בתשובה לאח של אייל, 29/08/05 19:05
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 326518
אני מבין מתגובתך שאינך רואה עצמך כאדם "שמבין מתמטיקה" כדבריך.

המתמטיקה דהיום מחולקת ל-‏61 ענפים שונים ולכל ענף יש את המומחים שלו.

עבודתי עוסקת ביסודות הפשוטים ביותר של שפה זו, ובוחנת אותם באור חדש, על סמך תוספת פשוטה בתכלית, שאינה נמצאת במתמטיקה הקיימת, ותוספת זו מכונה בפי הקבוצה-המלאה שהיא האלמנט המשלים לקבוצה-הריקה.

מתוך פשטות משלימה זו, נוצר שינוי עמוק ויסודי בכל הענפים המבוססים על מושג הקבוצה.
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 326532
61? על איזו חלוקה אתה מדבר?
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 326626
אכן אין חלוקה מדוייקת של שפת המתמטיקה לקבוצה סופית ומבחנת בבירור (כפי שניתו ללמוד מ-http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/index/tour... ) .

לצערי שכחתי לכתוב 61 במרכאות ("61"), אך ללא ספק עצם קיומה של השיטה הדדוקטיבית מבוססת על "עולמות" תלויי-הקשר, ובכל "עולם" יכול מושג מסיום לקבל פירוש שונה מאשר "עולם" אחר, ולכן אין זה מספיק להשתמש במושג מסוים, אלא יש להבין את השימוש המדויק בו במסגרת "עולם" מתמטי נתון, ולכל "עולם" כזה מומחים משלו.

כמובן שיש מספר מושגים "חוצי-עולמות" המשמשים כמושגים בסיסיים, ואחד מהמושגים האלה הינו מושג הקבוצה.

עבודתי מתמקדת בשינוי יסודי של מושג הקבוצה, על-ידי הכלת השימוש במושג הקבוצה-המלאה כאלמנט משלים לקבוצה הריקה.
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 326536
אישית, אני אוהב את התיאור הזה של העבודה שלך הרבה יותר מהתיאור שמפורסם ב crack.net . עניין של צניעות. אולי אם הכותרת וה abstract של העבודה היו כאלו, היא לא היתה נכנסת לאתר.

יצא לי להתקל בעבר בכל מיני ענפים מתמטיים ומערכות אקסיומתיות. הצלחתי להבין אותם, פחות או יותר‏1. לצערי (הכנה), אני לא הצלחתי להבין את המאמרים שלך‏2.

הבנתי שהתוספת שלך היא תוספת לתורת הקבוצות (שאותה דווקא למדתי). אני מבין גם שהגישה שלך היא לא אקסיומתית, אלא גישה שפשוט אומרת שקבוצה היא אוסף של אלמנטים. האם הדבר היחיד שאתה מוסיף למערכת הוא הקבוצה המלאה? ואיך את מתמודד עם הבעיות הקלאסיות של הגישה הזו - למשל הפרדוקס שיוצרת "קבוצת כל הקבוצות"?
---

1 מתמטיקאים, נא לא לגחך בקול רם.
2 כמו אחרים באתר - ודווקא ניסית לקרוא.
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 326631
היות ותוכן הקבוצה-המלאה הינו אלמנט רציף לחלוטין ובלתי-פריק, אין הוא מכיל בתוכו שום תת-אלאמנטים, ולכן הוא אינו ניתן לתיאור במושגים של אוסף.

מכאן נובע שהקבוצה המלאה איננה אוסף ולכן איננה שקולה ל"קבוצת כל הקבוצות" המבוססת על מושג האוסף.

המערכת שלי בהחלט מבוססת על אקסיומות: http://www.geocities.com/complementarytheory/My-firs...
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 326539
אחד מקני המידה לפיהם שופטים בדר''כ תורה מתמטית חדשה זה האם התורה אומרת משהו חדש על מושגים שהכרנו עוד קודם. לא שזה לא מספיק להגדיר מושגים חדשים ולהראות קשרים ביניהם, אבל להצליח להאיר באור חדש נושא ישן זהו סימן סביר למדי לחשיבות של עבודה מתמטית. מהבחינה הזו, הדיבורים שלך על ''שינוי עמוק ויסודי'' הינם יומרניים משהו. אתה לא באמת אומר משהו חדש על דברים ישנים, אלא רק משחק בארגז החול הפרטי שלך. זה יכול להיות יפה ומעניין, אבל קצת מוגזם להקנות לזה חשיבת רבה כל כך.
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 326546
אם הפרשנות של עוזי (תגובה 326435, תגובה 326530) נכונה, כנראה שדורון באמת אומר משהו חדש על דברים ישנים - כיצד ניתן לתאר אותם בצורה מסובכת.
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 326627
גדי,

אנא עיין ב-תגובה 326624

תודה,

דורון
מתמטיקה מונאדית 326643
הי גדי

אני מאד מברך על החלטתך להתעמך בעבודות של דורון שדמי ( צבי ינאי קישר ביננו לפני כ 3 שנים)

אגב, לי עצמי לקח הדבר 3 שנים עד שהתחלתי להבין במה מדובר
ועוד הגעתי לכך מתוך הבנה ומחקר של 20 שנים, וידיעה כי ניתן לחולל שינוי תפיסה של שפת הממתטיקה באמצעות הגדרה חדשה של מושג המספר( כיניתי זאת בזמנו - מתמטיקה אורגנית)

אנא עיין בקישור המצורף, זה עשוי להמריץ עוד יותר את המוטיבציה שלך להבין את הדברים וגם את הזיקה שלהם לפיסיקה.

בהצלחה רבה
משה
מתמטיקה מונאדית 326650
טוב, תחזרו אלי עוד שלוש שנים.
מתמטיקה מונאדית 326832
בסדר גמור , מה זה 3 שנים לעומת 2500 שנים של מתמטיקה אוקלידית
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 326606
שלום גיל,

אנא עיין ב תגובה 326605

אשמח לתגובתך.

תודה,

דורון
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 326632
עיינתי.

אולי הרעיונות שלך מסבירים משהו חדש על התבונה האנושית או על חשיבות תודעת החוקר במחקר המדעי, אבל אלו אינם נושאים ''ישנים'' במתמטיקה. אז אולי תרומה פילוסופית אתה מעלה (את זאת ישפטו פילוסופים מן הסתם), אבל החשיבות של הטקסט הזה מבחינה מתמטית עדיין מוטלת בספק רב בשל העובדה שאין בו שום עובדה חדשה שמנוסחת בשפה ישנה.
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 326662
בוודאי שיש עובדה חדשה המנוסחת בשפה ישנה.

עובדה זו היא קיומה של הקבוצה-המלאה המוסיפה מימד חדש למושג הישן של הקבוצה.

לדוגמא עיין ב: תגובה 326652

תודה לך,

דורון
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 326664
לצערי, טרם ראיתי ניסוח מתמטי של הקבוצה המלאה בשפה מתמטית שאני מסוגל להבין. אחת משתיים: או שהגדרת את המושג הזה בשפה טבעית (דבר לגיטימי כשמגדירים מושגי יסוד) או שהשתמשת בשפה מתמטית שאני לא מכיר.
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 326672
גדי,

אנא עיין בתשובתי אליך ב תגובה 326667

אכן אני משתמש בשפה מתמטית שאתה לא מכיר ושמה מתממטיקה מונדית,
המבוססת על לוגיקה המכונה בפי "לוגיקה-משלימה" (Complementary Logic)

יסודותיה של לוגיקה זו מוסברים בעמודים 10 עד 19 ב- http://www.geocities.com/complementarytheory/No-Naiv... (תחת הכותרת Complementary Logic)

תודה,

דורון
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 326674
נו, אז גיל צודק.
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 326842
עיינתי, עיינתי. כבר אנו לך יפה, אבל בכל זאת.

נניח שאנשים (ומתמטיקאים בפרט) מכירים כבר יריעות חלקות, ואתה הראשון שעלה פתאום על הרעיון של קוהומולוגית דה-ראהם. זה שתחשב חבורות קוהומולוגיה של יריעות או תמצא יחסים בין החבורות הללו לבין עצמן זה נחמד ואולי מעניין, אבל בשלב הראשוני הזה זה עדיין לא מרשים כל כך - אתה בסך הכל מחשב מושגים שאתה המצאת.
אם לעומת זאת בעזרת המושגים החדשים שלך אתה מצליח לפתע להראות שהדרגה של כל פונקציה חלקה מספירה לטורוס היא אפס, זה כבר מעניין. כולם יודעים מה משמעות המילים ''טורוס'' ''ספירה'' ו''דרגה'', והחבורות שלך והיחסים ביניהן פתאום מאפשרות לך לומר משהו חדש על המושגים הללו.
את זה כל העבודה וכל הניירות שלך לא עושים. הקבוצה המלאה זו הגדרה שלך, לא משהו ישן שכולם מכירים, בעוד שאני שאלתי לגבי עובדות חדשות מנוסחות בשפה ישנה.
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 326845
דוגמה יותר קריאה לאנשים שלא מבינים מתמטיקה, כמוני: נניח שיש לך אינטגרל מסויים שאתה לא יודע לפתור כי הוא קשה, ואז פתאום בא איזה טרחן כפייתי ומקשקש על זה שהוא המציא "שורש של מינוס אחד" וכל מני דברים משונים ומתחיל לדבר על "משפט השארית" ואומר לך המון ג'יבריש, ואז פתאום מחשב את האינטגרל שאתה נתקעת בו בעזרת המספרים הדמיוניים שלו -

אז זה יהיה מעניין.

כמובן שזה יכול להיות מעניין גם בזכות עצמו, אבל זה כבר הרבה יותר קשה.
42 326963
אתה מסתכל על העניין מזוית צרה מדי. המתמטיקה המונאדית במצבה העשווי אולי לא מסייעת לפתור בעיות במתמטיקה הרגילה, אבל היא נותנת תשובות לשאלות על החיים, היקום וכל השאר.
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327029
גיל לדרמן:

את זה כל העבודה וכל הניירות שלך לא עושים.

דורון:

היות ואינך מכיר את מכלול עבודתי (מה שמכונה בפיך "הניירות שלך") אני מציע לך להמנע מהגישה הזלזלנית-משהו, שלא תעזור לפיתוח דיון משמעותי ביננו.

כנראה שעדיין לא קלטת שכל עבודתי עוסקת רק ואך ורק ביסודות הפשוטים ביור של שפת מתמתטיקה, לדוגמא:

במתמטיקה הרגילה המושגים קבוצה ואוסף שקולים זה לזה, וזהו הכשל היסודי ביותר של קנטור, הנחשב לאבי תורת-הקבוצות.

בעבודתי אני מראה שמושג האוסף אינו יותר מאשר סוג מסוים של אלמנט, היכול להחקר ממסגרתה של תורת-קבוצות.

בכך מוכלל מושג הקבוצה, ובמסגרת גישה מוכללת זו ניתן לדון במושגים כמו ריקנות מוחלטת ומלאות מוחלטת (אשר לא ניתן לתארן במושגים של אוסף) במסגרתה של תורת-קבוצות.

המושג של קבוצה-מלאה אינו נכלל ב-ZF או כל תורת-קבוצות אחרת המבוססת על ההנחה שקבוצה שקולה לאוסף, ולמיטב ידיעתי (ואשמח מאוד אם תאיר את עיני בנושא) לא קיימת תורת-קבוצות במתמטיקה המודרנית, המבוססת על התובנה של אי-שקילות מושג הקבוצה עם מושג האוסף (כפי שאני נוקט בעבודתי).
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327031
אני מציע לך להמנע מהגישה הזלזלנית-משהו בקנטור (''הכשל היסודי ביותר''), שהתורה שלו הניחה בסיס להרבה מאוד דברים יפים ואין על זה חולק, בזמן שעדיין לא ברור מה התורה שלך עושה ושלו לא עושה.
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327032
אני לא מזלזל בחשיבות הפילוסופית של עבודתך (את זה אני אניח לפילוסופים), אלא מציין עובדה שטרם הצלחת לסתור - לכל העבודה שלך אין ולו תוצאה אחת שניתן לנסח אותה לפרופסור למתמטיקה (או לסטודנט שנה ראשונה לצורך העניין) בשפה שהוא מכיר. מהבחינה הזו, העבודה שלך חסרת כל חשיבות מתמטית כמעט לפי הגדרה.
ודרך אגב, אני גם לא ממש בטוח מה זה ה"אוסף" הזה שאתה מדבר עליו. בספרות שאני קורא אוסף (collection) משמש בדר"כ כמילה לא פורמלית ל"קבוצה" בתחומים בהם לתורת הקבוצות אין כמעט שום תפקיד, ובתורת הקבוצות מדברים על "קבוצה" או "מחלקה" - המרצה שלי כמעט אף פעם לא השתמש במילה "אוסף".
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327257
אוסף הוא Set או Multiset
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327033
אני מוכרח להעיר הערה שמציקה לי כבר משלב מוקדם בדיון: שוב ושוב אתה טוען שקנטור יצר זהות בין המושגים "קבוצה" ו"אוסף", ובכך יצר בלבול שמטעה מתמטיקאים עד היום.

אתה *כמעט* צודק: קנטור באמת התייחס לקבוצה במובן האינטואיטיבי של המילה. המובן האינטואיטיבי הזה מאפשר להגדיר קבוצות מפלצתיות כמו "קבוצת כל הקבוצות" ולהגיע לסתירה.
כמו הרבה תחומי מתמטיקה במאה העשרים, גם תורת הקבוצות עברה אקסיומטיזציה כדי להמנע מאותן סתירות. היום אין (!) הגדרה לקבוצה. קבוצה היא אובייקט שמקיים דרישות מסוימות, שהן אקסיומות ZF. מן הסתם, קנטור לא הכיר את ZF. כך, אגב, מתייחסת המתמטיקה למושגים רבים.

בקיצור, כבר שנים קיימת הפרדה במתמטיקה בין קבוצה לאוסף.
אוסף כל הקבוצות הוא לא קבוצה.
אוסף כל הקבוצות שלא מכילות את עצמן הוא לא קבוצה.
אוסף כל הסודרים הוא לא קבוצה.
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327066
גיל כבר כתב כאן נכון על כך ש"אוסף" (Collection) זו מילה חסרת משמעות במתמטיקה (לפחות זו שאני וכנראה גם הוא מכירים). המונח המקובל יותר לתיאור ה"אוספים" שעליהם אתה מדבר בסוף ההודעה שלך הוא "מחלקה" (Class, אם איני טועה).

אני חושב שדורון מנסה לבצע הפרדה בין קבוצה - שהיא ה"קופסה" שמכילה דברים, וניתן לדבר עליה גם כעומדת בפני עצמה ("הקבוצה הריקה") ובין התוכן שהיא מכילה, שהוא כנראה ה"אוסף" המדובר. הטענה שלו היא שניתן לדמיין קבוצה שהיא מלאה לגמרי, בצורה כזו שלא ניתן להתייחס לאיברים שהיא מכילה. אפשר לדמיין את זה במונחים של עליית הגג הדמיונית שלי: יש שם כל כך הרבה זבל שאי אפשר להתחיל להוציא ממנה דברים כי אין לך מושג מאיפה להתחיל.

הבעיה היא שאחרי שמקבלים את הקיום הפילוסופי של עליית גג שכזו, לא ברור איך היא משתלבת במתמטיקה ומה עושים איתה, בניגוד לקבוצה הריקה שדווקא מצליחים לבנות ממנה דברים יפים (למשל, את כל המספרים). כאן נכנס דורון עם כל מני סימנים של {__} ומדבר על זה שקנטור טעה, אבל אני מאבד אותו.

אפילו איך מגדירים "קבוצה מלאה" בצורה אקסיומטית אני לא מבין. אני יכול להגיד "הקבוצה המלאה היא קבוצה שכל האיברים שייכים לה" אבל אז ברור שזה לא יהיה מה שדורון מתכוון אליו אלא ורסיה של "קבוצת כל הקבוצות" הידועה לשמצה. אני יכול להגיד "הקבוצה המלאה היא קבוצה שאף איבר לא שייך לה" כי הרי אי אפשר להתייחס לאף אחד מהאיברים שבתוכה, אבל אז פשוט נתתי שם משונה מאוד לקבוצה הריקה. אני יכול להגיד "הקבוצה המלאה היא הקבוצה המלאה" אבל זה יהיה סתם עצוב. לסיום אפשר לנסות ולהשתמש בהגדרה שנראה לי שדורון השתמש בה: "הקבוצה המלאה היא הקבוצה שמכילה "רצף"", כשלא ברור מה זה "רצף", אבל זה כנראה איבר בעל גודל שאינו 0 שאינו ניתן להצגה כאיחוד, סכום או משהו דומה של איברים אחרים. לא ברור לי מה עושים עם רצף שכזה.
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327108
(קודם כל, אני מקבל את ההערה הטרמינולוגית בהתחלה.)

הבנתי מה דורון מה לעשות. הטענה שלי היא שהוא טועה כבר בצעד הראשון: ניסיון להגדיר מחדש "קבוצה". תורת הקבוצות הנאיבית ראתה קבוצה כמושג ברור מאליו. תורת הקבוצות האקסיומטית לא מגדירה קבוצה. היא רואה את הקבוצות כמחלקת אובייקטים שמקיימת את ZF (קיימת הקבוצה הריקה, לכל קבוצה קיימת קבוצת החזקה שלה, קיימת קבוצה אינסופית בת-מניה...)

הניסיון להגדיר מחדש באופן אינטואיטיבי "קבוצה", "נקודה" ועל אחת כמה וכמה "רצף" (במשמעות של דורון) היא כבר צעד מוטעה.
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327112
אולי עוד יצא מהדיון הזה משהו מעניין. לא חשבתי עד היום על ZF בתור אקסיומות דומות לאלו, נניח, של תורת החבורות - כלומר, רשימת "דרישות" שאנחנו דורשים ממבנה ואז אומרים "אם הוא מקיים אותן אז כל המשפטים היפים שהראינו עבור חבורות מתקיימים עבורו", ואז הולכים ומחפשים בטבע מקרים שונים של חבורות. דווקא בכל הנוגע ל-ZF חשבתי עליהן כעל אקסיומות במובן ה"קלאסי": הנחות יסוד ש"ברור" שהן נכונות.

ההבדל הוא שצריך להתחיל מאיפה שהוא. אני יכול להגדיר אקסיומות של חבורות, ולא תהיה לי בעיה להראות דברים שמקיימים את האקסיומות גם בלי "להמציא" אותם: אני אביא את המספרים השלמים, למשל. אבל מכיוון ש-ZF מגדירות את האובייקטים הבסיסיים ביותר, שמהם נבנים כל שאר האובייקטים, אין לנו דרך "לקיים" את האקסיומות של ZF, ולכן אנחנו "ממציאים" אובייקטים, או מניחים שהם קיימים. במילים אחרות, אנחנו מניחים שקיים משהו שמקיים את ZF ונותנים ל-ZF להגדיר אותו (בשונה מהמקרה של חבורות - כי הרי גם כשהשלמים מהווים חבורה, אנחנו עדיין חושבים עליהם כעל השלמים, לא כעל משהו שהמידע היחיד שלנו עליו הוא שהוא "חבורה").

האם אני טועה, ובעצם אין הבדל?
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327116
אולי יש הבדל קטן: ההגדרה של חבורה מתארת את הדרישות מחבורה, ולא מקבוצת כל החבורות. ZF לא מגדירה קבוצה, אלא את התכונות של מחלקת הקבוצות. בדומה לגיאומטריה, ZF מבטיחה לנו שיש קבוצות מסוימות במחלקה, ומאפשרת לנו להסיק את קיומן של קבוצות מקיומן של קבוצות אחרות (זו למעשה "בנייה" של קבוצות, כמו "בנייה" בגיאומטריה, שהיא למעשה רק הוכחת קיום).
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327121
נדמה לי שגדי שאל על ההבדל בין מודל לתורת החבורות (דהיינו חבורה) לבין מודל לתורת הקבוצות ("היקום המתמטי"+-).
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327144
אני למדתי ש''מודל'' הוא, בבסיסו, קבוצה. לכן ''מודל לתורת הקבוצות'' נשמע כמו הנחת המבוקש.

כן, אני יודע מה תגיד עכשיו, כבר הצקתי למרצים שלי בעניין והם אמרו לי להשאיר את זה לפילוסופים. זה גם לא ממש מפריע לי.
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327179
מתוך ענין: מה אני אגיד עכשיו?‏1 ניסיתי לחשוב איך לגשת לענין ועוד לא החלטתי. תן תחזית ואז נמשיך.

1 ודאי שלא אומר לך להשאיר את זה לפילוסופים.
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327185
אני לא רואה שום בעיה באקסיומות שהן "הנחת המבוקש", כשהנחות הבסיס הן סבירות. הרי צריך להתחיל מאיפה שהוא. במקרה הכי גרוע אפשר תמיד להגיד "אם ZF נכונה אז..." לפני כל משפט מתמטי. אם זה לא מפריע לי, לא ברור למה שזה יפריע לך.

מה שמעניין באמת הוא מה יקרה אם יתברר שההנחות "לא נכונות", כלומר "אין" קבוצה ריקה (איפה?) הרי מטוסים לא יתחילו ליפול, וקבצים מוצפנים לא יהפכו פתאום לקריאים, ותורת גלואה תמשיך להיות יפה. אז מה בעצם ההבדל?
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327189
לדעתי, המתמטיקה לא צריכה להתחיל משום דבר. ההגדרה למערכת אקסיומות בדיון 2396 מספיקה כדי להגדיר מערכות אקסיומות לא אינטואיטיביות בכלל. לנו, כבני אדם, ברור למשל שכל טענה יכולה להיות "נכונה" ויכולה להיות "לא נכונה", כי לנו נוח לעסוק במערכות שבהן לכל טענה יש "שלילה". למתמטיקה אין צורך כזה. הצורך הוא שלנו.

גם הצורך בהנחה ש-ZF "נכונה" במובן כלשהו הוא צורך שלנו, לא של המתמטיקה.

(אני אקל על המתדיינים ואציין מה נקודת התורפה של הגישה הזאת: מערכת אקסיומות מוגדרת כפונקציה. כלומר, אנחנו צריכים להאמין בקיום הבלתי-תלוי של פונקציות. כמו כן, במערכת אקסיומות טענה ניתנת להוכחה, או שלא. כלומר, כבר בהגדרה ה"חיצונית" של מערכת אקסיומות, יש ל"לא" משמעות טבעית.

אני רק אציין, שהצורך ב"הסתכלות מבחוץ" על המערכת כפונקציה, והצורך ליצור זהות בין ה"לא" הטבעי למושג "לא" במערכת, הוא צורך אנושי.)
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 666713
אין לי עדיין בסיס מתמטי מי-יודע-מה, אבל אני חושב שיש לי כיוון לתשובה שהוא לפחות מעניין:

קודם כל כמה נקודות על המתמטיקה באופן כללי, שאין בהן חידוש אבל הן הקדמה לרעיון עצמו: הרעיון הוא לתכנן מערכות של סמלים כך שמניפולציות עליהן יהיו מעין-איזומורפיות למניפולציות על רעיונות, שבתורם ינסו להתאים למושא.
כל מה שקורה בתוך גבולות המתמטיקה הוא במובן מסוים ריק מתוכן אם מנתקים אותו מהמשמעות שאנחנו מעניקים לאקקסיומות בהקשר ספציפי. [ואני אומר את זה מתוך הערכה עצומה למתמטיקה ולתפקיד שלה בייעול החשיבה]
מושגים מסוימים במתמטיקה לא מתאימים באופן ישיר לרעיונות מסוימים לגבי המציאות, אלא יש להם איזה תפקיד פנים-מתמטי. המשמעות שלהם נגזרת מהתפקיד שלהם ברשת המושגים כולה, המשיקה בקצותיה עם המציאות.
כל זמן שההיסקים תקפים, אין חשש ל"טעות" במתמטיקה. זאת בתנאי שלא התחייבנו לייחס את האקסיומות למושא מסוים.

עכשיו לגבי יסודות המתמטיקה:
אני נוטה לתפוס את אקסיומות הלוגיקה ותורת הקבוצות באופן די דומה לאקסיומות בתחומים אחרים, אלא שהן בעלות תפקיד ייחודי בכינון השפה המתמטית.
כך לדוגמה כללי היעדר הסתירה והשלישי הנמנע (ושיטות ההיסק הנגזרות מהם) הם לא איזו אמת מטא-פיזית שקיימת מעצמה, אלא ה"אקסיומות" שנותנות משמעות למילה "לא". אי אפשר להיות "ראשוני וגם לא ראשוני", כי הכוונה באמירה "לא ראשוני" היא בדיוק לא לאפשר את זה. כך גם הכמתים "יש" ו"כל" מקיימים אקסיומות מסוימות לא כגזירת גורל מטא-פיזית, אלא כמה שמגדיר את המשמעות ה"דקדוקית" שלהם. [כמובן, אני נאלץ להשתמש במושגים הלוגיים בתיאור שלי. השימוש הזה הוא לא ניסיון להצדיק אותם באמצעות עצמם, אלא הוא נובע מכך שהם תנאי לכל שימוש משמעותי בשפה]. אין כאן חשש לטעות, כי אנחנו עוד לא אומרים כלום על המציאות. כל מה שאנחנו אומרים הוא ש"כשאומר לך משפט בעל המבנה הלוגי ___, תוכל להסיק ממנו על דעתי שאני מאמין גם ב___".
לגבי תורת הקבוצות זה קצת יותר מרחיק לכת לומר את זה, אבל עדיין נראה לי סביר. כל תפקיד האקסיומות של תורת הקבוצות הוא שכשיבוא יום ותרצה לתאר על רעיונות יותר מורכבים, תוכל לטעון טענות יותר בנוחות. לומר ש"הקבוצה הריקה לא קיימת" זה כמו לומר "אני דובר שפה בה אי אפשר לטעון טענה שאין לה מושא". אתה מחליט אם זה "נכון" או "לא נכון". רק כש(למשל)תנסח בעזרת שפת-הקבוצות המקובלת עליך טענה על המספרים הממשיים, ותרצה לטעון שהמבנה של המספרים הממשיים מתאים לתאר איזה מדד פיזיקלי, אתה אומר משהו בעל משמעות שעלול להיות שגוי. והמשמעות שלו (ובכללה המסקנות שניתן להסיק ממנו) אולי תושפע מבחירת האקסיומות בתורת הקבוצות, אך באותו אופן שמשמעות טענה בשפה דבורה מושפעת מבחירת השפה על ידי הדובר. אם אני מצביע על כלב ואומר "זה לא כלב אלא חתול", אין להאשים את "ממציא העברית" על שבחר את המילים "כלב" ו"חתול" לתאר קטגוריות אלה ולא להיפך, או על שבחר דווקא את התפקודים הדקדוקיים האלה למילים "לא" ו"אלא", אלא אותי על שאני לא מבין את הסיטואציה.

אני מקווה שהצלחתי להעביר את הרעיון, ואשמח לקרוא את דעתכם עליו
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327119
זהירות, אתה בדרך להיהפך לפלטוניסט (אריתמטי, לפחות).

לטעמי, יש לקבל את העובדה שיסודות המתמטיקה מוגדרים פחות משחשבנו. שני העוגנים העיקריים, תורת הקבוצות והלוגיקה, לא מעוגנים בתורם בשום דבר מעבר לאינטואיציות המתמטיות שלנו‏1. אם קיבלנו את זה, הרי שאין הבדל בין חבורה לבין מודל לתורת הקבוצות, למעט העובדה שחבורה היא פשוטה יותר (ולכן ניתן לתאר חבורה כלשהי בקלות באינטואיציה ישירה כמו גם בתוך מודל של תוה"ק).

1 אפשר לבסס כל אחד מהם על רעהו.
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327127
שנמשיך?
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327186
אינטואיציות מתמטיות? אם אנחנו יכולים לבנות מכונות טיורינג ש"תשתמש" במושגי היסוד שלנו, הם לא מבוססים על אינטואיציה. נכון שלנו קשה יותר לעבוד עם מושגים כמו "טרילילי" ואנחנו זקוקים להכרת המונח האינטואיטיבי "קבוצה" כדי לעבוד עם תורת הקבוצות, אבל הבעיה היא שלנו, לא של המתמטיקה.
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327427
נו, אתה מיחס לי תכונות טרחניות שלא בצדק.
ודאי שאיני חושב שיש צורך באינטואיציה כדי שהפורמליזם המתמטי יעבוד. אבל (לדעתי) הפורמליזם איננו המתמטיקה, כשם ששפת סף או הגדרה של מכונת טורינג אינה מדעי המחשב.
מתגובותיך בדיון זה אני נוטה לחשוב שאתה פורמליסט ועל כן דעתך כנראה שונה.
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327531
לא התכוונתי לייחס לך שום תכונות טרחניות, ואם עשיתי את זה אז אני מתנצל (אילו תכונות, אגב?).

בהקשר האריתמטי אפשר לסווג אותי כפלטוניסט (וגם בהקשר החישובי שהזכרת). אני בהחלט מאמין שיש ערך אמת לכל טענה שניתן לנסח בשפה של PA.
כאשר אנחנו מגיעים לקבוצות, יש כבר בעיה: המשמעות האינטואיטיבית של "קבוצה" אכזבה בעבר. לפני שהתגלו הפרדוקסים שעוסקים בקבוצות (ובראשם הפרדוקס של ראסל, כמובן) היה נדמה שאנחנו מבינים את מושג הקבוצה באותה רמה שאנחנו מבינים את מושג המספר הטבעי. הפרדוקסים הוכיחו לנו שיש אובייקטים מתמטיים שאנחנו נסווג באופן טבעי כקבוצות, אך סותרים כמה הנחות שלנו על קבוצות. לכן, הקבוצות היחידות שאני בטוח שהן קבוצות הן אלה שניתנות לבנייה ב-ZF.
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327538
"היה נדמה שאנחנו מבינים את מושג הקבוצה באותה רמה שאנחנו מבינים את מושג המספר הטבעי."

אני חושב שהבטחון שלך בהבנת המספר הטבעי לא במקומו, כי אתה מתעלם מדרגות הסימטריה הפנימית שלו, המתקיימות בין מצב מקבילי למצב סידרתי.

אקסיומות פאנו ו-ZF מגדירות רק את המצב הסדרתי, אך מתעלמות לחלוטין מהמצב המקבילי ומכל מצבי הבייניים המתקיימים בין המצב המקבילי המלא לבין המצב הסידרתי המלא, כפי שמוגדם במאמר המצורף: http://www.geocities.com/complementarytheory/ONN1.pd...
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327542
התודעה שלי מגדירה את מכונת טיורינג, ומכונת טיורינג יכולה לעסוק במספרים הטבעיים, אז מכאן נובע שהתודעה שלי יכולה להבין גם ‏1 את המספרים הטבעיים.

אם אתה רוצה, אתה מוזמן להחליף בכל מקום בתגובה שלי את המושג "מספר טבעי" במושג "סדרה סופית של אפסים ואחדות".

אגב, מעניין אותי לשאול: אם אתה רואה שלושה פילים, אתה באמת משוכנע שה"שלושיות" של הפילים היא רק השתקפות של התודעה, ולא תכונה אמיתית של אוסף הפילים?

1 ואולי רק.
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327001
גיל:
אחד מקני המידה לפיהם שופטים בדר"כ תורה מתמטית חדשה זה האם התורה אומרת משהו חדש על מושגים שהכרנו עוד קודם.

דורון:
הנה אמירה חדשה על ההוכחה על דרך השלילה של קנטור בעניין
|P(Z*)| > |Z*|

(הדיון המלא לנ"ל נמצא ב: http://www.createforum.com/phpbb/viewtopic.php?t=27&... )

Let us explain Cantor's proof about |P(Z*)| > |Z*|.

At the first step of his proof, Cantor shows that there is injection between P(Z*) and Z*, so after this step we know
that |P(Z*)| > = |Z*|, or in other words, |P(Z*)| cannot be less than |Z*|.

In order to clearly show that |P(Z*)| > |Z*|, we have to show that |P(Z*)| not= |Z*|.

If we show that |P(Z*)| not= |Z*|, than and only than we have no choice but to conclude that |P(Z*)| > |Z*|.

It can be done only if we can show that there is no bijection (no no_surjection but no bijection) between P(Z*) and Z*.

Cantor tried to show, by using S definition, that any mapping between some arbitrary z in Z* and S, leading us to contradiction, and since this is the case, we can clearly conclude that there is no such z in Z* that is mapped with S (because of S definition) and we prove that |P(Z*)| > |Z*|.

But I show that S is based on a definition that is a self-contradiction, and therefore S does not exist.

My argument goes like this:

1) Any set has unique members, for example: {a,a,b,c,…} = {a,b,c,…}, so S has unique members.

2) Any z in Z* is mapped once and only once with some P(Z*) member.

3) By (1) and (2), when t (which is some arbitrary z in Z*) map is checked against S, we know that t is not in S, but by S definition, t must be in S, but if t is in S than by S definition t must not be in S, … etc.

4) By S definition itself, this set MUST include ALL of z in Z* members that are paired with P(Z*) members that do not contain them (and S is a P(Z*) member; therefore by (1) and (2), it MUST include t within it, but it cannot be done because of the same S definition).

5) If t is in S, then by S definition we can conclude that the term ALL = more_than_ALL.

6) If t is not in S, then by S definition we can conclude that the term ALL = less_than_ALL.

7) By (5) and (6) we can conclude that the term ALL = not_ALL, which is a contradiction in Excluded-Middle logical reasoning.

Since (by (7)) S definition is based on the term ALL = not_ALL, S definition does not exist, and Cantors proof by contradiction does not hold.

Please pay attention that in this post I did not use the Hierarchy of dependency argument (which is another way to show why S does not exist).

In this post I used http://www.geocities.com/complementarytheory/Russell... , which clearly shows that Russell's first paradox is not a paradox in Excluded-Middle logical reasoning.
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327027
אתה טוחן מים. "שפה ישנה" זה ZFC (או גרסאות "עיליות" שלה שניתנות לתרגום אם רק היינו מתעקשים). מה זה ALL = more_than_ALL ב ZFC? לא מובן. זו המצאה שלך, ולכן שוב אתה נשאר באותו ארגז חול זנוח ולא מעניין כל כך.
S הינה קבוצה על פי ZFC באופן ברור למדי - Z זו קבוצה, PZ (לא הולך לי עם הסוגריים ביחד עם אנגלית) זו קבוצה על פי אקסיומת החזקה, פונקציה f בין שתי קבוצות זו קבוצה, וכמובן שאוסף כל האיברים בקבוצה אשר מקיימים נוסחא בשפה של תורת הקבוצות הינו קבוצה לפי אקסיומת ההפרדה. זה כל מה שנדרש אם מקבלים את ZFC - לעקוב אחרי אקסיומות וכללי הסקה.

עכשיו, אחת משתיים. או שאתה טוען ש S איננה קבוצה לפי ZFC ואז מוטל עליך למצוא כשל בטיעון הישיר למדי שמראה כי S הינה קבוצה על פי האקסיומות, או שאתה מדבר על משהו אחר מ ZFC, ובמקרה הזה אתה שוב מספר לי על תאוריות פרטיות שלך מבלי לומר ולו דבר אחד חדש בשפה הישנה והמוכרת לי.

הניחוש שלי הוא שמדובר במקרה השני, מה ששוב מותיר אותך עם הרבה פילוסופיה אולם בלי שוב דבר חשוב לומר על מתמטיקה.
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327054
גיל לדרמן:

או שאתה טוען ש S איננה קבוצה לפי ZFC ואז מוטל עליך למצוא כשל בטיעון הישיר למדי שמראה כי S הינה קבוצה על פי האקסיומות.

דורון:

הגישה הזלזלנית שלך ("אתה טוחן מים" , "הניחוש שלי הוא שמדובר במקרה השני, מה ששוב מותיר אותך עם הרבה פילוסופיה אולם בלי שוב דבר חשוב לומר על מתמטיקה" ) איננה מקובלת אלי, ולכן אעשה ניסיון אחרון ליצור דיאלוג משמעותי איתך.

אם אתה אינך יכול להמנע מגישתך הנ"ל ראה נא בזאת את תגובתי האחרונה אליך.

תגובתי:

גיל:

S הינה קבוצה על פי ZFC באופן ברור למדי...

דורון:

טעות בידך.

S מבוססת על הגדרה שיש בה סתירה עצמית ברורה, המונעת את קיומה.

כתוצאה מכך, לא ניתן להשתמש ב-S כדי להשלים את ההוכחה על דרך השלילה של קנטור.

אני מציע לך לכבוש את הגישה המזלזלת הבסיסית שלך ולקרוא בזהירות רבה את תוכן התגובה הקודמת שלי אליך (כולל הקישור המצורף).

תודה,

דורון
פרסום (?) למתמטיקה מונדית 327092
קראתי בזהירות גם את התגובה שלך וגם את הקישור המצורף, ולא התרשמתי כל כך. קורה.
אני מסביר לך שלמיטב הכרתי (והכרתם של לא מעט אנשים אחרים, לא כולם מטומטמים) הקבוצה S מוגדרת היטב על פי האקסיומות של ZFC (ועל פי הנחת השלילה בדבר קיומה של פונקצית התאמה בין Z ל PZ). אז יכול להיות שאתה טוען שאני טועה והם טועים - ואז מוטל עליך להראות זאת. להגיד שהיא "מבוססת על הגדרה שיש בה סתירה עצמית ברורה" זה בעצם לא להגיד כלום. האם אתה מסכים ש PZ זו קבוצה? אם כך, האם אתה מסכים שפונקציה f בין Z ל PZ הינה קבוצה? ואם כך, האם לא ברור לנו מאקסיומת ההפרדה שגם S הינה קבוצה?
או שבעצם אתה לא מתבסס על אקסיומת החזקה ואקסיומת ההפרדה ושאר האקסיומות של ZFC, ובמקום זה אתה מדבר על תורת הקבוצות של דורון שדמי. במקרה זה, אני חוזר ואומר שאין שום דבר מעניין במיוחד בתאוריה שלא מספרת על שום דבר מלבד על עצמה, וגם מה שהיא מספרת על עצמה לא חורג מקצת קומבינטוריקה סופית אלמנטרית למדי.

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים