בתשובה למ. השור, 03/02/09 12:20
סתם תהיה 503304
אני משאיר את זה כתרגיל לקורא (מה שאומר שהמשפט הראשון בתגובה ההיא מוכיח את עצמו שוב. איך חשבתי לעבור בעזרת אינדוקציה מעוצמה א0 לעוצמה גבוהה יותר, רק אלוהים יודע, ואפילו לו יש ספקות). האם אקסיומת החזקה אקויולנטית לאקסיומה החלשה יותר לגבי קבוצה אינסופית אחת שלה יש קבוצת חזקה?
סתם תהיה 503341
God should have his doubts, indeed.
AFAIK, if you do not assume the power set axiom, it is consistent (relative to consistency of ZF) that there are no cardinals bigger then ALEPH_0.
About your weak power set axiom: I don't think it is equivalent to the regular one. My guess is that it is also relatively consistent that the integers have a power set, but the reals don't.
סתם תהיה 503346
מה זה "relatively* consistent*"?
סתם תהיה 503354
For many interesting axiom systems, one cannot proving consistency, because that would imply consistency of ZFC (which cannot be proved, assuming it's true). Therefore one can only prove relative consistency, i.e. that the system is consistent assuming ZFC is consistent.
סתם תהיה 503355
סתם תהיה 503356
תודה:)
סתם תהיה (כה''ב) 503347
שנה באמריקה וכבר שכחת לדבר עברית?

מ. השור: אפשר גם לזרוק את אקסיומת האינסוף, ואז ודאי שכל העצמות האינסופיות שוות. יותר ברצינות, לא הייתי מהמר שתורת קבוצות ללא עוצמות תהייה מעניינת או מאירת-עיניים, אבל מה אני יודע.
סתם תהיה (כה''ב) 503353
א. איזה שנה? בקושי חצי.

ב. המחסור במקלדת עברית מקשה עלי.
סתם תהיה (כה''ב) 503376
לא הוגן - אתה מתחמק. בלי אקסיומת החזקה עדיין אפשר לבנות קבוצות אינסופיות (נכון?). האם אפשר לבנות, למשל, את הרציונליים? או אלגברה מעל שדות סופיים? אם כן, אני לא מבין למה אתה טוען שהמערכת הזו לא מעניינת.
סתם תהיה (כה''ב) 503415
מה לא הוגן בלהתחמק?

"בלי אקסיומת החזקה עדיין אפשר לבנות קבוצות אינסופיות" זה קצת כמו "בלי פלפל חריף עדיין אפשר לאפות חלות". אקסיומת החזקה אינה עוזרת לבנות קבוצות אינסופיות, היא מאפשרת לבנות קבוצות בעלות עצמות שונות בהינתן קבוצה אינסופית אחת, אבל קבוצה אינסופית שכזו לא ניתן לבנות בעזרת אקסיומת החזקה. (חוץ מזה, "לבנות" זו אולי מילה מטעה קצת - אנחנו לא בונים דבר מה, רק מראים שקיומו נובע מהאקסיומות).

בכל אופן, לא התכוונתי להתחמק - אולי פירשתי לא נכונה את השאלה. אפשר לעשות הרבה מאוד מתמטיקה אם מצטמטמים לקבוצות בנות-מנייה בלבד: יש הרבה חבורות, שדות, אלגבראות וכו' שהן בנות-מנייה, והן עשירות ומעניינות מאוד‏1. חשבתי שהשאלה היא מה קורה לתורת-*הקבוצות* אם מעקרים ממנה את אקסיומת החזקה, ואני חושב שמה שנשאר הוא לא נורא מעניין, אבל ייתכן מאוד שאני טועה (באופן כללי, סמוך הרבה יותר על התשובות של אורי - הוא מבין בדברים האלה פי שבע-מאות יותר טוב ממני).

1 אני לא לגמרי בטוח אם ואיך אפשר להגדיר ולעבוד עם משהו כמו מרחב טופולוגי בלי אקסיומת החזקה. באופן כללי, סביר שתחומים "אלגבריים" שורדים טוב יותר בלי האקסיומה הזו מאשר תחומים "אנליטיים".
סתם תהיה 503363
טוב, העסק ממשיך להטריד אותי במקצת, אז נא להסביר לי איפה אני מפקשש (הפניה היא לכל אחד, כמובן):

מה שעבר לי בראש כששלחתי את ההודעה הקודמת הוא שאני יכול לבנות את קבוצת החזקה של הטבעיים ע"י ספירה מאפס ועד שיבת הלובביצ'ר כשכל מספר אני מציג ביצוג בינארי הפוך, כלומר מימין לשמאל (כדי לא להסתבך אם אינסוף אפסים מובילים), כך:
ltr mode, please

0000000...
1000000...
0100000...
1100000...
0010000...

ובכך "בניתי" את קבוצת החזקה. ברור ששניה אחרי ה"שלח" נזכרתי שאת הבניה הזאת גנבתי מקנטור עם משפט האלכסון המפורסם, שהוכיח בדיוק את זה שהיא לא אפשרית, אבל עכשיו אני שב ותוהה למה, בעצם, האלגוריתם הפשוט הזה לא עובד?
סתם תהיה 503366
איפה בבנייה שלך מופיעה הסדרה:
1010101010...
?

למעשה, בבנייה שלך מופיעות רק סדרות עם מספר סופי של אחדות (סדרה עם מספר אינסופי של אחדות תופיע לאחר שיבת הלובביצ'ר). ואכן, יש מספר בן מניה של סדרות מסוג זה.
סתם תהיה 503368
על זה אני צריך לחשוב קצת (כלומר, הפעם אני אשתדל להמנע מתסמין ''שליחה מוקדמת''). תודה.
לול 503374
החברה שלך מבקשת שתפנה את המאמצים גם לתחומים קרובים.

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים