בתשובה לדורון שדמי, 31/10/05 17:53
 |
|
 |
||
|
||||
 |
המתמטיקה-המונדית עוסקת בחקר הגישור שבין מרחב לא-קשיר המיוצג בצורתו המינימלית ההכרחית ע"י אלמנטים לוקליים כמו נקודות, לבין מרחב קשיר המיוצג בצורתו המינימלית ההכרחית ע"י אלמנט לא-לוקלי כמו קטע רציף לחלוטין. המרחב הקשיר והלא-קשיר מקיימים ביניהם יחס של עצמאיות-הדדית, קרי, הם אינם נגזרים זה מקיומו של זה בדיוק כמו שתיי אקסיומות. עצמאיות-הדדית זו מאפשרת הרחבת מושג השייכות מאלמנטים לוקליים בלבד, המסוגלים להתקיים או מחוץ לקבוצה .{} או בתוך קבוצה {.} ( .{} xor {.} ), לאלמנטים לא-לוקליים המסוגלים להתקיים סימולטנית מחוץ ובתוך קבוצה ( _{_} ). אציין כי איני מתייחס כאן לנקודה או לקטע במובן הגיאומטרי או המטרי, אלא במובן הלוגי העומד בבסיס מושג השייכות (לעיון מפורט יותר אנא ראה את http://www.createforum.com/phpbb/viewtopic.php?t=43&... ) למיטב ידיעתי, המתמטיקה הרגילה מבוססת רק ואך ורק על .{} xor {.} , וכתוצאה מכך לא נחקר עד כה מרחב הגישור שבין מרחב-קשיר {__} למרחב לא-קשיר {...}. כמו-כן, הוספת אלמנט לא-לוקלי למחקר המתמטי, משנה מיידית את הבנתנו את מושג האינסוף, לדוגמא הנה קטע שכתבתי בפורום המתמטיקה של אתר הסטודנטים של אוניברסיטת באר-שבע: אם יש הבחנה קטגורית בין רצף (קטע ) לבדידיות (נקודות), ניתן להבין מייד כי שום ...###.0 כגון ....0.111 (בסיס 2) אינו שווה ל-1, לדוגמא: אבקש שתקרא בזהירות רבה את כל הכתוב ב- http://www.createforum.com/phpbb/viewtopic.php?t=47&... . אם תעשה זאת, תגלה כי ההפרש הינו קטע לא-מורכב הקיים תמידית בין כל ערך נתון לגבול ההיפוטתי, והמשמעות היא:"שום אוסף אינסופי כלשהו (סדור או לא סדור) אינו יכול להשיג את מצב הרצף של קטע לא-מורכב, ולכן מתקיים תמידית פער בין האוסף האינסופי לגבול ההיפוטתי שלו, או במילים אחרות, אוסף אינסופי הינו בלתי-שלם אינהרנטית ולכן הוא שונה קטגורית מרצף או מאוסף סופי. במילים אחרות, לאוסף אינסופי לא קיים קרדינל מדוייק, ולא ניתן להרחיב את מושג הקרדינל המדוייק מאוסף סופי לאוסף אינסופי, כי לא קיימת קבוצה אינסופית המכילה את כל האיברים בעלי תכונה משותפת, כי התכונה הינה דבר הנקבע ע"י אקסיומה, ואין האקסיומה מגדירה כמה איברים מקיימים את התכונה, לדוגמא: N הינה קבוצה המכילה את האיברים שיש להם את התכונות של מספר טבעי, כאשר מספר האיברים המקיימים את התכונה אינו תנאי הכרחי לקיומה של התכונה (התכונה היא קיום במרחב לא-קשיר), ולכן אינסופיות N אינה חלק אינטגרלי של קיומם הבדיד של איברי N, וחקר האינסופיות מבוסס על חקר מושג העוקב, כאשר מושג זה אינו מוגבל למספרים הטבעיים בלבד, אלא ניתן להרחבה לכל אוסף כגון R, Q ו-C כפי שאני מדגים בבירור ב- http://www.geocities.com/complementarytheory/Success... ו- http://www.createforum.com/phpbb/viewtopic.php?t=45&... . אם אתה לוקח קטע ושובר אותו, אתה מקבל שניי קטעים מובחנים, שכל אחד מהם הוא רצף. תכונת הרצף נשמרת גם באינסוף שבירות, כאשר כל שבירה היא תמיד אלמנט מתמטי המיוצג ע"י נקודה, ואינסוף שבירות אין בכוחן לבטל כליל את קיומו של רצף בין שתי נקודות שבירה. יש לך כאן תכונה של דמיון-עצמי על פני אינסוף קני-מידה, כאשר הדמיון-העצמי הוא קיומו הפרמננטי של קטע. למעשה, אם נטען שניתן לבטל כליל את הרצף ע"י ריסוקו, הריי שאין לנו מה לרסק יותר, והמשמעות היא שיש לנו רמה סופית של שבירות, וזו בסתירה ליכולתנו לשבור לאינסוף. לכן קיומו של קטע רציף בין כל שתיי נקודות-שבירה, היא למעשה תכונה אינהרנטית של אוסף אינסופי, ולכן לעולם קיים קטע רציף בין האוסף האינסופי לחסם-ההיפוטתי, ולכן מושג החסם בטל ומבוטל כי הוא לא חוסם את אינטרפולציית השבירות האינסופית. שוב, הרצף ממשיך להתקיים כרצף בכל אחד מהחלקים הנ"ל, ושום תהליך שבירה אינסופי לא מבטל את תכונת-הרצף. הסיבה היא פשוטה מאוד והיא: אם הרצף "מושמד" כליל אנו מקבלים מערכת בעלת עומק-שבירה סופי, ואז ברור לחלוטין כי אין לנו אוסף אינסופי. לכן המסקנה הבלתי נמנעת היא שקיומו של אוסף אינסופי תלוי בקיומו של עומק-שבירה אינסופי, כאשר עומק-שבירה אינסופי תלוי בקיומו הפרמננטי של קטע-רציף באינסוף רמות-שבירה. עם נחשוב על קבוצת-קנטור אז, נקודה (אלמנט שמידתו 0) איננה חלק מהישר. למעשה יש יחס של עצמאיות-הדדית בין ישר לנקודה, המונע את היגזרותם זה מזה. אם קבוצת-קנטור היא אוסף אינסופי, הריי שאוסף זה חייב להכיל גם נקודות-שבירה וגם קטעים על פני אינסוף רמות של קני-מידה שונים, השומרים על דמיון-עצמי, כאשר הדמיון-העצמי מוגדר ע"י קיומם הסימולטני של קטעים-רציפים AND נקודות-שבירה, ולא פחות מכך. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |