בתשובה לאלון עמית, 15/10/03 18:06
 |
|
 |
||
|
||||
 |
אני אנסח את השאלה שלי באופן יותר קונקרטי. האם אפשר לחשוב על תורת היחסות (או כל תורה פיזקלית שהיא - אפילו תורת המכניקה למשל) בתור מודל לוגי? ואם כן, מה המשמעות של משפט גדל בתורה זו? |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
כמדומני שאחת הבעיות של הילברט מ-1900 דנה בביסוס אקסיומטי של הפיסיקה, ואינני חושב שיש היום תשובה ברורה לשאלה הזו. בכל אופן, נראה לי שבשביל לנסח כראוי מכניקה כלשהי (ואין זה משנה כלל אם היא ניוטונית או יחסותית), יש להניח את קיומם של הטבעיים, הממשיים וכו', ולכן לכאורה כל תורה פיסיקלית סבירה תהיה ממילא חזקה כמו תורת-המספרים ולפיכך חשופה למשפט אי-השלמות. מצד שני, אין זה אומר בהכרח שיש בנייה סבירה של מערכת פיסיקלית בעלת תכונה "טבעית" כלשהי שאיננה תלויה באקסיומות. אם נניח, למשל, ש-P=NP תתגלה כבלתי-תלויה באקסיומות הרגילות של המתמטיקה, אפשר לראות בכך (קצת בדוחק) תוצאה על העולם הממשי, הפיסיקלי: אני מניח שפיסיקאי ייטה להניח ש-"או שאפשר לבנות מכונת טיורינג המסוגלת למצוא מסלול מיטבי לסוכן נוסע בזמן פולינומיאלי, או שאי-אפשר לבנות מכונה כזו". דוגמא יותר קונקרטית יכולה להיות: האם יש מספר מושלם אי-זוגי? "מושלמות" ו-"אי-זוגיות" הן תכונות פיסיקליות: אם יש לי מספר נתון של כדורי ביליארד, אני יכול לבדוק אם מספר זה הוא אי-זוגי ע"י סידורם בשתי שורות, ולבדוק אם הוא מושלם ע"י נסיון לסדרם בכל מיני מלבנים. מובן שלא צריך יותר מדי חוקי מכניקה בשביל זה. אם יתברר (וזה ייתכן, למיטב ידיעתי), שהשאלה אם יש מספר מושלם אי-זוגי איננה ניתנת להכרעה באמצעות האקסיומות הרגילות של המתמטיקה, נצטרך לשאול את עצמנו אם אנחנו לא חשים שמבחינה פיסיקלית, או שיש או שאין אוסף כזה של כדורי ביליארד. ואם כך, אולי העולם הפיסיקלי כופה עלינו איזושהי אקסיומה מתמטית נוספת. דוגמה אחרונה: האם הפיתוח העשרוני של פאי מכיל אינסוף פעמים את הספרה 7? האם זו שאלה פיסיקלית? למיטב ידיעתי אפילו שאלה קונקרטית-להחריד זו עשויה להתגלות כלא-תלויה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כל הדוגמאות שנתת אינם "דוגמאות פיסיקליות" לעניות דעתי. אני לא יודע בדיוק להגיד למה, אולי כי אין כאן מדידה. (מספר ה7ים בפאי אינו משפיע על גודלו). נזכרתי בדוגמה הזאת: יש שאלות גאומטריות1 על מיקום מרכז המסה ביחס למעטפת הגוף, שתשובה שלילית אליהן תסתור את חוק שימור האנרגיה- כי גוף כזה, אם יניחו אותו על שולחן, לא ינוח אף פעם2. הייתי שמח לראות את שאלה בלתי תלויה מתמפה לשאלה כזאת- נניח שאם P=NP אז זכוכית ספין3 מסויימת מגיעה לשיווי משקל תרמי בתלות א במסה שלה, אחרת השיווי משקל מושג לפי תלות ב. 1 אני מתעצל לנסח את השאלה במדויק, משהו כמו האם קיימת צורה תלת מימדית שמרכז המסה שלה אינו מאונך לאפ נקודה במעטפת הקמורה של הגוף. 2 כן, מיד מישהו יבנה גוף כך שמרכז הכובד ילך ויתקרב אסומפטוטית. אני מניח שאפשר להכניס איזה תנאי טכני על צורת המעטפת הקמורה כדי למנוע את הבעיה הזאת. 3 בחרתי בדוגמה זאת כי יש קשר כלשהו בין בעיות NP לתרמודינמיקה של זכוכית ספין. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
האם אתה רואה בטענה שהמספר 9 הוא אי-זוגי טענה "פיסיקלית"? הנה מדידה: קח תשעה כדורים וזרוק אותם לשני כובעים. באותו אופן, לטעמי, הבדיקה אם מספר הוא ראשוני היא גם מדידה פיסיקלית (אפשר במקרה לבצע אותה גם "בראש", אבל לא מוכרחים). ולכן, שוב לטעמי, לטענה "לא כריע אם יש אינסוף ראשוניים רֵעים" יש השלכה פיסיקלית מטרידה. אני רואה את ההבדל האינטואיטיבי בין זה לבין מדידות שיווי-משקל, אבל בעיני הוא תרבותי, לא אמיתי: הפיסיקה *מכילה* במובן מסויים את תורת המספרים, ומרחיקה לכת משם כל כך עד שקשה לנו לראות בטענה תורת-מספרית מדידה פיסיקלית. היית יכול לטעון שהניסויים שהדגמתי מחייבים באיזשהו מקום תהליך אינסופי, ואם נניח שהיקום (מרחב וגם זמן) סופי, לא ניתן לבצע אותם. זה נראה לי נכון, אבל אני לא בטוח שזה "מרגיע". מה, אם היקום במקרה אינסופי אז *כן* יש צרות כאלה? מה, אם יש צרות כאלה אז *הוכחנו* שהיקום סופי? לא נראה לי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קיוותי לא לנגוע באין סופיות, אבל אתה צודק במובן מסויים. אגב, אני לא פוסל את האפשרות שלאי כריעות יש משמעות פיסיקלית, רק הדוגמאות שנראו עד עכשיו לא נראות לי משכנעות. כמובן שהדוגמא שלך עם 9 היא דוגמה פיסיקלית, אבל עד שלא תבנה לי מערכת פיסיקלית שיש לה גודל מדיד התלוי בקיום או אי קיום של אין סוף מספרים רEעים, אני לא מקבל את הקשר. היה נחמד אם מישהו היה יכול להראות שהיות היקום פתוח או סגור זוהי שאלה לא כריעה . אולי זה גם מסביר למה האסטרונומים כל כך מתקשים לקבוע את גילו בזמן האחרון. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מאד יתכן שהשאלה אם היקום פתוח או סגור אינה כריעה (לפחות, באמצעים תצפיתיים). זה קשור לזה שקבוע הצפיפות של היקום קרוב ל-1 (הערך הקריטי, שמתחתיו היקום סגור ומעליו (כולל הערך 1 עצמו) - פתוח). מסתבר (מן התאוריה) שאם ערך הקבוע הזה היה סוטה ב- 10-בחזקת-מינוס-60 מהערך 1 בזמן המפץ הגדול, היינו יכולים לראות זאת היום בתצפית. עקרונית, יתכן שהוא סוטה מ-1 בפחות מזה (אם כי בעיני זו הוכחה שהערך שווה ל- 1). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה לא אי כריעות, זה סתם אי דיוק. אי כריעות זה שמבחינה ''עקרונית'' אי אפשר להחליט, לא בגלל שלא בנינו טלסקופ מספיק גדול. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, אני באמת חושב שאינסוף הוא לב העניין. תסכים איתי שיש מדידה פיסיקלית פשוטה הבודקת אם הספרה השלישית אחרי הנקודה בפיתוח העשרוני של פאי היא 7 או לא. לכן, אינטואיצה פיסיקלית צריכה לדעתי לחייב שתהייה תשובה חד-משמעית לשאלה אם יש אינסוף כאלה או לא - *למרות* שזה ניסוי שלא ניתן לבצע, הן בגלל אינסופיותו והן בגלל הדיוק הלא-מוגבל הנדרש. אתה מתעקש על מדידה *אחת* של מערכת *מסויימת*, ומן הסם תקבל גם 17 מדידות בחמישה ניסויים שונים. ההבדל היחיד, אם כך, הוא האופי האינסופי של הניסויים שהזכרתי. לי נראה בלתי-אפשרי שהשאלה אם היקום פתוח או סגור היא לא-כריעה (במובן השלם של המילה, כפי שציינת, לא בגלל מוגבלות הדיוק של כלי המדידה שלנו). דווקא בגלל זה מעניין אותי להבין את הגבול בין תוצאות שיכולות להיות לא-כריעות לשאלות שאינן כאלה. מן הסתם כל שאלה פיסיקלית "סופית" היא כריעה וזהו. אבל אני עדיין אחוש מאוד לא בנוח (פיסיקלית) אם מישהו יראה שסדרת הניסויים הפיסיקליים הבודקים את ספרותיו של פאי איננה מניבה תוצאה מוגדרת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש מודל כאוטי שנקרא בתרגום חופשי ה"רוטטור הנבעט" (KICKED ROTATOR) ושם, עכש"י כל מיני אפקטים קורים כאשר יש יחס אי רציונלי בין שני פארמטרים (כמו משפט KAM שבוודאי מוכר לך כמתמטיקאי). בגדול, הרוטטור דוגם את הפיתוח העשרוני של היחס הזה. הקירוב המקובל הוא להחליף את הפיתוח ברעש אקראי ולפתור כמו משוואה סטוכסטית. אבל למעשה יש כאן תופעה שעשויה בעקרון להיות תלויה בהתנהגות הסטטיסטית של פיתוח עשרוני של מספר. גם אני [כבר] לא פיסיקאי מספיק כדי לדעת כמה הדוגמה הזאת רלוונטית *באמת* ( הרי אי דיוק בכיול פרמטרים עלול למחוק את האפקט) אבל אינני פוסל את האפשרות על פניה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נשמע מעניין - אני אנסה להציץ בזה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נראה לי שיש לשניכם (לך ול"קורא נבוך"- קראתי את ההמשך) איזהשהוא בלבול מושגי לגבי "תכונות" ו"פיסיקאלי". השאלה עד כמה אפשר להחיל (apply) מושדגים מתמטיים על העולם החומרי היא שאלה לא פשוטה בפילוסופיה של המתמטיקה ושל המדעים, כך שאני אכסתח את עצמי קודם ואגיד שאני אומר את דעתי כאן: מתמטיקה עוסקת במבנים מופשטים. אוביקטים מתמטים לא קיימים בעולם החומרי. מה שכן, ניתן לקחת אוביקטים חומריים ולהסתכל עליהם באופן כזה שייצגו מבנה מופשט זה או אחר. בדוגמא שנתת לעיל, קבוצה של כדורי בליארד אינה קיימת בעולם החומרי. אתה בוחר להסתכל על כמה כדורים ולקרוא להם "קבוצה". אתה בוחר למנות אותם באופן מסוים. ארחיק לכת ואומר גם שההסתכלות על כל כדור כיחידה היא גם כן השלכה של קטיגוריות מתמטיות על העולם החומרי (נימה קאנטיאנית משהו אבל במשמעות רלאטיויסטית ולא אוביקטיביסטית). באותה ההתייחסות כמו לתיאוריה מתמטית,(אם כי 'קל יותר לתפוס את זה במקרה הפיסיקלי) ניתן להתיחס גם לתיאוריה פיסיקלית. כל תורה כזו מתחילה באוסף של אמיתות בסיסיות והגדרות של "ישויות פיסיקליות". מסה, כוח, אנרגיה, מרחב גיאומטרי (לא בהכרח אאוקלידי), מימד הזמן - הם כולם דוגמאות לישויות פיסיקליות המוגדרות בעצם בניסוח ה"אקסיומות" הפיסיקלית. שלושת חוקי ניוטון הם דוגמא לאקסיומות המגדירות כוח ומסה, ומבליעות מערכת אקסיומטית של המרחב האאוקלידי. מונחים מתמטיים מהווים ניסיון להגדיר באופן המדויק ביותר מושגים מהעולם האמיתי. למשל: רציפות של פונקציה הוא מונח פורמאלי מקרב למושג הרעיוני של "ציור קו על נייר ללא הרמת העיפרון". בעצם הניסוח הפורמאלי של המושג המופשט, אנו מגיעים להבנה מלאה יותר של המושג, אך אנו גם חורגים ממנו טיפה (כדוגמת פונקציות רציפות מטורפות עליהן לומדים בשנה ראשונה מתמטיקה, שבשום פנים אי אפשר לצייר בעיפרון בכלל). עובדה מעניינת היא שהחריגה מהמושג המופשט קורית כמעט תמיד כאשר אנו מכלילים את ההגדרה הפורמאלית לתחום האינסוף. כך קורה גם עם מושג העוצמה של קנטור, שמחליף את מושג המספר עבור קבוצות סופיות, אך נהיה מוזר עבור קבוצות אינסופיות. מה ז'תומרת אינסוף גדול ואינסוף קטן. אינסוף הוא אינסוף, לא? החריגות פשוט מאבדות משמעות בעולם החומרי, כי אין אינסוף שניתן לייצגו בעולם החומרי למעט האינסוף בר-המנייה. אם לצטט את המשפט האלמותי "אלוהים נתן לנו את המספרים הטבעיים, כל השאר הוא מעשה ידי האדם". ולכן, השאלות אם העולם החומרי הוא "שלם" או האם טענות בעולם החומרי הן "אמיתיות" אינן בעלות משמעות. הטענות היחידות שאפשר להגיד עליהן שהן אמיתיות בעולם החומרי הן טענות סופיות על אירוע יחיד בזמן ובמקום מסוים (וגם זה רק אחרי שהסכמנו על הייצוג האוביקטלי בקטיגוריות שכליות מסוימות). טענות כוללות על אינסוף עצמים, אינן בעלות משמעות אלא במסגרת של מערכת אקסיומות פיסיקאלית, וככזאת, המערכת הפיסיקאלית הינה מערכת אקסיומות מתמטית לכל דבר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא בטוח שהבנתי מהו ה"בלבול" שהתייחסת אליו בשורה הראשונה. בדיון בינינו הבחנו בין טענות הכוללות את מושג האינסוף, לטענות שאינן עושות זאת (תגובה 176056, למשל), ואפשר להוסיף ולומר שתוצאת אי-תלות כמו זו של השערת-הרצף באמת איננה "מטרידה" מבחינה פיזיקלית, לעומת תוצאת אי-תלות (אם תהיה כזו) הדנה בפיתוח העשרוני של פאי. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |