בתשובה לעוזי ו., 09/10/05 21:47
 |
|
 |
||
|
||||
 |
רגע אחד. אם יש כד עם שני כדורים שאינך יודע עליהם כלום, כשאני מציע לך התערבות ביחס 1:3 ששניהם שחורים, תקבל אותה או לא? (התחמקות בנוסח "אני לא נוהג להתערב" תיחשב בדיוק למה שהיא: התחמקות, ותאלץ אותי לקרוא שוב לחייזרים ההם). |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
בוא נגיד שהוא אינו מתחמק ואומר כן. מה למדת? ואם הוא אומר לא? מה למדת? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז זהו, שאני חושב שהוא יאמר "כן".יתר על כן, אני חושב ש[כמעט?] כל מי שיודע הסתברות/סטטיסטיקה מרמה של תלמיד תיכון עד רמת פרופסור יגיד "כן". יתר על כן, אני חושב שהם יזכו בהתערבות הזאת. ומכאן שגם אם ה"הסתברות בלתי מוגדרת" יש בכוחה לנבא לא רע מה הולך לקרות, ולכן אני מניח שכדאי לשנות את ההגדרה כך שתכלול אותה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זו לא כל-כך השאלה של "לשנות את ההגדרה". זה יותר דומה לבעייה של מתן הסתברויות א-פריורי בהיעדר מידע. הרבה תהליכים בהסקה סטטיסטית מאפשרים לך לקחת את מה שאתה חושב כרגע על ההסתברויות לאפשרויות השונות, ולעדכן את דעתך זו בהתאם לנתונים חדשים. אבל מאין מתחילים? מה חשבת על הסיכוי שהאות הבאה בדנ"א תהיה T, או שכדור הביליארד יהיה שם, או שיש חיים על הכוכב ההוא, רגע לפני שהיה לך *איזשהו* נתון? התפלגות אחידה זו אופציה שיש לה יתרונות לא מבוטלים, אבל לא תמיד היא סבירה או אפילו אפשרית (מה אתה עושה כשיש אינסוף מצבים?). יש כל מיני פתרונות לבעייה הזו, חלקם מתוחכמים למדי, ואין דרך אחת מנצחת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
להזכירך, אנחנו מדברים על מקרה מאד ספציפי: יש כד, יש בו שני כדורים שכל אחד מהם לבן או שחור, וזהו. מטעמי סימטריה (אני מקווה שזה לא יביא הנה את ד.ש.) אני אהיה מוכן להתערב בתנאים שציינתי, ולהערכתי כך גם הצעיר וגם עוזי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בסדר, אבל זה לא כזה מקרה ספציפי. אני מניח שטעמי הסימטריה שלך לא ייפגמו אם אחד הכדורים יהיה ורדרד, דווקא? זה שיקול מאוד סביר, אבל אין לו קשר הכרחי להגדרה של מושג ההסתברות. הנה שאלה שגנבתי מספר על סטטיסטיקה בייזיאנית (של Saha, אם כבר שאלת). יש קוביה לא הוגנת, וכל מה שאתה יודע עליה הוא שכשמטילים אותה יוצא, בממוצע, 4.5 (במקום ה-3.5 המקובל. כאמור, היא לא הוגנת). אילו נתבקשת לנחש מה הסיכוי לקבל 1 בקובייה הזו, מה היית מנחש? מה שחשוב זה לא כל כך התשובה המספרית אלא הגישה. ברור שכאן אין סימטריה, בניגוד למקרה הכדורים בכד. אז מה עושים? איזה שיקול מפעילים? (יש לזה לפחות תשובה אחת מאוד מקובלת שאפשר לסכם בשתי מילים). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"גישה בייסיאנית"? "תוחלת מותנית"? "הוקוס פוקוס"? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא התכוונתי לפתוח בחידון (''אנטרופיה מקסימלית''). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הייתי צריך לנחש. במחשבה שניה, הגישה הבייסיאנית נראית לי יותר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה? ("מה שחשוב זה לא כל כך התשובה המספרית אלא הגישה", ציטט אלון את עצמו). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זו התוצאה אם מניחים ש-5 הוא הצד ה"כבד" וכל האחרים שוים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ופרשנות עם "אנטרופיה מקסימלית" (אולי) - אפשר לחשוב על מצב "אחיד" בו שלישיית הגבוהים מופיעה יותר משלישיית הנמוכים, אך בתוך השלישיות הפילוג אחיד. ממוצע הנמוכים - 2, ממוצע הגבוהים - 5. לממוצע של 4.5 שלישיית הגבוהים צריכה להופיע פי 5 יותר פעמים מאשר הנמוכה (15/18 לעומת 3/18). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"ציטט אלון את עצמו". זה נראה לי מצב קצת בעייתי. כשמתחילים עם ציטוטים עצמיים, אין לדעת איפה זה נגמר. הישמר לנפשך! |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עלי להחליט מהו אותו דבר עלום שלגביו אני רוצה לעשות את ההנחה בדבר הסתברות שווה: 1. אעבור על כל המשקלים האפשריים של המספרים שנותנים ממוצע 4.5, ואמצֵע את מס' ה "1" בהם. או, 2. אעבור על כל המיקומים האפשריים של מרכז המסה שנותנים את הנ"ל, וכו'. מאחר והתוצאות תהיינה כנראה שונות, אני באמת צריך להכניס הנה הנחות לא מתמטיות בעליל לגבי אותו משהו. לרגע נטיתי לקבל את הטענה שבמקרה זה ההסתברות לא מוגדרת, אבל אז עלה בדעתי שאני יכול להעריך את ההסתברות של המקרה הראשון והשני (נניח 50:50 אם אין לי ידע נוסף) ולמצע את שתי התוצאות מקודם. כולה, הסתברות מותנית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש אלף (האחד שאחרי אלף אפס, לא האחד שאחרי תשע מאות תשעים ותשע) אפשרויות לחלק הסתברויות לקוביה כך שהתוחלת של ההטלה תהיה 4.5, אז אתה לא יכול לעשות את מה שהצעת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כשהייתי צעיר היה דבר כזה שנקרא "אינטגרל" ובעזרתו היה ניתן לסכם אָ' מספרים בלי יותר מדי בעיות. אני מניח שבלי לגשת לחישוב ממש אני לא אראה איפה העסק יוצא מכלל שליטה אבל בטוחני שמישהו יאיר את עיני. בסה"כ זרזתי קצת את התהליך שבסופו אלון מסביר הכל לשביעות רצוני, גם אם זה במחיר פגיעה בדימוי הציבורי שלי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אינטגרל של מה בדיוק? מאז ימיך נשכחה האומנות של שליפתם יש-מאין. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במקרה הראשון אינטגרל שסוכם את המשקלות של כל ספרה (שש פעמים מ 0 עד 1, כך שהממוצע 4.5 ושאר אילוצים). ההנחה המובלעת היא שהמשקלות האלה הם שווי-סיכוי. במקרה השני איטגרל בו המשתנה "מרכז המסה" עובר על כל נפח הקוביה וממוצע ההטלות הוא 4.5 (ההנחה כאן היא שמרכז המסה יכול להמצא בכל נקודה בנפח בהסתברות שווה). אג"ג אומר שזה מספיק דומה למה שהוא אמר, ואני בשמחה רבה אפנה את המקום להסברים שלו, בתקוה שבמקום לזרוק מילות קוד כמו "בייסיאני" או "אנטרופיה" הוא יסביר ממש. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הדברים שתיארת הם בדיוק מה שנקרא שיקול בייסיאני. מניחים הנחה אפריורי ומעדכנים אותה על פי התצפיות. במקרה הראשון (שאליו כיוונתי) ההנחה אפריורי היא שנבחרה התפלגות שמתפלגת אחיד בין כל ההתפלגויות על שישה ערכים. התצפית היא שלהתפלגות הזו יש ממוצע 4.5 . כאשר לוקחים את התצפית בחשבון מקבלים התפלגות חדשה על קבוצת ההתפלגויות (המתוארת ע"י האינטגרל שלך). זה נותן לנו התפלגות על ההסתברות להטיל 1 בקוביה. הגישה האחרת ("אנטרופיה מקסימלית") אומרת שבהנתן הידע שלנו (ממוצע 4.5) נניח שההתפלגות היא זו שממקסמת את האנטרופיה. נראה לי שאניח לאלון להגן על הגישה הזו, שהרי הוא זה שהעלה אותה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במקרה הראשון(?) - אם אני קורא נכון, לא הגדרת אינטגרל, אלא סכום סופי של שישה מספרים בין 0 ל-1, שאנחנו כבר יודעים ששווה לאחת (הסכום הסופי). במקרה השני(?) - אני לא מבין איך זה קשור למקרה הראשון. בכל אופן, הדרך הזאת בעייתית בפני עצמה - אפשר לדמיין בקלות שתי קוביות (ויותר) בעלות מרכז מסה זהה והתפלגות תוצאות הטלה שונות (כשתוחלת ההטלות עודנה 4.5). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אהמ? ספרור המקרים מתייחס ל תגובה 337717 . בשני המקרים אני מניח שהקוביה נראית תקנית (מבחינת צורתה ההנדסית ומבחינת הספרות שרשומות על פיאותיה). אני לא רואה שום קושי עקרוני1 למצע גם על מצבים בהם ההנחה לא מתקיימת. במקרה הראשון אני מסכם את *המשקלות* האפשריים של כל אחת מהספרות, תחת האילוץ שהממוצע נותן 4.5. המשקלות האלה הם מס' ממשיים בין 0 ל- 1. במקרה השני אני לא מבין את הטענה שלך. אנא דמיין לעיני שתי קוביות כאלה. ____________ 1- כדי להלביש את העקרון הזה בבגדים מעשיים נחוצה בעיקר הפונקציה שנותנת את ההסתברות לכך שפאה X יוצאת למעלה כפונקציה של מרכז המסה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני עדיין לא מבין מה אתה מנסה למדוד במקרה הראשון, או איך. יש לך: ת1, ת2, ת3, ת4, ת5 ות6. ידוע - הם כולם מספרים ממשיים בין אפס לאחת. ידוע - סכומם 1. ידוע - ת1*1 + ת2*2 + ... ת6*6 = 4.5. למה אתה מסכם את המשקלות? אם ב"משקלות" אתה מתכוון להסתברויות (ת1-ת6), הרי שידוע שהסכום הוא 1. אם אתה מתכוון למכפלת ההסתברות שיצא המספר בהטלה במספר עצמו, ידוע שהסכום 4.5. אין צורך בשום אינטגרל. להוכיח את ההנחה שלי בלי ניסוי זה מעבר ליכולתי. אני מנחש שגם אתה לא יודע להוכיח ההנחה שלך. אם ההנחה שלי נכונה, מה שהגדרת הוא לא פונקציה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני עובר בסכימה על כל הערכים האפשריים של כל אחד מה''ת'', מאפס ועד אחד תוך שמירת שני האילוצים שציינת. נראה לי שאני נכשל כאן בהסבר של עניין פשוט למדי, כך שאקבל בשמחה עזרה ממישהו שמבין מה אני אומר ויכול להסביר את זה טוב יותר. אני לא אומר שאני יודע לחשב את הפונקציה ההיא, ייתכן שבעיות כאוטיות מונעות אפשרות למצוא אותה באופן אנליטי, ואז לא תהיה לי ברירה אלא להשתמש בקירוב כלשהו. את הקירוב אני אעשה ע''ס הרבה ניסויים עם קוביות שמרכז המסה שלהם נמצא במקומות שונים. אם אגלה שההתנהגות כאוטית מאד, יש להניח שאצטרף לתשובה של אביב (האינטואיציה שלי אומרת שזה לא מה שיקרה, אבל אפילו אני לא הייתי סומך עליה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הקוביות ומרכזי המסה - אני די בטוח שזו לא פונקציה, אבל אם אני טועה, ומרכז המסה באמת קובע באופן חד ערכי את התפלגות התוצאות, אז גם לי קשה להאמין ששינויים קטנים במרכז המסה יכולים לגרום לשינוי גדול בהתפלגות, ואני אסכים להסתפק במציאת פונקציה קרובה דיה בעזרת רצף ניסויים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נו, זה מה שאמרתי בתגובה 337153. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תגובה 337996 | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שבתי לרגע. איבדתי קשר עם הפתיל - מה קורה? יש עוד משהו שטעון הסבר? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כדאי אולי לחכות לעוזי, אבל אנסה לנתח את זה קצת לעומק. ראשית, צריך להבין שהדעות הקדומות שלנו הם רלוונטיות. אם היו אומרים לך שמאחורי דלת מסוימת או שיש או שאין ג'ירפה, היית לוקח בחשבון את ה"סבירות" שמישהו יטרח להביא ג'ירפה למשרד רק כדי להתקיל אותך. מצד שני, על הכדורים אתה לא יודע כלום פרט לתנאי ההתערבות המוצעת. ברור שהתנאים הם גם אינפורמציה, ולכן נשאל את השאלה קצת אחרת (קביעה עצמית של יחס ההתערבות): יש שני כדורים: על איזה יחס אתה מתערב איתי שהם שניהם שחורים? שיטת חשיבה מסוימית היא להפוך את האקראיות: בידי שתי אפשרויות הימור: כן או לא. אם אטיל מטבע כדי *להחליט* מובטח לי שאזכה בהסתברות 50% *בלי שום קשר* לצבע הכדורים. מכאן שהסתברות 50% על אירועים שאין אינפורמציה לגביהם היא הנחה נכונה אם באמת *בחרת* את האפשרות באופן אקראי. אבל, אם הנחת הנחות "פיסיקליות" על הבעיה ( לא הגיוני שיביאו לכאן כדורים לבנים "דווקא"), אין לתורת ההסתברות מה להגיד. לדוגמא: אינך יודע בוודאות אם השמש תזרח מחר, ודורשים ממך לנחש. אם תזרוק מטבע ותבחר, הרי שהבטחת *מתמטית* זכיה של 50%, אבל אם אמרת: אני מאמין בחוקי הפיזיקה, קוונטים, מכניקה שמימית, ראקציות תרמו גרעיניות וכולי, ולכן אנחש "כן", אין שום דרך "מתמטית" לקבוע את תוחלת הזכיה שלך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ובכן, על איזה יחס אתה מתערב איתי ששניהם שחורים? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קודם תראה את הכד, אבל בעיקרון, השאלה היא האם לעשות שיקול מתמטי, ואז, יחס של 1:1 (שים לב שזה תקף גם אם היו מליון כדורים בכד), או שיקול פיזיקלי, ואז אני מעדיף לרשום במעטפה את ההימור שלי ולחשוף אותו רק *אחרי* שאתה שם את הכדורים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מישהו בקהל מתנדב לשים שני כדורים בכד ולחתום אותו? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מתנדב. כמה כדים אתה רוצה? כבר בחרתי מנגנון אקראיות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, לא, אנא חזור על כך בלי לספר לנו אם בחרת באופן אקראי או לא - אחרת ראובן ישתפן כאן. במקום כדורים (ה"אלמנט הפיזיקלי" של ראובן עלול לרמוז לו שיש לך בבית יותר כדורי אופטלגין מאשר כדורי פחם) אנא בחר שני מספרים שיכולים, מטבע הדברים, להיות זוגיים או לא. אח"כ חשוב על איזה מס' גדול שהפרוק שלו לגורמים ראשוניים יוכל לספר לראובן ולי מה היתה הבחירה שלך (שני גורמים ראשוניים - שני המספרים זוגיים, שלושה אומר ששניהם פרט, וארבעה שהם בזוגיות שונה). אני מניח שמס' בן 500 ספרות יספיק לצרכינו אלא אם כן פרוייקט המחשב הקוואנטי של ראובן הגיע לשלב יותר מתקדם ממה שאני מעריך. זה סיכון שאני מוכן לקחת (אבל בבקשה אל תתחכם כאן עם גורמים קטנים). כדי למנוע הטיות השאלה אם ראובן ואני נתערב על זוגים, פרט או מעורב טרם נקבעה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השורה האחרונה שלך ניטרלה אל כל אמצעי הזהירות הקודמים. איך נקבע על מה נתערב? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
על צלחת פסטה שבושלה במים בלי מלח? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה צוחק או שבאמת לא הבנת מה שאלתי? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אין לי כרגע את האמצעים לבצע את החישובים האלה. זה יצטרך לחכות קצת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האמצעים לביצוע החישובים נמצאים בפרינסטון, הה? (אבל זה לא חשוב. תקתק מספר ארוך, ותראה שהוא משתפן) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה רואה, בסוף אתה מאלץ בחירה אקראית. שאלה למתמטיקאים ( נדמה לי שדנו בזה פה פעם): מספר בעל N<<1 ספרות, כמה גורמים ראשוניים יהיו לו באופן טיפוסי? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גדול מאוד מ-. אני חושב שיש הגדרה יותר מדוייקת, אבל אני לא ממש מכיר אותה (והיא יכולה גם להיות שונה בהקשרים שונים). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
היכן הזכרתי בחירה אקראית? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בתגובה 336491 "אבל זה לא חשוב". | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בערך (ln(N, אם אתה סופר גורמים ראשוניים שונים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האמצעים שלי לביצוע החישובים נמצאים בבית. האמצעים שבפרינסטון הרבה יותר נגישים כרגע. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האמצעים שבפרינסון עסוקים כרגע. בואו נניח שבחרתי. נסמן את הבחירה שלי ב-<המכפלה>. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בוא נקצר תהליכים: האם ה"קו" שלך יהיה 25% לשני מספרים זוגיים? אם לא, אנא ספר לי מהו. (ובעניין ה"על מה נתערב" כנראה לא הבנתי מה אתה שואל) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שליש. אתה אמרת שכדי למנוע הטיות נחליט אחרי הבחירה של גדי על מה השאלה תהיה (זז אא אז). אבל איך נחליט? אולי נבחר באופן *אקראי* על אחת האפשרויות? זה מחזיר אותנו לתסריט שתארתי, בוא בוחרים באופן אקראי את התשובה, ומתעלמים מהסתברות התשובות עצמן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה שנבחר באופן אקראי? אני כבר החלטתי (למען האמת, החייזרים ההם אמרו לי מה לבחור), רק לא רציתי לספר על כך לגדי כדי למנוע קנוניה אפשרית. הבחירה היא שני מספרים זוגיים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי אני לא הבנתי אותך. לדעתי יש הבדל בין "השאלה טרם נקבעה" כמו שכתבת בתגובה 336482 לבין "אני כבר החלטתי". בכל אופן, אני דבק בעמדתי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, אני שיקרתי קצת. מה לא עושים בשביל צלחת פסטה. התשובה "שליש" עדיין תקפה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ואללה? אני בטח לא מבין משהו מאד יסודי כאן. אתה מהמר שבכשליש מהכדים של גדי יש שני מספרים זוגיים? נאמר, אם יימצאו כאלה בפחות מ- 290 מתוך 1000 הכדים שלו אני אוכל את הפסטה שלך? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איזה כדים בראשך? כד בודד. שוב, כאשר יש אלף כדים, האפקט הפיסיקלי אומר שגדי לא יטרח הרבה על הניסוי, אפילו שהוא וישנה, אלא פשוט יזרוק מה שיש לו בבית לאלף כדים. במצב כזה, הנחת ההתפלגות השווה היא הגיונית לגמרי, והייתי הולך על 25%. אבל, אם מדובר בניסוי בודד, ובן וישנה חזקה עליו שישקיע, הרי שאין לי אינפורמציה לגבי *תוצאת* הכדים, אבל יש לי אפשרות לבחור את ה*ניחוש* שלי באופן אקראי. אני יודע שאפשר לתקוף את הגישה הזאת על יסוד סבירות וכולי, אבל בתחושה שלי היא שהניסוי הזה מזכיר מאוד את בעית שתי המעטפות: איננו יודעים דבר על ההתפלגות של הבחירה, ולכן הניסוי לא מוגדר היטב מבחינה הסתברותית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוקיי, כד בודד ואתה מוכן להתערב איתי ביחס 1:3. עוד 999 כמוך ואני מסודר. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |