בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ', 10/04/05 7:28
שימושים של קווטרניונים 291789
מפתיע למדי, אבל אפילו לקווטרניונים המוזרים יש כיום שימושים ארציים עד מאוד. כל מי שעוסק באנימציה ממוחשבת, סביר שייתקל בהם איכשהו (אלא אם הוא עובד בחברה גדולה ויש לו Technical Directors בשביל דברים כאלה).

הסיפור בקצרה: נניח שאתם האנימטורים של Shrek ואתם מלמדים אותו ללכת, לקפוץ, להסתובב, להביט למעלה או לסובב את האוזן, כל מיני דברים כאלה. הדרך שבה עושים זאת הוא לבצע שלל פעולות הזזה וסיבוב על חלקים שונים בגופו של ה-ogre החביב. איך מסובבים? התוכנה מראה לכם שלושה צירים, ואתם גוררים עם העכבר קצת בציר X, קצת בציר Y ואם צריך אז גם קצת בציר Z. זה נוח ופשוט, ודי קל לאחר מכן גם להביט במספרים ולהבין מה עשיתם.

הבעיות מתחילות כשהמחשב מנסה לבצע אינטרפולציה בין הפוזות השונות שיצרתם. כמו שפעם האנימטור הראשי היה מצייר את דונלד-דק לפני ואחרי הקפיצה, והצייר הזוטר היה משלים את שלבי הביניים, היום המחשב הוא הצייר הזוטר: אתם רק יוצרים מה שנקרא keyframes והמחשב עושה את היתר. ואז לוחצים על play והכל נפלא חוץ מזה ששרק עושה תנועות מצחיקות עם הראש והברך שלו התהפכה אחורה. אופס. מה קרה?

אה-הא! לא השתמשתם בקווטרניונים, זה מה שקרה.

הפרטים (gimbal lock) לא חשובים כרגע; מה שמעניין הוא שבאתרים של אנימטורים ומתכנתי-משחקים, וגם בספרי ההדרכה של תוכנות האנימציה החשובות, מוקדשים פרקים ליסודות האלגברה של קווטרניונים. לא רק שהתוכנות משתמשות בזה לצורך הייצוג הפנימי של הדינמיקה, גם המשתמש עלול להזדקק להבין מתי מותר לו להשתמש בזוויות אוילר ומתי בקווטרניונים. אני בטוח שסר האמילטון היה מרוצה (נדמה לי שעיקר המוטיווציה שלו "להמציא את הקווטרניונים", כלומר למצוא איך כופלים רביעיות‏1 של מספרים, היתה גיאומטרית, אפילו פיזיקלית, ולא אלגברית).

1 הוא בעצם ניסה לכפול שלשות, ואת זה אי-אפשר: נסו פעם לסרק כדור ותראו למה.
שימושים של קווטרניונים 291794
האם לדעתך אפשר להיתקל בקווטרניונים במסגרת קורס לתואר ראשון, ואם כן, איזה? אם לא, איפה אתה ממליץ להתחיל לקרוא בנושא?
שימושים של קווטרניונים 291796
בזמנו היה תרגיל בקורס בתכנות מונחה עצמים בטכניון שבו נדרשו הסטודנטים (ועבדך הנאמן ביניהם) לממש קווטרניונים ב-C++, ובמיוחד לממש את העמסת האופרטורים הנדרשת, אבל נראה לי שזה לא מה שאתה מחפש.
שימושים של קווטרניונים 291802
במכניקה של פיסיקאים ובפרט במכניקה אנליטית.
שימושים של קווטרניונים 292515
ב"מכניקה אנליטית" הטכניוני שעשיתי (לשווא) ב~1998 לא דובר עליהם, או שבאמת הדחקתי קשות.
שימושים של קווטרניונים 292527
נדמה לי שבגולדשטיין יש פרק מיוחד רק על זה , בקשר לגופים צפידים. אני חושב שקווטרניונים הם בעצם מטריצות פאולי, אבל לא התעסקתי בזה שנים.
(לא יכולתי להתאפק) 292542
כשאתה כותב "גולדשטיין" אתה מתכוון ל"ברוך הגבר"?
שימושים של קווטרניונים 292790
הגיוני. בקורס האמור למדנו פרקים נבחרים מגולדשטיין, אבל לא את כולו.
שימושים של קווטרניונים 292943
אם אני זוכר נכון, האוסף שכולל את מטריצות פאולי ואת מטריצת היחידה 2x2 הוא קווטרניון שמופיע לא מעט בפיזיקה קוונטית.
שימושים של קווטרניונים 292947
אם אני לא מפספס שום דבר, זה צריך להיות נכון לכל הצגה של חבורת הספין.
שימושים של קווטרניונים 293012
אתה כמעט זוכר נכון. גם מטריצות פאולי וגם הקווטרניונים הם ספינורים, גם מטריצות פאולי וגם הקווטרניונים הם אלגברת קליפורד מסדר שני. אבל החתימה שונה. מטריצת פאולי בריבוע היא מטריצת היחידה, והקווטריון בריבוע הוא מינוס אחד. i כפול מטריצות פאולי זאת הצגה של הקווטריונים.
שימושים של קווטרניונים 293020
אתה כמובן צודק. אפילו מצאתי את זה באיזו מחברת. האם גם ממטריצות גאמא ניתן ליצור קווטרניונים?
שימושים של קווטרניונים 293165
אני מניח שכן. לפי http://mathworld.wolfram.com/DiracMatrices.html כל שלישיה, סיגמא או רו, מתנהגת דומה למטריצות פאולי, ולכן אפשר לבנות ממנה קוטריונים בתוספת i.
שימושים של קווטרניונים 291803
לא סביר במיוחד, אני חושש. יש ספר חמוד של Conway & Guy שנקרא "The Book of Numbers", ואם אינני טועה יש בו פרק על הקווטרניונים; זה מתאים להקדמה חביבה ולא מחייבת.

יש ספר רציני הרבה יותר, נדמה לי של Ebbinghaus ועוד אנשים, שנקרא פשוט "Numbers". אני מכיר אותו רק מעלעול, אבל כדאי לך לנסות, הוא נראה טוב.

אם אתה אוהב תורת-המספרים, אתה צריך לקרוא את Hardy & Wright, שם מוכיחים (גם) שכל מספר הוא סכום של ארבעה ריבועים תוך שימוש (גם) בקווטרניונים.

אני זוכר שבספר של Arfken על שיטות מתמטיות לפיזיקאים יש דיון בקווטרניונים, מן הסתם תלמד משם על אפליקציות מסוגים אחרים.
שימושים של קווטרניונים 291808
יש ספר של אדלר (http://www.sns.ias.edu/~adler/) שניסה לבנות מכניקת קוונטים מעל הקווטריונים
שימושים של קווטרניונים 291809
יש לך מושג *למה* הוא ניסה לעשות זאת? (הוא לא נראה כמו טרחן כפייתי...).
שימושים של קווטרניונים 291811
כן (יש לי מושג), והוא לא היחידי.
שימושים של קווטרניונים 291814
אתה מאלה שאין טעם לשאול אותם אם יש להם שעון, נכון?

(רק אם בא לך, ואם אפשר במסגרת קצרצרה כזו).
שימושים של קווטרניונים 291816
אני מצטער, פירוט נוסף יעלה לי בחשיפת זהותי. אם תרצה, אוכל לתת לך תשובה מפורטת יותר בדוא''ל.
שימושים של קווטרניונים 291818
בשמחה.
שימושים של קווטרניונים 291828
המקום הטבעי הוא קורס בתורת החוגים (אבל בשלב הזה הם מופיעים בעיקר כדוגמא לחוג לא קומוטטיבי עם חילוק).
שימושים של קווטרניונים 291853
בדיוק בתפקידם זה ראיתי אותם בקורס אלגברה מודרנית ח' בטכניון (גדי, אתה טכניוניסט, נכון?)
שימושים של קווטרניונים 291887
כן, אבל לא מברי המזל שלומדים אלגברה מודרנית ח', אלא מבחו''ש.
שימושים של קווטרניונים 291886
זה מאוחר מדי בשבילי, אם כי באמת שמעתי שבסמסטר אחר כן הביאו אותם כדוגמא. אבל אני מניח שבתור דוגמא מספיק לי לחפש בהרשטיין ושות'.
שימושים של קווטרניונים 291867
1 אפשר הסבר על סרוק הכדור? האם זה קשור לחוסר היכולת למפות את פני הכדור באמצעות מערכת קואורדינטות (ללא נקודות סינגולריות) יחידה?
שימושים של קווטרניונים 292041
נתחיל מהשאלה השנייה: לא ממש קשור. היכולת לסרק היא שאלה עדינה יותר מהיכולת למפות עם מפה אחת (מה שאפשר למפות, אפשר בקלות לסרק, אבל החלק המעניין הוא מתי אפשר לסרק דברים הדורשים יותר ממפה אחת, שזה "רוב" היריעות).

כשמנסים "לכפול" וקטורים ממימד כלשהו n, משתדלים לשמור על כמה כללים בסיסיים כמו חוק הפילוג או שימור המכפלה הפנימית. אחת מתוצאות הלוואי היא זו: קח וקטור קבוע z הניצב ליחידה (כלומר לוקטור (0, 0, ... ,1)), וכפול אותו בוקטור כלשהו x שארכו 1. את התוצאה הזז כך שבסיסה יהיה בקדקודו של x. עשה זאת לכל ה-x-ים באורך 1; תקבל סירוק של הכדור, כלומר אוסף חלק ונאה של וקטורים באורך 1 המשיקים לכדור היחידה ה-(n-1)-ממדי.

דוגמה פשוטה: אם n=2, אפשר להשתמש בכפל הרגיל של מספרים מרוכבים; ניקח z=i ונקבל וקטור יחידה משיק הפונה "שמאלה" (נגד כיוון השעון) בכל נקודה על המעגל.

לסיכום: *אם* יש כפל סביר של וקטורים n-ממדיים, *אז* יש סירוק של הספירה ה-(n-1)-ממדית, כלומר אוסף רציף של וקטורי יחידה משיקים לכל נקודה על הספירה.

דא עקא, שספירות ממימד זוגי אי אפשר לסרק. אם יש לך שיער על כל הראש, אז כשאתה מסתרק תמיד תישאר שערה שאין לה לאן ללכת. או: בכל רגע יש נקודה על-פני כדה"א שבה לא נושבת רוח. יש לזה הרבה הוכחות; לרוב מסתמכים על משפט נקודת-השבת של בראוור, ויש הוכחה יפה של מילנור המשתמשת רק בחישוב נפח פשוט.

הנה תמונה מצ'וקמקת מאוד המראה את הכדור החד-ממדי מסורק, ונסיון טיפוסי כושל לסרק את הכדור הדו-ממדי (כל החיצים הולכים פשוט מזרחה):

מסקנה: אי-אפשר לכפול שלשות, חמישיות, וכו'. למעשה המצב חמור הרבה יותר: אפשר לכפול רק זוגות (מרוכבים) או רביעיות (קווטרניונים, ויש לוותר על חוק החילוף) או שמיניות (אוקטוניונים או "מספרי קיילי", ויש לוותר גם על חוק הקיבוץ). מכאן והלאה זה לא עובד בכלל; זה כבר משפט קשה, ואני יודע די מעט על ההוכחה שלו.
שימושים של קווטרניונים 292048
תודה על ההסבר הנאה. חשדתי שזו הכוונה, אבל לא הייתי בטוח.

----------
בחיי, השטויות שמעסיקות אתכם, אפשר להשתגע...
:)
שימושים של קווטרניונים 292249
(המשפט על כפל של n-יות הוא של Hurwitz מ- 1898, והוא לא כל-כך קשה (=אפשר להסביר לתלמידי שנה ב' בשעור אחד)).
שימושים של קווטרניונים 292284
נכון! טעות שלי. המשפט הקשה שהתייחסתי אליו הוא זה שמדבר על אלגבראות-עם-חילוק באופן כללי, בלי להניח כלום על נורמות (תוצאות של אדאמס, בוט, מילנור).

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים