 |
|
 |
||
|
||||
 |
בעוד נכון כי כל דבר כפול אפס הוא אפס אל תשכחו כי גם כל דבר כפול אינסוף הוא אינסוף... אינסוף כפול אפס לדעתי זו לא חידה פשוטה ולפרושי האישי פתרונה כשתלות במקרה .. |  |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
באריתמטיקה אין מספר אינסוף ופעולת כפל באינסוף או חלוקה באינסוף אינן מוגדרות (כשם שפעולת חלוקה ב 0 אינה מוגדרת). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נכון, לא בחשבון של בית ספר יסודי. אבל אפשר להגדיר פעולות חשבון עם ''המספר'' אינסוף. יש אי אילו תורות מתמטיות שנוגעות בעניין. אפשר להגדיר כפל, חיבור, חזקה ואפילו חילוק בגדלים אינסופיים. כל ספר בתורת הקבוצות עושה את זה. אתה מקבל אריתמטיקה שונה, קצת מוזרה, אבל תקפה לחלוטין. נסה לפתוח ספר בתורת הקבוצות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עד כמה שזכור לי תורת הקבוצות עוסקת בעוצמות של קבוצות ולא במספרים ואף על פי שבחלק מהמקרים יש דמיון רב לאריתמטיקה המשמעות של הפעולות הללו, במיוחד כשמדובר בקבוצות אינסופיות, היא אחרת לחלוטין. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה היא עוצמה של קבוצה? זה מספר האיברים בקבוצה. (לפחות לעוצמות סופיות). אז מה הוא מספר אינסופי? יש לך כאן כמה הגדרות אפשריות, שמתלכדות עבור גדלים סופיים: קארדינלים ואורדינאלים. כמובן שאריתמטיקה של מספרים אינסופיים היא "מוזרה". למשל, לכל מספר אינסופי Y: Y*Y=Y אבל Y^2Yהמשמעות של הפעולות האריתמטיות על מספרים אינסופיים היא פשוט הרחבה של הפעולות שאתה מכיר מחשבון סופי. לא צריך להפתיע אותך שמתקבלות תוצאות "מוזרות" כמו Y+3=Y. ה"פרדוקסים" שעליהן מדברים הם לא באמת פרדוקסים. הם פשוט הפתעות: ברגע שאתה מנסה להרחיב את האריתמטיקה למספרים אינסופיים, תקבל תופעות חדשות ומרתקות. זה לא צריך להפחיד אותך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עבר זמן רב מאז שלמדתי את החומר הזה אבל אני אנסה לאמץ את זיכרוני. עוצמה היא חסרת משמעות ללא קבוצה שהיא משויכת אליה. פעולות החיבור חיסור כפל או החילוק אינן מבוצעות על העוצמות של הקבוצות אלא על הקבוצות עצמן. באריתמטיקה לסימן החיבור יש משמעות של ניקח את ה"ערך" X ונוסיף לו את ה"ערך" Y. בעוצמות המשמעות היא אחרת. אם X הוא עוצמת קבוצה א ו Y הוא עוצמת קבוצה ב אז X+Y היא עוצמת הקבוצה המתקבלת מאיחוד א וב. סימן שוויון בין עוצמות פירושו שישנה פונקציה חד חד ערכית בין אברי שתי הקבוצות שאנו "משווים". המשמעות של הפעולות מאוד דומה כשמדובר בקבוצות סופיות עד כדי כך שבכיתות הנמוכות מלמדים אריתמטיקה באמצעות דוגמאות פשוטות מתורת הקבוצות ("אמא שמה בתיק 3 תפוחים ו 2 תפוזים, כמה פירות יש בתיק? "= מהי עוצמת הקבוצה המתקבלת מאיחוד קבוצה המכילה 3 תפוחים עם קבוצה שאיבריה הם 2 תפוזים). אבל כשמגיעים לקבוצות אינסופיות הניסוחים המורכבים מקבלים משמעות אמיתית שמבדילה בין תורת הקבוצות לאריתמטיקה. למשל עוצמה אינה יכולה להיות מספר האיברים בקבוצה כשמדובר בקבוצה אינסופית משום שאין בנמצא מספר כזה. עבור קבוצות אינסופיות הוגדרו טיפוסים שונים של אינסוף, א0 פירושו שישנה התאמה בין הקבוצה לקבוצת המספרים הטבעיים (או מה שניקרא אינסוף בר מניה), א1 פירושו שישנה התאמה בין הקבוצה לקבוצת המספרים הממשיים (אינסוף שאינו בר מניה). אני לא יודע מה ההמשך אבל זה משהו בסגנון הזה (העלאה בחזקת אינסוף כדי להוסיף אינדקס לסימן א). איחוד קבוצות שעוצמתן א0 ייתן קבוצה שעוצמתה א0 אך המשמעות היא לא חיבור שני מספרים שערכם אינסוף אלא הערכת העוצמה של קבוצה שנוצרת כתוצאה מאיחוד שתי קבוצות אינסופיות ברות מניה ע"י והוכחת קיום פונקציה חד חד ערכית ועל בין האיחוד של שתי הקבוצות ההן לקבוצת המספרים הטבעיים. זה לא מפחיד, זה אפילו יפה. אבל כשעושים קורס שאחוז המעבר שלו עומד על 30%, אין בו מועדי ב' וסיומו בציון סביר הוא תנאי הכרחי למעבר לשנה ב במדעי המחשב קצת קשה לראות את היופי שבו (זה לחלוטין לא קשור לעניין שלנו). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סימן שיוויון בין עוצמות פירושו שיש פונקציה חד-חד ערכית *ועל* בין אברי שתי הקבוצות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה צודק, נשמטה לי מילה (אם תבדוק תראה שבדוגמא שנתתי בהמשך המילה שבה והופיעה). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איפה למדתם את כל זה??? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שנה ראשונה מתמטיקה. בקורסים ''מתמטיקה בדידה'' או ''תורת הקבוצות'' (תלוי באוניברסיטה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(ערוץ 3, יום א', 20:50) אוטובוס של "הפיקניק השנתי של חתני פרס נובל", והם שרים בשמחה (בהסבה קלה לעברית): יש אינסוף תפוחים על העץ אחד נפל והתפוצץ יש אינסוף תפוחים על העץ אחד נפל והתפוצץ יש אינסוף תפוחים על העץ אחד נפל והתפוצץ ... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
פשוט מעבירים את כל הפעולות למילים בדיוק כמו בכיתה ה' בהקבצה הטיפולית (ואני גאה להיות בוגר ההקבצה הזאת) מספר אינסופי של גפרורים שמוכפל בשום דבר ממשיך להיות מספר אינסופי. (0 כפול אינסוף = אינסוף) למרות שלפי הפירוש הזה גם 4 כפול 0 צריך להמשיך להיות 4 ואז כל התיאוריה המבריקה שלי מתמוטטת ...אבל על ה*** שלי |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא ממש... אפס אינסוף זה פשוט אפס...וגם אם לא היה כך זה לא בהכרח היה גורר ש-4*0 זה 4. סתם הערה, אם אריתמטיקה של חיבור (או כפל) מודולו 4 אז 0*4=4 במידה מסויימת, ובכלל, במתמטיקה כמו במתמטיקה אין דבר כזה שאין דבר כזה, הכול תלוי באקסיומות מהן אתה יוצא (ואם אתה רוצה להגיע למשהו ממש מופרך פשוט תדאג שתהיה בהן סתירה...) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה לא בהכרח נכון ש אפס*אינסוף=אינסוף למשל: חשב את הגבול של xlnx כאשר x שואף לאפס ותקבל שהגבול הוא אפס... ויש עוד הרבה דוגמאות כאלה (למעשה יש אינסוף דוגמאות כאלה...) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אינטואיטיבית, לי זה נראה בדיוק ההפך ממה שהוא אמר: קח אפס ותחבר אותו לעצמו אפילו אינסוף פעמים. לא נראה הגיוני שתקבל משהו שהוא לא אפס. (אולי אפשר להוכיח את זה באינדוקציה טרנספיניטית?) כמובן שעם גבולות זה יותר מעניין ואפשר לקבל תוצאות לכאן או לכאן, אבל זה רק כי אנחנו "מרמים" ולא באמת מחברים את אפס אינסוף פעמים, אלא מספרים קטנים מאוד אינסוף פעמים (כן, גם זו לא אמירה מדוייקת לגמרי מתמטית). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אולי אפשר להוכיח את זה באינדוקציה טרנספיניטית?" זו היתה שאלה רצינית, או הומור רטורי? (רק שאבין אם יש טעם לענות). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הומור, כי אני לא באמת יודע מה זו אינדוקציה טרנספיניטית. מה שכן, אני באמת סקרן: אפשר להוכיח שסכום של אינסוף אפסים הוא אפס? (באינדוקציה רגילה, דומני, אפשר להוכיח רק שסכום של מספר סופי כלשהו של אפסים הוא אפס). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, רגע, בגישה הרגילה שלנו לסכומים אינסופיים (פשוט להתעסק עם סכומים חלקיים) ברור שאפשר לעשות את זה. אני לא בטוח שלזה כיוונתי בהודעה המקורית, אבל כרגע לא ברור לי למה כיוונתי. אם יש לך תשובה לסכומים לא בני מניה (תהיה משמעותם אשר תהיה) זה יהיה מעניין. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אי-אפשר להוכיח (באינדוקציה טרנספיניטית או בכל דרך אחרת) כלום על סכומים אינסופיים (של אפסים או של כל דבר אחר) לפני שעושים משהו אחר: *להגדיר* מהו סכום אינסופי. שגיאה נפוצה היא להניח שמכיוון שאנחנו יודעים מה זה a+b, ולכן מה זה a+b+c+d+e, אז הערך של a+b+c+d+e+... כבר נקבע בעבורנו ואנחנו רק צריכים לגלות מהו, או להוכיח לגביו דברים. זה פשוט לא כך: סכום אינסופי הוא פונקציה לא מוגדרת של אינסוף משתנים, ואפשר להגדיר אותה בכל מיני דרכים, יותר או פחות שימושיות, ולא כולן מתלכדות תמיד. אם תאמר לי איך אתה מגדיר סכום של (סודר כלשהו של) מספרים - ואתה מסתמא תשתמש באינדוקציה טרנספיניטית בהגדרה - אני אוכל להשיב לך על השאלה, מהו סכום של מספר לא בן-מנייה של אפסים, כנראה גם באינדוקציה טרנספיניטית. התשובה עשויה להיות תלויה בסודר, ולא רק בעוצמה. אם אתה מכיר קצת סודרים (סודר עוקב וסודר גבולי), אתה יכול להמציא די בקלות הגדרות טבעיות לסכום של טורים וגבולות של סדרות בהקשר המתאים. אחרי שתעשה זאת, תוכל לחשב את הסכום של המון-המון אפסים (סביר שיצא אפס). (טעות אחרת, הקשורה לפתיל הזה, היא לחשוב שכדאי להגדיר את אפס כפול אינסוף כתוצאה של החשבון הזה. מסיבות שאני חושב שאתה מכיר, לא כדאי להגדיר את אפס כפול אינסוף בכלל). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא בטוח שאני מכיר, ואני תמיד שמח לשמוע עוד נימוקים נגד הזיווג הנלוז בין אפס ואינסוף. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבעייה הבסיסית היא שכפל של שני אובייקטים הוא מושג חסר-טעם אם הוא אינו משתלב באיזשהו אופן עם מושגים אחרים, נניח שטח בגיאומטריה, או סכום ומכפלה של אובייקטים אחרים באלגברה כשמתקיימים כללים אלגבריים נוחים מסויימים (כמו חוק הפילוג). אני יכול להגדיר ש-מ' כפול ו' זה ס', אבל מה יצא לי מזה? במקרה שלנו, לא קיימת דרך להגדיר את המכפלה הזו באופן שיהיה בה איזשהו טעם אנליטי (גבול של מכפלת פונקציות, למשל) או אלגברי (להרחיב את הממשיים לשדה הכולל את אינסוף, נניח). כל אחד רשאי להגדיר את 0 כפול אינסוף להיות פאי, אבל לא ברור איזה טעם יש בהגדרה כזו. לפעמים זה סתם נוח להגדיר את 0 כפול אינסוף כ-0, כדי לחסוך קצת מלל בניסוח טענות - זה קורה בתורת המידה, למשל. <מנטרה> בכל מקרה, להתווכח על ה"ערך" של 0 כפול אינסוף כאילו שיש לזה איזשהו מובן אובייקטיווי (למשל כשמנתחים תנועה של חץ) זה בדיוק כמו להתווכח על האם מספר הנקודות במשחקון ראשון בטניס צריך באמת להיות 15. </מנטרה> |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה באמת מספר הנקודות הוא 15? שמעתי שמועות לפיהן פעם נתנו נקודה אחת בפעם, אבל אז המשחקים נמשכו שלושה ימים במקום שלוש שעות, והסתיימו לרוב במותו של אחד השחקנים. יש בזה משהו? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
באיזה מין משחקים מדובר? "הסתיימו לרוב במותו של אחד השחקנים"? לא מוגזם? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אל תסמוך אף פעם על הודעות שצירוף המילים ''שמעתי שמועות'' מופיע בהן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שמעתי את זה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אולי זה היה נכון בתקופה בה הזורק בבייסבול היא רץ בעצמו אל החובט, שהיה מעיף לו את הראש עם האלה. רק אחר-כך מישהו עלה על הפטנט, אולי כדאי לזרוק כדור במקום. בחייך. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השאלה עדיין עומדת: מה הסיבה שזה דווקא 15? הנימוק הוא ככל הנראה אנקדוטלי, אבל זה עדיין מסקרן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא חידה שעורך הטריוויה היה מקבל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עשרים תגובות ורק לי מפריע שהכותרת היא בעברית מאונגלת להחריד? אני הופך לדודה פולנית או מה ? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא יודע למה 15, אבל יש לי הרגשה שאת כל שיטת הספירה פיתחה אישה. גם אשתי מדי פעם מגוונת, ובמקום לקרוא לי "אפס" כהרגלה, קוראת לי "Love". | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה זה "סודר עוקב" ו"סודר גבולי"? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה.:) | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |