בתשובה לעוזי ו., 23/10/05 14:52
 |
|
 |
||
|
||||
 |
כבר כמה פעמים שמתי לב ש"אתם מתמטיקאים" מבדילים בין "אינסופי" ל"בן מניה". לא ברור לי מה הסיפור? |  |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
בהנחה שהשאלה כנה, ושלא פספסתי בדיחה: במתמטיקה בלתי-טרחנית יש כל מיני גדלים לקבוצות אינסופיות. הקבוצות האינסופיות ה"קטנות" ביותר נקראות בנות מניה, משום שאת איבריהם ניתן למנות בזה אחר זה - בדיוק כמו את המספרים הטבעיים. אחד הנושאים העיקריים לדיון המשמעם כאן הוא שיש קבוצות בעלות עוד יותר איברים - למשל קבוצת הפונקציות מן הטבעיים לטבעיים. התוצאה הזו הדהימה אותי בשעתה, וההוכחה עבורה יפה ופשוטה. חלק מהנודניקים שמשתתפים בדיון סבורים שזה שקר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מבחינתי הדיון הוא על האפשרות העקרונית והמעשית לשינוי הפרדיגמה של שפת המתמטיקה ולכן השאלה הנכונה היא לא האם אנחנו דורון ואני נודניקים, אלא למה כבר חודשיים, אחרים מצטרפים לדיון בנושא הזה. כפי שצוין במאמר של אלון הדיון במשמעות של שיטת האלכסון הוא מרכזי אצל טרחנים כפייתים משום שהיא ללא ספק נקודה מכרעת לגבי מינופה של שפה חדשה. אגב, קנטור עצמו החל להטיל ספק בתאוריה שלו על תורת הקבוצות קצת לפני אישפוזו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני יודעת שיש גדלים אינסופיים שהם גדולים יותר (וגם הרבה הרבה יותר) לגדלה של רבוצה בת מניה. אבל כיוון שיש גם קבוצות בנות מניה שהן אינסופיות, לא ברור לי מדוע המתמטיקאים באתר זה כוללים אותן בין הקבוצות שאינן אינסופיות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חשוב לציין שה"גודל" תלוי לגמרי בדרך שבה אתה מגדיר אותו. יש כאלו שמגדירים (עבור שימושים אחרים) "גודל" בעזרת מה שמכונה "פונקצית מידה" ואז זה סיפור שונה לגמרי. כשיש לך קבוצה עם מספר סופי של איברים "גודל" שלה יכול להיות פשוט מספר טבעי שמציין כמה איברים יש בה. כשהולכים לקבוצות אינסופיות העסק יותר מסובך כי אין מספר טבעי שמציין "אינסוף". לכן אפשר במקום זה להשוות את מספר האיברים שבקבוצה שאת הגודל שלה אנחנו רוצים לדעת עם קבוצות אחרות, כשה"בסיס" שלנו הוא קבוצת המספרים הטבעיים. אנחנו אומרים ששתי קבוצות הן מאותו גודל (המילה המדוייקת יותר לגודל מסוג זה היא "עוצמה") אם יש פונקציה שהיא חד חד ערכית ועל מקבוצה אחת לשניה. בלשון יותר פשוטה: אם אפשר לסדר את איברי שתי הקבוצות זוגות זוגות, כך שלכל איבר מהקבוצה הראשונה מתאים איבר אחד ויחיד מהקבוצה השניה, ולהפך. כאן מגיעים הדברים המשוגעים. רואים, למשל, שעל פי ההגדרה הזו של גודל, הגודל של קבוצת הטבעיים זהה לגודל של קבוצת הרציונליים, ולעומת זאת הוא אינו זהה לגודל של קבוצת הממשיים (ההוכחה לדבר הזה נקראת "האלכסון של קנטור", אותה תוקפים הנודניקים המדוברים, והיא אכן יפה ופשוטה במידה מדהימה). על פי ההגדרות הללו, "בן מניה" הוא הגודל של קבוצת המספרים הטבעיים. הגודל של קבוצת הממשיים (שהוא גם הגודל של קבוצת הפונקציות מהטבעיים לטבעיים) נקרא לעתים קרובות "עוצמת הרצף" - הנה השתרבב לו ה"רצף" האהוב לדיון. אפשר להתחיל לקרוא על זה כאן: |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש קבוצות אינסופיות שאפשר למנות (לסדר בשורה אינסופית - ראשון, שני, שלישי וכו'), ויש קבוצות גדולות עוד יותר, שאי אפשר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה לא מקבל את משפט הסדר הטוב? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סדר טוב לא מבטיח שתוכל למנות את אברי הקבוצה. קח את הטבעיים עם איבר אחרון ונסה למנות אותם - מה המספר שיתאים לאיבר האחרון? מצד שני, הם סדורים בסדר טוב. כדי למנות אותם תצטרך לשנות קצת את הסדר (להעביר את האיבר האחרון להתחלה). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דהיינו, גם כאן קיים סדר טוב. כל מה שאני לא מבינה, ומשום מה זה לא בהיר בשאלתי, הוא מדוע לא כוללים קבוצות בנות מניה בין הקבוצות האינסופיות באופן כללי? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן כוללים אותן, למה לא? פשוט לא כל קבוצה אינסופית היא בת מניה. לפעמים מגדירים בתור קבוצה בת מניה גם קבוצה עם מספר סופי של איברים (הרי גם אותם אפשר למנות) ואז אפילו ההפך לא נכון: לא כל קבוצה בת מניה היא אינסופית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ודאי, הכל נכון, לא חשבתי אחרת לרגע. הדבר היחידי שמבלבל אותי הוא שכיוון שבכל זאת *יש* קבוצות בנות מניה שהן אינסופיות - מדוע לא כוללים אותן בין האינסופיות האחרות. אבל משום מה אינני מצליחה להבהיר את עצמי, אז אפשר להפסיק כאן.:) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן כוללים אותן, למה את חושבת שלא כוללים אותן? אין הבדלה שאומרת "זה אינסופי וזה, לעומת זאת, בן מניה". | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''(לא חשוב כמה פעמים אומרים שמספר הנקודות אינסופי או לא בן מניה)'' (כתב עוזי). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זו כנראה אשמתי. כתבתי ''לא חשוב כמה פעמים אומרים שמספר הנקודות אינסופי או לא בן מניה'', והתכוונתי שלפעמים אומרים שהמספר אינסופי, ולפעמים אומרים שהוא לא בן מניה (למרות שהטענה השניה חזקה יותר מן הראשונה). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבנתי. תודה.:) | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |