 |
|
 |
||
|
||||
 |
בלי קשר לכלום, הגיע אלי במייל הקישור הבא: יש גיקים מוזרים בעולם :-) |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
מסיבה כלשהי שאיני יודע מהי, נראה כי ככל שמתקדמים במספר השכבות של העוגה כך גדלה כמות רצפיי הספרות ואורכם. כלומר, יש רצפים של xxxxxx... כש-x זו סיפרה כלשהי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה לא פוגע בנורמליות של פיי? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השאלה מה זה "זה". מטבע הדברים, ה-9 הראשון מופיע אחרי כ-10 ספרות, ה-99 הראשון אחרי כ-100 ספרות1, ה-999 הראשון אחרי כ-1000 ספרות, וכו'... זה כך בסדרה מקרית, וגם במספרים נורמליים. 1 אאט התוחלת היא 110 ספרות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כשאני בוחר מקום התחלה אקראי, צריך לחכות 100 ספרות בממוצע עד להופעה הראשונה של הצמד "72" (או כל צמד אחר של ספרות שונות), ו- 110 עד להופעה הראשונה של "99" (או צמד אחר של ספרות זהות). זה כמובן בהנחה שלכל ספרה יש אותה הסתברות להופיע, ושאין תלות בין הספרות. ולזה עוד קוראים "נורמלי". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(נדמה לי שכבר הזכרנו את זה פעם?) ...ומי שמחכה ל-A ינצח את מי שמחכה ל-B שינצח את מי שמחכה ל-C שינצח את מי שמחכה ל-A. "ינצח" משמעו "יזכה לראות את המספר שלו מופיע קודם בהסתברות גדולה מחצי", והחידה היא למצוא מספרים בני שלוש ספרות שאפשר לשים במקום B, A ו-C. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם אני מבין נכון את הטענה של לודוויג, יש לו הרגשה אחרת. אגב, ניסית כבר לנגן את פיי? http://www.avoision.com/experiments/pi10k/pi10k.html |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ניסיתי. מה אני אגיד לך, הפיי האירופאי משעמם למדי. אני מעדיף אמריקן פאי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אמריקן פאי זה 3 (לפי חוק קונגרס), לא? --- אני יודע, אני יודע, זו אגדה אורבנית. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
היה באמת מי שהציע הצעת חוק שכזו, דווקא באינדיאנה. לא תאמינו איך קראו לטרחן הכפייתי שעל "עבודתו" התבססה הצעת החוק. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
וגם את הפסקה האחרונה לא כדאי להחמיץ. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בספר השיאים של גינס (1984? 1980?) שהיה לי, היה כתוב על מדינה בארה"ב(?) במאה ה-19(?) שקבעה את ערכו של פי לארבע דווקא (למה לא, זה בטח מספר יותר נוח לחישובים משלוש). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כל הסיפורים האלה על החוקים בארה"ב שקבעו את פאי לשלוש או ארבע מוזכרים באחד הפרקים בספר של Dudley. העותק שלי רחוק ממני מאוד - עוזי, נ"א כבר החזיר לך את שלך? זה בפרק עם הסיפור של חבר הקונגרס, נדמה לי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הלחץ המתון עזר, אבל הספר באוניברסיטה. אבדוק בהזדמנות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא מבין גדול בנורמליות. ניתן לנסח את מה שגרסתי באופן הבא: כל רצף של ספרות זהות נותן נקודה רעה אחת. עתה הבט על חלון ספרות בגודל a (נניח a=1000 לצורך העניין). לפי דעתי הפונקציה של כמות הנקודות הרעות בחלון כנגד מיקום החלון בתוך העוגה תהיה פונקציה בעלת מגמה יורדת, וזאת כיוון שככל שמתקדמים יש רצפים יותר ויותר ארוכים. ואולי כשנגיע לספרת הגוגולפלקס הערכים יהיו לרוב 1 ולעתים 2, כך שהפונקציה שהיצעתי תהפוך לקבועה ומשעממת. ד"א - הגעתי כבר לספרה ה- 4000 במנגינה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נניח שבמקום להביט בספרות של פאי אתה מטיל קוביה עם 10 פאות. האם לדעתך צפוי הבדל בין מספר הנקודות הרעות ב-1000 ההטלות הראשונות לבין מספרן ב-1000 ההטלות אחרי שכבר הטלת מיליון פעמים? הנורמליות של פאי (שהיא משוערת, אך לא מוכחת) אומרת שמה שלא תהיה מסקנתך לעיל, היא נכונה גם לספרות של פאי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שאלה - מה הסטאטוס של השערות במתימטיקה(?): 1. מבחינת סטאטוס המשער. 2. מבחינת היותן נובעות באופן לא הוכחתי אבל כן השערתי (הגדר נביעות השערתית לצורך זה) ממשפטים/נדבכים מתימטיים קיימים. 3. מבחינות אחרות עליהן אתה מסוגל לחשוב (יכולת השכנוע של המשער, בדיקות סטאטיסטיות באמצעות מחשב, וכדומה). ובהקשר הנוכחי, כיצד היית מדרג פא"י (בהנחה שיש בידך להציע דירוג כלשהו להשערות מתימטיות) את השערת הנורמליות לגבי פאי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
את "סטטוס" אפשר ל פרש כ"עד כמה ההשערה נחשבת סבירה", או כ"עד כמה ההשערה נחשבת מרכזית וראויה למחקר". אלו דברים שונים המושפעים מגורמים אחרים. מה שמשפיע בעיקר על הסטטוס מהסוג השני הוא יכולתה של ההשערה להכריע שאלות פתוחות או קשות אחרות, וגם היותה הכללה גורפת, מושג מאחד בתחום מסויים. במצבים מסויימים, שני המאפיינים מצטרפים יחדיו ויש השערה שהיא כל-כך חשובה וכל-כך סבירה שפשוט מניחים אותה ומתקדמים הלאה (כשמקפידים תמיד לציין "בהנחת משפט המיון..." או "בהנחת השערת רימאן..."). עד כמה השערה היא *סבירה* מושפע מ: * קיומם של מקרים פרטיים ידועים ("שתיים בריבוע ועוד אחד הוא ראשוני, שתיים ברביעית ועוד אחד הוא ראשוני, שתיים בשמינית ועוד אחד הוא ראשוני, שתיים בחזקת שש-עשרה ועוד אחד ראשוני..."). * אנלוגיה למצבים אחרים במתמטיקה (אין לי דוגמה פשוטה בשלוף, אני אחשוב על זה). * הוכחות חלקיות (לפני שהוכיחו שכל מפה מדינית אפשר לצבוע ב-4 צבעים, הוכיחו שאפשר ב-5 צבעים. זו לא הוכחה מלאה לבעייה המקורית, כמובן, אבל זו התקדמות רצינית לעומת האפשרות שתהיינה מפות הדורשות 1000 צבעים או אפילו שמספר הצבעים הדרוש איננו חסום). * הוכחות "היוריסטיות" (תגובה 149399). * נכון - גם יוקרתו של המשער משפיעה (גם על החשיבות וגם על הסיכוי שנותנים להיות ההשערה נכונה). בשנות השמונים הוכיח Gerd Faltings השערה קשה ביותר של Mordell. זהו משפט חשוב מאוד, והוא מדהים במיוחד שכן Mordell טען תמיד שאין לו שום נימוק מדוע הוא סבור שההשערה נכונה. אפילו מקרה פרטי *אחד* לא היה ידוע לפני ש-Faltings הוכיח את המשפט באופן גורף. לדעתי אין אף אדם נורמלי הסבור שפאי איננו נורמלי. עם זאת, הדיעה הרווחת היא שיהיה מאוד קשה להוכיח זאת. כשלעצמה, אין זו תוצאה חשובה במיוחד, אבל הכלים בעזרתם יוכיחו אותה יהיו כמעט בוודאות חשובים ומעניינים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רגע, אל תתחמק מלענות על השאלה בתגובה 228911... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. תודה על התשובה לגבי נורמליות מתימטית (ואנושית). 2. השערתי (כפי שציין שכ"ג) עומדת בסתירה להשערת הנורמליות. מדוע אם כן עליי לענות על שאלה שאנאלוגיותה מתבססת על השערת הנורמליות? מה שאתה צריך לשכנע אותי בו כדי להתקדם בדיון זה את מבוססותה של השערת הנורמליות לפאי. אחרי הכל, אם השערתי נכונה, לא נובע מכך שההתפלגות של זריקות קוביה פיירית או אחרת בעלת x פיאות אינה חסרת זיכרון. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(סליחה על העיכוב). אני שוב לא בטוח שהבנתי מה השערתך ומדוע היא עומדת בסתירה לנורמליות. ננסה שנית. כתבת: "נראה כי ככל שמתקדמים במספר השכבות של העוגה כך גדלה כמות רצפיי הספרות ואורכם". זה נכון, כפי שניסיתי להסביר בתגובה 227112. זה קורה הן בהטלות מקריות והן במספרים נורמליים. אח"כ כתבת את תגובה 228901, בה ניסית (כנראה) להסיק מ"ככל שמתקדמים יש רצפים יותר ויותר ארוכים" את עניין החלון. מטרת התשובה שלי היתה לנסות ולהסביר שהמסקנה הזו לא מתקיימת בהטלות מקריות, לא במספרים נורמליים וככל הידוע גם לא בפאי: מדוע אם יש רצפים ארוכים יותר ויותר אז כשנלך רחוק מאוד יהיו רוב החלונות בעלי ספרה אחת בלבד? מדוע תהיה הפונקציה שהגדרת בעלת מגמה יורדת? נכון, ככל שנתקדם יופיעו חלונות עם מעט נקודות רעות, אבל הם יופיעו לעיתים נדירות מאוד וביניהם יופיעו תמיד חלונות בעלי מבנה שגרתי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סליחה בחזרה על העיכוב, אבל פשוט אין לי כלל זמן לדיונים עמוקים לאחרונה (אני אפילו עלול להפסיק לענות למר פז מן הרגע בו יתפתח ביננו דיון מעמיק - אבל זה יכול לקחת כמה שנים). לענייננו, נראה לי שסוף סוף הבנתי את הנקודה שהעלית. מצד שני, עדיין לא ברור לי כיצד העובדה (או התחושה שלי) לפיה *השכיחות* של רצפים מסויימים (כלומר אלה המורכבים מספרה יחידה) גדלה ככל שמתקדמים בפאי (אף כי ייתכן כי אותה שכיחות נעצרת על גבול "שכיחות מקסימלית" כלשהו, נניח, בממוצע לא יותר מ- 10% מכל חלון יהיה בעל רצפי "666", ולא יותר מ- 15% בעל רצפי "55555" לחלונות גדולים מספיק) אינה עומדת במתח עם הגדרת הנורמליות (או בניסוח המתימטי ל-"עומדת במתח עם", "עומדת בסתירה ל"). ד"א, יש לי הכישרון הנדיר לזהות מתי אני מגבב שטויות, אבל כפי שאתה יכול לראות זה לא בהכרח מונע ממני לשלוח אותן לציבור הרחב (ובייחוד כשאחריי 3 בלילה ביום העבודה האחרון של השבוע...) בברכה, לודביג. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כדי לעזור לי להבין מה מפריע לך, אולי תנסה לפרט מהי הגדרת הנורמליות שאתה מתייחס אליה; כך יהיה לי יותר ברור (אני מקווה) מדוע נדמה לך שהתצפית שלך מתנגשת איתה. אין כורח באיזה נוסח פורמלי, רק הסבר של מהי התכונה הכללית שאתה משייך ל"נורמליות" ושלא מסתדרת לך עם "רצפים ארוכים יותר ויותר". | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני משייך נורמליות לאקראיות וחוק המספרים הגדולים. באופן כללי, הייתי מצפה שבהינתן חלון כלשהו בגודל X (גדול כרצוני) של פאי מתוך נניח 1000X הספרות הראשונות וללא ידיעת סיפרות הפאי כלל, לא אוכל לנחש מתוך עיון בספרות בחלון X את מיקומו של החלון, בצורה טובה יותר מאשר ניחוש אקראי שכלל אינו רואה את הספרות בחלון X. (*) (*) ותוך כמובן ההנחה שאיני מכיר כל שיטה לחישוב מדוייק של פאי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
וזה, כמובן, המצב. זה *לא* עומד בסתירה לאבחנה "כשאני מתחיל מההתחלה והולך קדימה עוד ועוד, אני רואה רצפים ארוכים יותר ויותר". כדי לחדד את ההבדל, שאלתי אותך קודם מה לדעתך קורה בהטלות מטבע, ששנינו מסכימים שהן מתנהגות באופן נורמלי. האם זה נכון שככל שאמשיך להטיל יותר אתקל ברצפים ארוכים יותר ויותר? (כן. תגובה 227112). האם זה נכון שאם אביט בחלון בגודל X של תוצאות, לא אוכל לדעת אם אלו ה-X הראשונות או ה-X שבאו אחרי מיליארד הטלות? (גם כן). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נדמה לי דווקא ששאלת אותי על קוביה בעלת עשר פיאות (כנראה כדי לדמות בסיס עשרוני). לגבי מטבעות, כל מי שצפה ב"רוזנקראנץ וגילדנשטרן (הינם) מתים" מבין שנורמליות היא מאוד יחסית (וגם "מאוד" הוא מאוד יחסי). ובנימה פחות שטותרית - על-סמך מה משער מדע המתימטיקה שפאי הוא "נורמלי"? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בדיוק על סמך ניסויים מהסוג שתיארת: מריצים כל מיני מבחנים סטטיסטיים על מקטעים של הפיתוח, ומחפשים חריגות מהתנהגות אקראית; עד היום לא מצאו, וזה כמובן לא מוכיח כלום. גם אילו מצאו כזו זה לא היה מוכיח כלום. אפילו המטבע של רוזנקרנץ (או גילדנשטרן?) שנפלה כל הזמן על עץ (או פלי?) היא לא בלתי-אפשרית, רק מאד לא סבירה. נכון שאילו מצאו שהצירוף "יש אלוהים" ב-ASCII מופיע פי מאה פעמים מהצפוי בעשר-בחזקת-מאה הספרות הראשונות, היו כנראה מפסיקים לנסות להוכיח שפאי נורמלי ומתחילים לנסות להוכיח משהו אחר. למרבה המבוכה, אפילו את הדבר הפשוט ביותר, שכל ספרה בודדת מופיעה בפיתוח העשרוני של פאי עשירית מהזמן, עוד לא יודעים להוכיח. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוקיי, 14159 תודה. 26535 ועם מחשבות 8979323 אלה אלך לישון 3 3 או יותר נכון 846264, עם המחשבה 3383 "לישון..." |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למי שהצליח לנגן את פיי, הנה מישהו שהגיע הרבה יותר רחוק: (יש ללחוץ על play כשהוא מופיע במסך הירוק. בהתחלה מאוס ומשתפר בהמשך) |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |