בתשובה לפישר, 05/08/00 2:46
חידה מאוד קלה 310938
זה לא בהכרח נכון ש אפס*אינסוף=אינסוף
למשל: חשב את הגבול של xlnx כאשר x שואף לאפס ותקבל שהגבול הוא אפס...

ויש עוד הרבה דוגמאות כאלה (למעשה יש אינסוף דוגמאות כאלה...)
חידה מאוד קלה 310939
אינטואיטיבית, לי זה נראה בדיוק ההפך ממה שהוא אמר: קח אפס ותחבר אותו לעצמו אפילו אינסוף פעמים. לא נראה הגיוני שתקבל משהו שהוא לא אפס. (אולי אפשר להוכיח את זה באינדוקציה טרנספיניטית?)

כמובן שעם גבולות זה יותר מעניין ואפשר לקבל תוצאות לכאן או לכאן, אבל זה רק כי אנחנו "מרמים" ולא באמת מחברים את אפס אינסוף פעמים, אלא מספרים קטנים מאוד אינסוף פעמים (כן, גם זו לא אמירה מדוייקת לגמרי מתמטית).
חידה מאוד קלה 313477
"אולי אפשר להוכיח את זה באינדוקציה טרנספיניטית?"

זו היתה שאלה רצינית, או הומור רטורי? (רק שאבין אם יש טעם לענות).
חידה מאוד קלה 313493
הומור, כי אני לא באמת יודע מה זו אינדוקציה טרנספיניטית. מה שכן, אני באמת סקרן: אפשר להוכיח שסכום של אינסוף אפסים הוא אפס? (באינדוקציה רגילה, דומני, אפשר להוכיח רק שסכום של מספר סופי כלשהו של אפסים הוא אפס).
חידה מאוד קלה 313494
טוב, רגע, בגישה הרגילה שלנו לסכומים אינסופיים (פשוט להתעסק עם סכומים חלקיים) ברור שאפשר לעשות את זה. אני לא בטוח שלזה כיוונתי בהודעה המקורית, אבל כרגע לא ברור לי למה כיוונתי. אם יש לך תשובה לסכומים לא בני מניה (תהיה משמעותם אשר תהיה) זה יהיה מעניין.
חידה מאוד קלה 313501
אי-אפשר להוכיח (באינדוקציה טרנספיניטית או בכל דרך אחרת) כלום על סכומים אינסופיים (של אפסים או של כל דבר אחר) לפני שעושים משהו אחר: *להגדיר* מהו סכום אינסופי. שגיאה נפוצה היא להניח שמכיוון שאנחנו יודעים מה זה a+b, ולכן מה זה a+b+c+d+e, אז הערך של a+b+c+d+e+... כבר נקבע בעבורנו ואנחנו רק צריכים לגלות מהו, או להוכיח לגביו דברים. זה פשוט לא כך: סכום אינסופי הוא פונקציה לא מוגדרת של אינסוף משתנים, ואפשר להגדיר אותה בכל מיני דרכים, יותר או פחות שימושיות, ולא כולן מתלכדות תמיד.

אם תאמר לי איך אתה מגדיר סכום של (סודר כלשהו של) מספרים - ואתה מסתמא תשתמש באינדוקציה טרנספיניטית בהגדרה - אני אוכל להשיב לך על השאלה, מהו סכום של מספר לא בן-מנייה של אפסים, כנראה גם באינדוקציה טרנספיניטית. התשובה עשויה להיות תלויה בסודר, ולא רק בעוצמה. אם אתה מכיר קצת סודרים (סודר עוקב וסודר גבולי), אתה יכול להמציא די בקלות הגדרות טבעיות לסכום של טורים וגבולות של סדרות בהקשר המתאים. אחרי שתעשה זאת, תוכל לחשב את הסכום של המון-המון אפסים (סביר שיצא אפס).

(טעות אחרת, הקשורה לפתיל הזה, היא לחשוב שכדאי להגדיר את אפס כפול אינסוף כתוצאה של החשבון הזה. מסיבות שאני חושב שאתה מכיר, לא כדאי להגדיר את אפס כפול אינסוף בכלל).
חידה מאוד קלה 313503
אני לא בטוח שאני מכיר, ואני תמיד שמח לשמוע עוד נימוקים נגד הזיווג הנלוז בין אפס ואינסוף.
חידה מאוד קלה 313557
הבעייה הבסיסית היא שכפל של שני אובייקטים הוא מושג חסר-טעם אם הוא אינו משתלב באיזשהו אופן עם מושגים אחרים, נניח שטח בגיאומטריה, או סכום ומכפלה של אובייקטים אחרים באלגברה כשמתקיימים כללים אלגבריים נוחים מסויימים (כמו חוק הפילוג). אני יכול להגדיר ש-מ' כפול ו' זה ס', אבל מה יצא לי מזה? במקרה שלנו, לא קיימת דרך להגדיר את המכפלה הזו באופן שיהיה בה איזשהו טעם אנליטי (גבול של מכפלת פונקציות, למשל) או אלגברי (להרחיב את הממשיים לשדה הכולל את אינסוף, נניח). כל אחד רשאי להגדיר את 0 כפול אינסוף להיות פאי, אבל לא ברור איזה טעם יש בהגדרה כזו.

לפעמים זה סתם נוח להגדיר את 0 כפול אינסוף כ-‏0, כדי לחסוך קצת מלל בניסוח טענות - זה קורה בתורת המידה, למשל.

<מנטרה> בכל מקרה, להתווכח על ה"ערך" של 0 כפול אינסוף כאילו שיש לזה איזשהו מובן אובייקטיווי (למשל כשמנתחים תנועה של חץ) זה בדיוק כמו להתווכח על האם מספר הנקודות במשחקון ראשון בטניס צריך באמת להיות 15. </מנטרה>
חידה מאוד קלה 313558
למה באמת מספר הנקודות הוא 15? שמעתי שמועות לפיהן פעם נתנו נקודה אחת בפעם, אבל אז המשחקים נמשכו שלושה ימים במקום שלוש שעות, והסתיימו לרוב במותו של אחד השחקנים. יש בזה משהו?
חידה מאוד קלה 313559
באיזה מין משחקים מדובר? "הסתיימו לרוב במותו של אחד השחקנים"? לא מוגזם?
חידה מאוד קלה 313561
אל תסמוך אף פעם על הודעות שצירוף המילים ''שמעתי שמועות'' מופיע בהן.
חידה מאוד קלה 313563
שמעתי את זה.
חידה מאוד קלה 313564
אולי זה היה נכון בתקופה בה הזורק בבייסבול היא רץ בעצמו אל החובט, שהיה מעיף לו את הראש עם האלה. רק אחר-כך מישהו עלה על הפטנט, אולי כדאי לזרוק כדור במקום.

בחייך.
חידה מאוד קלה 313577
השאלה עדיין עומדת: מה הסיבה שזה דווקא 15? הנימוק הוא ככל הנראה אנקדוטלי, אבל זה עדיין מסקרן.
חידה מאוד קלה (כה''ב) 313589
לא חידה שעורך הטריוויה היה מקבל.

חידה מאוד קלה (כה''ב) 313631
ובעברית:
חידה קלה מאוד 314633
עשרים תגובות ורק לי מפריע שהכותרת היא בעברית מאונגלת להחריד?
אני הופך לדודה פולנית או מה ?
חידה מאוד קלה 314838
אני לא יודע למה 15, אבל יש לי הרגשה שאת כל שיטת הספירה פיתחה אישה. גם אשתי מדי פעם מגוונת, ובמקום לקרוא לי "אפס" כהרגלה, קוראת לי "Love".
חידה מאוד קלה 313528
מה זה "סודר עוקב" ו"סודר גבולי"?
חידה מאוד קלה 313537
חידה מאוד קלה 313539
תודה.:)

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים