 |
|
 |
||
|
||||
 |
גם אני בטח כבר עשיתי זאת עד-זרא, אבל הנה סיכום קצר: 1. בראשית היו המספרים הטבעיים. 2. אח"כ באו לוגיקה, תורת המודלים, תורות פורמליות כמו PA ו-ZFC וחברותיהן. 3. אח"כ באו קבוצות שרירותיות, שאינן עולם "אבסולוטי" (במובן שכל דבר לגביהן הוא או נכון או לא נכון), אלא (כמו שאמרת) שיש הרבה עולמות אפשריים. אני מוכן להמר שלא נוכל למצוא לעולם סיבה ממש-ממש-טובה לקבל את קיומו של קרדינל מדיד, או לדחות את השערת הרצף, או אפילו להסכים אם V=L או לא. אני חושב שזה די דומה לשלך, חוץ מזה שאני מעניק למספרים הטבעיים (בניסוחים מסדר ראשון) מעמד ראשוני; פשוט, קצת קשה לי לראות איך מתחילים את התהליך הזה אחרת (דיברנו על זה פעם. צריך להגדיר "שפה", "הוכחה", וכו'... בלי טבעיים? ואיך מתחילים את תורת-המודלים, בפרט מודלים של ZF, אם אין לפחות קבוצה אינסופית אחת out there?) |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
תגיד, כל קבוצה שמקיימת את PA אפשר לקרוא לה "מספרים טבעיים"? אז אולי אפשר לשים את 2 לפני 1? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חס ושלום! יש ל-PA מודלים "לא סטנדרטיים", שבהם יש מספרים "אינסופיים", כלומר מספרים הגדולים מכל מספר טבעי. (הוכחה זריזה: דמיין שאתה מוסיף ל-PA את אינסוף האקסיומות "יש x הגדול מ-0", "יש x הגדול מ-1", "יש x הגדול מ-2" וכו'. אי-אפשר להוכיח סתירה מאוסף סופי של האקסיומות הללו, כי תמיד יש באמת x כזה; לכן אי-אפשר להוכיח סתירה מכל האוסף האינסופי הזה, כי כל הוכחה כזו היא (בהגדרה) סופית ולכן משתמשת רק בחלק סופי של האקסיומות. מכאן שלאוסף החדש של אקסיומות יש מודל, והמודל הזה הוא כמובן גם מודל של PA, ובמודל הזה יש x הגדול מכל מספר טבעי). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה במודל החדש יש x הגדול מכל מספר טבעי? האקסיומות שלך אומרות שלכל n יש x גדול ממנו, לא שיש x שגדול בבת אחת מכל ה-n-ים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוף, אני צריך להפסיק לשלוח תגובות ברבע לחמש לפנות בוקר. סליחה. עושים זאת כך (נראה לי, אני עדיין די עייף מהלילה הזה): מוסיפים לשפה עוד קבוע, נקרא לו "ת" (בדומה לקבוע "0" שכבר יש בה), ונוסיף אקסיומות "0<ת", "1<ת", "2<ת" (ליתר דיוק ""0<ת") וכו'. ההמשך כמקודם. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל אם הוספת קבועים חדשים, זו כבר לא אותה שפה. למה אתה ממשיך לקרוא ליצור החדש PA? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הרעיון הוא שיש מודל לתורה החדשה (עם הקבוע הנוסף) ובפרט שהו מודל גם לתורה הישנה (PA) עם תכונה נוספת ו-"לא טבעית": יש מספר שגדול מ-0,1,2, וכו'. כמובן שאת התכונה הזו לא ניתן להביע באמצעות פסוק בשפה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(אם התשובה של אורי לא ברורה) אני לא קורא ליצור החדש PA. ה*מודל* של המערכת החדשה הוא קבוצה המכילה את 0, 1, 2, ... וגם את החדש הזה "ת" (ועוד הרבה מספרים אחרים, מסיבות שאני יכול להסביר), והמודל הזה הוא *גם* מודל של PA. זה מה שרצינו להוכיח: יש ל-PA מודלים לא סטנדרטיים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ובמודל הסטנדרטי של PA אין אינסוף? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במודל הסטנדרטי של PA יש אינסוף מספרים, אבל אין מספר "אינסוף" - יש רק המספרים המוכרים: 0, 1, 2, 3, 4, וכו'. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |