בתשובה להאייל האלמוני, 13/08/02 18:57
בואי נעשה סדר. 84726
אם אתה מוכיח, שאין קבוצה כזאת, הפרכת את קיומה.
מה הבעיה כאן?
בבעיה האמורה, לא ניתן למצוא קבוצה כזאת ולא ניתן להוכיח, שאין קבוצה כזאת.
בואי נעשה סדר. 84730
1. כדי להוכיח שלא ניתן להפריך את המשפט: צריך להוכיח שלא ניתן להוכיח את אי-הקיום של כזו קבוצה (וואו, מסורבל).

2. כדי להוכיח שלא ניתן להוכיח את המשפט: צריך להוכיח שלא ניתן, באופן מהותי, למצוא כזו קבוצה.

3. אם לא ניתן למצוא כזו קבוצה, היא לא קיימת. כלומר הוכחנו את אי-הקיום של כזו קבוצה

4. אבל זו סתירה ל-‏1.

בברור הלוגיקה שלי כושלת מאד. אבל איפה?
בואי נעשה סדר. 84749
הכשל הוא ב3.
גם אם לא ניתן למצוא קבוצה מסוימת, זה לא מוכיח, שהיא אינה קיימת.
בואי נעשה סדר. 84752
אבל לא אמרת "אני לא יודע למצוא כזו קבוצה" (מכך בוודאי אי אפשר להסיק שהיא לא קיימת), אלא אמרת "הוכחתי ש*אי אפשר* למצוא כזו קבוצה". איך ניתן, באופן עקרוני, להוכיח כזה דבר בלי להוכיח שהקבוצה בעצם לא קיימת?
בואי נעשה סדר. 84781
אני בודאי שלא הוכחתי, שאי אפשר למצוא קבוצה כזאת. (לו הייתי עושה זאת הייתי עשיר ומפורסם)
יותר מזה, לא טענתי מעולם, שניתן להוכיח דבר כזה. (לו הייתי עושה זאת הייתי עושה מעצמי אדיוט)
מה שכן אמרתי לך, זה שאם תוכיח שאין קבוצה כזאת, תפריך את קיומה. מאחר ולא ניתן להפריך זאת, ודאי שלא ניתן להוכיח את אי-קיומה של הקבוצה הנ''ל.
אתה עשיר ומפורסם 84833
בואי נעשה סדר. 84790
אם במקום לחשוב על דברים מופשטים כמו עוצמות של קבוצות אינסופיות תחשוב על מקרה יותר פשוט, יהיה יותר קל להבין.

אכסיומת המקבילים של אויקלידס היא דוגמא טובה.
בואי נעשה סדר. 84835
אכסיומה היא הנחה בסיסית ממנה בונים תיאוריה. לעומת זאת, מה שהזכיר easy הוא משפט ככל המשפטים במתימטיקה: הוכח שלא ניתן להוכיח או להפריך את קיומה של קבוצה בעוצמה הנדונה.
בואי נעשה סדר. 84838
ולכן אפשר לנסח אקסיומה שמניחה את קיומה של קבוצה כזאת, ואפשר לנסח אקסיומה שמניחה את אי קיומה של קבוצה כזאת, ובשני המקרים לקבל מתמטיקה חסרת סתירות.

השאלה עד כמה "בסיסי" המשפט הזה תלויה בשאלה כמה עשירות ושונות זו מזו יהיו התורות שיתקבלו, אבל בעקרון היא לא שאלה שיש עליה תשובה אובייקטיבית.

(קדימה, עוזי :-))

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים