בתשובה לאורי גוראל גורביץ', 19/10/05 22:18
הקטנוניים והגאים 340405
נו יאללה, לא הגיע הזמן לתת פתרון?

חלק נראה לי ברור - ספרה במרחב הילברט ממימד אינסופי היא כוויצה. כאן זה לא בדיוק מרחב הילברט, אבל בכל זאת אפשר לבנות כיווץ שכזה (או שנשים לב שמדובר במרחב תאי שיש לו חבורות הומוטופיה כמו של נקודה).
משיקולי סימטריה הנחתי שהם לא הומאומורפיים, אבל לא הצלחתי למצוא איזה משהו פשוט שיבדיל ביניהם, ואני חושד שקיים הומאומורפיזם. עכשיו, אם רק תהיה נחמד ותכתוב אותו כאן...
הקטנוניים והגאים 340659
בטח שהומיאומורפיים. עכשיו גרמת לי לתהות לגבי הספרה והכדור ב-L2. נדמה לי שחשבתי על זה פעם אבל אני לא זוכר מה היתה המסקנה...

הוכחה ב-‏11.
הקטנוניים והגאים 340780
ב 11 לאיזה חודש?...

בכל אופן, כבר כתבתי לא מעט שטויות בדיון הזה, אז אני אסתכן בעוד אחת - תוך זריקת המוטו "חשבתי על זה רק שתי דקות". אם כבר השניים הומאומורפיים, נשמע הגיוני שזה ככה גם ב l2. שתי הדקות הללו הביאו אותי למסקנה שהספירה והכדור ב l2 הם ההשלמה של הספירה והכדור בשאלה שלך, ואם זה ככה אז מה השאלה?
הקטנוניים והגאים 340781
הכוונה מחר ב-‏11 :-)

הנה משפט שגוי: אם A ו-B הומיאומורפיים כך גם הסגור שלהם.

בכל מקרה, במקרה זה זה כנראה נכון. הוכחה ב-‏11.
הקטנוניים והגאים 340859
טוב (מתקפל פנימה וממלמל) ... זה מה קורה כשפונקצית הגישור בין המוח לאצבעות בשתבשת. בתור עונש אני אכתוב מאה פעמים "כל פעם שאתה כותב באייל משהו על מתמטיקה אחרי חצות, בדוק אם R מהווה דוגמא נגדית".
הקטנוניים והגאים 340861
אחד הדברים שאני אוהב בדיונים באייל על מתמטיקה הוא שאחוז הפעמים שבהם מישהו אומר "אוקיי, טעיתי" בהם נדמה לי גדול בהרבה מאחוז הפעמים שבהם זה קורה בדיונים על כל נושא אחר. כך מתקבל הרושם שברוב הפעמים שבהן אנשים טועים, הם באמת מודים בזה ומודעים לזה.

מצד שני, אני כנראה טועה ו-‏3,000 ההודעות האחרונות בדיון הזה מוכיחות זאת.
הקטנוניים והגאים 340865
חשבתי שהבבושקות והכיווצים הבהירו שזה לא דיון על מתמטיקה.
הקטנוניים והגאים 340869
אוקיי, טעיתי.
הקטנוניים והגאים 341110
לא, לא, אני מתעקש, *אני* הוא שטעה.
נראה לי.
הקטנוניים והגאים 341198
טוב, אני צריך לחשוב על זה מחר כשאני יותר בפוקוס, אבל נראה לי ששניהם הומאומורפיים לאוסף הפונקציות שמקבלות ערכים 1 ו 1- על [0,1] .
הוכחה! (ב-‏11) 342348
ההומיאומורפיזם המדובר יוצא קצת מסובך. הרעיון הוא להציג פרוק תאי של Dinf ו-Sinf שידגים שהם אותו דבר.

הפרוק התאי של Sinf הוא קל:
יש שני תאים מכל מימד והם פשוט כל הסדרות בהן x_n>0 וx_m=0 עבור m>n, וכנ"ל עם x_n<0.

למצוא פרוק שקול לDinf יותר קשה.
התאים ממימד אפס הם הנקודות (0,0,0...) ו-(1,0,0,...).
התאים ממימד אחד הם:
1) כל הנקודות עם x_i=0 עבור i>0 ו- 0<x_0<1,
2) כל הנקודות עם x_i=0 עבור i>0 ו- x_0<0 איחוד עם
כל הנקודות עם x_i=0 עבור i>1 ו- x_1>0 ו- x_0^2+x_1^2=1.

באופן כללי:
1) כל הנקודות עם x_i=0 עבור i>n-1 ו- x_n בין 0 ו-‏1.
2) כל הנקודות עם x_i=0 עבור i>n-1 ו- x_n<0 איחוד עם
כל הנקודות עם x_i=0 עבור i>n ו- x_1>0 והן על הקליפה (סכום ריבועים x_i שווה 1).

צריך לצייר את זה בשביל להבין.
ברגע שרואים שהיחסים בין התאים הם אותו דבר בשני הפירוקים אפשר לבנות את ההומיאומורפיזם במפורש.
אחרי שעושים את זה ניתן לראות שהוא ליפשיץ.
אחרי זה אפשר להוכיח את המשפט הבא.

משפט: אם יש הומיאומורפיזם ליפשיץ בין A (תתקבוצה של X) ו-B (תתקבוצה של Y) ו-X ו-Y מרחבים מטריים שלמים, אז ניתן להרחיב אותו להומיאומורפיזם ליפשיץ בין הסגורים של A ו-B.

מ.ש.ל.

שימוש במשפט הנ"ל נותן שהכדור והספירה ב-l2 הומיאומורפיים.

טל"ח

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים