בתשובה למשה קליין, 10/09/05 19:08
על מתמטיקה לא טרחנית 328898
למען האמת, מעולם לא קראתי את הילברט. קראתי רק על הילברט. המשך התגובה אכן מבוסס על ידע.

באופן כללי, אני מכיר שתי דרכים להתייחס לישרים ולנקודות במישור האוקלידי (ובמישור הכללי):
הראשונה, ובה נתקלתי הכי הרבה, מתייחסת לשני המושגים כמושגי-יסוד, כך שישר מסוים ונקודה מסוימת, מקיימים או לא מקיימים ביניהם יחס חילה/חלות (אני לא בטוח איך אומרים את המילה הזאת). כמובן, שלכל ישר ניתן להתאים את קבוצת הנקודות שחלות בו, ולכל נקודה אפשר להתאים את קבוצת הישרים שחלים בה ‏1.
גישה שנייה, נדירה יותר, היא הגישה ה"חסכנית". היא אומרת, שמאחר ששורה מגדירה ישר באופן חד-משמעי, ואלומה מגדירה נקודה באופן חד-משמעי, אפשר להתייחס מלכתחילה לישרים ולנקודות כקבוצות. פעולה כזאת לא מוספיה או גורעת כלום ממערכת האקסיומות. זו *רק* צורת רישום.

כרגע חשבתי גם על מצב שבו מגדירים ישר כקבוצת נקודות: גרף הפונקציה f(x)=x הוא ישר, אך הוא מוגדר (כמו כל גרף של פונקציה) כקבוצת הנקודות שהקואורדינטות שלה מקיימות את הפונקציה. אם אתם רוצים לסקול את דקארט על אי-הבנה של מושג הרצף, אתם מוזמנים.

1 מוקדם יותר בדיון, השתמשתי במילים "שורה" ו"אלומה" כדי להגדיר את הקבוצות האלה. שתי המילים שאולות מתחום הגיאומטריה הפרוייקטיבית.
על מתמטיקה לא טרחנית 328921
הי אייל
תודה על תגובתך,

הנה כך, סיים הילברט את ההרצאה המפורסמת שלו בפריס:

The organic unity of mathematics is inherent in the nature of this science, for mathematics is the foundation of all exact knowledge of natural phenomena. That it may completely fulfil this high mission, may the new century bring it gifted masters and many zealous and enthusiastic disciples!
---------------------------------------------------

לטעמי, זה יפה מאד.

האם תוכל לקרוא בהפניה ליסודות הגאומטריה של הילברט איזו תמונה נוצרת על פי הילברט לגבי היחסים בין הקו והנקודה.

בכל אופן כדאי להשוות גם לעמוד הראשון בספר היסודות

לי נדמה, שאוקלידס השאיר את היחסים במובן מסויים פתוחים והילברט הוא זה שקיבע שהקו בעצם מכיל ומורכב מנקודות.

לדקארט, אולי, עוד נגיע בהמשך.

אשמח לשמוע את דעתך.
על מתמטיקה לא טרחנית 328928
למען האמת, לא רלוונטי עבורי איזו תמונה ראה הילברט במוחו של יחסי הנקודה והישר. זו סוגיה ספק פילוסופית, ספק פרקטית. לא מתמטית.
מה שעבורי רלוונטי היא העובדה שניתן לעסוק באותה גיאומטריה, באופן פורמלי, _עם או בלי_ יצירת קשר בין יחס החילה הגיאומטרי ליחס השייכות מתורת הקבוצות. לכן, שאלת יחסיהם ה"אמיתיים" בין הישרים לנקודות לא יכולה להיות נקודת התורפה של השיטה הדדוקטיבית.
על מתמטיקה לא טרחנית 328934
''שאלת יחסיהם ה''אמיתיים'' בין הישרים לנקודות לא יכולה להיות נקודת התורפה של השיטה הדדוקטיבית''

סבבה

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים