בתשובה לJust Klil Neori, 02/01/02 13:16
שלילתה של אקסיומה 50909
<נא לא לקרוא, אלא אם אתם אוהבים מתמטיקה>

כל הדוגמאות שהבאת הם, סבורני, טענות כוללות ולא טענות קיום! כלומר, הן במבנה לוגי של כמת כפול, "לכל-קיים". הרי אקסיומת המקבילים אומרת ש*לכל* ישר ונקודה מחוץ לו קיים ישר מקביל אחד. שלילתה תהיה הטענה שקיים ישר ונקודה מחוץ לו כך שיש יותר (או פחות) ממקביל אחד. וזו לא האקסיומה של הגאומטריה הלא-אוקלידית! האקסיומה האלטרנטיבית גם היא גורסת (נדמה לי) ש*לכל* ישר ונקודה מחוץ לו קיימים אינסוף ישרים מקבילים - שוב טענה כוללת! זו אמנם טענה שסותרת את האקסיומה האוקלידית, אך אינה מהווה את שלילתה.

באשר למשפטים, על זה לא דיברתי - הטענה שלי הייתה שטענות קיום "אמיתיות", כלומר כאלו שהכמת *החיצוני* בהן הוא קיים, לא שימושיות במיוחד כאקסיומות. במשפטים אולי המצב שונה. אבל הפלא ופלא, גם משפט הקיום שהבאת כדוגמא הוא טענה כוללת ("לכל פונקציה רציפה..."), במובן שאני מתייחס אליו. קוראים לבני מינה "משפטי קיום", אני מניח, מכיוון שהחלק "המעניין" שבהם הוא הכמת הפנימי, ה"קיים".

ועכשיו מסתמנת אפשרות עוד יותר מפתיעה (אותי, לפחות): אולי כל המשפטים במתמטיקה הם טענות כוללות? זה בוודאי לא נכון: המשפט המתמטי "קיים מספר ראשוני" הוא טענת קיום לכל דבר. אלא שהוא לא כל כך מעניין... האם קיימים משפטים "מעניינים" שהם טענות קיום אמיתיות?
שלילתה של אקסיומה 50984
The axiom I presented for Hyperbolic Geometry is the correct one. It can be used to prove that there are infinitely many parallel lines to each line, going through a point not on it.

But you are correct, my statements were a bit irrelevant. And your last conjecture seems to be true, to me. Mathematics, as far as I know it, is not really interested in what exists in the real world, and what doesn't. It does interest itself in the logical consequences of properties of objects. An Applied Mathematician can then say "Lo, for this Physical/Engineering-related/Literary(?) problem can be translated into yon Mathematical object, where it can be dealt with by the tools of Mathematics."

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים