בתשובה לאריק, 22/06/05 3:03
אין למדען אלא מה שעיניו רואות 310859
עוזי ו. • בתשובה לאריק יום ד', 22/6/2005, 10:11
‏1 זה לא מפתיע שפאי מופיע במשוואות בשכיחות גבוהה יותר מאשר, נאמר, 5. את ההסבר צריך לחפש במשוואות דיפרנציאליות: אין הרבה משוואות פשוטות יותר מ- y"+y=0. הפתרונות למשוואה הזו הם הפונקציות סינוס וקוסינוס - אבל רק אם מתייחסים אליהן כפונקציות ברדיאנים, כלומר עם מחזור שני פאי. בכל פעם שהתאוצה תלויה ביחס הפוך במקום, פאי נדחף לפתרון כאילו בלי הזמנה.
גם את הקבוע e אפשר למצוא במקומות לא צפויים (למשל תורת המספרים) מאותה סיבה: הפתרון למשוואה y'=y הוא פונקציה אקספוננציאלית a^x, דווקא כאשר a=e. לכן הפיתוח לטור טיילור של e^x מתחיל ב- 1+x ולא 1+5.2x, ולכן הטור ההרמוני (1 ועוד חצי ועוד שליש ... ועוד אחד-חלקי-n) מסתכם דווקא ללוגריתם לפי בסיס e של n (ועוד קבוע).
בשני המקרים, פאי ו-e *מוגדרים* לפי הפונקציות שפותרות את המשוואות הדיפרנציאליות האלה, מה שאמור לעמעם קצת את התחושה שקרה כאן נס.
אין למדען אלא מה שעיניו רואות 310960
אריק • בתשובה לעוזי ו. יום ד', 22/6/2005, 21:35
תודה על ההסבר,

ובכ"ז מה שלך נראה טריויאלי - הפתרונות למשוואה הזו הם הפונקציות סינוס וקוסינוס ברדיאנים - לי נראה מופלא.

כמה סוכר ?
אין למדען אלא מה שעיניו רואות 311106
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה לאריק יום ה', 23/6/2005, 13:16
למה זה מופלא? זה מופלא אולי רק מהבחינה הזו שיש קשר בין הפתרונות הללו לפונקציות שמוגדרות על פי יחסי צלעות במשולש, אבל אם חושבים קצת לעומק, רואים שהקשר לא מקרי כל כך (ושההגדרות של סינוס וקוסינוס לא חייבות להתבסס על משולש).
אין למדען אלא מה שעיניו רואות 311108
easy • בתשובה לאריק יום ה', 23/6/2005, 13:23
זה בכלל לא מופלא. רדיאנים זו היחידה הטבעית למדוד זוויות. ערך הזווית ברדיאנים שווה לאורך הקשת של מעגל היחידה.
חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא
מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים
האייל הקורא RSS מאמרים | כתבו למערכת | אודות האתר | טרם התעדכנת | ארכיון | חיפוש | עזרה | תנאי שימוש והצהרת נגישות © כל הזכויות שמורות