בתשובה להאיילת האלמונית, 27/06/07 15:54
בהמשך לדיונים על לימודי המתמטיקה בבית ספר פה מלמעלה. 448832
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה להאיילת האלמונית יום ד', 27/6/2007, 18:42
אם את אומרת "צריך לשנות את תוכנית הלימודים במתמטיקה" - אני איתך.

לא הבנתי את הפתרון שהצעת, אז אני חוזר על שאלתי - מה התלמידים *חייבים* לדעת, ולמה?

(אני תמיד מציע את תורת הקבוצות בדיונים כגון זה, פשוט כי אין בה כמעט חישובים טכניים, ויש בה רעיונות חזקים מאוד ביחס למידת הפשטות של התורה).
בהמשך לדיונים על לימודי המתמטיקה בבית ספר פה מלמעלה. 448845
האיילת האלמונית • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' יום ד', 27/6/2007, 20:21
טוב, אז בוא ננסה.

אלגברה - כמו שמלמדים היום בארבע יחידות, לא להוריד לרמה של שלוש, ואולי אפילו להעלות קצת.
תורת הקבוצות - אני זוכרת שרפרפנו על זה בצורה ממש מגוחכת בכתה ח' - בגלל הסיבות שלך.
גאומטריה אוקלידית, עם קצת יותר ממשולש, מעויין, מלבן ומעגל. תרגול וישיבה על התחת זה לא מה שיעזור בתחום הזה, אלא הבנה, ולכן אפשר להתרכז קצת בלפתח את הנושא עוד קצת במקום בלהוכיח בסיטונאות משולשים דומים.
חדו''א - חקירת פונקציות על מרבית תכונותיהן לפחות. לא יזיק קצת הסבר מאיפה כל השטויות האלה באו ולמה. ההוראה של ''גזור פונקציה ומצא מתי הנגזרת מתאפסת'' או ''חשב את האינטגרל המסויים בין פה ופה'' היא די סתומה לרוב התלמידים ולא אומרת להם שום דבר על מה שהם עושים.
הסתברות - כי זה אולי אחד הדברים היחידים שלומדים שיהיו שימושיים בחיים האמיתיים.
ולוגיקה, כמה שיותר. כשרוב התכנים בבית ספר הם ''תנו לצה''ל לכסח'' ו''הלאה ביאליק'' (שהתלמיד הסביר לא יכול לקרוא אותו בלי מילון), לא יזיק לתלמידים ללמוד קצת חשיבה הגיונית. וזה פחות או יותר התפקיד של המתמטיקה בתכנית הלימודים, בעיניי. אולי אם ידגישו את הלוגיקה שבתוך זה, ואולי אפילו יהפכו אותה למקצוע נפרד (שזה מה שהצעתי למעלה), זה ישפר קצת את המצב, ואולי אפילו יעלה קצת את רמת ההבנה בחלק מהמקצועות האחרים למי שחשיבה כזאת לא באה לו באופן טבעי.
בהמשך לדיונים על לימודי המתמטיקה בבית ספר פה מלמעלה. 448846
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה להאיילת האלמונית יום ד', 27/6/2007, 20:28
זה מעניין. בחדו"א את רוצה לשים דגש על חקירה של פונקציות, ולא, נניח, על מושג הגבול, או על התכנסות של סדרות?

כי גם בימינו יש הסברים (לפחות בספרי הלימוד - מה עושים עם זה המורים, לאלוהים פתרונים) לגבי מאיפה הקטע של הנגזרת המתאפסת הגיע. דווקא חקירת פונקציות היא החלק הכי משמים בכל העסק, והוא זכור לי כדבר טכני במיוחד. בעיות מינימום ומקסימום הם דוגמה נאה יותר לשימוש.

הסתברות זה תחום רחב (שכבר כיום נלמד בצורה די סבירה בבית הספר, וגם כולל בתוכו את מושגי הבסיס של תורת הקבוצות) - אני מניח שהכוונה רק להסתברות בדידה, נכון?

אין שום אלגברה מופשטת בהצעה שלך, או תורת המספרים האלמנטרית. האם לדעתך אין עניין בתחומים הללו לתלמידי בית ספר?

ואת עניין הלוגיקה לא הבנתי. לוגיקה (מתמטית) למיטב הבנתי אין פירושה "חשיבה הגיונית", אלא "חקר מתמטי של מושג ההוכחה". הכוונה לכללי לוגיקה בסיסיים, כמו "אם A גורר B אז לא נכון לומר ש'לא A גורר לא B', וכן נכון לומר ש'לא B גורר לא A"'? כי את אלו נראה לי שאפשר ללמוד בשניים-שלושה שיעורים.
בהמשך לדיונים על לימודי המתמטיקה בבית ספר פה מלמעלה. 448851
האיילת האלמונית • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' יום ד', 27/6/2007, 21:23
אני לא חושבת שיש מקום דווקא ללמד בתיכון את מושג הגבול לעומק. אני חושבת שצריך להסביר עליו וללמוד עליו כמה שעות (שלזה התכוונתי בלהסביר מאיפה כל זה בא) ולהדגים שימוש בו. אני חושבת שההבנה המלאה של המושג והשימוש המלא בו הוא אחד הדברים האלה שמבדילים בין אלה שיכולים להבין מתמטיקה לבין אלה שלעולם לא יוכלו. שוב, לא שצריך להתעלם ממנו באופן גורף כמו שיש היום, אבל לא צריך גם להגזים עם זה. בכל זאת, אתה לא מלמד בתיכון קבוצה של מתמטיקאים - קבוצה של מתמטיקאים אתה מלמד בתרגולים שלך. קח בחשבון גם את הפרש הגילים.
בעיות מקסימום ומינימום זה נחמד, על זה לא חשבתי.

הסתברות בדידה, כן. אצלנו למדו הסתברות בצורה רחוקה מאד מסבירה, דווקא, אבל אולי זה יוצא מן הכלל.

לאגברה מופשטת אני לא חושבת שיש מקום בבית הספר. תורת המספרים האלמנטרית דווקא יכולה להיות בונוס מצויין שלא חשבתי עליו גם.

לא התכוונה דווקא ללוגיקה מתמטית אלא ללוגיקה מתמטית וללוגיקה פילוסופית ביחד (וכאן אולי מקור אי-ההבנה). אני חושבת שגם לוגיקה פילוסוית, ולאו דווקא מתמטית, יכולה לעשות הרבה טוב לתלמידים גם בתחום לימודי המתמטיקה כמו בהרבה תחומים אחרים.
בהמשך לדיונים על לימודי המתמטיקה בבית ספר פה מלמעלה. 448854
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה להאיילת האלמונית יום ד', 27/6/2007, 22:03
אני נוטה להסכים שאין סיכוי ללמד את מושג הגבול לכלל הציבור - האם לדעתך כדאי ללמד אותו בחמש יחידות?

למה לדעתך אין מקום לאלגברה מופשטת בבית הספר? די בדומה לתורת הקבוצות, היא בבסיסה האלמנטרי בנויה על משחקים בדברים פשוטים (אין הרבה הגדרות, ואין כמעט נוסחאות), אבל התוצאות שלה הן מעניינות מאוד.

ושוב, כשאת אומרת "לוגיקה מתמטית" - למה הכוונה?
בהמשך לדיונים על לימודי המתמטיקה בבית ספר פה מלמעלה. 448920
האיילת האלמונית • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' יום ה', 28/6/2007, 8:32
שוב - לא באופן שבו לומדים את זה באוניברסיטה, אבל בהחלט להסביר בעזרתו ולהבהיר בעזרתו מושגים ואולי אפילו להקדיש לו מספיק זמן כדי לפתור אתו כמה שאלות מעניינות.

נכון, זה לא תחום מסובך. אבל הוא עדיין מצריך ידע מוקדם כלשהו באלגברה כדי באמת להשתמש בו ולא סתם לבהות ולהגיד "אוו! שייני!". כמה חומר אפשר לדחוס ברמה סבירה בתוך חמש שעות שבועיות כשיש עוד שבעה מקצועות שמנסים ללמד כמות דומה של חומר ויש מאחורי כל זה תלמיד שמנסה לנהל חיי חברה.
זאת אומרת, אפשר להשתעשע כמה שעורים בחבורות אולי, או משהו דומה מבחינת דרגת הקושי, כי זה באמת קל וכייפי, אבל לא להעמיס חומר שיתיש לגמרי את אלה שאתה מנסה ללמד אותם אותו ויביא יותר נזק מתועלת.
אני לא נגד זה באופן כללי, אני נגד זה בגלל עקרונות ברירה וצרוף.

אתה הזה שהתחלת לדבר על לוגיקה מתמטית והיא, באיזשהו מובן, זה מה שאתה תארת.
בכל אופן, מה שלדעתי כדאי ללמד בתחום הלוגיקה זה תורת ההיסק (שזה, פחות או יותר, לבנות הוכחות בצורה נכונה), שזה לא הרבה, להקדיש אולי שעה משעממת לקשרים לוגיים ולהתמקד הרבה בכשלים לוגיים. יש עוד הרבה להכניס, וזה רק מה שאני מצליחה להוציא בשליפה מהירה בזמן איחור לעבודה.
לאו דווקא הכל קשור למתמטיקה מעל פני השטח, אבל לדעתי עדיין אי אפשר להפריד. כמו טום להרר ב-that's mathematics. :)
בהמשך לדיונים על לימודי המתמטיקה בבית ספר פה מלמעלה. 448922
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה להאיילת האלמונית יום ה', 28/6/2007, 8:39
עד כמה שאני רואה, אין מבחינתך הבדל בין אופן לימוד המושג בין שלוש וחמש יחידות (אם לא מלמדים את ההגדרה אין ממש מה ללמד - רק את הרעיון האינטואיטיבי ואת אריתמטיקת הגבולות הבסיסית, שבעזרתה מחשבים אותם). אני דווקא חושב שכדאי לנסות וללמד אותו - פשוט לא לבחון עליו (אגב, כבר שמעתי על מורה אחת לפחות שבאמת לימדה אותו, כנראה מיוזמתה החופשית, והשמיים לא נפלו).

איזה ידע מוקדם באלגברה צריך כדי "באמת להשתמש" במושגים הבסיסיים של תורת החבורות? באופן כללי, לא הצעתי ללמד אלגברה מופשטת לחוד ותורת המספרים לחוד - שני התחומים הללו קרובים למדי, כשעוסקים בהם ברמה שניתן להבין בתיכון, וכדאי ללמד אותם בייחד. תורת המספרים מספקת מיידית שתי דוגמאות חשובות ביותר לחבורות (החבורות החיבוריות והכפליות של השלמים מודולו n), כך שלא יהיה צורך בהבאת דוגמאות מסובכות של מטריצות וכדומה (תמורות אולי כן כדאי ללמד).

אני התחלתי לדבר על לוגיקה מתמטית (שלדעתי, אגב, לא צריך ללמוד בתיכון) כי אנחנו מדברים על איך צריך לשנות את פני לימודי המתמטיקה. לדעתי מה שלומדים בגאומטריה אוקלידית הוא מספיק (בתיכון) כדי להבין מהי הוכחה ואיך לבנות אותה - והחומר שעוסק בקשרים לוגיים וכשלים לוגיים לא בהכרח שייך למתמטיקה דווקא, וכן ניתן להפרדה (כמו שמפרידים בפסיכומטרי).
בהמשך לדיונים על לימודי המתמטיקה בבית ספר פה מלמעלה. 448924
האיילת האלמונית • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' יום ה', 28/6/2007, 8:53
טוב, לא הייתי מובנת.

מה שאמרתי על הגבול, התכוונתי שצריך ליישם בחמש יחידות. לשלוש, אין אפילו סיבה לנסות ללמד אותו, לדעתי.

את תורת החבורות הבאתי כדוגמא למשהו שלא צריך ממש ידע מוקדם בשביל להבין אותו.

הוא כן ניתן להפרדה אבל (שוב, רק לדעתי) ההפרדה בין לוגיקה פילוסופית ללוגיקה מתמטית היא די מלאכותית ולא נחוצה, ועובדה שההפרדה הזאת עוד לא גידלה שיער שיבה.
בהמשך לדיונים על לימודי המתמטיקה בבית ספר פה מלמעלה. 448927
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה להאיילת האלמונית יום ה', 28/6/2007, 9:05
לא הבנתי אם את בעדי או נגדי בכל העניין הזה של חבורות. קודם אמרת שצריך "ידע קודם באלגברה" (לינארית? תיכונית?). אני מן הסתם לא מציע ללמד תלמידי תיכון מהי הרחבת גלואה.

אני לא בטוח שההפרדה היא מלאכותית. לוגיקה פילוסופית קיימת מאות אם לא אלפי שנים (לפחות עד כמה שאני מבין זאת) ואילו הלוגיקה המתמטית בצורתה הנוכחית היא בת מאה וחמישים שנים לערך. זה לא אותו תחום. החיתוך היחיד שאני מצליח לראות הוא במושגים האלמנטריים שלומדים בשניים-שלושה השיעורים הראשונים (קשרים לוגיים ושות')
בהמשך לדיונים על לימודי המתמטיקה בבית ספר פה מלמעלה. 448942
האיילת האלמונית • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' יום ה', 28/6/2007, 9:47
ברגע הראשון שאמרת אלגברה מופשת חשבתי יותר בכיוון של שדות ומרחבים, וזה לא נשמע לי מתאים. בסוף חזרתי בי לגבי חבורות.
אז בחבורות אני בעדך.

גם שירה ופרוזה הם לא אותו תחום והחיתוך היחיד ביניהם הוא שבשניהם משתמשים בסידור מילים ועדיין המקצוע הוא "ספרות".
יש מקום לחבר לוגיקה פילוסופית עם הקדמה ללוגיקה מתמטית בשעור נפרד וחובה, לדעתי (ולוגיקה פילוסופית זה לא משהו שלומדים בשעורי פילוסופיה בתיכון. שם, ממה שהבנתי ממי שלמד, זה יותר אתיקה ואסתטיקה, ובוחרים ללמוד את זה יחידים, איפה שזה בכלל קיים.)
אתה לא חושב שלימודי לוגיקה מעורבים כאלה יכולים לפתח חשיבה נכונה שתעזור גם בשעורי מתמטיקה לתלמידי תיכון?
בהמשך לדיונים על לימודי המתמטיקה בבית ספר פה מלמעלה. 448945
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה להאיילת האלמונית יום ה', 28/6/2007, 9:54
דוגמת השירה והפרוזה לא מתאימה. שני התחומים נופלים תחת הגדרת ''ספרות'' כמו שאלגברה מופשטת וחדו''א נופלים תחת הגדרת ''מתמטיקה'' אבל אין קשר ביניהם (ברמה שבה לומדים בתיכון). לעומת זאת, לוגיקה פילוסופית אינה, לדעתי, חלק ממתמטיקה.

אני חושב שאת הרעיונות הבסיסיים שאת מציעה ללמד אפשר ללמוד כבר במהלך לימודי הגאומטריה ולימודי תורת הקבוצות (אם יהיו), ואין צורך בלמידה נפרדת שלהם. אם מוסיפים ערכי מוסף כמו דיון בכשלים לוגיים וכדומה, זה כבר לא מתמטיקה.
בהמשך לדיונים על לימודי המתמטיקה בבית ספר פה מלמעלה. 448952
האיילת האלמונית • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' יום ה', 28/6/2007, 10:12
אתה שוב מנסה להכניס את מה שאני מציעה לגבי הלוגיקה למסגרת המתמטיקה, כשעוד מתחילת הדיון אני מנסה להסביר שזו לא הכוונה שלי.

אני לא מדברת על להכניס לימודי לוגיקה נוספים לתוך מתמטיקה. אני מדברת על שעור נפרד, של לוגיקה (פילוסופית, בעיקרה הגדול מאד, כדי שלא נלך לאיבוד גם פה), ללא קשר ללימודי המתמטיקה, משום שלדעתי זה יכול לתרום בצורה עקיפה אך משמעותית גם לתחום של לימודי המתמטיקה, אפילו שלכאורה, לדעתך, אלה תחומים שונים ולא קשורים.
בהמשך לדיונים על לימודי המתמטיקה בבית ספר פה מלמעלה. 448959
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה להאיילת האלמונית יום ה', 28/6/2007, 11:25
אה, עם זה אני בוודאי מסכים.
בהמשך לדיונים על לימודי המתמטיקה בבית ספר פה מלמעלה. 448974
האייל האלמוני • בתשובה להאיילת האלמונית יום ה', 28/6/2007, 13:56
אכן, שיעורי לוגיקה גם לדעתי הם חיוניים לכל תחום שהוא.
בהמשך לדיונים על לימודי המתמטיקה בבית ספר פה מלמעלה. 448937
ראובן • בתשובה להאיילת האלמונית יום ה', 28/6/2007, 9:38
מצאתי ברחוב‏1 לפני כמה חודשים את הספר "חשיבה ביקורתית: שיקולים סטטיסטיים ושיפוט אינטואיטיבי " של טברסקי וליברמן. זה קורס של האוניברסיטה הפתוחה, והוא משתמש במונחים פשוטים יחסית של סטטיסטיקה. קראתי אותו בהנאה רבה ( <ספויילר> בסוף מתברר שהכולסטורול היה חף מפשע).

אני מאמין שאפשר לגזור משם תוכנית לימודים לתיכון. זה לא בדיוק מתמטיקה כמתמטיקה, אבל כמו ההצעה שלך על הלוגיקה, זה ישפר את המצב.

‏1 טוב, לא בדיוק ברחוב, אבל בארגז לידי חנות ספרים, ב10 שח הספר. לא עמדתי בפיתוי.
בהמשך לדיונים על לימודי המתמטיקה בבית ספר פה מלמעלה. 449218
איילי • בתשובה לראובן יום ו', 29/6/2007, 14:45
קטע. אני *באמת* מצאתי את הספר הזה ברחוב. אכן, חומר עזר לחיים.
חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא
מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים
האייל הקורא RSS מאמרים | כתבו למערכת | אודות האתר | טרם התעדכנת | ארכיון | חיפוש | עזרה | תנאי שימוש © כל הזכויות שמורות