 |
|
 |
||
|
||||
 |
זו הבעייה: יש לך קבוצה (המספרים הטבעיים) בגודל1 מסויים וקבוצה אחרת (הממשיים) שגדולה ממנה. נשאלת השאלה אם קיימת קבוצה שלישית כלשהי, בעלת גודל ביניים. והתשובה של גדל וכהן? איך שבא לך! היעלה על הדעת? הרי אם אין כזו קבוצה שיגידו. כבר עברתי דבר או שניים בחיים ואדע להתמודד. אם ישנה קבוצה כזו, או לפחות אם ניתן להוסיפה לצרמלו-פרנקל, שיציגו אותה, איבר אחרי איבר, אני לא ממהר לשום מקום, או שידומו לעד. האם לא אחזה גם בך פליאה כשהתוודעת למצב עניינים זה? 1 הכוונה לעוצמה כמובן. גם בשאר המקומות בהם איני מדייק או טועה צ"ל להיות דבר מה נכון. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
זו הבנה לא נכונה של משמעות המשפט. נתחיל מכך שבכלל לא ברור מה זו "קבוצה" ואיך מגדירים אותה. הגדרות נאיביות פשוט לא עובדות ("הפרדוקס של ראסל" ועוד כמה דברים דומים). כשאתה הולך להגדרות אקסיומטיות אתה מראש מסתכן בכך שלא תתפוס כל מה שאתה חושב עליו כ"קבוצה" אלא רק דברים שמצייתים לאקסיומות שלך. עניין השערת הרצף מראה שהאקסיומות ה"סטנדרטיות" לא מסוגלות לתאר קבוצה מהגודל המתאים, אבל גם לא לפסול את קיומה (כלומר, אם יש יצור מהגודל המתאים, אי אפשר להגיד "הוא לא קבוצה"). הסיפור מסתבך עוד יותר כשאתה מנסה להבין איך מגדירים גודל של קבוצה אינסופית ופתאום מבין שזה לא ממש מובן מאליו - היכולת שלך להגדיר מה זה גודל חוקי בכלל תלויה באופן שבו אתה מגדיר קבוצות. לכן ייתכן שב"עולם" שאתה מתאר, פשוט אי אפשר לתת משמעות לגודל ביניים שכזה. אז לסיכום, מה שקורה הוא שזה לא "איך שבא לך" אלא "תלוי איך אתה מגדיר קבוצה, ועם ההגדרה הפשוטה הרגילה לא תקבל תשובה" 1. 1 בכפוף כמובן לתיקונים שמתמטיקאי האייל יתקנו בקרוב בהודעה שלי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה על סיכום מצב העניינים. זה כנראה מסביר את יתכנות המצב אותו תיארתי, אך עדיין לא מעניק מזור לאינטואיציה הפשטנית שלי. אבל כפי שכתבתי בתגובה קודמת, אני מודע לעליונות הפורמליזם המתמטי על האינטואיציה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב שהאינטואיציה הזו נובעת (עדיין) מתוך חוסר הבנה של מה זה בעצם אומר, שהשערת הרצף לא תלויה ב-ZFC. התחושה שלי היא שאתה "מעניק" ל-ZFC יותר כוח ממה שיש בה, ושאתה עדיין לא מוותר על הרצון לקרוא "קבוצה" לכל אוסף איברים שאתה יכול לחשוב עליו למרות שזה ממש לא מה שמדברים עליו כיום בתורת הקבוצות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
את כל אלו אני יודע כבר שנים רבות1. אני מניח שאילו הייתי מתעסק בזה מעבר לקורס וחצי שלקחתי, הייתי מפנים. 1 מסוף שנות ה-80, עת למדתי את תורת הקבוצות מפי פרופ' אומן ומתרגלו שהגיב כאן לאחרונה. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |