בתשובה לגלעד ברזילי, 26/10/07 9:07
רגע 461086
נקרא למספרים האלה (אלו שבבסיס 3 אין להם אף 2) "נמוכים". אם יש סדרה חשבונית של נמוכים, הרי לפנינו מספרים a ו-d כך ש-a נמוך וכמוהו גם a+d וגם a+2d. זו פשוט הצורה הכללית של כל סדרה חשבונית בת שלושה איברים.

המספר d איננו 0, ולכן פיתוחו לבסיס 3 מכיל את הספרה 1 באיזה מקום. נביט במיקומה של הספרה 1 הימנית ביותר. למספר a מוכרח להיות 0 באותו המקום (אחרת בסכום a+d היינו מקבלים 2 במקום זה). למספר 2d יש הספרה 2 במקום הנדון, וכשנחבר ל-a את 2d נקבל, שוב, 2 במקום זה. מכאן שאם a וגם a+d נמוכים, a+2d לא יכול להיות נמוך. (הערה: הבטנו במספרה הימנית ביותר כדי לוודא שלא יהיו שום "שאריות" בתהליך החיבור עד שלב זה).

הטענה המקורית שטענתי היא יותר חזקה: אם מתחילים מ-‏0 ומוסיפים בכל שלב את המספר הקטן ביותר האפשרי שאינו יוצר סדרה חשבונית, מתקבלת בדיוק סדרת המספרים הנמוכים. (אני התחלתי מ-‏1, ולכן קיבלתי את אותה הסדרה מוזזת ב-‏1). את זה אפשר להוכית באינדוקציה, ואתה מוזמן לשאול אותי אם אתה נתקע (ואם זה מעניין אותך).
רגע 461116
מזכיר לי את ההוכחה שהעוצמה של קבוצת קנטור היא א.

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים