בתשובה לעוזי ו., 02/06/07 23:55
445937
הבעיה היא שמדובר בטרנספורמציה בין שני מרחבים שונים, דבר שלא כל כך קביל במכניקת הקוונטים. אתה צריך להגדיר מרחב חדש שכולל את את V וגם את הסכום הישר שלו עם עצמו, וכמובן, בגלל שהגדרת את הטרספורמציה כחוקית, גם בסדרים גבוהים יותר. אחרי זה צריך שגם במרחב כזה יהיה מדובר על טרנספורמציה אוניטרית.
446170
בניגוד למה שנאמר כאן, מכניקת הקוונטים מכירה בפעולה של הוספת חלקיק למערכת קיימת. לפעמים קוראים לזה סופר-אופרטור, והוא בהחלט יכול להיות לא אוניטרי. כמובן, שניתן להביט במערכת גדולה יותר, שבה הפעולה הייתה אוניטרית (ובסך הכל חלקיק עבר ממקום למקום), אבל זו לא חובה.

הבעיה העיקרית עם הטרנספורמציה של עוזי היא חוסר לינאריות, ונראה לי שלכך התכוון איזי: אם
U(x) = (x,x)
U(y) = (y,y)‎
אז מלינאריות צריך להתקיים
U(x+y) = (x,x)+(y,y)‎
שזה מאוד שונה ממה שאנו מצפים משכפול:
(x+y,x+y)=(x,x)+(x,y)+(y,x)+(y,y)
446182
לא הבנתי את השורה האחרונה שלך, למה אתה מצפה דווקא את זה משכפול?
446188
השורה האחרונה באמת לא הייתה ברורה. אם יש לי חלקיק קוונטי במצב שהוא סופרפוזיציה של x ו-y, אני מצפה ששכפול שלו ייתן שני חלקיקים במצב שהוא הסופרפוזיציה הזו. בכתיב של עוזי, אנו מצפים ש-

U(x+y)=(x+y,x+y)‎

אבל, כפי שכתבתי בשורה הלא ברורה, המצב הזה איננו זהה כלל למצב שנובע מהלינאריות של U. הבדל אדיר בינהם הוא ש-
(x+y,x+y) הוא מצב מקומי, ואילו (x,x)+(y,y) הוא "מצב חתול" עם המון entanglement.
446191
מצטער, לא הצלחתי לעקוב אחרי הטיעון שלך. מה הבעיה עם זה ש:
U(x+y) = (x+y,x+y) = (x,x) + (y,y)
מה זה מצב חתול?
446193
הבעיה היחידה היא שאני אידיוט, שלא מבדיל בין סכום ישר למכפלה טנזורית. אני אלך לפינה להתבייש.

מן הפינה, אשתדל לחזור על הטיעון. נביט בשני חלקיקים במצב ψ כל אחד. במכניקת הקוונטים, המצב של המערכת המשותפת שלהם נכתב כ-ψ⊗ψ, המכפלה הטנזורית של שני המצבים.‏
מכונת שכפול U צריכה לקבל ψ ולפלוט ψ⊗ψ, אך היא גם צריכה להיות לינארית. כלומר, מצד אחד,
U(x+y)=(x+y)⊗(x+y)=x⊗x+x⊗y+y⊗x+y⊗y‎
(השוויון השני על פי כללי המכפלה הטנזורית) אך מצד שני
U(x+y)=U(x)+U(y)=x⊗x+y⊗y‎

"cat state" זה כינוי למצבו החי-מת של החתול של שרדינגר. אם y מייצג תא-חתולי חי, ו-x מייצג תא-חתולי מת, x⊗x⊗x⊗x⊗x⊗x⊗x+y⊗y⊗y⊗y⊗y⊗y מייצג את החתול המפורסם.
446195
הבנתי, אבל אני חושב שההצעה של עוזי היא סכום ישר ולא מכפלה טנזורית בכוונה. ז''א, בהצעה שלך אתה מכפיל את החלקיק בעזרת אופרטור יצירה בהצעה שלו הוא מכפיל את המרחב, ויוצר מרחב כפול (שלמיטב הבנתי זהה מבחינת אפשרויות המדידה למרחב הבודד).
446213
ברור לי שאני טועה כאן, ולא עוזי. לכן אני עדיין בפינה.

עם זאת, גם הוספת חלקיק מגדילה את המרחב בשני מובנים: כל הווקטורים ארוכים פי שניים, וכן הממד שלו גדל בריבוע.

לא ברורה לי המשמעות של סכום ישר, ולא ברור לי מה התכוונת בסוגריים שלך. אבל התכונה החשובה ביותר של שכפול חלקיק, היא שניתן למדוד כל אחד מהעותקים באופן בלתי-תלוי. למשל, למדוד את המקום של המקור ואת התנע של ההעתק. כך, אפשר היה לדעת בקירוב טוב כרצוננו את שני הגדלים הדואליים האלה ולהפר את עקרון אי-הוודאות.

זה בעצם נימוק-המחץ שהיה צריך להתחיל בו את הדיון.
446221
הממד גדל פי שניים (''בריבוע'' זו שוב המכפלה הטנזורית).
446250
כאמור, אתה לא יכול לשנות את המרחב. לכן, גם הוספת חלקיק לא משנה את המרחב. כשמדובר בפיזיקה קוונטית רב חלקיקית, המרחב הוא בעצם סכום ישר של כל החזקות הטנזוריות של חלקיק יחיד.

אני מסכים איתך, זה נראה לי טיעון שדי הורג את הסכום הישר כאפשרות. עוזי?
446267
אם אני זוכר נכון (והידע שלי כאן הוא צנוע מאוד), אז ברגע שיש לך שני חלקיקים זהים, מדידות באחד מהם משפיעות על השני, לכן עקרון אי הוודאות אינו מופר.
זה נשמע מוזר, אבל יש לזה הוכחה הסתברותית (ליתר דיוק שלילה של משתנים מקומיים חבויים) בניסוי ששכחתי את שמו.
446270
האייל האלמוני שם מדבר על מכפלות טנזוריות של פעולות אונטיריות במרחבי-הילברט. קצת מוזר שאתה מנסה להסביר לו דברים כל כך בסיסיים.

בכל מקרה, אתה מתבלבל בין ''חלקיקים זהים'' ל-''חלקיקים שזורים'' (למיטב הבנתי הצנועה, שני חלקיקים הם זהים אם ורק אם הם אותו החלקיק, או לפחות זו המסקנה של הדיון). הניסוי עליו אתה מדבר הוא כנראה אי-שוויון בל.
446282
הרבה דברים מסובכים הבנתי רק אחרי שמישהו הזכיר לי את הבסיס הפשוט. בכוונה נמנעתי מלהשתמש במתמטיקה שאינני שולט בה כראוי.

האייל כותב ''אבל התכונה החשובה ביותר של שכפול חלקיק, היא שניתן למדוד כל אחד מהעותקים באופן בלתי-תלוי.'' ברור שאנחנו לא יכולים ליצור חלקיק יש מאין, לכן אני הבנתי את שיכפול החלקיק כמתן תכונות זהות לחלקיק אחר, זו פעולה דומה לשזירה.
446207
מה מסמן "⊗"?
446214
מכפלה טנזורית בין וקטורי מצב

מכניקת הקוונטים קובעת שמצב של מערכת ניתן לתיאור על ידי וקטור. נאמר x. נאמר גם שערכת שנייה מתוארת ע"י וקטור אחר, y.
המערכת הכללית, גם היא קוונטית, ולכן גם היא ניתנת לתיאור על ידי וקטור. הווקטור הזה ארוך יותר, ותלוי רק בx ובy, ולינארי בשניהם, וניתן לחשב אותו: על ידי חישוב המכפלה y⊗x
446228
תודה.

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים