בתשובה להאייל האלמוני, 12/05/16 20:42
הפוך גוטה הפוך 677261
זה בגלל שאתה מסתגל על האמצעי ולא רואה את המטרה. כל הכלים האלה הם כמו בדידים על השולחן או חרוזים בחשבוניה. אחרי שתסיים לשחק איתם, תראה שכולם בסופו של דבר אמורים לייצג מספרים.
הפוך גוטה הפוך 677263
ממש לא. עכשיו אתה גם מדבר שטויות.
הפוך גוטה הפוך 677265
תוכל לתת לי דוגמה לכלי מתמטי שבסופו של דבר לא מודד מספרים וכמויות?

וכשאני אומר כמויות, זה יכול להיות של עצמים מופשטים או מוחשיים, של מידות אורך, נפח, משקל או טמפרטורה, מהירות, לחץ, או כל השפעה אחרת המתעוררת ביקום.
הפוך גוטה הפוך 677267
אולי זה לא קשור למה שדיברתם, אבל המתמטיקה לא קיימת כלל ביקום הפיזי.
1+1=2 אינו משהו שקיים ביקום הפיזי, קל וחומר פאי (המכונה 3.14). אם תקטוף תפוז אחד מהעץ ואחר כך עוד תפוז אחד יהיו בידך שני תפוזים, אבל הביטוי 1+1=2 אינו קיים בעולם הפיזי אלא רק כתובנה שלך על חוקים המפעילים את העולם.
אם תשרטט מעגל ותמדוד את היחס בין הקפו לבין הקוטר שלו תקבל יחס קרוב מאוד למספר פאי, אבל כמובן לעולם לא את פאי שהוא מספר שאינך יכול למדוד. למעשה הצורה מעגל גם היא אידאה שאינה קיימת ביקום הפיזי אלא בדמיוננו בלבד.
הפוך גוטה הפוך 677285
אבל לא דיברנו על משהו שקיים ביקום הפיזי, אלא על עולם המספרים, שהוא מושג מופשט שמאפשר לנו לקצר הליכים כשאנחנו מודדים את היקום הפיזי. במקום לדעת שיש לנו תפוז ותפוז ותפוז ותפוז ותפוז, יש לנו חמישה תפוזים. ובמקום לעשות את זה תפוז+תפוז+תפוז+תפוז+תפוז, אנחנו עושים תפוז*5. ואחרי שאנחנו רוצים לקצר הליכים לשלבים מתקדמים יותר, אנחנו עוברים לחזקות, למבנים מרחביים, לקבוצות וכו'.
לכל דבר יש את הנוסחה שלו שבונה יחד עם עוד כמה נוסחאות שלב חדש.
אבל האטומים של כל המושגים המופשטים האלה, זה מספרים.
הפוך גוטה הפוך 677287
כאשר אתה מדבר על תפוזים אתה מדבר על העולם הפיזי וכאשר על מספרים אתה חורג מהעולם הפיזי. אין מספרים בעולם הפיזי. בעצמך אמרת- מושג מופשט. לכאורה לא יכול להיות קשר בין האידאה המופשטת של המספר 5 משהו ביקום הפיסי. בפועל איכשהו אנחנו מוצאים חוקיות מתמטית בעולם.
הפוך גוטה הפוך 677290
למה "איכשהו"? נראה לי שאיכשהו הפכת את היוצרות.
האידיאה המופשטת נוצרה כטפל לחוקיות המוחשית, לתאר אותה ולחשב אותה בצורה קצרה וממצה. לכן ההגדרות מותאמות בצמוד למוגדר. אין כאן אקראיות.

כמו כל מילה אחרת שאיכשהו מתאימה לדבר אותו אנו רוצים לתאר. כי כשאתה כותב לי על "עלילה" - שזה מושג מופשט, איכשהו זה מתאים לחוקיות ברורה שקובעת מהי עלילה ומהי האשמה צודקת.
הפוך גוטה הפוך 677302
יש קסם שקורה כאשר המתמטיקה לא רק שמצליחה לתאר את המציאות, היא מצליחה אפילו לנבא את המציאות.
הקסם הוא שאיכשהו אידאה שכלל אינה נמצאת ביקום הפיזי מצליחה לומר דברים אודות היקום הפיזי.
אתה חושב שאתה מבטל את הקסם אם אתה הופך את היוצרות וטוען שהאידאה נוצרה כטפל לחוקיות המוחשית, אבל זו אותה בעית גוף ונפש שטובי הפילוסופים מתחבטים בה אלפי שנים.
כל עוד האידאה לא נמצאת בעולם הפיזי לא ברור בכלל איך העולם הפיזי יכול להשפיע על היווצרותה.
הפוך גוטה הפוך 677316
כי הקריטריון ליצירה, שיפוץ והרחבה של אותה אידיאה דורש היצמדות מוחלטת לחוקיות הפיזית.

אסתכן בעוד הכללה בוטה‏1 ואומר כי רוב המושגים המופשטים שיש להם חוקיות וסיבה צריכים להתאים למוחשי.

אני לא יודע בקשר לבעיית הגוף והנפש, אבל אני מנסה לחשוב איך צמח מדע המתמטיקה, מן הסתם הוא לפחות החל כשיטות ספירה‏1.
הרי אנשים מנסים לספור ולחשב לצורך קיומי, הרבה לפני שהם מוצאים זמן לחישובים ותרגילי התעמלות מופשטים.
____________

1 ולא אעלב אם יוכיחו לי שאני טועה. אדרבא, הדיון והלימוד מחכימים אותי.
הפוך גוטה הפוך 677321
החשבון ודאי החל כשיטת ספירת מלאי. גם הכתב החל כנראה כשיטת רישום מלאי וחוב.
שניהם היו כנראה תולדה של המהפכה החקלאית, שאפשרה צבירת מלאי מזון וסחר.
אבל בהמשך, החקירה של האידאות המתמטיות לא נועדה לספק צרכים מסחריים. אצל פיתגורס [ויקיפדיה] לעיון עצמו יש ערך מוסרי, והפילוסופיה היא דרך חיים. למרות שארכימדס [ויקיפדיה] עסק רבות בהמצאות מעשיות הוא הפנה את עיקר מרצו למתמטיקה טהורה "הוא הפנה את מלוא החיבה והשאיפה שלו לתחומים הטהורים הללו אשר אין להם קשר לצרכים הרגילים של החיים".
הפוך גוטה הפוך 677331
אם ככה, החוקיות של המתמטיקה נולדה מתוך האילוצים של העולם הפיזי. ולכן גם כשהתפתחה הרחק מעבר לחשבון הראשוני, היא עדיין כפופה לאותה חוקיות של העולם הפיזי.
הפוך גוטה הפוך 677338
זהו, שלא.
גם הכתב התפתח כשיטת רישום מלאי וחוב, אילוצי העולם הפיזי, אבל כשאני קורא סיפור פנטזיה הסיפור הכתוב מתרחק מאוד מתאור החוקיות של העולם הפיזי.
הפוך גוטה הפוך 677349
תיקון.
הכתב נועד לתעד דיבור. לכן הכתב כפוף לחוקיות של דיבור.
הפוך גוטה הפוך 677354
זה בהנחה שהכתב מתאר דיבור. הכתב שלנו כולל לא מעט סימנים שאינם סימני דיבור. לדוגמה הסמיילי (שהיום הפך לתו תיקני, עם יתר תווי האימוג'י) מתאר רגש. הוא נוצר מתוך תרבות שמעבירה מסרים בכתב.
הפוך גוטה הפוך 677378
אולי זו הרחבה של אפשרות תיעוד הדיבור.
הכתב עצמו גורם לפעמים לקשיים לעמוד על נימת הדיבור שהכותב מתעד. כל סמלי ההבעה האלה נועדו לעזור בעניין.

גם קריקטורות, קומיקס, ממים וכו', אלה דרכים שונות להעביר מסר שאינן בהכרח כתב רגיל.
הפוך גוטה הפוך 677319
למה אתה מתכוון "לא נמצאת בעולם הפיזי"? באותה מידה שעלילות הארי פוטר לא נמצאות בעולם הפיזי? אני מניח שאין לך בעייה או תהייה על יכולתו של העולם הפיזי להשפיע על היווצרותו של הארי פוטר.
הפוך גוטה הפוך 677322
כן יש לי תהייה.
אם העולם הוא מכני כפי שמאמינים המטריאליסטים איך יתכן שיש בכלל אידאות?

ועניין אחר - לכאורה אלמלא ג'יי קיי ראולינג לא היתה קיימת האידאה של הארי פוטר.
אבל האם ללא ניוטון ולייבניץ לא היתה קיימת האידאה של חשבון אינפי?
האם ללא אוקלידס לא היו אידאות גאומטריות?
ואם לא היו הללו ללא האנשים שהמציאו אותן, כיצד פועל הטבע? ללא חוקיות וסיבתיות?
הפוך גוטה הפוך 677341
מי אמר ש"יש" אידיאות? אתה ראית, שמעת, הרחת או חזית בהשפעה של אחת כזאת? מסופקני.

הארי פוטר איננו אידאה (עד כמה שאני מבין את המושג). למשל, בניגוד לאידאה, התכונות שלו אינן קבועות. עם כל ספר נוסף שיצא בסדרת הארי פוטר, נוספו לו תכונות וקורות חיים שלא היו קיימים קודם.
"חשבון אינפי" הוא אידיאה? אני אפילו לא בטוח שהוא מוגדר באופן סגור, וגם אם כן זה מן הסתם תיאור של קבוצה של מתודולוגיות, הרחק מאיזה מושג בסיסי או "אידיאלי" (פאן אינטנדד).

נראה לי שלגביך כל רעיון או מושג, רצוי דמיוני, הוא אידיאה. מסופקני בשלישית.

האם הטבע נצרך ל"אידיאות"? מסופקני בריבוע. מה טעם לו לטבע ב"משולש"? או ב"נקודה"?
כהערה, ענין הטבע כאן הוא תת נושא חדש, אולי כדאי למצות את ההגדרות קודם לפני שמערבים את הטבע ירום הודו.
הפוך גוטה הפוך 677343
אנחנו מדברים על היחס המוזר מאוד בין דברים שקיימים במציאות הפיסית- לדוגמה כוכבי הלכת נעים במסילותם, לבין אידאות שאינן קיימות במציאות הפיסית אבל מצליחות לתאר (שמא תאמר "למדל") את המציאות הפיסית - לדוגמה משוואות התנועה וכח הכבידה.
אני קורא לכח הכבידה, וכן למשוואה המתארת אותו, אידאה.
החוק הפיזיקלי אינו קיים בעולם הפיזי. אתה אומר- אינו קיים בכלל?
הפוך גוטה הפוך 677348
יש פה שני עניינים לדון בהם, ולדעתי בזה שאתה מערבב את שניהם אתה מקשה עלינו, כי אתה קופץ קדימה שני שלבים. אם לדעתך אי אפשר לדון באידיאות בלי לדבר על חוקי הפיזיקה, נאלץ לדון בהם ביחד. אבל אם אפשר ללכת שלב שלב, זה נראה לי עדיף.
אז, כדי להבהיר, מעבר לארבעת הכוחות הפועלים בטבע והמשוואות שלהם, יש עוד דברים שאתה מגדיר כאידיאות?
הפוך גוטה הפוך 677355
כן.
כל מה שיש לו קיום מוסכם בהכרתנו אבל לא ביקום הפיזי.
הצורות הגאומטריות, היחס פאי, טוקטה ופוגה ברה מינור (היצירה, לא ביצוע מסוים שלה).
הפוך גוטה הפוך 677356
את היצירה עצמה, שקיימת בהכרתנו בלבד, אני מעדיף לתאר כמם. אם כל הפגמים במודל הזה, הוא עדיין פשוט וברור יותר מאידאה.
הפוך גוטה הפוך 677357
וכדי לתמוך בכך שיצירה מוזיקלית מתוארת טוב יותר על ידי מם מאשר על ידי אידאה, אני מנחש שלא תהיה בעיה למצוא המון דוגמאות ליצירות שמשתלבות ביצירות אחרות בתקופות אחרות. כלומר: לא מדובר על סתם מופע שונה של אותה היצירה. מדובר על שינוי באופיה ואף על תולדה של דברים שונים ממנה. השכלתי המוזיקלית לא מספיק טובה כדי לספק דוגמאות, אבל נראה לי שיש כמה רק בדיונים שהתחוללו כאן בחודשים האחרונים.
הפוך גוטה הפוך 677362
אני לא מבין מספיק מה הוא מם, ומה ההבדל בינו לבין אידאה, אבל כפי שאני מבין המשותף להם הוא שהם אינם קיימים בעולם הפיזי ועדיין בדרך פלאית כלשהי מקיימים איתו אינטראקציה.
הפוך גוטה הפוך 677371
אם אתה לא מתכוון ל"אידאה" בעולם האפלטוני ששונה במקצת מהמושג הרווח בשימוש היום, אין ממש הבדל אלא של גישה. בהתבוננות הממטית, התכונה העיקרית של "מם" היא היותו משתכפל, ומבחינה זאת הוא דומה ל"גן". ממטיקה היא נסיון ליישם את מה שנלמד בקשר לגנים בעולם הממים. לדעתי כאן תמצא הדגמה מאד טובה, ובאמת עבר כבר יותר משבוע מאז המלצתי על המאמר הזה כך שהגיע הזמן.
הפוך גוטה הפוך 677375
תודה
הפוך גוטה הפוך 677416
אני חושב שההסבר הקל לקשר בין ממים ואידאות לבין העולם הפיזי הוא שאלו תופעות emergent מתוך התשתית הפיזיקלית של מוחות בני האדם ואמצעי התקשורת הפיזיים ביניהם.
הפוך גוטה הפוך 677427
אם אלו תופעות לא פיזיקליות זה בדיוק מה שנמצא על הסקאלה בין בלתי אפשרי ללא יתכן, ואם אלה תופעות פיזיקליות נא פרט.
הפוך גוטה הפוך 677428
מה בהארי פוטר "לא פיזיקלי"? הוא לא פיזיקלי בדיוק באותה מידה שהמילה "אריק" היא לא פיזיקלית. המילה "אריק" היא חלק מפרוטוקול תקשורת מוסכם ביני ובינך (ובין שאר האנשים), לפיה ברגע שאתה משגר את צירוף המילים הזה, באמצעים הפיזיקליים מאד של אותיות כתובות על נייר אן מסך, או גלי קול שעוברים בינך לביני, אנחנו מסכימים שאתה מתייחס ליישות הפיזיקלית "אריק", שיש לה תאריך לידה ומיקום פיזיקלי מוגדר במרחב.
משום מה אתה מניח ש"אריק" או "הארי פוטר" *מתקיים* באיזה עולם בלתי פיזיקלי שמנותק מהיישויות הפיזיקליות לעיל והתקשורת ביניהן. אני לא רואה שום ביסוס להנחה הזאת.
מה בכל התיאור הזה בלתי אפשרי או לא ייתכן?
הפוך גוטה הפוך 677431
>> ברגע שאתה משגר את צירוף המילים הזה...אנחנו מסכימים...מה בכל התיאור הזה בלתי אפשרי או לא ייתכן?

מי זה "אנחנו" ומה זה "מסכימים"?

כשאתה מדבר על פרוטוקול תקשורת אתה מתעלם מהחוויה האנושית. זה לא רק הדאטה שעוברים בין שתי מערכות חישוביות אלא גם כל הפסיכה של המערכות הללו. כשאתה אומר את הסימן המוסכם "אריק" או "הארי פוטר" אתה {מדמיין} משהו, וכשאני מקבל את הסימן המוסכם גם אני {מדמיין} משהו. החלק הדרמטי הוא התרגום של משהו בחוויה הפסיכית שלנו לפעולה בעולם- השמעת קולות למשל, ולהיפך- התרגום של הנתונים הפיזיים המתקבלים לחוויות פסיכיות.
הפוך גוטה הפוך 677437
אתה לא דיברת עד עכשיו על החוויה הזאת, ורק עכשיו אתה שם אותה על השולחן.
אבל עד כה לא טענת שהחוויה הסובייקטיבית האנושית איננה פיזיקלית‏1, טענת ש"הארי פוטר" איננו פיזיקלי. אלה שתי טענות שונות לגמרי. זה כמו ההבדל בין הטענה שכדורסל איננו פיזיקלי לטענה שחווית הכאב כשהוא נוחת על פדחתך איננה פיזיקלית. בלי קשר לאם מי מהן נכונה או לא (קל לומר שהראשונה נכונה, ועל האחרונה אפשר להתפלסף הרבה יותר), אלה שתי טענות שונות לחלוטין.

1 ומי שקרא את דעותי כאן ינחש שאני עלול להסכים עם ההגדרה הזאת.
הפוך גוטה הפוך 677439
אני לא אפלטון. אני לא טוען שלאידאה ''הארי פוטר'' יש קיום משל עצמה מחוץ להכרה האנושית, אם כי עבור הצורות הגאומטריות והמספרים אני לא שולל את האפשרות הזו.
אנחנו יכולים לדבר על ''משולש'' ועל ''הארי פוטר'' לחוד, לדעתי.
הפוך גוטה הפוך 677443
סבבה. הסכמנו שאין ב"הארי פוטר" שום דבר לא פיזיקלי?
אם כך נעבור למשולש - למה דוקא לו יש?
הפוך גוטה הפוך 677451
בוא נעזוב את הארי פוטר לרגע.
בצורות הגאומטריות: מעגל [ויקיפדיה], משולש [ויקיפדיה] וכו' אין שום דבר פיזיקלי.
הפוך גוטה הפוך 677458
באיזו מידה מעגל "קיים" שאינו פיזיקלי?
א. כל מעגל שראית בחייך (כמו זה שהיה בציור בספר הגאומטריה שלך כשלמדת מהו "מעגל", בדיוק כמו "כדורסל") הוא פיזיקלי לחלוטין. אף אחד לא ראה או הרגיש או שמע או חווה מעגל בלתי פיזיקלי.
ב. אז באת והגדרת, בשימוש באותו פרוטוקול תקשורת שדיברנו עליו, שמוסכם עליך ועל אחרים, את הדבר הבא "בהינתן 'נקודה' ב'מישור', את אוסף כל הנקודות שמרחקן ממנה זהה אני מכנה 'מעגל' ". ההגדרה איננה משהו לא פיזיקלי. היא חלק מפרוטוקול התקשורת ביני ובינך ואין בה שום דבר מיסטי. מה שמיסטי זאת ההנחה שלך שמעבר להגדרה הנ"ל, והדמיון שלה לצורות פיזיקליות שאתה מכיר מסעיף א', יש יישות "קיימת", שאתה קורא לה "מעגל לא פיזיקלי". אני טוען שהיישות הזאת קיימת באותה מידה שהארי פוטר קיים. כלומר - כלל וכלל לא. לדיבור והשיחה על היישויות הדמיונית הזאת יש השלכות חיוביות כמובן: הראשונה יכולה ללמד אותנו איך לחשב זויות ולמדוד זמן עם שעון שמש‏1, השנייה יכולה לבדר, לרגש ילדים ולעורר בהם השראה, והשלישית‏2 יכולה לשמש ככלי לחינוך מוסרי מצד אחד ולשליטה בהמונים הנבערים מצד שני.
יופי, אבל השיחה והדיבור הנ"ל כולם חלק מהעולם הפיזיקלי לחלוטין. ואין בלתם. הארי פוטר, הארי קרישנה, מפלצת הספגטי המעופפת ומעגל מושלם אינם קיימים, מעבר לפרוטוקול התקשורת שמשמש יצורים פיזיקליים כדי להעביר מסרים.
או לכל הפחות, לא בהכרח קיימים, בניגוד להנחת הבסיס שלך.

1 ושים לב שלצורך כך כל מה שצריך זה או מעגל פיזיקלי מקורב, או את ההגדרה שציינתי, ואין בלתם. כל הוכחה מתימטית שמשתמשת במעגלים מסתפקת לחלוטין בהגדרה שנתתי, ואולי בהגדרות נוספות מאותו סוג, אבל בשום הוכחה כזאת לא תמצא שימוש במעגל "אמיתי". גם מבחינת המתימטיקה הוא יישות מיותרת. או שהמתימטיקה פשוט מסתפקת בהגדרות ההן מהפרוטוקול ההוא.
2 איזו שלישית? תנחש כבר לבד על איזה יישות דימיונית שאיננה קיימת מדובר כאן.
הפוך גוטה הפוך 677459
אמור לי מה הקריטריון שלך לקיום ואומר לך לאיזה זרם פילוסופי אתה שייך (במקרה שלך מטריאליזם).

לפני כמה שבועות התווכחתי עם הבן שלי אם קיים או לא קיים גיבור על בשם ״איירון ספיידר״ (אני אמרתי שלא קיים... הוא ניצח). יש תחומים שבהם נוח להגיד ״קיים משולש שחוסם את המעגל הזה״. ויש תחומים בפיזיקה שבהם נוח להגיד שכל מה שאתה רואה או חווה לא באמת קיים.. ואפילו חלקיקי יסוד כמו אלקטרון לא באמת קיימים. הם כולם אשליה, תוצר של מבנה מתמטי יסודי יותר. אז קיום הוא מושג שיכול לקבל משמעות שונה מאד בהתאם להקשר.

כאן התחום הוא פילוסופיה.קיימים (הא!) לא מעט זרמים פילוסופיים בתת התחום הזה (קיום). אז כדאי לתת הצדקה לקריטריון שלך בהקשר של פילוסופיה. נניח שהקריטריון שלך לקיום הוא: ״משהו שעשוי מחומר או אנרגיה״. סבבה. למה הוא מוצלח בהשוואה לחלופות? (דוגמא לחלופה: דואליזם. יש קיום מסוג א לדברים חומריים וקיום מסוג ב לדברים שקורים בראש שלנו. ויש אינטראקציה). אולי הקריטריון שלך הוא יותר פשוט ויפה? אולי הוא מונע בלבול בין דמיון למציאות? אולי הוא מוביל למסקנות פילוסופיות מעניינות/רצויות?
הפוך גוטה הפוך 677460
מה עם הקריטריון הבא: מה שאתה, או אדם אחר, לא ראה, שמע, הריח, טעם, מישש, או אפילו לא "ראה" בעזרת שום מכשיר - שזה אומר שאי אפשר למדוד את קיומו בשום אמצעי מדידה - לא קיים? נראה לי שלגבי משולשים ואלוהים זה די מבהיר את הנקודה.

כמו שכבר אמרתי, אני מצדד בעמדה שלחוויה הסובייקטיבית שלי יש קיום כלשהו, ולכן אני לא לגמרי מטריאליסט. אבל נראה לי שלגבי משולש או מעגל מושלם זה הרבה יותר פשוט. אולי אי פעם תצליח למדוד את החוויה הסובייקטיבית שלי, אבל משולש או מעגל מושלמים יהיו לנצח מעבר להישג ידך (או כל מכשיר מדידה אחר שברשותך).

אתה יודע מה - אפילו בדמיון שלך מעגל מושלם לא קיים. בדמיוני אפשר לראות סוסים ירוקים, לשמוע אותם מדברים עברית ולהריח אותם מטילים גללים בריח ורדים. אבל גם בדמיוני אי אפשר לראות מעגל מושלם. מאחר ולמעגל מושלם (לא עיגול) אין שטח, נפח, או כל תכונה מרחבית שקשורה לחושיי, אפילו אלה שאני חולם בעזרתם בלילה. אם אומר לך שראיתי מעגל, תשאל אותי "מה היה עוביו", וכל מספר שאתן לך, קטן ככל שיהיה אבל לא אפס - מאחר והעין שלי, אפילו החלומית, יש לה רזולוציה סופית - מיד יוכיח לך ללא כל ספק שמה שראיתי איננו מעגל מושלם.
בקיצור, אפילו בדמיונך, המעגל הזה הוא אשליה. בעצם, כמו שאמרתי, הוא קיים רק על פי ההגדרה שלו, לא יותר ולא פחות.
הפוך גוטה הפוך 677463
יש פה נקודה שאני מתקשה להבין. אם על מסך המחשב אני רואה מעגל מושלם, או אטם גומי או כל דבר אחר, זה לא נחשב שראיתי מעגל מושלם? אני לא יכול לחשב את שטחו על פי עקרונות הגיאומטריה? אי אפשר לקרוא לו עיגול?
ומה בדבר משולשים?
הפוך גוטה הפוך 677468
הבעיה היא בדיוק עם הנקודה. המעגל (המתמטי) מוגדר כאוסף נקודות שמרחקן מנקודה אחרת (מרכז המעגל) זהה. נקודה (מתמטית) היא גוף חסר ממדים. אין לה אורך, רוחב או עובי. לכן לקו שיוצר את המעגל המתמטי אין עובי ואי־אפשר לראות אותו.

מעבר לכך, המעגל על צג המחשב אינו מדויק מכיוון שיש גבול לדיוק התצוגה. התצוגה בצג היא רשת גדולה של פיקסלים: מלבנים קטנים שכל אחד מהם יכול להיות דלוק או כבוי (או ליתר דיוק: בצבע כלשהו). לכן אתה רואה מעגל מפוקסל. זו רק מגבלה אחת. יש אוסף שלם של מגבלות על הדיוק בהצגה של המעגל.
הפוך גוטה הפוך 677564
לכן אין שם בעיה, כי המעגל המתמטי נוצר כהדמיה והשתקפות של אפשרות פיזית.
אם בנית גלגל שבין הציר לסוליה יש מרחק שווה בכל נקודה שתמדוד, הרי זה מעגל מדויק, וכך תוכל לחשב את שטחו של הגלגל או לגרום לו להתגלגל בצורה הקלה והמושלמת ביותר.
ההגדרה המופשטת של אוסף הנקודות המקיפות את הנקודה המרכזית, נועדה להסביר, לתאר ולתכנן את המבנה הפיזי הזה.

ולמה הנקודה היא גוף חסר ממדים?
אם היא עגולה, אז יש לה אורך ורוחב שהם שווים בכל מקום בו תמדוד את האורך והרוחב. איך תגלה את האורך והרוחב? תקריב ברזולוציה גבוהה, כשם שאתה עושה לפיקסלים.
אם איננה עגולה, אלא רבועה כמו הפיקסלים החמודים שלנו, הרי שהמרחק בין הנקודות משתנה בין הנקודות שנמצאות במקביל לקודקוד הנקודה הרבועה, לבין הנקודות שנמצאות במקביל לצלעה השטוחה של הנקודה הרבועה.
הפוך גוטה הפוך 677573
נקודה מתמטית היא גוף חסר ממדים: ככה היא מוגדרת. כתם הדיו שעל הנייר (או אוסף הפיקסלים על הצג) הוא ייצוג מקורב שלה.

העניין הוא שהדיוק של המתמטיקאי לא מוגבל. הוא לא מוגבל ביכולתו "לעשות זום אין". נניח שהחלטת שכתם ברדיוס של 0.1 מ"מ (בקושי נראה) יהיה מספיק "נקודתי", הרי שהמתמטיקאי יוכל תמיד להגיד: „אני רוצה להסתכל על הסביבה ברדיוס של 0.01 מ"מ סביב מרכז הכתם״. לדוגמה, <קישור https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mandelbrot_zo... הנה> תוצאה של זום אין כזה (גם אם בתוספת הזזה) על המבנה המורכב שנקרא קבוצת מנדלברוט [ויקיפדיה]. אי אפשר להניח כתם בעובי של 0.1, או 0.01 או אפילו 0.00001 ולקוות לקרוא לו "נקודה": עם זום מספיק גדול הוא יראה כמו כתם ענקי.

לכן אין בררה אלא להגיד שהנקודה המתמטית נשארת ללא עובי בכל זום שלא נבחר: אין לה עובי.
הפוך גוטה הפוך 677575
וכל זה משחק בהגדרה הפשוטה של מעגל, שמדמה את הגלגל או שימושים אחרים בעולם המציאותי. לכן באמת אין לך ברירה אלא להגיד שהנקודה המתמטית נשארת ללא עובי, בגלל ההקבלה לעולם האמיתי. אם תנסה להפוך את הנקודה לרבועה, תהיה לך בעיה - בגלל ההקבלה לעולם האמיתי.
הפוך גוטה הפוך 677580
לדיון הכללי אני לא יכול להוסיף - קשה לי להבין את כל הצדדים. אז אתמקד בנקודה הספציפית הזו:

אחת הדרכים האלגנטיות ביותר לתקוף את הנושא, היא לחשוב על נקודה כאוסף מקסימלי של סביבות עם חיתוך לא ריק. זו הפרספקטיבה של "דואליות סטון" - ומנקודת המוצא הזו, שלכאורה אינה קשורה כלל לויזואליזציה הרגילה של נקודות וצורות, מתקבל קשר מפתיע ועמוק בין גיאומטריה, אלגברה ולוגיקה. למשל, אפשר לנסח אנלוגיה מפורשת ויפה בין ידע קונקרטי על העולם לבין נקודות גיאומטריות.

כך שבאופן כללי, כנראה שלא נכון לומר שעל נקודה תמיד אפשר להתמקד עוד ועוד - כי ישנם מרחבים בהם זה לא נכון (ישנן דוגמאות קלות למקרים כאלה, כמו למשל מרחב בין 2 נקודות המצוייד בטופולוגיה דיסקרטית). אבל איך שלא הופכים בעניין, די ברור שבאמת לנקודות אין עובי בשום מובן מעניין.

אפשר למצוא כאן הסבר קצת יותר מפורט שכתבתי על דואליות סטון.
הפוך גוטה הפוך 677470
המעגל על מסך המחשב הוא אחד הבלתי מושלמים ביותר שיכולת למצוא, מפוקסל ומעוות לגמרי. תעשה זום או תסתכל בזכוכית מגדלת על אחד מחלקיו, ותראה שלא היית מזהה אותו כמעגל אם היית רואה אותו ברזולוציה הזאת, סתם כאוסף ריבועים.
הפוך גוטה הפוך 677537
לכן גם המחשבון השולחני הפשוט הוא כל כך לא מושלם כי הוא משמיט כמה ספרות אחר הנקודה.
לא צריך לנטפק ולראות הכל ברזולוציה הגדולה ביותר כדי לקבל את ממשות הדברים. להיפך. לפעמים כשאתה רואה דברים ברזולוציה גדולה מדי, אתה לא רואה מים אלא אוסף של מולקולות שחלקן בכלל לא שייכות למים אלא ליצורים זעירים שחיים בהם. אז אין מים?
הפוך גוטה הפוך 677543
אתה מפספס את ההקשר, תקרא את כל הפתיל קודם.
הפוך גוטה הפוך 677561
זה היה ההקשר.
אגיב שם בנפרד.
הפוך גוטה הפוך 677472
אה, ולמעגל אין שטח. זה ההבדל בין מעגל לעיגול.
הפוך גוטה הפוך 677479
ראית פעם אלקטרון?
הפוך גוטה הפוך 677482
כשאלקטרון פוגע במסך הטלויזיה שלי, אני רואה נצנוץ. באותה מידה שכשפוטון פוגע ברשתית שלי אני רואה נצנוץ. לזה קוראים ראייה, לפני שמפרקים אותה כמו ערימת אורז לשום דבר. אז בוא לא נפרק אותה - אתה יכול לומר אותו דבר על מעגל? נראה אותך (הא).

אפילו אם תתעקש לומר שאני לא רואה אלקטרון אלא רק אינטראקציות איתו, I dare you להביא לי אינטראקציות עם מעגל שאתה ראית או חשת בהן.
הפוך גוטה הפוך 677536
וכשאתה סוגר מעגל חשמלי בהקשת מקלדת ואתה רואה אותיות נכתבות על המסך שלך, זה לא אינטראקציה שאתה רואה וחש בה?
הפוך גוטה הפוך 677542
Circuit, circle. Google. תמשיך משם.
הפוך גוטה הפוך 677484
קריטריון נהדר, אבל לא ענית על השאלה שלי. למה ההגדרה שלך מוצלחת, בהשוואה להגדרות נפוצות אחרות?
אם נתפסת למשולשים ולאלוהים: למה זה מוצלח יותר מבחינה פילוסופית להגיד שהם אשליה - בהשוואה, למשל, למה שקרל פופר אומר (שהדברים האלה קיימים בעולם 3 ויש להם אינטראקציה עם עולמות 1 ו 2).
הפוך גוטה הפוך 677486
א. ולמה מוצלח יותר לומר שהם חלק מעולם 3, ולא חלק מעולם 17, או עולם 14356, או עולם 4+3*i, או עולם פי בריבוע? מאותה סיבה בדיוק - כי אוקהם.
ב. אם עקבת אחרי הטיעון שלי, וודאי הבחנת שאני מראה שוב ושוב שלעיגולים ומשולשים אין אינטראקציה עם עולם 1 (נניח שזה העולם הפיזיקלי). אתה מוזמן להצטרף לאתגר שהצבתי בתשובה לירדן - להראות לי מישהו או משהו שחווה אינטראקציה, ולו מדומיינת או נחלמת, עם מעגל מושלם.
הפוך גוטה הפוך 677488
כשמתמטיקאי טוען "קיים משולש (מושלם!) שהיחסים בין צלעותיו הן 3:4:5", הוא טועה?

אם אתה חושב שהטענה הזו נכונה אבסולוטית, אתה צריך את הקיום המתמטי. אבל היום אנחנו כבר לא שם, אנחנו מודרניים יותר, ויודעים לומר שה"קיום" הזה מתחיל מאקסיומות של גאומטריה, ואולי האקסיומות האלו שרירותיות. האקסיומות האלו קובעות את מושג הקו כ-postulation (יש מילה בעברית?). האם אפשר להרחיק לכת ולומר שגם את מושג הקיום הן קובעות כפוסטולציה? האם ה"קיים" הוא סמל ריק‏1? אתה מוכן להחליף את "קיים" במילה "ורוד", לומר "ורוד משולש שצלעותיו‏2...", ולהכחיש כל קשר בין הורוד הזה לבין המושג "קיים" האינטואיטיבי והיומיומי שלנו? אני לא יודע אם יש לי טיעון מוחץ נגד זה, אבל זה נראה לי קצת... נזירי.

1 ∃ מלשון Empty symbol.
2 או שמא "ורוד אבן שמחטיה הן SSSכיסא, SSSSכיסא ו-SSSSSכיסא", רק כדי למנוע אי הבנות...
הפוך גוטה הפוך 677495
ודאי שבתוך הקונטקסט שלו הוא לא טועה. גם כשהרמיוני אומרת לרון ש"כרגע ראיתי את הארי עומד בחדר הכישוף המשולש עם חדי הקרן", היא לא טועה.
אבל המתימטיקאי כלל לא טוען מראש שהמשולש "קיים במציאות", שהוא איזה "יישות לא פיזיקלית" שמשפיעה על עולמנו, כמו שאריק טען.
לא הבאת פה דוגמא למשולש שכזה (שמידותיו בדיוק 3:4:5) שתקשר עם משהו פיזיקלי. אתה יודע, יש גאומטריות שבהן אותו מתמטיקאי יצהיר שאותו משולש "לא קיים". (טוב, לא באמת, כי אפילו לא דרשת שהוא יהיה ישר זוית. במקרה הזה קיימים אינסוף משולשים מכל צירוף של שלושה מספרים שתבחר, כל עוד המספר הגדול קטן מסכום שני האחרים, אם אני לא טועה. לכל משולש כזה יש אפילו שטח מוגדר. אתה בטח יודע מה סכום השטחים של כולם. באיזה יקום ענק ואנטי אוקהמי לתפארת קיימים כל המשולשים האלה?)

אז באיזה מובן הוא קיים או לא? כמו שאמרת, בתוך מערכת אקסיומטית מסוימת הוא קיים.
אולי גם כאן תעזור האבחנה על פי השאלה הבאה: האם לדעתך חדי קרן קיימים?
(וסעיף ב' - אם כן, האם הם קיימים באותה מידה כמו המשולש?)

גם אני תוהה.
הפוך גוטה הפוך 677490
ב. זה אתגר ממש קליל. כל מי שלמד גיאומטריה בבית ספר יסודי היתה לו אינטראקציה עם מעגל. כל מי שהכין עוגה והתלבט אם להכין אותה בתבנית עגולה או תבנית מרובעת, גם לו היתה אינטראקציה. זוהי אינטראקציה עם מושג מופשט, אבל זה לא מפחיד. גם פרה היא מושג מופשט, אין פרה מושלמת בעולם ובכל זאת ילדים תופסים את המושג הזה בגיל מאד מוקדם.
בוודאי ובוודאי רעיונות כמו אלוהים או הארי פוטר: יש להם הר של מרצנדייז ומעריצים וההשפעה שלהם גדולה מאד.
א. כשאתה אומר אוקהם, אני מניח שאתה מתכוון שאפשר להסביר את המציאות ללא האובייקטים מתחום הידע האנושי כמו "מעגל" או "אלוהים". אם כך הקריטריון שלך במצב נחות מאד לעומת מטריאליזם קיצוני שאומר שרק חוקי הטבע קיימים וכל יתר הדברים הם אשליה. הרי מטריאליזם קיצוני כזה צריך כמות קטנה להפליא של "דברים קיימים".

מצד שני רצוי שהקרטריון שלך יאפשר לתאר את המציאות באופן פשוט ונוח. מבחינה זו הקריטריון שלך טוב יותר מאשר מטריאליזם קיצוני. למשל: "היום אכלתי חומוס והיה טעים." אני קיים, החומוס קיים, הטעים קיים והכול בסדר :-).

אבל מבחינה הזו הקריטריון שלך בנחיתות בהשוואה לחלופות כי אתה מסרב להכיר בקיום של אובייקטים יומיומיים כמו מעגל. אשתמש בדוגמא של פופר (בקלות אפשר להמיר את הטיעון למעגל). "שמעתי ביצוע של הסימפוניה החמישית של בטהובן אתמול והוא היה מוצלח". אז אם אתה מקבל שהחמישית הוא דבר קיים, אז החיים שלך ממש קלים. ביצוע זה "עותק פיזי" של מושג מופשט מעולם 3. העותק הספציפי הזה היה מוצלח יותר מעותקים אחרים. וכשאני מספר לך על זה שנינו מדברים על אותו אובייקט: הסימפוניה החמישית.
לעומת זאת, אם אתה דוחה את הקיום של החמישית אז אתמול שמעתי רצף של צלילים שאני מתאר אותו בתור "ביצוע מוצלח" של אשליה. שזה אומר שהוא היה יותר טוב מרצפי צלילים אחרים שקשורים לאותה (?) אשליה. וכשאני מספר לך על כך יש לך אשליה (אחרת?) בראש ובזכות פרוטוקול תקשורת האשליות שלנו מסונכרנות. לא תיאור נוח במיוחד.
פרה מושלמת 677491
זו היתה פרה בצורה של פרח
זה היה מין פרח בדמות פרה
אם גם אחיה עד שמונים בערך
לא, לא אתפוס מה שלי קרה.
פרה מושלמת 677492
לא הכרתי את השיר הזה, עכשיו בזכותך אני יודע שהוא קיים ;-)
תודה.
הפוך גוטה הפוך 677494
ב. לא היתה לו אינטראקציה עם מעגל, היתה לו אינטראקציה עם טקסט בספר או עם טקסט מושר ומזומר על ידי מורה. רחוק מאד מאותה אינטראקציה עם אלקטרון, שולחן או קרן שמש, שלא זקוקות (משום מה? למה באמת הן לא והמעגל כן? זאת בדיוק הנקודה כאן) לתיווך הגס, המוגבל והמביך בעילגותו של מילים ושירבוטים על נייר.
ובאמת, תבנית של עוגה? ברצינות? משהו או מישהו היה מוטרד אם היא היתה קצת אובלית ולא ממש מעגלית? ניוז פלאש - היא לא באמת מעגלית. למי אכפת?

אגב, כאן אתה סוטה מהטיעון של אריק. אני כבר הסכמתי למעשה שאם מבחינתך כל רעיון מופשט, מחדי קרן דרך הארי פוטר, קשקוש למגירה של ילד בן חמש והמושג "צהוב" קיימים, אז באותה מידה גם המעגל. רק שלעשות "אידיאה" מכל רעיון שחלף לרגע במוחו של מישהו נשמע לי קצת מרדד את המושג וקצת עקר.
אולי שאלה ממוקדת תעזור כאן: האם לדעתך חדי-קרן קיימים?

א. פספסת לגמרי את האוקהם שלי, הוא דיבר רק על מספר העולמות שטרחת להמציא.

אני לא טוען שהמושג מעגל איננו קיים. אני טוען שאין יישות נפרדת כזו באיזה "עולם" "לא פיזיקלי" מספר 3 או מספר שבע מאות. המושג קיים רק כחלק מפרוטוקול תקשורת מוסכם ביני ובינך. והפרוטוקול מתבצע על תשתית פיזיקלית למשעי. אז מה, עכשיו כל Class שמוגדר בתוכנת הסלולר שלך כשהיא שולחת הודעת טקסט לסלולר שלי הופך לו ליישות בעלת קיום באיזה עולם מופשט? מתי הוא הופך לכזאת ,כשאני כותב את הקוד, כשאני מקמפל אותו, או כשהוא רץ על ערוץ התקשורת בין שני הסלולרים הנ"ל? אתה מבין לאן אני חותר? אוקהם? חוץ מפרשנות העולמות המרובים של אברט זה הטיעון הכי אנטי אוקהמי שפגשתי מזה זמן רב.

אז כן, הפרוטוקול הזה בינינו מכיר את הסימון "הסימפוניה החמישית". אני כלל לא מכחיש את הקיום שלו. ומבחינתו כנראה זה בערך אוסף הביצועים הפיזיקליים לחלוטין שכבר שמע כל אחד מאיתנו. אבל היא לא "קיימת" מעבר לפרוטוקול הזה. אין שום צורך במונח "אשליה" כאן. כשאתה אומר שהביצוע היה מוצלח, אתה מתייחס למשהו פיזיקלי לחלוטין - אתה ישבת באולם קונצרטים אמיתי ושמעת צלילים אמיתיים לגמרי, ומן הסתם "מוצלח" אומר שיחסית לחוויות פיזיקליות מעברך הוא היה מוצלח.
במה זה שונה מסטייק סינטה שאכלת אתמול והיה מוצלח יותר מסטייק סינטה שאכלת שלשום? ואני מקווה שאתה מוכן להסכים שסטייק סינטה (מהסוג שנלעס בפה, לא מהסוג שנלעס במוח) הוא אובייקט פיזיקלי למהדרין.

כתבתי הרבה, אבל לדעתי אם אתה רוצה לענות, אשמח שלא תדלג על מה שנראה לי אחד מעיקרי השאלה כאן היא: האם אתה טוען שחדי קרן קיימים?
הפוך גוטה הפוך 677498
רק הערה על אברט ואוקהם, כי את הטענה שאברט הוא אנטי-אוקהם שמעתי ואני לא מסכים איתה. אברט לא מניח ריבוי יקומים. אברט מניח חוק טבע אחד פחות (קריסה) ומקבל כתוצאה ריבוי יקומים. לדעתי מבינת אוקהם הוא אזרח למופת. יש בפרשנות שלו בעיות אחרות קשות, כמובן.
הפוך גוטה הפוך 677499
טוב, בוהם מניח את אותו חוק אחד פחות ומקבל תוצאה אחרת. אז הייתי מתקשה לומר שריבוי היקומים הוא תוצאה ישירה או הכרחית של ההנחה של אברט. היא יותר הצעה לפתרון הבעייתיות של ההנחה שלו. ובתור הצעה, אולי סיבוכיות החוקים קטנה באחד, אבל סיבוכיות המציאות עולה פי אינסוף.
מה אתה מעדיף אוקהמית, את החוק y=x^2, או את ביטול חוק החזקה ובמקומו Lookup table עם זיליון ערכי x בכניסה וזיליון ערכי y ביציאה?
הפוך גוטה הפוך 677527
בוהם מניח משתנה חבוי במקום החוק. y=x^2 הוא לא חוק, ולא שקול לטבלת חיפוש (הראשון הוא סימון לפעולה מתמטית, השני נשמע כמו דרך לקבל תוצאה של הפעולה). אבל fair point שיש מקום לספור לא רק חוקים אלא גם דברים שתיאוריה גורסת שקיימים, כשמשווים אותה לתיאוריות אחרות שלא גורסות שהם קיימים.

(רק להזכיר, הבעייה של התיאוריה של אברט בתחום הסברת התוצאות האמפיריות קשה יותר ויותר חד-משמעית מהבעיה האוקהמית.)
הפוך גוטה הפוך 677544
כתבת:
"המושג קיים רק כחלק מפרוטוקול תקשורת מוסכם ביני ובינך".
"הפרוטוקול מתבצע על תשתית פיזיקלית למשעי"

אהה! זאת הבעיה. אפשר להגיד את זה על כל דבר פיזי אחר, למשל: אתה, המחשב שבו כתבת את ההודעה, האייל הקורא, פוטון וכיו"ב. אני חושב שדווקא הבנתי את אוקהם שלך היטב. אתה שאלת באופן רטורי האם כל class שמוגדר בתוכנת הסלולר שלך הופך לישות בעלת קיום באיזה עולם מופשט? וכוונתך- ברור שזזה מיותר. אבל הטיעון האוקהם הזה נכון גם להרבה דברים שאתה קורא להם "קיימים". הנה הוא לגבי בני אדם: האם כל אוסף אטומים לא גדול שמתקיים למשך זמן זערורי (באופן יחסי) על כוכב לכת שולי ולא מזיק ברובו - האם ראוי שנקרא לו "ישות בעלת קיום"? גם אתה לא "קיים" מעבר לאוסף האטומים הזמני הזה, אלא אם כן אתה מאמין בגלגול נשמות (ואני מאמין שאתה לא..). אפילו האטומים עצמם לא קיימים באמת, הרי אין להם אפילו מיקום מוגדר היטב. זה רק הסתברויות! אז אם אתה חובב אוקהם אתה צריך לגלח כל דבר חוץ ממספר קטן של כמה משוואות שדה, ואולי איזה פרופסור לקוואנטים שמסוגל לפתור אותן..

"האם אתה טוען שחדי קרן קיימים?" השאלה הזו לא מקדמת אותך כלל: ברור שהם לא קיימים בעולם הפיזיקלי, בוודאי שהם קיימים בעולם הבדיון. הנה נקודה שלי ממש בקיצור: אין ויכוח בין פילוסופים (או ביננו) על מה קורה בתכלס.. אנשים הולכים לקונצטרים, גלגלים מתגלגלים, חדי קרן קיימים רק בדימיון. אבל כאשר פילוסופים מנסים להדביק תוויות: זה "קיים באמת" וזה קיים "לא באמת" אז מתחילות בעיות.. הקריטריון שאומר מה "קיים באמת" הוא דיי שרירותי למען האמת. בגלל זה אני מציק לך על עניין ההצדקה לקריטריון שלך.

בדיעבד נראה שגררתי אותך למסלול צידי ארוך ומפותל שהתחיל מהשאלה של אריק על הקשר בין אידאות לבין דברים פיזקליים. קראתי את הפתיל מחדש, ואין לי הצדקה ממש חזקה לנטפוק הזה.. סתם רציתי להעביר נקודה.

יש לי כיוון חדש לחלוטין לאולי יענה לשאלה של אריק, גם הוא מתחום הפילוסופיה. אבל אני אכתוב זאת בתגובה נפרדת.
הפוך גוטה הפוך 677545
כמו שהבנת לקראת הסוף, הדיון התחיל מיישויות פיזיקליות מול לא פיזיקליות אצל אריק, והשפעתן ההדדית. זה ההקשר. בהקשר הזה, שולחן קיים בצורה אחרת לגמרי מחדי-קרן, ומשם המשכנו. לכן הגילוח אד אבסורדום שלך נראה לי קצת לא רלוונטי לכאן.

ואם כבר ניטפוק, שום פרופסור לקוונטים לא יכול להסביר מערכות מורכבות, ובשביל זה יש מכניקה סטטיסטית, כימיה, ביולוגיה ופסיכולוגיה. התער של אוקהם רשאי לחתוך ככל האפשר, כל עוד הוא מספק הסבר למציאות ותופעותיה. מעבר לזה, הוא כבר חותך בבשר החי, ולא בשביל זה הוא כאן.
הפוך גוטה הפוך 677554
"שולחן קיים בצורה אחרת לגמרי מחדי-קרן"
על זה כולם מסכימים. אמרת לאריק: (צטוט חופשי מאד) "מעגל "לא פיזקלי" קיים באותה מידה שהארי פוטר קיים - כלל וכלל לא". הבה לא נתווכח על המילה "קיים". אני רוצה להצביע על הבדל מעניין בין דברים מתחום המתמטיקה, לבין דברים כמו הארי פוטר או חד קרן.
- התכונות של המעגל הן אובייקטיביות. נגזרות מההגדרה שלו. למשל אם 2 אנשים "ממציאים את המעגל" באופן עצמאי, הם יגלו בדיוק את אותו יחס בין הרדיוס להיקף.
- התכונות של הארי פוטר הן לא אובייקטיביות.. אם 2 אנשים ימציאו באופן עצמאי סיפור על ילד בשם הארי פוטר שלומד באקדמיה לקוסמים.. אז יתר הפרטים יהיו כנראה שונים מאד.

למעשה, ההבדל הזה יותר קיצוני ממה שכתבתי כאן. יש בגאומטריה מספר קטן מאד של אקסיומות‏1, וכל מי שיתבסס על אותן אקסימות יקבל פחות או יותר את אותם אובייקטים "מעניינים" ואת אותם משפטים. זה כאילו ששני אנשים שונים שמתחילים עם אותו אלף בית עברי בעל 22 אותיות, יכתבו כמעט בדיוק את אותם סיפורים.

---
1 וגם האקסיומות עצמן לא נבחרות באופן אקראי..
הפוך גוטה הפוך 677555
או, תודה רבה, אני כבר מחכה זמן רב שמישהו ינסח את ההבדל בין יצירה בדיונית כלשהיא לאובייקטים גאומטריים מוסכמים. זה לפחות יכול לתת מענה ראוי לעולם האנטי אוקהמי שבו כל הגיג מתגלם כיישות לא-פיזיקלית בפני עצמה.

יש לי כמה דברים לומר בכיוון, אבל אני צריך לחשוב אם הם מעניינים או לא טריויאליים, ולשם כך אצטרך להתפנות בזמן מאוחר יותר.
הפוך גוטה הפוך 677654
עכשיו פטרול של פילוסופים מתנפל עליך ומזכיר לך שאם 2 אנשים ימציאו באופן עצמאי סיפור על ילד בשם הארי פוטר שלומד באקדמיה לקוסמים אז זה לא אותו הארי פוטר, כלומר לא אותה דמות בדיונית. הקשר של לפחות אחד ה"הארי פוטר"ים האלה להארי פוטר שרולינג בדתה הוא כמו הקשר בין המעגל שלנו ל"מעגל", המילה שאותה בחרו הגאומטריקונים בכדור-ארץ-תאום עבור קו.
הפוך גוטה הפוך 677656
כמו שרלוק הולמס?
הפוך גוטה הפוך 677662
אבל לא מדובר על המילה "מעגל" אלא על הצורה הגאומטרית. אין לי מושג איך נראה עולם חלופי ואיך תתפתח המתמטיקה שלהם, אבל אם הם יתייחסו לצורות על מישור, מאוד סביר להניח שאחת הצורות הללו תהיה מעגל: הצורה הזו מופיעה בהרבה מאוד תופעות בכדור הארץ מסיבות ברורות (בשל היות העיגול הצורה עם השטח הגדול ביותר להיקף נתון וכדומה).
הפוך גוטה הפוך 677670
זה גם עניין של השפעה סביבתית.
אם אתה מדליק אש, החום והאור יתפשטו ברדיוס מסוים. דפוס ההתפשטות הזה הוא מעגל.
אפקט ההתפשטות הזה נכון לא רק לאש, אלא לכל דבר שמתפשט מנקודה מסויימת סביב. בדיוק כמו אבן שנזרקת לתוך שלולית ומשפיעה על המים סביבותיה... בדפוס מעגל.

צורת המעגל מתגלמת בדרכים רבות נוספות, כמו מערבולות מים ורוח, או עצמים שמעיקרם מופיעים בצורה עגולה, כמו עדשים.

תהיה זו טעות לומר שהמעגל זה מושג מופשט.
הפוך גוטה הפוך 677673
כל הצורות שתארת דומות למעגל, אך אינן באמת מעגל.
הגדרת המעגל היא מופשטת לגמרי כבר אלפיים וחמש מאות שנה.
המעגל הוא רק מושג מופשט ואינו קיים במציאות.
הפוך גוטה הפוך 677676
מעגל ההתפשטות של אור הנר, איננו באמת מעגל?
טווח הקשת שלי, איננו מעגל?
הפוך גוטה הפוך 677679
מעגל הוא דו ממדי.

אבל בוא ניקח את דוגמת האור- על מקור האור להיות נקודתי (ואין דבר כזה) ואז אם נתאר את האור כגל, מכיוון שמהירות האור בריק אחידה, נוכל לומר שהתאור המתמטי של מקומה של חזית הגל בנקודת זמן מסוימת יתאר כדור.
אבל בפועל מנות האור הן בדידות ולא נראה לי שפוטון בודד יכול להתפשט לכל הכיוונים באופן כדורי.
הפוך גוטה הפוך 677696
אתה יכול לומר שדוגמת האור היא אחד הגורמים הפיזיים שגרמו לאנשים לרצות לסמן ולחשב מידות כדוריות.

הרי הטענה שלי היתה כי המתמטיקה המופשטת לא החלה כרעיון מופשט אלא כדרך למדוד עצמים ומושגים פיזיים מאוד.
אז, נניח שאת המעגל הגדירו והחלו לחשב כשאדם רצה לדעת את גבול השטח אליו הוא יכול ללכת ולשוב לביתו ביום אחד, את השטח שעליו ניתן לצפות עליו מראש עץ גבוה או מגדל שמירה, או את השטח הבטוח שהוא יכול לכסות בקשתו.

כדי לקבוע שיטת מדידה עקבית ואמינה, צריך שתהיה מדויקת. לכן ההגדרות המתמטיות תובעות דיוק.
אני יכול לומר שממערב למגדל השמירה יש גבעה החוסמת ומגבילה את שטח התצפית. אבל השיטה לא מתחשבת בכך. היא צריכה להתאים גם למקום שבו אין גבעה, או שהגבעה ממזרח.
ולכן אתה מגיע לקריטריונים המופשטים יותר, שהם תולדה ותוצאה של העולם המוחשי, ולא ש''איכשהו'', במקריות מופלאה, מצאנו התאמה עמומה בין השנים.
הפוך גוטה הפוך 677714
חשבתי שקישרתי לך קודם לפיתגורס [ויקיפדיה]. דווקא כן רעיון מופשט.
הפוך גוטה הפוך 677719
איפה הרעיון המופשט פה?
אני קורא על חייו ומשנתו של פיתגורס שניסה למדוד כל תופעה פיזית באמצעות המתמטיקה.

וזה בכלל בלי להזכיר שפיתגורס לא היה הראשון בעולם שחישב כמה זה שתיים ועוד שתיים, או שצייר מעגל או מפה.
הפוך גוטה הפוך 677726
מתוך הערך:

"הפיתגוראים לא ידעו להשתמש במילה "יחס", ולכן אמרו שהמספר עומד מאחורי התופעות, כלומר הוא הראשית. היחס המספרי הבלתי חומרי והבלתי נראה מתגלם בחומר הנראה. הדברים עצמם הם מספרים. העולם אחדותי כי הוא מספרי, שכן המספר יוצר את ההרמוניה (-חיבור) בין הניגודים הקיימים בפועל (המילטים סברו שהניגודים הם רק למראית עין).

המספרים נמצאים בתוך הדברים כפי שהאל נמצא בתוך כהן בקכוס. מימזיס - חיקוי או זהות האחד עם האחר - הכהן עם האל, המספר עם התופעה."
הפוך גוטה הפוך 677747
יש כאן כמה נקודות חשובות שלדעתי אינן סותרות את הטענה שלי, אלא תומכות בה:
1. הקשר בין המתמטיקה לעולם האמיתי איננו אקראי, אלא מדובר ביחס ישיר.
2. המתמטיקה היא חוקיות שקיימת בעולם. המתמטיקאים לא ממציאים אותה, אלא מגלים אותה. המתמטיקה היא תשבץ ענק וסבוך. ההגדרות והפתרונות כבר כתובים ומסודרים. לנו נותר רק לפענח ולמצוא אותם.
3. אם לקחתי 3 תפוזים והוספתי להם 3 תפוחים, יש לי 6 פירות. לא יצרתי את המספרים האלה או את המשוואה הזו, אלא האפשרות הזו קיימת בתוך ההיצע שהמספרים נותנים לי, והמעשה שלי יצר התגלמות ובחירה של אחת מן האפשרויות האלה.
4. האדם לא היה מגלה את החוקיות הזו, בלי להתחיל לספור תפוחים או מרחקים.

לפי זה, המעגל איננו המצאה של המתמטיקאים שאינה קיימת בעולם האמיתי, אלא דבר שקיים במציאות. הגרסה המתמטית היא כמו תרשים ותכנית הנדסית/אדריכלית לבניין. רק שזה מביא אותנו לעניין קצת יותר עמוק - עניין הראשית.
אם המספר קודם לתופעה, יש משהו שמכוון את התופעה ומכריח אותך לנהוג על פי חוקיות המספר. סוג של "איסתכל באוריתא וברא עלמא".
הפוך גוטה הפוך 677762
הטענה שלך מה היא?
שהמעגל הוא כן או לא רעיון מופשט?
אם הוא התרשים של המציאות הוא לא קיים במציאות, כשם שתכניות הבניין אינן חלק מהבנין עצמו.
הפוך גוטה הפוך 677803
הטענה שלי היא כי המעגל קיים בעולם המוחשי ולא אידאה שאינה קיימת ביקום הפיזי אלא בדמיוננו בלבד.
את הדוגמאות למעגלים בעולם המוחשי כבר נתתי, ואם תאמר שאין שם את הדיוק המושלם בו משורטט המעגל המופשט, אין בכך מאומה. שהרי גם הבניין הבנוי במציאות איננו ישר ומדויק כמו התרשים, וגם חוויות האהבה והזוגיות במציאות אינן חדות, שמימיות או מושלמות כפי שמתארים אותן בדמיון - ואף על פי כן מדובר במציאות מוחשית.
הפוך גוטה הפוך 677807
מעגל הוא אוסף נקודות המקיימות תנאי מסויים.
משולש הוא הקטעים שעוברים דרך שלוש נקודות שמקיימות תנאי מסוים.

כל דבר שאינו עונה להגדרה של מעגל אינו מעגל. לכן כל הדוגמאות שהבאת אינן מעגל.
אומר זאת שוב במלים אחרות- האופן היחיד שיש לנו לתאר ולהבין מעגל הוא האופן האידאלי.
המעגל הוא רק מה שבתרשים, ולא מה שבבניין. מה שיש במציאות איננו ''מעגל לא מושלם'' כי אין כזה דבר ''מעגל לא מושלם''. יש רק מעגל.
במציאות יש דברים שדומים למעגל ואנחנו מחילים עליהם בהצלחה לא מבוטלת חוקיות כאילו היו אכן מעגל, אבל זהו דמיון שהכח המדמה שלנו מבחין בו, או שמא מייצר אותו, ולא דמיון בטבעם של הדברים עצמם, שכן למעגל האידאלי אין לכאורה שום קשר למציאות.
הפוך גוטה הפוך 677813
אתה נותן את ההגדרה המתמטית, ואז משתמש בטיעון שתקף רק במתמטיקה כדי לטעון שזו ההגדרה היחידה.
אפשר לתת הגדרות אחרות, ומחוץ לשדה המתמטיקה הדיוק המושלם ברוב המקרים איננו נחוץ ואף מקלקל.

באותה מידה תוכל למצוא הרבה קווים ישרים, אותם תפסול בגלל שברזולוציה גבוהה הם לא מתאימים לקו הדק מחוט השערה, המוביל מנקודה א' לנקודה ב' - אף הן דקות מחוט השערה.

וזה תקף לכל מושג מציאותי ומוחשי. ברגע שאתה מנסה להפוך אותו למושלם, יהפוך למופשט. בעולם שלנו בכל אליה יש לפחות קוץ אחד.
הפוך גוטה הפוך 677815
אני לא מכיר הגדרה אחרת למעגל. אתה אומר שאפשר לתת הגדרות אחרות- נא שתף אותי באחת או שתיים.
אני גם לא מכיר הגדרה אחרת לקו.
אני לא מנסה להפוך מושג מוחשי למושלם. אני טוען שהמושג קיים ואינו מוחשי.
הפוך גוטה הפוך 677823
היקף - כל מקום שאליו אני יכול להושיט את היד שלי מבלי לזוז מהמקום, או כל מקום שאליו אני יכול להגיע בעשר דקות הליכה מהבית.

קו - פס ישר.

שתי ההגדרות האלה חייבות להגיע לדיוק מושלם ועילאי, רק אם אתה מכניס אותן להגדרה המתמטית של נקודה מצומצמת עד לאין מידה.

ברגע שאתה נפטר מן המתמטיקה, אתה נפטר מן הצורך בדיוק מושלם. במקרים רבים, מספיקה מראית עין על מנת להתאים להגדרה.
הפוך גוטה הפוך 677834
אין כל קשר בין ''כל מקום שאליו אני יכול להושיט את היד שלי מבלי לזוז מהמקום, או כל מקום שאליו אני יכול להגיע בעשר דקות הליכה מהבית'' לבין מעגל.

ברגע שאני נפטר מן המתמטיקה אין צורך בכלל להגדיר מעגל.

מראית עין של מעגל אינה מעגל. מעגל הוא רק הביטוי הרעיוני - מתמטי או גאומטרי.
הפוך גוטה הפוך 677840
אם כן, אסכם את חילוקי הדעות בינינו.
אתה חושב שאם זה לא מדויק באופן מתמטי, זה לא מעגל. לכן אתה חייב את ההגדרה המתמטית, שמחייבת דיוק. ולכן זה לא יכול להיות קיים בעולם האמיתי, רק דומה.

אני חושב שכל דבר שאנשים מכירים בו ומשתמשים בו קיים גם ללא ההגדרה המיטבית או המדויקת ביותר, ולאו דוקא בצורתו המושלמת.
כדוגמה אני נותן את מושג האהבה, שיהיה נכון ומתאים גם אם האוהבים רבים וכועסים מדי פעם, ואז צצים להם כל מיני מאפייני התנהגות שלא מתאימים לאהבה דווקא.
ואם נלך למקום יותר קרוב, כשאני מדבר על חפץ או מבנה רבוע, בהנחה שמכורח המציאות צלעותיו אינן ישרות בצורה מוחלטת על פי ההגדרה של קו. זה כבר לא רבוע אלא טרפז/מחומש/מתומן?
זה רק מדמה ריבוע?
לבוא בדרישות שכאלה, לא נקרא להיות מרובע?
הפוך גוטה הפוך 677853
אתה מתאר שני דברים מקבילים. היכן חילוקי הדעות?
הפוך גוטה הפוך 677911
כשאני חושב שמעגל יכול להיות מעגל גם אם הוא לא מדויק בצורה מתמטית עד לרזולוציה הגבוהה ביותר.
כשאני חושב שהעולם הגשמי מציע לנו צורות ואפשרויות, רק שבעולם הגשמי קשה עד בלתי אפשרי להשיג דיוק מושלם. את הדיוק המושלם ניתן להשיג אצל המופשט.
לכן אני לא חושב שמעגל נולד או קיים רק בצורה מופשטת, אלא שהמעגל המופשט הוא בבואה של המעגל הגשמי.
הפוך גוטה הפוך 677874
מרובע הוא מי שמפריע לו שלא קוראים לו ריבוע?
הפוך גוטה הפוך 677824
מעגל, הגדרה 1: המקום הגיאומטרי של כל הנקודות המצויות במרחק שווה מנקודה נתונה.
מעגל, הגדרה 2: קבוצת הפתרונות של המשוואה 2^x-a)^2+(y-b)^2=r) עבור a,b,r כלשהם (אפשר להגביל למספרים ממשים, אפשר גם לא).
מעגל, הגדרה 3: שפה של כדור במרחב נורמי.
מעגל, הגדרה 4: העקומה הסגורה היחידה שמביאה למקסימום את השטח שהיא תוחמת, בהנתן אורכה.
מעגל, הגדרה 5: הגבול היחיד (נגיד במטריקת L^2) של סדרת פוליגונים משוכללים בעלי קוטר זהה, כאשר מספר הצלעות שואף לאינסוף.
(...ויש עוד הרבה, כנראה עשרות, הגדרות לגיטימיות)

קו ישר, הגדרה 1: קבוצת הפתרונות של המשוורה ax+b=y.
קו ישר, הגדרה 2: תת-קבוצה קשירה של מרחב ליניארי מממד 1.
קו ישר, הגדרה 3: עקום גיאודזי על יריעה דיפרנציאלית המציידת בקשר אפיני.
קו ישר, הגדרה 4: אין הגדרה. קו ישר הוא מושג אטומי הקשור למושג "נקודה" על סמך סט האקסיומות החביב עליך.
קו ישר, הגדרה 5: גרף פונקציה ממשית שנגזרתה קבועה בכל תחום הגדרתה.
(...ויש עוד הרבה, כנראה עשרות, הגדרות לגיטימיות)

ומנקודות מבט מסויימות, מעגלים וקוים ישרים הם בדיוק אותו הדבר (יצורים המכונים לפעמים "cline", ונוטים לצוץ כשיש איזו העתקת מוביוס בסביבה).

בכלל, קשה למצוא דוגמאות למונחים מתמטיים שלהם רק הגדרה אחת וקאנונית. הסיבה לכך היא שמעגלים וקוים ישרים (וחוגים לא קומוטטיבים, ופונקציות רקורסיבית, ותכונות אוניברסליות, ואינטגרלים, וגרפים, וקטגוריות קטנות...) הם בסה"כ רעיונות, ומן הסתם אפשר (וכדאי!) למצוא שפע של פורמליזציות שונות שתופסות את אותו רעיון.
הפוך גוטה הפוך 677825
ניטפוק: ישר, או קו ישר אצלך בהגדרות, אינו מוגבל באורכו (לפחות במישור רגיל). לעומת זאת קו ישר רגיל בחיי היום יום יהיה מוגבל באורכו. המונח המתמטי המקביל לכך הוא "קטע".
הפוך גוטה הפוך 677835
(נשאר רק עם המעגל)

מצוין! תודה רבה!
כל ההגדרות שהבאת אינן בעולם הפיזי.
הזהות בין הביטוי של הגדרה 1. (כל הנקודות המקיימות את התנאי) לבין הגדרה 2. (קבוצת הפתרונות של המשוואה) רק מחזקת את דברי.
הפוך גוטה הפוך 677841
ודאי שההגדרות הן בעולם הפיזי, הנה הן כתובות שחור על גבי עיתון בשפה פיזית שכולנו מבינים.
הפוך גוטה הפוך 677848
ההגדרות לעיל מקודדות בעולם הפיזי. אבל היכן הרעיון שכל ההגדרות השונות האלה מנסות לתפוס?
אני חושב שבדיון כאן שזור בלבול יסודי בין המפה לבין הטריטוריה שהיא מתארת.
הפוך גוטה הפוך 677863
דוקא לא בלבול בכלל, זה שורש הדיון כאן. אני טוען (או מנסה לטעון) שיש כאן מפה ללא טריטוריה‏1. בדיוק כמו המפה של הארץ התיכונה שמצוירת בתחילת ספרי שר הטבעות.
אריק טוען שיש טריטוריה, והיא קיימת באיזה עולם כלשהו (שלדעתי הוא לא ממש הגדיר אותו - אולי לך יש מה לומר על "היכן" העולם הזה?), מחוץ לעולם ה"פיזי" המוכר לנו.

1 הכנס אמירה פלצנית "מה שבורדיאר מכנה 'סימולקרה' בספרו הידוע‏2"
2 – " – "שנמצא ליד מיטתי ואני בדיוק כרגע באמצעו‏3"
3 כרגע == בעשרת החודשים האחרונים.
הפוך גוטה הפוך 677866
אבל נראה לי שלמפה של הארץ התיכונה יש טריטוריה‏, גם אם אבסטרקטית: היא מתארת אספקט מסויים מחזונו של טולקין בנוגע לעולם שהוא המציא. זה די דומה לאופן בו כל אחת מההגדרות השונות למעגל מתארת אספקט מסויים מרעיון מופשט כלשהו שנמצא במחשבתם של הרבה אנשים.

בלי להתחייב (כי אני לא בטוח): אני חושב שמספרים, מעגלים וקווים-ישרים "קיימים" בדיוק כמו לאקטרונים, אנרגיה וכדור הארץ. כל המונחים הללו מתייחסים למודלים מנטליים שעוזרים לנו לארגן מחשבות.

באשר ליחס בין המחשבות הללו לבין "העולם הפיזי" או "העולם הממשי" - אין סיכוי שאתפתה לפתוח את קן הצרעות הזה :)
הפוך גוטה הפוך 677869
אם מבחינתך כל קיומו של כדור הארץ הוא רק מודל מנטלי שלנו, אז אכן הוא דומה לקיומו של הארי פוטר. זאת דוקא גישה שדומני שעוד לא הופיעה בדיון.
נראה לי שלא רק אני אלא גם אריק לא ממצדדיה.
הפוך גוטה הפוך 677854
השמטתי:
כל ההגדרות שע.ש. הביא אינן (מגדירות משהו שקיים) בעולם הפיזי. לא ההגדרה, אלא המוגדר.
הפוך גוטה הפוך 677847
לא התכוונתי לסתור את דבריך, או בכלל לקחת צד בוויכוח. אני עדיין לא מבין מה בדיוק כל אחד מהצדדים טוען. בינתיים, אני סתם זורק הערות ביניים מהקהל.

אגב, אין זהות בין הגדרה 1 לבין הגדרה 2 (או בין אף הגדרה לבין אף הגדרה אחרת). כל אחת מהן מדברת על עולמות שונים. ההגדרה הראשונה עוסקת בנקודות במישור, וההגדרה השניה עוסקת במספרים ממשיים. ואמנם אפשר למדל נקודות במישור באמצעות מספרים ממשיים, וגם אפשר (עם קצת מאמץ) למדל מספרים ממשיים באמצעות נקודות במישור - אבל בכל זאת, מדובר באובייקטים שונים לגמרי.

כדי לחדד את ההבדל, אפשר להכליל: ההגדרה הראשונה נותרת משמעותית והגיונית גם כאשר מדובר על מרחב גיאומטרי כלשהו (לאו-דווקא מישור), וההגדרה השניה נותרת משמעותית והגיונית גם כאשר מדובר על אברי חוג כלשהו (לאו-דווקא ממספרים ממשיים). אבל עכשיו כבר אי אפשר ממש למדל אף אחד מהעולמות באמצעות השני, ושני המעגלים לא רק שאינם זהים - הם אפילו לא דומים. ועדיין, אני חושב שרוב המתמטיקאים יסכימו בלב שלם שבשני המיקרים מדובר במעגלים.
  הפוך גוטה הפוך • אריק
  הפוך גוטה הפוך • הפונז
  הפוך גוטה הפוך • ע.ש.
  הפוך גוטה הפוך • אריק
  הפוך גוטה הפוך • האייל הפלמוני
  הפוך גוטה הפוך • אריק
  הפוך גוטה הפוך • האייל הפלמוני
  הפוך גוטה הפוך • אריק
  הפוך גוטה הפוך • האייל הפלמוני
  הפוך גוטה הפוך • אריק
  הפוך גוטה הפוך • האייל הפלמוני
  הפוך גוטה הפוך • אריק
  הפוך גוטה הפוך • האייל הפלמוני
  הפוך גוטה הפוך • אריק
  הפוך גוטה הפוך • האייל הפלמוני
  הפוך גוטה הפוך • אביר הקרנפים
  הפוך גוטה הפוך • הפונז
  הפוך גוטה הפוך • ע.ש.
  הפוך גוטה הפוך • אריק
  הפוך גוטה הפוך • ע.ש.
  הפוך גוטה הפוך • אריק
  הפוך גוטה הפוך • ע.ש.
  הפוך גוטה הפוך • אריק
  הפוך גוטה הפוך • ע.ש.
  הפוך גוטה הפוך • אריק
  הפוך גוטה הפוך • ע.ש.
  הפוך גוטה הפוך • ע.ש.
  הפוך גוטה הפוך • אריק
  הפוך גוטה הפוך • הפונז
  הפוך גוטה הפוך • אריק
  הפוך גוטה הפוך • אביר הקרנפים
  הפוך גוטה הפוך • אח של אייל
  הפוך גוטה הפוך • ירדן ניר-בוכבינדר
  הפוך גוטה הפוך • אח של אייל
  הפוך גוטה הפוך • צפריר כהן
  הפוך גוטה הפוך • אביר הקרנפים
  הפוך גוטה הפוך • אריק
  הפוך גוטה הפוך • הקשה המקשה
  הפוך גוטה הפוך • הפונז
  הפוך גוטה הפוך • הפונז
  הפוך גוטה הפוך • אריק
  הפוך גוטה הפוך • צפריר כהן
  הפוך גוטה הפוך • הפונז
  הפוך גוטה הפוך • הפונז
  הפוך גוטה הפוך • עומר
  אם כבר פילוסופיה • אביר הקרנפים
  אם כבר פילוסופיה • עומר
  הפוך גוטה הפוך • אריק
  הפוך גוטה הפוך • הפונז
  הפוך גוטה הפוך • אריק
  הפוך גוטה הפוך • אח של אייל
  הפוך גוטה הפוך • הפונז
  הפוך גוטה הפוך • אריק
  הפוך גוטה הפוך • ירדן ניר-בוכבינדר
  הפוך גוטה הפוך • אריק
  הפוך גוטה הפוך • ירדן ניר-בוכבינדר
  הפוך גוטה הפוך • אריק
  הפוך גוטה הפוך • ירדן ניר-בוכבינדר
  הפוך גוטה הפוך • הפונז
  הפוך גוטה הפוך • הפונז
  הפוך גוטה הפוך • אח של אייל
  הפוך גוטה הפוך • הפונז
  הפוך גוטה הפוך • אח של אייל
  הפוך גוטה הפוך • אביר הקרנפים
  הפוך גוטה הפוך • עומר

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים