בתשובה לסנוקריסט, 01/06/04 17:13
 |
|
 |
||
|
||||
 |
חישוב המהירות ההתחלתית הוא אכן חשבון פשוט, אך כפי שציינת לא רלוונטי כלל. מדוע "בכל מקרה הזמן הוא סופי!"? חוששני שאין כל קשר בין הפרדוקסים של זנון לנימוק שהבאתי, או בכלל לחידה הזו. סדרות אינסופיות (ואולי רצית לומר: טורים אינסופיים) יכולות בוודאי להתכנס למספר סופי. אז? איך זה קשור לשאלה? האם הנימוק שהצגתי הוא מהסוג "הנה טור אינסופי, ולכן התשובה היא אינסוף"? אולי אשאל אותך כך: תהי v0 המהירות ההתחלתית הקריטית, זו שמאפשרת לכדור להפוך את כל האנרגיה הקינטית שלו לאנרגיה פוטנציאלית וכך להגיע לפסגה ללא שריד של אנרגיה קינטית - היינו, במנוחה. הסכמת שיש מהירות קריטית כזו. נניח שהמהירות ההתחלתית גבוהה מ-v0 רק במיליארדית מטר לשנייה. זה יגרום לכדור להגיע לפסגה במהירות זו. מילימטר אחד לפני הפסגה, מה היתה מהירותו? דומה מאוד לזה, שכן התאוטה באיזור הפסגה היא קטנה. נניח, בכל זאת, שמהירותו מילימטר קודם היתה גבוהה *פי אלף* - לא ממש סביר - כלומר, היא היתה מיליונית מטר לשנייה. כמה זמן לקח לו לעבור את המילימטר האחרון? בערך 20 דקות, ולמעשה יותר שכן הוא מאט. ואילו התחלנו במהירות גבוהה רק בעשר בחזקת מינוס 20 מ-v0? מה יקרה אז? מה ההתנהגות של הזמן, בקיצור, כפונקציה של e, אם המהירות ההתחלתית היא vo+e? התשובה היא: כש-e שואף לאפס, הזמן עד לפסגה שואף לאינסוף. אין כאן פרדוקס או קץ', ואיני רואה מה הבעייה עם העובדה שאני מתעסק בגדלים ששואפים לאפס. זו עובדה מתמטית פשוטה. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
ואללה, איך ידעתי שהיצור המאוס ההוא מאינפי א', אפסילון, ירים את ראשו המכוער ויאמר את דברו. אם הדיון לא יגווע כאן, אני מחכה בחרדה גם להופעת בת זוגו המעצבנת לא פחות, ''ני''. אני עוד זוכר שעל הניסוח ''עבור כל אפסילון קטן כרצוננו'' ענה מישהו ''תוציא את הרצון שלך מהמתמטיקה''. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ני! ני! ננננני! (סתם, שהחרדה תבוא ותחלוף מהר) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
היה צפוי שאם מתעסקים ביוונית יגיעו יחדיו פסי וידידו חי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם יורשו לי כמה השגות, לא על הפתרון עצמו, אלא על דרך ההוכחה. נקווה כי לא יחשב לי, בן נעוות מרדות שכמותי, לחוצפה יתרה לחלוק על דברי זקנים ממני. למעשה, מאחר שלרוב אני טועה, הרי שבדברי כנגד אלון נמצאתי מחזק את דבריו. הטיעון האפסילוני המופיע בתגובה מעלי שגוי. איזו סיבה יש להניח שהמהירות מילימטר לפני הפסגה _לא_ תהיה פי אלף או קוואדזיליון יותר מאשר המהירות בפסגה? ליתר דיוק אם במרחק x מהפסגה המרחק האנכי מהפסגה הוא h אזי מהירותי תהיה v=c*sqrt(h) לכן החסם הטריויאלי לזמן יתןt=x/v=x/(C*sqrt(h) ההנחה שלפסגה שיפוע אפס נותנת לנו רק שx/h שואף לאין סוף, אבלx/sqrt(h) יכול להיות חסום ולמעשה אף לשאוף לאפס. למעשה אם נבחר את הפונקציהh=x*sqrt(x) הרי שחישוב יתן לנו שאכן כדור יכול לטפס על גבעה כזו בזמן סופי. אליה וcatch בה - הגבעה הזו אינה גזירה פעם שניה באפס. הנחה שלדעת הוגה החידה היא בלתי סבירה פיזיקלית.גם טיעון היפוך הזמן נשען על כרעי תרנגולת מתימטית דומים. כדי שהטיעון יחשב (מתימטית) צריך להשתכנע כי למערכת הדיפרנציאלית הנ"ל יש פתרון יחיד. בלי גזירות שנייה של הגבעה זה לא חייב להיות. אם אין פתרון יחיד, מה אכפת לי שיש פתרון בו הכדור נשאר במקום? אין לי כח להסברים נוספים, נתתי כאן מספיק חומר לאלון לעשות ממני חוכא ואיטלולא לשבועיים הקרובים. אורי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
על "זקנים ממני" מגיע לך באמת עינוי סיני חפוז כעונש, השאר דווקא לא כזה גרוע. ככה: ה"טיעון" עם האפסילון לא התיימר להיות טיעון, רק להסביר מה בעצם הטענה ולנסות להראות שהיא לא כזו בלתי-סבירה. אתה צודק שההנחה על התאוטה בסוף לא היתה מוצדקת, אם כי צריך קצת להתאמץ (כמו שעשית) כדי למצוא מצב בו העדינות הזו חשובה. לגבי טיעון היפוך הזמן, אתה במצב קצת פחות מוצלח לדעתי. בהחלט ישנן סיטואציות מתמטיות שבהן למשוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון אין פתרון יחיד גם בהינתן תנאי ההתחלה, והדוגמאות מוכרות. אבל כאן דווקא סביר להתחשב קצת בסבירות הפיסיקלית, שבהקשר הקלאסי הנוכחי אומרת שתנאי ההתחלה אכן קובעים את ההתנהגות, וכדור היושב על מקומו לא ייזכר פתאום שלמשוואה המתארת את תנועתו יש עוד פתרון אז יאללה נוסעים. אתה צודק - זה נימוק *פיסיקלי*, במסגרת השגרתית בה פיסיקאים מניחים שכל הפונקציות הנדונות גזירות מספיק פעמים. שאלה לגיטימית: ממילא המצב המתואר אינו ממש פיסיקלי מסיבות שהזכרנו קודם (חום וכאלה), אז למה ההפשטה המתמטית שתארתי היא בסדר והצעד הנוסף שאתה מאפשר הוא לא? אין כאן תשובה חד-משמעית, לדעתי. מודל תמיד תופס חלק מהסיטואציה ומתעלם מחלקים אחרים, ובמקרה דנן נראה לי שפיסיקאי ממוצע יקבל את הקירוב של גבעה מתמטית חלקה, מהירויות קרובות מאוד לאפס, וכו', אך ידחה כלא רלוונטיות דוגמאות של גבעה גזירה פעם אך לא פעמיים. אם אתה באמת רוצה שאעשה ממך חוכא ואטלולא, תתאמץ יותר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל אם היו, הם היו מקבלים כמובנת מאליה את ההנחה שהגבעה חלקה על כל נגזרותיה. בעלי, הפגר, טען שנים שאין בכוונתו לעלות על סולם ולהחליף נורה בסלון, משום שבמבחן במכניקה קלאסית א', הסולם החליק עד שהתנתק מהקיר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נו, ובסוף הוא השתכנע, הסולם החליק ואת זכית למעמד המשפחתי הנכסף? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, הוא מת תוך כדי נסיון נואש במיוחד להוכיח ש 196 לא הופך לפלינדרום כשהופכים אותו ומוסיפים אותו לעצמו מספר סופי של פעמים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קבלי את תנחומי. אני מתאר לעצמי שאת ממשיכה את פועלו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
להפך, פועלו החתיך ממשיך אותו, לאחר שהתחתן עם האלמנה המאושרת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא ממשיכה. אני כאמור בעסקי המטריצות הגדולות להחריד בימים אלו (וגם לא מספיק דלילות, לצערי, קשים חיי אלמנה). כשתפסתי את היתום קורא את ''הדוד פטרוס והשערת גולדבך'', הענשתי אותו חמורות. אני מקווה שזה יעזור. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה לא קנית לו כזה ליום-ההולדת? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למען האמת רציתי לכתוב ''זקנים וחכמים ממני'' אבל פסלתי אפשרות זו על הסף מפאת חנופתיותה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סימטריית היפוך הזמן היא תכונה של המשוואות בבעיה הנתונה, ללא תלות בצורת הגבעה. לכן גם הפתרונות הנוספים, אם קיימים, מצופים לתאר תחת היפוך זמן תנועה לגיטימית של כדור המתדרדר במורד הגבעה (פתרונות קבילים מבחינה פיסיקלית של משוואות המתארות מערכת פיסיקלית מסוימת, כמעט תמיד 1 מהווים אינדיקציה לקיומם של אפקטים תואמים). בוא נניח שקיימת גבעה העונה על תנאי הבעיה, שיש לה פתרון בו הכדור מגיע לראש הגבעה ונעצר שם בזמן סופי. אם העצירה אינה רגעית, הרי שהפתרון ההפוך בזמן יתאר כדור המתחיל לנוע מעצמו. אם העצירה רגעית, עדיין הפתרון ההפוך בזמן צריך לתאר כדור שהתדרדרותו מתחילה ממצב בו המהירות והתאוצה מתאפסות. אם נסמן את רגע תחילת התדרדרות זו ב- t0 , הרי שבזמן הקטן מ- t0 הפתרון הטריוויאלי שבו הכדור נמצא במנוחה מתמשכת הוא פתרון לגיטימי של משוואת התנועה שמקיים את תנאי ההתחלה ב- t0 , וניתן לתפור אותו לפתרון ב- t0<t כדי לקבל פתרון לגיטימי נוסף שהנגזרת השניה שלו רציפה. פתרון חדש זה, מתאר אף הוא כדור היוצא משיווי משקל בצורה ספונטנית. 1 ואולי אף תמיד. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |