בתשובה להאייל הצעיר, 17/07/05 14:33
עוד זווית 317384
בקשר לתיאוריות פיזיקליות: קשה לי להבין את מה שכתבת, ומה הבעיה (לדעתך) בכך שתיאוריות פיזיקליות מנוסחות ע"י אקסיומות.
אז פשוט אתן דוגמא:

יחסות פרטית: שתי אקסיומות.

1) כל מדידה, בכל מערכות הייחוס הנעות אחת יחסית לשנייה במהירות קבועה, ימדדו את אותם חוקי טבע.
2) אקסיומה (1) חלה לגבי משוואות מקסוול בכך שמהירות האור שווה בכל מערכות הייחוס.

עכשיו, אפשר להתווכח האם התורה הזאת נכונה אמפירית או שאולי היא לא נכונה בכלל, או האם ישנם מקומות ביקומנו הקטן ומוקף האוייבים (רמז: ועוד איך ישנם!) שהאקסיומות לא נכונות, או לא רלוונטיות לגביהם.
כל זה פיזיקה, והיא נורא חשובה, אבל על זה אנחנו לא מדברים בכלל.

לגבי האופי המתימטי של התיאוריה, זה לא משנה כלום. כי
מה שאי אפשר (לדעתי) להתווכח, היא שתורת היחסות הפרטית יוצאת משתי אקסיומות, ומהם היא מוכיחה את מה שהיא מוכיחה.

תסלחו לי, אבל הוויכוח הזה הוא עקר. אני מציע שנתמקד בויכוח השני:

"יש פסוקי אמת שאין להם הוכחה."
"יש פסוקים שאין הוכחה לא להם ולא לשלילתם."

שני הטיעונים שקולים לחלוטין, אם אתה מקבל את הנחת היסוד, שבהנתן הנחות יסוד מסויימות, כל פסוק הוא או פסוק אמת או פסוק שקר (ואז שלילתו הוא פסוק אמת).

נשארת שאלה עקרונית והיא נורא חשובה:
האם משפט גדל אומר שקיימות תורות עקביות, ובהן פסוקי אמת שאין להם הוכחה.
עוד זווית 317387
מבחינת האינטואיציוניסטים, למשל, הטיעונים אינם שקולים: הם אינם מקבלים הוכחות על דרך השלילה.
עוד זווית 317393
"כל פסוק הוא או פסוק אמת או פסוק שקר" - נכון, אבל לא נכון ‏1. אמנם, בכל מופע של האקסיומות, כל פסוק או נכון או לא נכון, אבל יש פסוקים שנכונותם לא שקולה עבור כל המופעים. לדוגמה, ע"פ האקסיומות של תורת החבורות, חבורה A (תחת כפל) מקיימת את החוקים הבאים:

(0) סגירות
(1) אסוציאטיביות
(2) קיום יחידה
(3) קיום הופכי לכל איבר

האם A קומוטטיבית או לא? כמובן, שעבור כל חבורה A, הטענה הזאת היא נכונה או שאינה נכונה, אבל הנכונות שלה לא שקולה לכל המופעים. הטענה הזאת בלתי תלויה באקסיומות.

בהנתן *רק* האקסיומות הכלליות של התורה, שאלת הקומוטטיביות אינה כריעה.

בתורת המספרים, למשל, אנחנו מתעניינים למעשה במופע מסוים של אקסיומות פאנו, כי אנחנו מכירים את המספרים הטבעיים מהמציאות ויודעים (או לפחות חשים) שהם קיימים. לכן, כל טענה אריתמטית היא נכונה או לא, גם אם אינה כריעה. במובן הזה, אי הכריעות של "השערת גולדבך האקסיומטית" גוררת את נכונות "השערת גולדבך הטבעית".

בתורת הקבוצות, לעומת זאת, אנחנו לא עוסקים במופע ספציפי. לכן אלון מצא לנכון להפריד את שתי התורות בתגובה 317241 מבחינת ה"קיום" של האוביקטים שבהם התורות עוסקות. האם אתה יכול לומר שהשערת הרצף או שלילתה "אמיתית"?

1 אתה מוכרח להודות שזה ניסוח נחמד.
עוד זווית 317411
אבל אנחנו לא מדברים על זה, נכון?
אנחנו מדברים על פסוקים שיש נכונות או להם או לשלילתם.
האם לפסוקים כאלו יכול להיות שאין הוכחה?
עוד זווית 317414
"במובן הזה, אי הכריעות של "השערת גולדבך האקסיומטית" גוררת את נכונות "השערת גולדבך הטבעית"." - נכון, אבל זהירות: לא כל פסוק אריתמטי הוא מהסוג הזה. אי-הכריעות של Twin Primes לא תגיד לך איזו משתי האפשרויות היא הנכונה.
עוד זווית 317433
כמובן שאין לי מושג מה הולך כאן. כמה שאלות הבהרה:
נניח שיש טענה (אוקי, פסוק) שהראו עליה שהיא לא כריעה. נניח שהפסוק הוא מהטיפוס " לא קיים טבעי כך ש בלה בלה". אם הפסוק היה שקר, אז על יד חיפוש מספיק ארוך הייתי יכול למצוא את הדוגמא הנגדית, מה שסותר את זה שהפסוק לא כריע, ולכן נובע שהפסוק הוא אמיתי. נכון? לא נכון?
מצד שני, אם הפסוק הוא מהטיפוס " קיימים אין סוף טבעיים כך ש בלה בלה", אי אפשר להסיק (בשיטה הזאת) מהאי כריעות כלום. זה מה שהתכוונת להגיד?
עוד זווית 317437
כמעט נכון. השאלה היא מה זה "בלה בלה". למשל, את Twin Primes אפשר לנסח כך: לא קיים טבעי כך שאין זוגות-ראשוניים בהפרש 2 מעליו. הנקודה היא שאם אני טוען שיש טבעי כזה, ואפילו מרחיק-לכת ונותן לך אותו (הנה, קח: 100^10^10), אין לך דרך סופית לבדוק אם הוא אכן מקיים את הדרישה. תוכל לחפש ראשוניים כאלה מעליו, אבל כל עוד לא תמצא, לא תדע אם להמשיך או להתייאש.

בגולדבך זה לא כך: אם אני נותן לך מספר, אתה בקלות מוודא שהוא זוגי, ובקלות (כלומר, בתהליך חד-משמעי שיכול לקחת מיליארד שנים) בודק שהוא אכן לא סכום שני ראשוניים - מספיק להביט על הראשוניים הקטנים ממנו, ומספרם של אלה סופי.
עוד זווית 317450
אני מאוד אוהבת את ה"קלות" הזאת. וכי מהן מיליארד שנים ביני ובינך?
רדיו בלה בלה 317645
תודה.
התלבטתי ביני לבין עצמי האם להוסיף משפט שאומר ש''בלה בלה'' פירושו משהו שאפשר לוודא במספר סופי של צעדים, אבל ויתרתי מתוך עצלות.

אגב, אני לא יודע אם אמרו לך, אבל אחלה מאמר.
רדיו בלה בלה 317875
תודה (גם לאלמונית).
עוד זווית 317705
מרוב עניין, שכחתי גם אני לומר לך כמה המאמר מרתק. עכשיו שראובן הזכיר זאת, אני אומרת - ומודה לך.:)
עוד זווית 317489
ובהכללה: טענה שאם גרסתה ה"טבעית" אינה נכונה, ניתן להוכיח זאת מתוך המערכת האקסיומטית.
אלא לא אקסיאומות כלל 317439
אקסיאומה היא דבר שאתה מקבל כנכון ללא הוכחה, ובלא שניתן יהיה להוכיח או לשלול אותו.
מהירות האור קבועה לכל צופה (לפחות עד כמה שהצלחנו למדוד), זו לא אקסיאומה, זו השערה שאומתה באינספור ניסויים, במידה וימצא מקום בו היא לא תקפה (בבטן של לוויתן שנופל לתוך חור שחור המתאחד עם חור לבן) אז פשוט נאלץ לכתוב השערות חדשות שיכללו את היחסות הפרטית כמקרה פרטי.
גם 1) אינה אקסיאומה, אלא מסקנה על סמך הנסיון של מיכלסון ומורלי למדוד את מהירות כדור הארץ ביחס לאתר.

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים