות טענותיך על הכינוי הלא-מקרי (לכאורה) "אי-רציונלי", וכו'. יש מספרים ניתנים לחישוב, יש (הרבה יותר) מספרים שאינם ניתנים לחישוב, טוב ויפה. מה לכל זאת ולתבניות ידע, שאלות מדעיות הנוצרות כשבעיות אחרות נפתרות, וכל הג'אז הזה?
הערה 311019
נא לקחת את ''כל הג'אז הזה'' בהומור וברוח טובה, לא כירידה.
הערה 311178
זה בסדר, כך לקחתי אותם, על אף שאני הייתי אומרת "כל הפאנק הזה".:).
בשם הבורים 311022
מה זאת אומרת "מספרים שאי אפשר לדעת אותם"? איזה מספר אי-רציונלי אי אפשר לדעת? (הייתי מבין ניסוח שאומר "מספרים אי-רציונליים שעדיין לא דיברנו עליהם או ניסינו להגדיר" - באמת תמיד ישאר לנו א1 מאלה)

יש מספרים שהם באופן *עקרוני* לא computable? יש דוגמא?
בשם הבורים 311029
(אתה מבקש *דוגמה* למספר שאנחנו לא מסוגלים לחשב, ולכן על אחת כמה וכמה לא לתאר?)
בשם הבורים 311034
תודה.
בשם הבורים 311037
מרתק!
בשם הבורים 313473
ודאי שיש. לחשב זה הרבה יותר חזק מלתאר. למשל:
בשם הבורים 313475
כמו כן, לתת קישור זה הרבה יותר חזק מלעשות קופי-פייסט של כתובת.

בשם הבורים 313492
מגניב.
בשם הבורים 313507
אכן.
בשם הבורים 311044
אתה מנסה לבחון אם אני עקבי? :-)
בשם הבורים 311050
לא. באמת ובתמים לא הכרתי את זה (תוקן באדיבותך ובאדיבות גדי).
בשם הבורים 311052
ברור, רק תהיתי למה שאלת פעמיים (אחת בשביל "באמת" ואחת בשביל "בתמים"?)

(תגיד, אתה לא לומד/למדת/גם/רק מדעי-המחשב? אם לא, קבל את התנצלותי, אבל אם כן - מה לעזאזל מלמדים את הנוער בימינו? סי שארפ?)
בשם הבורים 311054
יש הבדל בין מה שמלמדים את הנוער לבין מה שהנוער לומד ממי שמלמד אותו (הפסקתי להגיע אל ההרצאות ב"מודלים חישוביים" לפני אמצע הסימסטר, תרם התחלתי ללמוד למבחן ואת הספר של Sipser בנושא התחלתי לקרוא רק בסוף השבוע שעבר). אבל נחמד שאתה מתעניין :)
בשם הבורים 311303
את עניין שורש 2 אכן שכחתי. מתנצלת. זה חלק מאוד לא מהותי ממה שאמרתי.
"לאורך כל הדרך התווכחתי רק על הטענה שהאי-רציונליים - *כל* האי-רציונליים - הם כאלה, לעומת הרציונליים שהם לא."
אתה שוכח שטענת, לפחות לגבי האי-רציונליים ש*אינם* קשים לידיעה, שאין שום הבדל מהותי חישובי/הכרתי ביניהם לבין הרציונליים. נראה לי שדוגמת הספרייה שהבאתי אמורה להראות שלרציונליים יתרון הכרתי/חישובי משמעותי על פני האי רציונליים. אחרת איך תסביר את העובדה ש*כל* חישוב של *כל* אחד לגבי *כל* עניין בחיים הממשיים מתחיל, כפי שאמרנו, ממספרים רציונליים - שהם מיעוט זניח מתוך הממשיים? (כלומר, *שום* חישוב כזה אינו מתחיל דווקא מאי-רציונליים).
אשר על כן, אינני רואה שאני נדרשת לשנות את טענתי באופן מהותי.
ולעניין תבניות היידע (וכל הג'ז/הפאנק הזה):
*אם* אני צודקת, ופתרון של בעיות מדעיות מהותיות פותח הרבה מאוד שאלות חדשות, אזי מטבעו של התהליך שהוא אינסופי ולא יסתיים לעולם (כלומר, לא סביר שיסתיים לפני "סיום" האנושות.) לכן, אותם חלקים של העולם (בכל התחומים. לא התכוונתי כאן רק למדעים "קשים") שעדיין לא נחקרו/פוענחו/נחשפו עד תקופה מסוימת יעלו תמיד בהרבה על אלה שכבר גלויים לנו באותה תקופה.
כעת, כיוון שליידע מדעי - גם בתחומים "רכים" יחסית של המדע - נחשב רק יידע שנתפס בפרמטרים רציונליים, ולחילופין - יידע שיש סיבות טובות לקבלו, כשהוא סותר את התפיסה הרציונלית הקיימת, מחייב את הרחבתה (ראה מכניקת הקוואנטים) - פירושו של דבר שהיידע החסר לנו בכל תקופה נתונה, לפחות בחלקו הגדול, שייך מבחינתנו למעין כאוס שלא החלנו/הרחבנו אליו עדיין את התבניות הרציונליות שלנו.1

1. (צר לי על הסרבול. זו פעם ראשונה שאני מנסה לנסח את זה שלא במסגרת דיאלוג).
בשם הבורים 311316
איך הגענו מ"סביר שלא יתכננו מראש תא שאורכו שורש שבע ורוחבו שורש שש" ל"*כל* חישוב של *כל* אחד לגבי *כל* עניין בחיים הממשיים מתחיל, כפי שאמרנו, ממספרים רציונליים"? כפי שאמרנו? מי אמר? אני לא יודע איפה חישוב "מתחיל", אבל היי סמוכה ובטוחה שכשמחשבים מסלול של חללית הרבה פעמים המספרים הראשונים המופיעים בחישוב הם אי-רציונליים למשעי.

"אותם חלקים של העולם... שעדיין לא נחקרו/פוענחו/נחשפו עד תקופה מסוימת יעלו תמיד בהרבה על אלה שכבר גלויים לנו באותה תקופה". כמו שאמרתי, אולי כן, ואולי לא. אני מבין שאת לא מתכוונת *רק* למדעים "קשים", אבל אם את מתכוונת *גם* למדעים קשים, זו דווקא נשמעת לי תחזית לא סבירה.

למשפט האחרון: אני לא יודע איך כאוס, או "מעין כאוס", שייך לכאן. אני לא יודע מה זה "פרמטרים רציונליים" - את מתכוונת ל*מספרים* רציונליים? אנחנו מדברים פה על אנלוגיה, על דמיון מקרי, או על דמיון לא מקרי בין תבניות ידע רציונליות למספרים רציונליים?
בשם הבורים 311327
אתה יכול לתת דוגמא נוספת, חוץ ממסלולים של חלליות (אינני יודעת עליהם מספיק) לחישוב "בחיים הממשיים" ש*מתחיל* ממספרים אי רציונליים?
אתה עדיין סבור ש*אין* הבדל מהותי חישובי ו/או הכרתי בין הרציונליים לאי רציונליים?

"כמו שאמרתי, אולי כן, ואולי לא." או.קיי.: אני אמרתי "אם". למעשה, הרבה קודם, בפתיל, אמרת משהו בסגנון "נניח שכן, אז...". אז בהנחה שכן, אני ממשיכה את המשפט.

כאוס הוא ההיפך מסדר, ולא הייתי אמורה להכניס אותו הנה (כי כדי להסביר למה כוונתי כאן צריך להיכנס לסיפור האונטולוגי, שזה ממש דיון מסוג אחר). "פרמטרים רציונליים" הם, פחות או יותר, קני המידה שלנו לרציונליות.

ו"אנחנו" מדברים פה על דמיון, מקרי או לא מקרי (אינני יודעת) בין:
1. הטענה שיש, וסביר שגם יהיו תמיד, יותר דברים שאינם ידועים לנו מאלה הידועים לנו - כלומר, יותר דברים שטרם "התיישבו" בתוך המערכת הרציונלית שלנו מדברים שעדיין לא מרושתים בה.
ובין:
2. העובדה שיש יותר מספרים אי רציונליים ממספרים רציונליים - כאשר המספרים האי-רציונליים, ברובם המוחלט, סביר שיישארו הרבה פחות נגישים לנו (או כלל לא נגישים לנו) מבחינה הכרתית, מאלה הרציונליים.
בשם הבורים 311333
אני לא מבין משהו. ממה שהבנתי, כל המספרים הניתנים לחישוב הם בני מנייה, ולכן לא נכון לומר שיש יותר אי רציונליים *שאיתם אנחנו מסוגלים לעבוד* מאשר רציונליים (מבחינת עוצמות, יש בדיוק אותו מספר). יש הרבה יותר אי רציונליים מהסוג שאותו אנחנו לא מסוגלים לחשב, אבל אף אחד לא מופתע שאנחנו לא מתחילים חישוב ממנו, נכון?
בשם הבורים 311346
איפה אמרתי (אם אתה טוען שאמרתי) שיש יותר אי-רציונליים שאתם אנחנו מסוגלים לעבוד מאשר רציונליים כאלה?
למיטב הבנתי, אלון טען שאין הבדל חישובי/הכרתי מהותי בין הרציונליים לאי רציונליים. אם הוא מגביל את זה (לא ראיתי את ההגבלה) לאי-רציונליים שניתנים לחישוב, אז או.קיי. יש באמת אותה עוצמה כמו של הרציונליים. ועדיין, משום מה, לא ראיתי בינתיים דוגמא של חישוב ממשי אחד (למעט, אולי, מסלולי חלליות) שמתחילים אותו ממספרים אי רציונליים. למה זה?
בשם הבורים 311352
אני זוכר במעורפל משהו עם ספריה וספרים בסינית ויפנית, ואיכשהו קיבלתי את הרושם שהבעיה הייתה שיש *יותר* אי רציונליים מרציונליים.

אגב, אני, אולי בניגוד לאלון, בכלל לא בטוח שיש חישוב (נומרי) כלשהו בעולם שמשתמש במספרים אי רציונליים, מהסיבה הפשוטה שכל המספרים שהמחשב יכול להכיל הם בעלי מספר סופי של ספרות, ולכן הם בהכרח רציונליים.

אני לא בטוח מה הכוונה ב"חישוב ממשי". אפשר דוגמאות של מה לדעתך צריך "לחשב" (חוץ ממסלולים של חלליות)? בשביל עודף במכולת די ברור שלא צריך אי רציונליים.
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311369
סרגל החישוב‏1 שהיה לי פעם היה מתעסק עם אירציונליים בחדוה רבה. למעשה אני יכול להכריז בוודאות גמורה שכל המספרים שהוא עבד איתם היו כאלה, ורק אני הייתי מתרגם אותם למשהו רציונלי בסוף התהליך בגלל מגבלות טכניות.
______________
1- מחשב אנלוגי עממי שהיה נפוץ בתקופת הדינוזאורים
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311373
אחד הסממנים הבולטים של הדינוזאורים היו, אכן, אי-רציונליות מחושבת היטב.
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311416
אתה לא זה ששכנע אותי בדיון על זנון שהעולם דיסקרטי? בעולם דיסקרטי, אין מקום למספרים אי רציונליים על סרגלי חישוב, דומני.
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311447
חס וחלילה לי מלטעון טענה משונה כזאת. כל מה שתרמתי בדיון ההוא היה לענות על הערה קטנה שלך לאריק, בה אמרת שאתה לא רואה איך בעולם דיסקרטי הבעיה נפתרת. את זה ניסיתי להסביר, בלי לטעון שום דבר לגבי הרישא.

מלבד זאת, גם בעולם דיסקרטי אני לא רואה סיבה שאחת השנתות של הסרגל נופלת בדיוק על פיי או על e. מישהו קבע שאסור ל"אטום חלל" (ואני *לא* אומר שקיים דבר כזה) להיות על גבול אירציונלי?

לסיכום: שוב שופכים את דמי. אין לי שום עמדה בשאלה אם המרחב דיסקרטי או רציף, ואני אפילו מסרב לנחש את התשובה (לא רוצה להסתכסך עם איינשטיין ולא עם וויטן).
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311475
אם אטום חלל נופל בדיוק על e, זה אומר שקיים מספר שלם של אטומי חלל בין e ובין ראשית הצירים. למספר הזה נקרא x. עכשיו, נספור כמה אטומי חלל לוקחים עד שמגיעים ל-‏1 (אני מניח כי אטום חלל נופל בדיוק על e) ולמספר הזה נקרא y. עכשיו, x/y זה בדיוק e, ומצד שני גם x וגם y הם מספרים שלמים. קיבלנו ש-e רציונלי.

(אגב, הניסוח המקורי של הבעייתיות שבמספרים אי רציונליים היה בדיוק זה - היוונים שמו לב לכך שיש שני אורכים שאין להם מידה משותפת, כלומר אורך כלשהו ששני האורכים הם כפולות שלו)
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311556
מנין לך שיש מספר שלם של אטומי חלל בין הראשית ל 1? אם יש כזה, ממילא הוכחת שהקוטר‏1 שלהם רציונלי בלי צורך בכל האריתמטיקה שעשית.

(אזהרה: אם המתמטיקה שלי דפוקה, אני מתכוון לשלוף בסוף את האס מהשרוול: מי אמר בכלל שכל אטומי החלל הם באותו גודל?)
__________
1- או האורך, או מה שלא יהיה שם.
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311558
אם אין מספר שלם של אטומי חלל בין הראשית ל-‏1 או אם אטומי החלל לא באותו גודל, ניצחת אותי, אבל תצטרך לספק הסבר איך מצליחים לבנות סרגל מדוייק תחת ההנחות הללו.
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311562
לא הבנתי את הבעיה. אני לוקח 300^10 אטומי חלל, נניח כרגע שהם זהים, שם אותם בשורה, ובמקום אליו הגיע האחרון שבהם אני חורץ חריץ קטן, ורושם לידו "1". אני חוזר על זה מאותו חריץ הלאה והלאה ומקבל את הסרגל המבוקש.
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311569
זה רק אני או שעשית כרגע בדיוק את מה שאמרתי ש*אי* אפשר לעשות: גם הנחת שכל האטומים זהים בגודלם, וגם הנחת שיש מספר שלם של אטומי חלל בין הראשית ל-‏1?

מילא. נניח שעשית את זה. עכשיו, איך אתה מסמן את e (בדיוק! לא בערך) על הסרגל שלך?
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311575
מוחקים את ה-"1" שסימן השכ"ג וכותבים במקומו e.
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311580
נהדר. ועכשיו, איך תסמן "1" על הסרגל הזה?
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311590
לא תסמן עליו "1". יש סרגל של E ויש סרגל של 1.
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311592
אז שני הסרגלים הללו איזומורפיים, ושניהם מתעסקים במספרים רציונליים, רק שאחד מעמיד פנים שהוא לא על ידי זה שהוא קורא ל-"1" בשם "e".

אם תרצה לדקדק, הרי שסרגל החישוב (זה שאני מכיר, שכופל ומחלק), במקום שיעבוד עם מספרים רציונליים, יעבוד עם כפולות רציונליות של e. מכיוון שעם סרגל החישוב של e לא יהיה לך מושג מה הערך של e, זה לא ממש משנה.

מה שכן, הבנתי שיש סרגלי חישוב שאפשר לחשב בהם לוגריתמים (לא שאני יודע איך עושים את זה). מכיוון שהלוגריתם הטבעי של e הוא 1, נראה לי שכן צריך להיות מסוגלים לסמן 1 על הסרגל (וממילא שני הסרגלים שהוצעו לא איזומורפיים לפעולת הלוגריתם, כי הלוגריתם של 1 הוא 0).
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311900
השאלה היא אם בסרגל החישובי מחשבים דווקא לוגריתמים ''טבעיים''.
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311959
בזכות נוסחת המעבר בין הבסיסים, אני לא בטוח שזה משנה.

(אגב, נראה לי שהמרכאות מיותרות - הלוגריתם ה''טבעי'' הוא באמת טבעי).
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311979
כשנפגוש חייזרים אינטליגנטיים באמת, בטח יתברר שיש להם e אצבעות בכל יד.
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311983
e אפשי.
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 312003
סליחה, מה זה? (את זה שזאת בדיחה הבנתי, אבל מה הפירוש המילולי המדוייק?)
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 312004
e=אי
אי אפשי (בארמית) = אין רצוני, איני רוצה
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 312013
הה, אם כך למדתי משהו. חשבתי שזה ''אי אפשר'' בארמית.
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 312015
תודה. (התבלבלתי דווקא משום שלמדתי את הפירוש הנכון, בניגוד למה שהשוטה חשב)
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311987
חוששתני שאז יתגלעו בינינו e הבנות.
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311990
כמה e רציונלי מצידם.
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311989
"הלוגריתם ה"טבעי" הוא באמת טבעי"? כלומר?
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 312147
הדוגמה הטובה ביותר שאני מכיר היא זו של הנגזרת: הנגזרת של הלוגריתם על פי הבסיס הטבעי (כלומר של lnx) היא אחד חלקי x. בכל בסיס אחר, הנגזרת הזו תוכפל בקבוע כלשהו. יתר על כן, הקבוע הוא בדיוק אחד חלקי הלוגריתם הטבעי של הבסיס האחר.
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 312154
נו כן, ל-e יש כמה וכמה תכונות מופלאות, אבל לא הייתי אומרת שזה הופך את הלוגריתם לפיה לטבעי. (אבל עזוב, זה סמנטיקה...):)
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311724
אני כתבתי 1? למה שאכתוב 1? נשבע לך שכתבתי e ורק השדים האינטרנטיים שינו את זה.

(טוב, יכול להיות שבזמן שכתבתי חשבתי על כך שבטח ישנו את יחידות האורך כך שאורכו של אטום החלל יהיה בדיוק 1 אלכסנדרוביץ' - אל תשאל אותי למה יבחרו דוקא את השם המשונה הזה - ואנחנו חוזרים לסרגל עם מס' רציונליים, כמו שאתה אוהב)
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311738
אז אני אשאל את אותה שאלה ששאלתי כבר בהמשך הפתיל: אם סימנת e על הסרגל הזה, איך אתה מסמן עליו את 1? ואם אתה לא מסמן עליו את 1, מה בעצם עשית?
אתה בחור דיגיטלי בעולם אנלוגי 311741
אתה מסמן עליו "~1" שפירושו: המספר הכי קרוב ל 1 שאני מסוגל לסמן על הסרגל הזה. מה לעשות? אם יש לי עליו סקלה אי-רציונלית אני לא יכול לסמן עליה 1. מה שלא פחות חמור אפילו את פיי אני לא יכול לסמן שם (יש בטח הוכחה שהיחס בין פיי ואי אינו רציונלי).

אבל אתה צודק, כל העסק לחלוטין לא רציונלי. בעולם דיסקרטי ניאלץ להסתפק בקירובים עבור מס' אי רציונליים אם אנחנו רוצים לסמן אותם במרחב, שכן ההתאמה היפה בין הממשיים לקו ישר אינה ניתנת להעתקה טובה על "קוים" פיזיקליים דיסקרטיים. מעשית זה לא ישנה כלום, כמובן, שכן אנחנו מדברים על גדלים קטנים מאד.
הצעה לפתרון 311644
לא נראה לי שיש ממש בעיה. אנחנו אמנם "צועדים" מספר אטומי חלל שלמים בין ראשית הצירים לבין e, אבל *המיקום* של כל אטום חלל נתון לעקרון אי-הודאות. משום כך, עלינו להגדיר את המיקום שלו בצורה אחרת - כזו שתביא לידי חשבון את ריכוז פונקציית הגל שלו. לדוגמה - מרכז האזור הרציף בו ערך האינטגרל על ריבוע פונקציית הגל (בקיצור - הסיכוי למצוא אותו שם) הוא 20^1-10. בקלות נגלה שקיבלנו מספר אי רציונלי בתור המיקום של אטום החלל, ויש לנו סרגל אי רציונלי (ומציאות דיסקרטית אבל בעלת גדלים אי רציונלים).
בשם הבורים 311372
בספרייה היו, אכן, הרבה יותר אי רציונליים מרציונליים. כפי שאמרתי לך, לא ראיתי בשום מקום שאלון הגביל את ''שוויון ההזדמנויות'' שלו בין הרציונליים לאי-רציונליים רק לאותם אי רציונליים שניתנים לחישוב.
צריך לחשב גדלים של חללים, כמויות של חומרים, אורכים של כבישים... הרבה מאוד דברים, נראה לי.
בשם הבורים 311417
טוב, כל החישובים הללו הם של גדלים שמקורם בנתונים אמפיריים (ממדי החלל, הכמויות הראשוניות של החומרים, אורכים של מקטעים שונים בכביש), ומכיוון שאנחנו לא מודדים גדלים אי רציונליים, מן הסתם לא נתחיל עם מספרים אי רציונליים.

מצד שני, אלון דיבר על חישוב של טרנספורם פורייה וכדומה, שבהחלט משתמש במספרים אי רציונליים בתור נקודת מוצא אנליטית. אני לא מבין גדול בתחום ולא יודע מה השימושים של טרנספורם פורייה, אבל שמעתי שמועה שהוא נפוץ בתחומים זניחים כמו הנדסת חשמל, למשל.
בשם הבורים 311449
וכנראה גם בתחומים זניחים לא פחות של השמיעה, מה שאומר שאפילו החתול שלי יודע לעשות חישובים כאלה!
בשם הבורים 311868
נאה. אבל כיוון שגם חישובי טרספורם פוריה (יהיה אשר יהיה) מחושבים, כפי הנראה לצרכים אמפיריים, הרי שמספרים הרלוונטיים לא יופיעו בו כמספרים אי-רציונליים - אלא כקירובים רציונליים שלהם.
בשם הבורים 311886
בחישוב טרנספורם פורייה, עד כמה שאני למדתי, מופיע לעתים קרובות פאי בתור קבוע נירמול, לא בתור חלק מנתוני הפונקציה שאת הטרנספורם שלה מחשבים. לכן החישוב הבסיסי כבר מסתמך על פאי.
בשם הבורים 311888
מה זה "קבוע נירמול"?
בשם הבורים 311891
זה טיפה טכני ואני לא בקיא לחלוטין בפרטים. הרעיון הבסיסי בטרנספורם פורייה הוא לייצג פונקציה באמצעות פונקציות "בסיסיות" - כאלו שמהוות מה שמכונה בסיס אורתונורמלי. בשביל זה צריך שהנורמה (האורך) של הפונקציות הללו (שהן איברים במרחב וקטורי) תהיה 1. לכן כופלים אותן בקבוע שמבטיח את האורך הזה.

נראה לי שכאן העניין מוסבר יותר טוב משאני יכול להסביר:

בשם הבורים 311382
חישוב *נומרי*? לא, זה לא בניגוד אלי.
בשם הבורים 311349
את עדיין סבורה ש*יש* הבדל מהותי חישובי ו/או הכרתי בין הרציונליים לאי רציונליים? חשבתי הסכמנו כבר שראוי להחליף "רציונליים" ב"ניתנים לחישוב", או "ניתנים להגדרה", או משהו.

אין שום דבר מיוחד בחישוב מסלול של חלליות; כל דבר ב"חיים הממשיים" המצריך שימוש במודלים מתמטיים (ויש כאלה פה ושם, את יודעת), סביר שיהיו בו חישובים ה"מתחילים" ממספר אי-רציונלי. אם הסכמת איתי שאין בשורש שתיים, או בפאי, שום דבר יותר בלתי-נגיש מאשר ב-‏65/536, אז למה זה נשמע לך כל כך לא סביר?

אשר לדמיון שאת מציגה - עשינו את כל הסיבוב הארוך הזה וחזרנו לנקודת-ההתחלה: לא, אני לא רואה כל דמיון בין הטענות, לא לא-מקרי ואפילו לא מקרי. את טענה 1 אני, כאמור, לא ממש מקבל; טענה 2 היא טריוויאלית, ונדמה לי שאת קוראת בה יותר ממה שיש בה באמת.
בשם הבורים 311354
אלון, הרציונליות של מספר תלויה הרי רק בספרות שאחרי המליארד הראשונות, וחישובים (מכל סוג שהוא) מתחילים במספרים שיש להם מליארד ספרות עשרוניות ותו לא. על מה הדיון הזה, בעצם?
בשם הבורים 311362
ברור. אבל אם אני מבקש מ-Maple לעשות עבורי איזה טרנספורם פורייה, יש סיכוי לא קטן שאשים שם ממש ממש בהתחלה איזה פאי - פאי-פאי, לא את הרישא של הפיתוח העשרוני שלו - והתוכנה תמשיך לחשב איתו כפאי, סימבולית. אתה יודע, תחלק אותו בשניים, יצא פאי-חצי, תיקח סינוס, יצא *בול* אחד, כאלה דברים.

על מה הדיון, נדמה לי: יש כאן טענה שבני-אדם מסוגלים "להכיר" רק מספרים רציונליים, ואם הם נגררים להשתמש באי-רציונליים זה רק בגלל שהחישוב הכריח אותם, לא כי הם רצו להתחיל ככה. ואח"כ יש טענה שזה קשור (באופן מקרי או לא מקרי) למוגבלות הידע האנושי.
בשם הבורים 311368
לא, לא הסכמנו. לפי מה חשבת?
"כל דבר ב"חיים הממשיים" המצריך שימוש במודלים מתמטיים (ויש כאלה פה ושם, את יודעת), סביר שיהיו בו חישובים ה"מתחילים" ממספר אי-רציונלי." למשל? איזה?
לא נשמע לי מאוד סביר "להתחיל" משורש 2. לא ידוע לי על בנייה שמתחילים אותה מהאלכסון.
אשר לדמיון - כל אחד רואה דמיון בדברים אחרים. זה לא דבר מאוד מדעי. רק לא ברור לי מה, לדעתך, אני קוראת בטענה 2 מעבר למה שיש בה.
בשם הבורים 311379
כל פעם שמהנדס משתמש בטרנספורם-פורייה - וזה קורה בערך מיליון פעמים ביום, נניח כשבונים רכיב לעיבוד-אותות שיושב לך במערכת הסטריאו - החישוב שלו מתחיל עם פאי. ככה זה.

כשלוקחים לוגריתם טבעי - נניח, כשעושים חישוב כלכלי מקורב עם ריבית-דריבית - יש שם e. על ההתחלה.

כשארכיטקט מתכנן מלבן יפה, הוא לעיתים ישתמש בשורש חמש *ממש* מההתחלה, כצלע במלבן, לא כשהוא יחשב איזה אלכסון.

כשמנתחים מעגל חשמלי שיש בו סליל או קבל, משתמשים ב-i (ההוא שהריבוע שלו מינוס אחת); מספר שהוא לא רק אי-רציונלי, הוא אפילו לא ממשי. זה קורה ממש ב"חיים הממשיים" (אלא אם חיים של מהנדס הם בעיניך לא חיים).

עוד דוגמאות?

אני לא בדיוק יודע מה את קוראת בטענה 2, אבל הקישור שלה לטענה 1 חורג ממידותיה.
בשם הבורים 311418
מה הצרה כאן? שהקבועים שאתה מדבר עליהם כאן הם פחות או יותר יחידת העילית של המספרים האי רציונליים. החוכמה היא שתביא דוגמה לשימוש יומיומי בחבר'ה שלא מככבים בנוסחת אוילר או פיבונאצ'י. למשל: מתי שווה לי להתחיל חישוב עם שורש עשרים ושלוש במקום עם 4.8?
בשם הבורים 311423
למה זו "צרה", ולמה זו "החוכמה"? איפה השופט, אני צריך לדבר איתו.

חוץ מזה, "פאי" זה לא רק פאי, אלא גם כל כפולותיו הרציונליות (כשם שמישהו בוחר את 17/73 במקום את 1, הוא יכול לבחור את פאי כפול 17/73 במקום את פאי). למה חשוב למצוא עוד כאלה? בכל אופן, הרבה חישובים (אפילו כאלה שיצא לי לעשות) מתחילים מסינוס 36, לן 2, איזשהו ערך של פונקציית בסל, והערך של פונקציית האנטרופיה ב-‏1/3. באמת צריך עוד?
בשם הבורים 311424
מהי פונקציית האנטרופיה?
בשם הבורים 311432
-p*log(p)-(1-p)*log(1-p)
log לפי בסיס 2.
בשם הבורים 311434
תודה, אבל לא התכוונתי לפונקצייה אלא למשמעות. האם מדובר בקצב שלה?
בשם הבורים 311519
זו פונקציה בסיסית בתורת-האינפורמציה. יש לה כל מיני משמעויות - למשל, הקצב בו ניתן להעביר מידע בערוץ רועש.
בשם הבורים 311425
סינוס 36? למה דווקא 36? (רדיאנים או מעלות?)

למרבה המזל אין כאן שופט, אבל אולי דווקא בגלל זה כדאי לנסות להימנע מחוקים נוקשים. אני חשבתי שהדיון הזה סובב סביב הטענה שבאופן כללי, מספרים אי רציונליים נפוצים פחות בשימוש אצלנו מאשר מספרים רציונליים, ושהמדד הוא לא מספר הפעמים שבהם משתמשים במספר מסויים, אלא מספר המספרים השונים שמשתמשים בהם. מצד שני, אני פחות או יותר בצד שלך בדיון הזה, ואני לא בטוח שהבנתי בעצמי מה בדיוק רוצים כאן.
בשם הבורים 311511
"נפוצים פחות בשימוש" - נו, על זה לא ממש כדאי להתווכח, לא? הטענה היתה, באיזשהו שלב: "*כל* חישוב של *כל* אחד לגבי *כל* עניין בחיים הממשיים מתחיל, כפי שאמרנו, ממספרים רציונליים - שהם מיעוט זניח מתוך הממשיים? (כלומר, *שום* חישוב כזה אינו מתחיל דווקא מאי-רציונליים)". ניסיתי לשכנע שזה לא ממש המצב. נראה שנכשלתי.

למה 36? לא שיחקת אף-פעם בחצים ועפיפונים? (חוץ מכמה התחלקויות, פנרוז הזה דווקא בחור נבון).
בשם הבורים 311542
האם מהשורה האחרונה אני צריך להסיק שאתה חושב שאני מכיר מתמטיקה (או לחילופין, חצים ועפיפונים, או את פנרוז)? תודה, אני חושב שאני מוחמא.

(אין לי מושג על מה אתה מדבר שם).
בשם הבורים 311548
...וגוגל מת? ויקיפדיה נשרפה? מרטין גרדנר נשכח מלב?

תהיה נחמד, קנה את הספר האחרון וקרא אותו. איפה אתה חושב ללמוד מתמטיקה, באוניברסיטה?
בשם הבורים 311513
"חוץ מזה, "פאי" זה לא רק פאי, אלא גם כל כפולותיו הרציונליות".
העניין הוא שכפולותיו הרציונליות, אם אינני טועה, הן רציונליות, לא?
בשם הבורים 311516
אופס, מחק נא.
בשם הבורים 311383
אה, למה חשבתי שהסכמנו: כי כתבת פעם "חוץ מכמה יוצאי-דופן בודדים אי-רציונליים", או משהו כזה. אז חשבתי לתומי שהסכמנו. ציינתי גם אח"כ שיוצאי-הדופן הללו הם לא כל כך בודדים.
בשם הבורים 311025
כמו שאלון אמר: זה קורה בכל ריבוע. זה נובע ישירות ממשפט פיתגורס. האלכסון הוא תמיד שורש של (X^2+X^2) וזה תמיד (שורש 2) כפול X. לכל אורך צלע X.
בשם הבורים 311189
תודה. אמת. שכחתי.

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים