בתשובה להאלמוני ממנג, 10/09/05 10:10
על מתמטיקה לא טרחנית 328782
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה להאלמוני ממנג שבת, 10/9/2005, 10:46
אני חושש שאתה לא צודק. יש r, אחרת האינטגרל היה יוצא שני פאי ולא פאי. תחשוב על זה שנייה: אתה עושה אינטגרל על מעגל ברדיוס 1 עם הפונקציה f(x)=1. אם לא יהיה לך r, איזה אינטגרל תקבל?

באופן כללי, גם ה-r שמתווסף בקוארדינטות פולריות וגם ה-r^2sinθ שמתווסף בקוארדינטות כדוריות שניהם נובעים מחישוב היעקוביאן. בחדו"א לא נותנים לחשב יעקוביאנים? באינפי 3 עשיתי את זה עד שיצא מהאף...

מה שקורה בפולריות זה שאתה כותב x=rcosθ, y=rsinθ ואז כדי לעבור לקוארדינטות הפולריות לא מספיק לבצע את ההצבה: צריך גם לכפול בגורם כלשהו שנקרא "היעקוביאן של הטרנספורמציה" שהמטרה שלו לתקן את הפרופורציות של השטחים שהתעוותו. היעקוביאן זו הדטרמיננטה של מטריצה שכל שורה בה היא גרדיאנט של אחד מהרכיבים של הטרנספורמציה. בשורה השנייה יהיה למשל (sinθ, rcosθ) (גזרנו את y קודם לפי r ואח"כ לפי θ). אתה מחשב את הדטרמיננטה הזו, נעזר בזהות הנחמדה

(sinθ)^2+(cosθ)^2=1

ואז כל הסינוסים והקוסינוסים נעלמים לך (במקרה הפולרי). זה לא משנה את זה שכדי להגיע לזה היית צריך לדעת נגזרות (ומכיוון שאף פעם לא הצלחתי לעקוב עד הסוף אחרי ההוכחה של מעבר הקוארדינטות, לא ברור לי איזה עוד דברים מתוחכמים אתה כבר צריך להניח שאתה יודע).

אם הקטע של "הפרופורציות של השטחים שהתעוותו" לא ברור, נסה את הדבר הבא: צייר ריבוע עם אורך צלע 1 על דף משובץ ותכתוב את הקוארדינטות של הקודקודים שלו. עכשיו תעשה את מעבר הקוארדינטות הבא:

s=(x+y)/2
r=(x-y)/2

ונסה לכתוב את הקוארדינטות של הקודקודים על פי המערכת החדשה. תגלה שהריבוע שלך הסתובב. עכשיו נסה לחשב את השטח של הריבוע במערכת החדשה על ידי העלאה בריבוע של אחת הצלעות (במערכת הקודמת, כזכור, השטח היה 1) - מה קיבלת? (כדאי מאוד לצייר את הריבוע החדש, זה עוזר מאוד להבין מה השתנה).
על מתמטיקה לא טרחנית 328788
האלמוני ממנג • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' שבת, 10/9/2005, 11:16
לא אמרתי שאין r אמרתי שאין dr.
לנו פשוט הראו את זה ככה: "בקוארדינטות קרטזיות, שטח של מלבן אינפי' הוא dx*dy, כשאנחנו רוצים לייצג את זה בקוארדינטות פולריות, אז האורך הופך להיות dr והרוחב r*dTheta (אורך הקשת). נכון שזה לא בדיוק מלבן, אבל כששואפים לגבול אינפי' זה יוצא מלבן". יכול להיות שנלמד את זה פורמלית יותר בשנה הבאה - אני עדיין סטודנט, כאמור - אבל אני די בספק. הדגשים מעכשיו הם בעיקר פיזיקליים ולא מתמטיים. אם כבר יהיו דגשים מתמטיים הם כנראה יתמקדו יותר באופרטורים ובמשוואות דיפרנציאליות.
על מתמטיקה לא טרחנית 328793
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה להאלמוני ממנג שבת, 10/9/2005, 11:40
יש גם r וגם dr. האינטגרל הכפול שמתקבל הוא rdrdθ על המלבן שאורך צלע אחת שלו היא 1 ואורך הצלע השנייה 2 פאי. אם אתה עוד לא משוכנע, נסה לפתח עם אינטגרל את השטח של מעגל כללי ולא רק מעגל היחידה.

אני לא כל כך אוהב את ההסברים של הפיזיקאים. הם טובים מאוד כדי לתת את האינטואיציה, אבל אתה לא באמת מסוגל להבין מהם מה הולך שם (שלא לדבר על "למה זה חוקי" ו"מתי זה חוקי", שאלו שאלות שאליהן כמעט ולא התייחסו בשני הקורסים הפיזיקליים שאני למדתי).
חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא
מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים
האייל הקורא RSS מאמרים | כתבו למערכת | אודות האתר | טרם התעדכנת | ארכיון | חיפוש | עזרה | תנאי שימוש © כל הזכויות שמורות