בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ', 31/08/05 17:01
אוקיי, ויתרתי 326880
תקופת הצינון מאז הפעם האחרונה הסתיימה, אז הגיע הזמן להמליץ שוב על On Numbers and Games של J.H.Conway.

Conway הבחין כנראה ש"דרגות סימטריה אלה ניתנות לחקירה" על-ידי תבנית המידע "{._.}", שהוא בחר לסמן על-ידי {A|B}, והגיע לתוצאות מאד יפות (כמו ייסודה, פחות-או-יותר, של תורת המשחקים הקומבינטורית).
אוקיי, ויתרתי 326890
אולי כדאי להזכיר למי שלא הספיק לקרוא את שלושת העמודים הראשונים של קונווי ש-{A|B} מוגדר ללא קושי בעזרת מושג הקבוצה של ZF.

(אגב, כשקונווי התחיל לדבר על מה קרה ביום האינסוף וקיבל קבוצה אינסופית של מספרים לא ראיתי שהוא ציטט אף אקסיומה).
אוקיי, ויתרתי 326905
למיטב זכרוני, קונווי כן נותן איזשהו הערה לגבי המערכת הפורמלית שבה הוא עובד,
ליתר דיוק על חוסר הענין שלו בכך.
אין לי את העותק שלי בהישג יד, אבדוק מחר.
אוקיי, ויתרתי 326964
Surreal Numbers של קונווי http://www.valdostamuseum.org/hamsmith/surreal.html הם מקרה פרטי של המתמטיקה-במונדית.

המתמטיקה המונדית חוקרת את מגוון אפשרויות הפיצול/חיבור עצמן תוך מיונן לפי דרגת הסימטריה הפנימית שלהן, ללא כל קשר לתוכן המוענק לצמתים.

דרגות המיון השונות מאפשרות גילוי מרחבי-מידע חדשים אשר לא נחקרו עד כה במסגרת המתמטיקה הרגילה.

הבה ונדגים זאת על סדרת פיבונצ'י, הנחשבת לאחת הסדרות המעניינות הן במרחב המופשט והן במרחב הפיזי:

Monadic Mathematics researches the symmetry concept itself, where symmetry is represented as an association between continuum (represented by a smooth line) and discreteness (represented by a collection).

These associations are ordered by quantity where each quantity is ordered by several internal symmetrical degrees, where redundancy AND uncertainty are their first-order properties.

This ordering method can also be defined as a systematic transition between totally parallel state to totally serial state.

The ordered building-blocks are like a Mendeleyev periodic table of symmetries, that can help us to define the deep relation between them and also to systematically define new symmetries.

Let us examine a very famous and important symmetry that can be found in the basis of many natural phenomena, the Fibonacci series.

By standard Math, Fibonacci series is the sequence 1,1,2,3,5,8,13,21,… where the next number is the sum of the two previous numbers, where the numbers are quantitative information forms.

By this approach, there is one and only one Fibonacci series.

By Monadic Mathematics there are many Fibonacci series because each quantitative value has several internal structures that are ordered by their internal symmetrical degrees.

For example:

http://www.geocities.com/complementarytheory/fibon.j...

By this method we have a very powerful and systematic way to research many already known and unknown symmetries, and also define the deep relations between them.

This is just a one powerful example of Monadic Mathematics in its first-order level, even before we used any arithmetic.

אשמח לראות הדגמה של Surreal Numbers המאפשרת תוצאות זהות לנ"ל.

תודה,

דורון
נסיון פענוח נוסף 327082
כפי שכתבתי לפני כמה תגובות, אתה עוסק בעצים סדורים, ומשום מה מתעקש לקרוא להם "מספרים", ולחפש את הניגוד בין ה"מספרים" שלך (ה"אמיתיים", כמובן), לבין המספרים של שאר העולם.

הרעיון הבסיסי שלך, כפי שאני מבין אותו, הוא שאפשר לבנות עצים גדולים מעצים קטנים יותר. לצורך העניין, "עץ" הוא אחד משני דברים: הכוכבית *, או סדרה של ענפים שכל אחד מהם הוא עץ קטן יותר.

כדי להציג את העצים אתה משתמש משום מה בסימונים המקובלים לקבוצות ובסימון +, שמיוחד לחיבור, מה שמסבך מאד את התקשורת. אני מציע לסמן את העץ שיש לו שורש ללא ענפים בסימון *. עץ שיש לו ענפים a ו- b יסומן ב- (a,b). העץ * הוא בעל עלה אחד - הכוכבית עצמה. בכל מקרה אחר, העלים של העץ הם פשוט העלים של כל הענפים שלו. כעת אפשר להתאים לכל עץ מספר: מספרם של העלים שלו.

כך למשל העץ הפשוט ביותר הוא *, שמתאים לייצג את המספר 1.
אחריו בא 2, שנייצג באמצעות עץ בן שני ענפים, כל אחד מהם שווה ל- *, כלומר העץ (*,*).
אחר-כך מגיעים העצים של 3: (*,*,*), (2,*)=((*,*),*) ו- (2,*).
בעצים של 4 העסק מסתבך: 4 הוא גם 3+1 וגם 2+2, ולכן אפשר להציג אותו כ- (3,1), (2,2), (1,3), או אפילו (1,2,1) וכדומה. כמובן שהסימון (1,3) אינו חד-משמעי: ראינו כבר שיש כמה עצים שמתאימים ל- 3, וכל אחד מהם בונה עץ אחר בצורה (1,3).

עכשיו אפשר להגדיר חיבור: אם המספר a מיוצג על-ידי העץ A, והמספר b מיוצג על-ידי העץ B, אז אפשר להציג את a+b על-ידי העץ (A,B). כמובן שיש גם ייצוגים אחרים, אבל בכל מקרה הצלחנו לחבר עצים. (חסרונות: בחיבור של מספרים מתקיים a+b=b+a, בעוד שבעצים (A,B) ו- (B,A) עלולים להיות עצים שונים. מצד שני, זו בדיוק הסיבה שיש "הרבה סדרות פיבונאצ'י".)

בנוסף לכל זה, שמת לב שאפשר לחשב לכל עץ את מה שנקרא "חבורת הסימטריות" שלו, כלומר לספור באיזו מידה כל עלה קבוע במקומו כאשר 'משחקים' בעץ ושומרים על המבנה שלו. לעץ (*,*) יש סימטריה: אפשר להחליף את שני הענפים והתוצאה תהיה אותו עץ. לעומת זאת בעץ (*,(*,*)) אי אפשר להחליף, כי שני הענפים שלו, * ו- (*,*), שונים. במקרה הזה יש עלה שאי-אפשר להזיז ממקומו. לשם השוואה, בעץ ((*,*),(*,*)) יש המון סימטריות, כי אפשר להחליף את שני הענפים שלו וגם, בכל ענף, את שני העלים. כאן כל עלה יכול לעבור לכל מקום אחר (החבורה "פועלת באופן טרנזיטיבי" על העלים).
נסיון פענוח נוסף 327111
עוזי: "בעוד שבעצים (A,B) ו- (B,A) עלולים להיות עצים שונים. מצד שני, זו בדיוק הסיבה שיש "הרבה סדרות פיבונאצ'י"

צר לי עוזי אך במערכת שלי אין שינוים כתוצאה בחילופי ימין/שמאל שמאל/ימין.

השינויים נמדדים לפי דרגת בסימטריה ה"אנכית" של ה"עץ" אשר מכונה בפי מספר-אורגני.

המספרים-האורגניים מתארים את המעבר מסימטריה מקבילית לסימטריה שבורה סדרתית.

כל מערכת המספרים הקיימת מבוססת רק ואך ורק על הסימטריה השבורה הסדרתית, וזאת כתוצאה מאי-שימוש ביתירות ואי-וודאות כתכונות מסדר-ראשון של מערכת האקסיומות המכוננת את N, Z, Q, R ו- C .

עוזי: "כדי להציג את העצים אתה משתמש משום מה בסימונים המקובלים לקבוצות ובסימון +, שמיוחד לחיבור, מה שמסבך מאד את התקשורת."

כפי שהסברתי חזור הסבר, פעולת הכפל והחיבור הן פעולות משלימות אשר אינן משנות את הכמות, אלא מציינות את המעבר מסימטריה מקבילית לסימטריה שבורה סידרתית, בהינתן כמות איברים ידועה:

Symmetry:

Let x be a general notation for a singleton.

When a finite collection of singletons has the same level, it means that all singletons are identical, or have the maximum symmetrical-degree.

When each singleton has its own unique level, it means that each singleton in the finite collection is unique, or the collection has the minimum symmetrical-degree.

Multiplication can be operated only among identical singletons, where addition is operated among unique singletons.

Each natural number is used as some given quantity, where in this given quantity we can order several different sets, that have the same quantity of singletons, but they are different by their symmetrical degrees.

In a more formal way, within the same quantity we can define all possible degrees, which exist between a multiset and a "normal" set, where the complete multiset and the complete "normal" set are included too.

As this example of transformations between multisets and "normal" sets shows, the internal structure of n+1 > 1 ordered forms, constructed by using all previous n >= 1 forms:

1
(+1).=.{x}

2
(1*2)......=.{x,x}
((+1)+1).=.{{x},x}

3
(1*3).............=.{x,x,x}
((1*2)+1)…...=.{{x,x},x}
(((+1)+1)+1).=.{{{x},x},x}

4
(1*4)........................=.{x,x,x,x}.<---------- Maximum symmetrical-degree,
((1*2)+1*2).............=.{{x,x},x,x}.............Minimum information's
(((+1)+1)+1*2)........=.{{{x},x},x,x}..........clarity-degree
((1*2)+(1*2))...........=.{{x,x},{x,x}}.........(no uniqueness)
(((+1)+1)+(1*2))…..=.{{{x},x},{x,x}}
(((+1)+1)+((+1)+1)).=.{{{x},x},{{x},x}}
((1*3)+1).................=.{{x,x,x},x}
(((1*2)+1)+1)..........=.{{{x,x},x},x}
((((+1)+1)+1)+1).....=.{{{{x},x},x},x}.<---- Minimum symmetrical-degree,
.......................................................................Maximum information's
5.....................................................................clarity-degree
... ...................................................................(uniqueness)

נסיון פענוח נוסף 327114
אגב, כדאי שתחליף את השם שלך, שקפץ משום-מה ל''האייל האלמוני''. זה קצת מבלבל.
נסיון פענוח נוסף 327118
שמתי לב לזה, איך אני מחליף את השם?
נסיון פענוח נוסף 327120
כאשר אתה כותב תגובה חדשה, שנה את השדה ''שם''.

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים