בתשובה לאורי גוראל גורביץ', 08/09/06 17:00
So Far So Good 408213
So Far So Good 408326
(.. אמר האיש שנפל מגג הבנין בהגיעו לקומה הראשונה)

עכשיו נגדיר
Loop Erased Random Walk - LERW
מתחילים בראשית ועושים הילוך מקרי רגיל. אלא ברגע שמגיעים לנקודה בה כבר ביקרנו, כלומר נוצרת לולאה, מוחקים את הלולאה וממשיכים הלאה. מכיון שהילוך מקרי במימד 2 הוא נשנה (כלומר חוזר לראשית בהסתברות 1) יש לנו בעיה: מתישהו נחזור לראשית ונמחק את הכל, כך שלא ברור מהו המסלול ה"סופי" שמתקבל. כדי להתגבר על כך, ניקח איזשהו תחום מסביב לראשית ונעצור את התהליך שלנו ברגע שהגיע לשפת התחום.
עכשיו, נניח שאנחנו מחפשים scaling limit של התהליך הזה. ה-LERW שלנו הוא פונקציה של ה-RW שלנו, וה-RW שואף לתנועה בראונית (שהיא אינווריאנטית קונפורמית), למה שואף ה-LERW והאם הדבר הזה הוא אינווריאנטי קונפורמית?
גישה נאיווית היא לנסות להגדיר Loop Erased Brownian Motion. זה לא עובד כי ל-BM יש הרבה לולאות (קבוצה צפופה, בפרט אין לולאה ראשונה) וסדר המחיקה של הלולאות חשוב. בקיצור, לא עובד.
ב-‏1999, עודד שרם הוכיח שאם יש גבול ל-LERW ואם הגבול הוא אינווריאנטי קונפורמית אז הגבול הזה הוא SLE2.
מה זה ולמה עוד זה טוב? בתגובה הבאה.
So Far So Good(כה"ב) 408387
רק ליישר קו(pun intended):

בוחרים נקודה במישור ומקיפים אותה בעיגול (נניח, אפשר גם משהו אחר).

מסתכלים על *כל* הRW שמתחילים בראשית ומסתיימים בעיגול (לא ממשיכים לאחר שפוגעים בעיגול ). מדובר במספר סופי של מהלכים כאלה (על סריג).

מכל הילוך זורקים את הלולאות, זהו ה LERW.

חלק מההילוכים נותנים את אותו LERW.

עכשיו לוקחים את גבול הרצף של העניין - סריגים הולכים ומתעדנים.

כשאתה אומר "יש גבול לתהליך" אתה מתכוון (נדמה לי) לכך שאם נצייר שתי "גדרות" בין הראשית לבין העיגול, שתוחמות "שביל", ונסתכל על ביחס בין מספר ה LERW שבתוך השביל, ובין סך כל ה LERW, היחס הזה ישאף לקבוע כאשר נעדן את הסריג, *לכל* שביל שנבחר.

כשאתה אומר "הגבול הוא אינווריאנטי קונפורמית" אתה מתכוון שאם נעשה העתקה קונפורמית לעיגול, לנקודה ולשביל, היחס שחישבנו מקודם לא ישתנה.

חסרה לי עדיין ההגדרה ל SLE. ואני לא יודע האם שני RW שונים שנותנים את אותו LERW נספרים פעמיים בהתפלגות.

האם הבנתי את כוונתך?
So Far So Good(כה"ב) 408487
בגדול, כן. תיקונים:
יש אינסוף מסלולים אפשריים של RW שמתחיל בראשית ומסתיימים בעיגול.
אחרי שמוחקים לולאות מקבלים מספר סופי של אפשרויות. מסלול של LERW מספר לפי סכום ההסתברויות של RW שנותנים אותו (לא לכל ה- RW יש אותה הסתברות, כיון שאינם באותו אורך).

אם לא היית "סופר פעמיים", כלומר היית לוקח התפלגות אחידה על כל המסלולים שלא חותכים את עצמם (מספר סופי), היית מקבל את מה שנקרא Self Avoiding Random Walk - SARW ‏1. על SARW יודעים הרבה פחות מאשר על LERW. אאל"ט, לא יודעים להוכיח שיש גבול-קנה-מידה אלא רק במקרים מיוחדים. למעשה, LERW הוצע בתור פישוט של SARW.

כמובן שגם SARW שייך לעסק. אם יש גבול ל-SARW והוא אינווריאנטי קונפורמית אז הוא SLE8/3.

So Far So Good(כה"ב) 408517
טעות שלי-מסכים שיש אין סוף RW(אפשר ללכת קדימה אחורה על אותו המקטע לנצח). מה הקשר בין האורך של המהלך להסתברות שלו? האם צריך לנרמל לפי מספר ההילוכים האפשריים באורך נתון?

הSARW מוכר לי היטב כמודל לפולימרים ואכן דופלנטיה]1[ (או קארדי, אני מתבלבל) הסיק מסקנות רבות לגבי גבול-קנה-המידה, כנראה בשיטה שאתה מתאר ובאמת לא הבנתי אף פעם איך הוא עשה את זה.

1

So Far So Good(כה"ב) 408537
תראה, ההסתברות לעשות את המהלך <ימינה, למעלה, ימינה, שמאלה, למעלה, למעלה> (נניח שיצאנו מהכדור) היא 1/4 בחזקת 6. לכל צעד ההסתברות היתה 1/4 והיו שישה צעדים. על כן, הילוך ארוכים יותר הם מסתברים פחות.

עכש"י, כל המסקנות של פיזיקאים בתחום לא באות מ-SLE אלא ממשהו שנקרא Conformal Field Theory - CFT. גם Quantum Gravity היא זימזומילה שנתקלתי בה. על הדברים האלה אין לי ולו שמץ של מושג (בינתיים). אני אנסה לקרוא קצת במאמר שנתת, נראה אם אבין משהו.

גם אני נתקלתי באזכורים של SARW כמודל לפולימרים. מה שלא ברור לי הוא האם/למה זה מודל טוב. מבחינה מתמטית הוא נורא מסובך וקשה לי לראות מה האינטואיציה פיזיקלית מאחוריו.
"למבינים בלבד!" 408621
כלומר- אני בונה את כל ההילוכים באורך N. עבור כל אחד מהם-אם הוא פוגע בעיגול לראשונה ב N, אני מוסיף אותו לאוסף, עם הסתברות של 4 במינוס N , אחרת אני זורק אותו. חוזר על התהליך עם N+1 וכולי, ואז מנרמל שוב כדי שסכום ההסתברויות יצא 1?

בCFT אני מבין אפס, אבל אני יודע שהפילדס של וויטן קשור לכך איכשהו.

ההנחה היא שפולימר בתמיסה דוגם את כל המצבים האפשריים שלו בהסתברות שווה. לפיזיקאים גם יש דרכים מופלאות לפתור את המודל (לא רק בסימולציות) ולהשוות לניסויים. למשל, הם הגיעו למסקנה שמספיק להסתכל על הילוכים אקראיים בהם ההסתברות מונחת מעט בכל חיתוך‏1. אופציה אחרת היא תובנה מקסימה של דה-ג'ן משנות השבעים- SAW על סריג נראה בדיוק כמו הדיאגרמות של תורת ההפרעות של תורת שדה מסויימת‏2.

1 ספר מעניין (אבל קשה) שאפשר להוריד חינם, נמצא כאן:
(צריך לגלול לקראת הסוף עד שרואים For the PDF files of the fourth edition click this line! )

2 פרק 3.2 כאן
(בכלל נראה כמו סקירה מעניינת )
"למבינים בלבד!" 408831
כל הענין הוא שלא צריך לנרמל, סכום ההסתברויות יצא 1. זה יהיה ברור אם תסתכל על הזמן הראשון, T, שההילוך (האינסופי) פוגע בעיגול. מה שאתה חישבת זה בעצם את הסיכוי ש T=N לכל N וסיכמת. מכיון שההילוך פוגע בעיגול בסיכוי 1, זה גם מה שיצא לך.
"למבינים בלבד!" 408924
כמובן. מה שמוכיח כמה שאני חלוד.

אגב- זה הזמן לשאול האם לא עדיף להעביר את הדיון לערוץ פחות ציבורי. מאז הפתיל של שוקי על הניוטרינואים נדמה לי שלא היה כאן משהו כל כך צר וטכני.
"למבינים בלבד!" 408986
ולגדוע באיבו את הדיון היחיד המחדש משהו באייל בזמן האחרון‏1?

1 תגובה 408677
הלאה ל-SLE 408848
נתחיל ב-LE.
נגדיר רצף של פונקציות קונפורמיות המוגדרות ב(חלק מ-) חצי המישור העליון (לא כולל הישר הממשי) ושהן על חצי המישור העליון ומקיימות את המשוואה:

g'_t(z)=2/g_t(z)

כאשר הנגזרת היא לפי t, ותנאי ההתחלה הוא g_0(z)=z.

אם נהרהר קצת נגיע למסקנה כי עבור t מסוים g_t מוגדרת על חצי המישור העליון פחות קטע מעל הראשית. עבור נקודה z בקטע הזה המסלול שלה g_t(z) מגיע לראשית בזמן סופי, שאז המשוואה לא מוגדרת ובכלל דרשנו ש-g_t תהיה על חצי המישור העליון, לא כולל הישר הממשי.
עבור הקורא הנבוך הנה גם הפתרון המפורש:
g_t(z)= sqrt(z^2+4t)
והקטע בו הפונקציה g_t לא מוגדרת הוא [0,2sqrt(t)i].

כה רחוק כה טוב?
הלאה ל-SLE 408922
כמעט. אני מבין שה*משוואה* לא מוגדרת (אם כי, כשאני מסתכל על המשוואה עבור הריבוע של g_t הכל נראה בסדר), אני לא מבין למה הפונקציה עצמה לא מוגדרת. צריך אמנם להגדיר branch cut עבור השורש, וטבעי להגדיר אותו על הקטע הנתון, אבל האם זה כורח המציאות?
הלאה ל-SLE 408957
לא זה לא כורח המציאות, אבל המטרה שלי היא ש-g_t תהיה פונקציה קונפורמית מאיזשהו תחום על חצי המישור העליון. במקרה הזה אם המסלול של g_t(z) מוביל אותה לישר הממשי אז z היא מחוץ לתחום ההגדרה.

עוד אח"כ.
הלאה ל-SLE 409005
נמשיך.
עכשיו נניח שהמשוואה היתה
g'_t(z)=2/(g_t(z)-a)
כאשר a מספר ממשי. אז הכל אותו דבר עם a במקום הראשית.
עכשיו במקום a שים a_t פונקציה ממשית ורציפה של הזמן. אם הפונקציה הזו מספיק יפה אז הפונקציות g_t מוגדרות בתחום שהוא חצי המישור העליון פחות איזושהי עקומה, c. אם a_t=0 תמיד אז העקומה הזו היא הישר המדומה.
גם ההיפך נכון: לכל עקומה (אולי צריך עוד תנאים) אפשר למצוא פונקציה a_t שתיתן אותה. הפונקציה הזו נקראית driving function.

כל זה נקרא Loewner evolution. לבנר פיתח את זה בשביל להוכיח חלקית את השערת ביברבאך.

הסטוכסטיות תבוא מחר.
הלאה ל-SLE 409470
טוב, עוד תגובה אחת, רק למען השלמות.

כפי שכתבתי, אם הפונקציה a_t יפה מספיק מקבלים עקומה רציפה c ורצף של פונקציות קונפורמיות g_t מחצי המישור פחות העקומה עד זמן t על חצי המישור.
עכשיו ניקח את a_t להיות תנועה בראונית (חד מימדית) עם מהירות k. תנועה בראונית היא לא פונקציה כל כך יפה אבל מסתבר שהיא בדיוק מספיק יפה בשביל לקבל עקומות כנ"ל. ההתפלגות המתקבלת על עקומות היא SLEk.

באופן מפתיע ביותר, למרות ששינוי מהירות של התנועה הבראונית לא משנה שום תכונה מהותית, הרי של-SLEk יש תכונות שונות מאוד בהתאם ל-k. ככל ש-k יותר גדול כך העקומה המתקבלת יותר "פרועה". אם k<4 מקבלים עקומה פשוטה (לא חותכת את עצמה), בעוד שעבור k>4 העקומה כן חותכת את עצמה (נוגעת בעצמה‏1, ליתר דיוק). אם k>8 אז העקומה כבר ממלאת שטחים.

עבור כל מיני ערכים של k יש ל-SLEk תכונות מיוחדות. בפרט עבור k=6 (ורק עבורו) מקבלים תכונה שנקראית לוקליות. גבול-קנה-מידה של פרקולציה קריטית צריך לקיים את התכונה הזו. עם עוד קצת עבודה אפשר להוכיח שאם גבול-קנה-המידה של פרקולציה קריטית הוא אינווריאנטי קונפורמית‏2 אז הוא SLE6.
בצורה דומה לגק"מ של SARW צריכה להיות תכונת ההגבלה (restriction) שיש רק ל-SLE8/3.

נראה לי שמיצינו את קיבולת החידושים של האייל.

1 נשמע כמו פורנו ביזארי במיוחד - "העקומה נוגעת בעצמה" שלא לדבר על "חותכת את עצמה".

2 וזה מוכח רק עבור השריג המשולשי בדרכים שאינן קשורות ל-SLE.
הלאה ל-SLE 409642
אני עוד תקוע בתגובה הקודמת, אבל בינתיים, תזכיר לי מה זה "מהירות" של תנועה בראונית?
הלאה ל-SLE 409649
תנועה בראונית סטנדרטית נעה במהירות 1 - כלומר בזמן t התפלגות המיקום שלה היא נורמלית עם שונות t. תנועה בראונית במהירות k היא שינוי של הזמן פי k, כלומר, בזמן t היא מתפלגת נורמלית עם שונות kt.
הלאה ל-SLE 409652
יעני, קבוע הדיפוזיה?
הלאה ל-SLE 409655
אני מתאר לעצמי שימצא מי שירצה לקרוא לזה ככה.
הלאה ל-SLE 409656
איך שינוי הזמן פי k יכול לשנות משהו?
שאלה קשה 409709
נו, בגלל זה כתבתי שזה מפתיע ביותר.
מעבר לזה, אני לא יודע את החומר מספיק טוב בשביל להסביר באופן לא טכני. בכל זאת:
יש כאן שני תהליכים שמתפתחים בזמן: המשוואות הדיפרנציאליות והתנועה הבראונית. הפרמטר k קובע את יחסי הכוחות. עבור z קבוע, ההתפתחות של g_t(z) "מושפעת" יותר מהתנועה הבראונית ככל ש-k גדול יותר. מסתבר שעל הסקאלה של k יש מעברי פאזה.
שאלה קשה 409715
אני קצת איטי, כשאתה אומר שהזמן משתנה פי k אתה בעצם משנה את ההגדרה של התנועה הבראונית (שהיא השאיפה של ההילוך השיכור על השריג תגובה 407955)?
שאלה קשה 409736
זה לא שאתה איטי, זה שהזמן משתנה מהר יותר (k>1).

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים