בתשובה לעוזי ו., 27/07/05 2:11
בעד הפלטוניזם 320052
בשפה הפסיכולוגית שדיברת עליה קודם. אם הוכחה שהפתירות שלה לא כריעה זה אומר שיש מודל ל-ZFC בו יש מספר טבעי (בהכרח לא "סטנדרטי") שמהוה פתרון. מצד שני, יש מודל אחר בו אין פתרון.

פסיכולוגית, אני (אתה.אנחנו) לא אוהבים טבעיים לא סטנדרטים ומעדיפים להניח שאין כאלה.
בעד הפלטוניזם 320057
זו דוגמא שצריכה להיות מוכרת יותר. חשבתי שכל ההוכחות המתמטיות מתנסחות ב- ZFC בהנתן מספיק סבלנות.
בעד הפלטוניזם 320061
רגע אחד. "תהי f משוואה שהפתירות שלה לא כריעה ב- ZFC" זו הנחה הגוררת גם ש-ZFC עקבית, והייתי צריך להדגיש זאת קודם. כלומר, אם אתה רוצה לראות בהוכחה שלך הוכחה פורמלית באיזושהי מערכת (עם איזושהי שפה), אתה צריך להניח שאותה מערכת מוכיחה גם את עקביות ZFC. זה לא שונה בהרבה מההוכחה של השערת גולדבך מתוך ההוכחה שההשערה אינה תלויה ב-PA.

את הטיעון שלך אפשר, לדעתי, בהחלט *לנסח* בשפה של ZFC; כדי שהוא יהיה באמת הוכחה (כלומר, נובע מהאקסיומות של איזושהי מערכת), צריך להסכים על המערכת, ולשים לב שהיא גם מוכיחה מהצד את עקביות ZFC.
בעד הפלטוניזם 320106
אז ההוכחה שלי היא *כן* הוכחה פורמלית ב- ZFC לטענה "אם ZFC עקבית וגם הפתירות של f לא כריעה אז אין ל- f פתרון". בדיוק כמו שהמשפט של מטיישביץ', בהקשר הזה, אומר "אם ZFC עקבית אז יש משוואות לא כריעות".
הרבה יותר טוב.
בעד הפלטוניזם 320120
אני קצת מבולבל. הרבה יותר טוב ממה...? את הטענה "אם ZFC עקבית וגם הפתירות של f לא כריעה אז אין ל- f פתרון" אפשר לפשט למקרה הפרטי "אם ZFC לא מוכיחה של-f יש פתרון, אז ל-f אין פתרון". לא צריך את עקביות ZFC, אלא רק את העובדה שאם למשוואה דיופנטית יש פתרון אז ZFC מוכיחה זאת; זה נכון גם ל-PA, ובאותה מידה אפשר להוכיח ב-PA "אם PA לא מוכיחה ש-f פתירה, אז f אינה פתירה". (סייג כללי: אאל"ט).

אולי נחזור אחורה: התחלנו מהאבחנה שיש טענות אריתמטיות חוץ מעקביות ZFC שהן לא כריעות ב-ZFC; יש אפילו משוואות דיופנטיות כאלה - וקיומן הוא, נדמה לי, יותר מעניין מהוכחה מסוג זה למשוואה ספציפית. בעקבות זאת אני ניסיתי לטעון שהזיהוי של "יכיח-ב-ZFC" עם "נכון" הוא ממילא לא סביר, והוא נשאר לא סביר גם כשנזכרים שיש גם טענות יותר מורכבות (לא פאי-‏1-0) שאינן יכיחות. לגבי אלה, גם אני מודה שאנחנו נשארים די תקועים לגבי בירור המצב לאשורו; אבל אני בכל-זאת סבור שיש כזה מצב לאשורו, ואני מנסה להבין מדוע אתה סבור(?) שאין כזה.
בעד הפלטוניזם 320127
"אם ZFC עקבית וגם הפתירות של f לא כריעה אז אין ל- f פתרון".
זו לא סתירה?
בעד הפלטוניזם 320132
למה סתירה?
(עקבית = המערכת לא מוכיחה ששה דברים בלתי אפשריים לפני ארוחת הבוקר. שלמה = המערכת מצליחה להחליט לגבי כל טענה. אנחנו מאמינים ש- ZFC עקבית, ויודעים שהיא לא שלמה).
בעד הפלטוניזם 320138
זה מזכיר את הדיאלוג המעצבן שהיה לי עם אלון לפני כמה ימים: אם הגעת למסקנה שאין ל- f פתרון, איך אתה יכול להגיד באותה נשימה שהפתירות של f אינה כריעה? הרי הכרעת.
בעד הפלטוניזם 320141
הבעיה נפתרת אם מדברים במשפטים שלמים. אם מניחים ש- ZFC עקבית, אז הפתירות של f אינה כריעה במסגרת ZFC (כלומר, אין הוכחה ב- ZFC לפתירות של f וגם לא לאי-הפתירות). מכאן אני מסיק ש*אם מניחים ש- ZFC עקבית*, אז f אינה פתירה. לטענה *הזו*, יש הוכחה במסגרת ZFC (אלון מציע ניסוח אחר, אבל הם שקולים). לטענה "f אינה פתירה" אין הוכחה ב- ZFC (כמו שאין הוכחה לכך ש- ZFC עקבית).
בעד הפלטוניזם 320145
כן, [אני חושב ש]את זה הבנתי אחרי מאמציו הבלתי נלאים של אלון, רק הסברתי את שאלתה של האלמונית לגבי הסתירה כביכול.
בעד הפלטוניזם 320146
הבנתי.:)
בעד הפלטוניזם 320142
ראה תגובה 320138

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים