בתשובה לשוטה הכפר הגלובלי, 20/07/10 10:45
דוגמא להדיוטות 547163
(למה, לעזאזל, שתתבייש בשאלה הזו?)

זו שאלה טובה. התשובה של המתמטיקאי (זה שמכבה קודם את האש מתחת לקומקום ואומר "מכאן כבר פתרנו") תהיה שיש סיווג מלא של יריעות דו-ממדיות קומפקטיות, ואפשר פשוט לעבור על הרשימה ולראות מי מהן פשוטת-קשר. ההוכחה של הסיווג המלא הזה איננה מאוד-מאוד-קשה, אבל היא גם לא מאוד-מאוד-קלה.

שווה לפחות להכיר את השחקנים: יש שני סוגים של יריעות דו-ממדיות, אלו שיש להן "פנים וחוץ" ואלו שאין להן. הסוג השני מכונה גם "לא-אוריינטבילי", והיצורים שחיים על יריעות כאלה לא יודעים מימינם ומשמאלם. היריעות מהסוג הראשון די מוכרות: אלו הספירה, הטורוס, הטורוס-הכפול:

הטורוס-המשולש, וכן הלאה.

היריעות מהסוג השני מהוות רשימה דומה שמתחילה מהמישור הפרוייקטיבי. המישור הפרוייקטיבי הוא מה שאתה מקבל כשאתה לוקח טבעת-מביוס ומדביק מעגל לשפה שלה. אין מקום לעשות את זה במרחבנו התלת-ממדי, אבל במימד 4 כל ילד עושה את זה עם נייר ודבק כבר בשבוע השני בגן שולה. זה נורא יפה. היצור השני ברשימה הוא גם די מוכר: בקבוק-קליין.

אגב, טבעת-מביוס עצמה איננה ברשימה, וכך גם לא טבעת רגילה, מפני שיש להן "שפה", קצה. ביריעות שלנו כל נקודה מוקפת בעיגול קטן, שלם.

עד כאן התשובה הקלה שמניחה שכבר עשינו את כל העבודה הקשה. עכשיו אפשר לשאול, האם אפשר יותר בקלות להוכיח שיריעה דו-ממדית קומפקטית ופשוטת-קשר היא פשוט פני-כדור? והתשובה היא שאני לא יודע. צריך לחשוב על זה.
דוגמא להדיוטות 547181
תודה.

(כי היה סיכוי שהתשובה על השאלה תמחיש את בורותי הטופולוגית, משהו כמו ''זה הרי נובע מההגדרה''. ככל שידיעתי הגיעה, ''כדור'' היה יכול להיות מוגדר טופולוגית כ''יריעה דו ממדית קומפקטית פשוטת קשר'')
דוגמא להדיוטות 547187
אני יכול לחשוב על שניים-שלושה דברים יותר מבישים מבורות טופולוגית.

(זה לא כל כך סביר להגדיר אובייקט קונקרטי כמו ''כדור'' באופן פונקציונלי שכזה.)
דוגמא להדיוטות 547199
למען האמת, גם אני.
דוגמא להדיוטות 549241
הרצאה על הנושא: http://athome.harvard.edu/threemanifolds/watch.html
דוגמא להדיוטות 549267
נראה מעניין. תודה!

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים