בתשובה לאלון עמית, 03/08/05 11:32
נודניק :-) 321415
לפני שאענה, האם הנימוק שלך בעד הפלטוניזם האריתמטי הוא רק מה שמופיע בתגובה 319534?
נודניק :-) 321423
לא בדיוק. הנימוק שלי בעד הפלטוניזם הוא שזהו מצב הרבה יותר סביר מהאלטרנטיבה. הנימוק היחיד שאני רואה *נגד* הפלטוניזם (האריתמטי) הוא זה שאומר שיש משפטים שאינם יכיחים ב-PA, או ZFC, או מה שלא יהיה. בתגובה שהזכרת אני רק מנסה לשכנע שזה נימוק חלש: בהרבה מצבים, אי-יכיחות כזו רק גורמת לנו להסיק שהאקסיומות חלשות מדי, לא שאין לפסוק ערך אמת. אני לא רואה מדוע לא להחיל את אותו שיקול גם על מצבים שאינם דמויי-גולדבאך.

השאלה אם נוכל או לא נוכל לדעת נראית לי משנית; ממתי מה שאנחנו יודעים על האמת, או חושבים שאנו יודעים, משפיע עליה? הבאתי כבר את הדוגמה של סוג הדם של קליאופטרה. לעולם לא נדע מהו, אבל זו לא סיבה בעיני להניח שלא היה לה כזה.
נודניק :-) 432288
לרגל היעלמותי הקרבה ובאה, הייתי שמח לנסות ולסגור את הפתיל הזה שנותר, מבחינתי, תלוי ותלוש. "מחר" ו"מחרתיים" חלפו שניהם... מה המהלך הבא שלך?

תזכורת: אני מנסה להפיל עליך (ועל עוזי) את חובת ההוכחה שישנם משפטים ללא ערך אמת או שיש ריבוי אונטולוגי, בהקשר הפשוט יחסית של טענות מסדר ראשון על הטבעיים (כלומר, כאלה שאפשר לנסחן עם "קיים", "לכל", סימני חיבור וכפל, קבועים מספריים והסימנים הלוגיים הרגילים). הטענה שלי היא שיותר סביר להניח שלכל פסוק כזה יש ערך-אמת מאשר להניח את ההיפך, ולכן אם טוענים את ההיפך, יש לנמק.

הנימוק "הנה מערכת אקסיומות מאוד חזקה, והיא לא מסוגלת להכריע כל פסוק כזה" הוא, לעניות דעתי, לא משכנע. חולשותיהן של מערכות אקסיומטיות אינן ממין העניין; איש לא הבטיח לנו שכל מה שנכון נוכל להוכיח. יתרה מזו, דנו בדוגמאות בהן *ברור* שחוסר היכולת לספק הוכחה פורמלית במערכת מסויימת איננו מעיד על טשטוש של ערך האמת: כל הפסוקים מטיפוס "קיים X כך ש-(משהו ניתן לחישוב)". אין לנו ספק שאם מערכת אקסיומטית סבירה לא מסוגלת להוכיח משהו כזה, זה רק מעיד על חולשתה, ובאמת אין מספר X כזה (כי אם היה, היינו יכולים להציגו, ולהוכיח שהוא כזה באותה מערכת). אם כך הוא בפסוקים מסוג זה, אני לא מצליח להבין מדוע מפרשים אחרת בפסוקים מסוג אחר.

נימוק אחר שאפשר להעלות (והעליתם) הוא כזה: אם אני כל כך נאיבי שאני מייחס ערך אמת לכל פסוק כנ"ל, למה אני עוצר כאן ולא ממשיך אל השערת הרצף וכו'? בשלב זה, התשובה שלי היא שאני באמת לא בטוח שאני חייב לעצור, אבל אם אני רוצה לעצור, אני יכול להצדיק זאת כך: כמתים המתייחסים לקבוצות שרירותיות של טבעיים הם מיד חשודים יותר מכמתים המתייחסים למספרים עצמם. המושג "קבוצה שרירותית" הוא באופן איכותי יותר בעייתי מהמושג "מספר טבעי שרירותי", מסיבות שאני חושב שכולנו מסכימים עליהן (ואם לא, אפשר לדון גם בזה).
נודניק :-) 432292
"היעלמותי הקרבה ובאה"?
נודניק :-) 432295
הוא יוצא לחפש את הסנרק. איפה מחפשים? בגוגל, כמובן.
נודניק :-) 432667
מחר.
נודניק :-) 432669
שכחת להוסיף ''כה''ב'' בכותרת.

מחר כבר יהיה לי קשה להגיב, אז אשמח אם תכתוב משהו אבל יכול להיות שתצטרך קצת לחכות עד שאענה.
נודניק :-) 432670
לאן ומדוע אתה נעלם? האם זו חטיפה ידועה מראש?
432671
432673
תודה על הפירוט.
432680
כמעט אפשר לחשוב שנעלבת.
432682
למה כמעט?
432684
באמת נעלבת? אפשר לשאול למה?
432686
לשאול פולנייה ''למה נעלבת'' פירושו להוסיף חטא על פשע. אני אמשיך לשבת לבד בחושך.
432689
אולי יעזור אם אפנה אותך לפתיל בערך החל מתגובה 383437. שימי לב במיוחד לידיד מתגובה 431142.
באשר עבדנו אבדנו 433069
טוב, נתחיל בתגובה 318029. אני הייתי מתאר את ההיררכיה האונטולוגית קצת אחרת.

0. המספרים הסופיים‏1, זאת אומרת, הטבעיים אבל בלי התיחסות לקבוצות אינסופיות בכלל. בלי "כל הטבעיים" או "כל הזוגיים".

המספרים הסופיים האלה, הם אלה שעמם יש לנו ניסיון יומיומי ישיר ועשיר ולגביהם אני מוכן לקבל את הקביעה "קיים ערך אמת מוחלט"‏2. הלוגיקה ונגזרותיה נכנסת בו זמנית יחד עם המספרים הסופיים, אלא שהיא חלשה בהתאם: הכמתים מוגבלים לקבוצות סופיות מוגדרות (כל המספרים עד 5). גם תורת הקבוצות הסופיות-תורשתית‏3 נמצאת כבר כאן. כל אלה נראים לי שקולים מבחינה אונטולוגית.

אחרי זה באים (1.) המספרים הטבעיים הרגילים, כמקשה אחת, עם הקבוצות הלא שרירותיות (אתה הבדלת בין "קבוצה שרירותית" ל- "מספר טבעי שרירותי", אבל נכון יותר לדעתי להבדיל בין קבוצות שרירותיות למפורשות). יחד אתם אני מקבל יותר לוגיקה ואת כל הקבוצות הסופיות תורשתית יחד (תורת הקבוצות בלי אקסיומת האינסוף).

אחרי זה מגיעות (2.) הקבוצות השרירותיות של טבעיים והקבוצות האינסופיות בתורת הקבוצות וגם הכח המלא של הלוגיקה המוכרת.

כשמסתכלים על זה כך, כבר המבנים ששייכים ל-‏1 אינם מתוארים באופן מלא ע"י הניסיון. אני לא אומר שאין הבדל בין 1 ל-‏2 (למשל ביחס לפסוקים דמויי-גולדבאך), אבל אני לא חושב שהאובייקטים ב-‏1 הם מוחלטים.

לקח לי הרבה זמן (גם נטו) לכתוב את התגובה הזו ואני לא ממש מרוצה. כדאי שתשאל שאלות כדי שאבין מה רציתי לאמר.

1 סתם שם.
2 לצורך הדיון הזה.
3 אלו שמורכבות רק ממספר סופי של קבוצות סופיות-תורשתית.
חידה: 433169
"סוד הקבוצות השרירותיות
של מספרים טבעיים" הוא
המשכן של תיאוריות "מדעיות"
שאותי כלל וכלל לא הרשימו.
_______________
רמז:

אם תאמרו "די, ספחת,
יצאת מכל החורים",
אז אשיב: "קפוצי תחת
ימותו בסוף מטחורים!"
נו? 458926
משהו עם מונאדי?
נו? 459002
נו? 459008
בלעכס, את זה היינו אמורים לפתור?
נו? 459045
אצלי האסוציאציה היתה מיידית, אבל כנראה הפופולריות של שיטת פאולה כבר לא מה שהיתה פעם.
באשר אבדנו עבדנו‏1 458902
"אני לא חושב שהאובייקטים ב-‏1 הם מוחלטים." - זה כל מה שאני מנסה להבין: מנין הספקנות הזו? נדמה לי שאתה אומר שיש אפילו משפטים דמויי-גולדבך שאין להם ערך-אמת, וודאי שאתה אומר שיש משפטים דמויי-twin-primes שאין להם ערך אמת. לגבי המקרה הראשון, זה נשמע לי ממש מוזר, אבל לא אכנס לסיבות לפני שאוודא שאתה באמת מתכוון לכך.

לגבי המקרה השני - מדוע אתה סבור כך? התיזה שלי היא שחולשתן של מערכות אקסיומטיות היא נימוק מאוד לא משכנע. האם זה הנימוק, או שיש אחד אחר?

1 ליתר דיוק: לא אבדנו, פשוט עבדנו.
באשר עבדנו אבדנו‏1 458925
לענות לך עכשיו או לחכות 8 חודשים?

בקצרה: כמו שאני רואה זאת, רק לגבי הדברים ב-‏0 יש לנו ניסיון "ישיר" (כמו האבחנה ש-‏2+2=4). לגבי דברים ב-‏1 ההבנה שלנו נובעת מאנאלוגיות ותובנות שנובעות מהמקרה הסופי. זה כולל גם היסקים לוגיים וגם את ההנחה שלכל משפט דמוי-גולדבך יש ערך אמת (על זה אולי אפשר להתווכח, אבל זה לא נראה קריטי לדיון). ההנחה הזו נראית לי די ייחודית למשפטים דמויי-גולדבך, קשה לי לראות סיבה להניח משהו דומה לכל משפט מסדר ראשון.
אני מניח שאפשר לכנות את גישתי "פיניטיסטית-אפיסטמולוגית". פיניטיסטיים בדרך כלל מאמינים שהדברים היחידים שקיימים באמת הם סופיים ואולי מן הראוי לכנות זאת "פיניטסטי-אונטולוגי". לשיטתי, מבנים אינסופיים קיימים, אבל אין דרכי חקירה אינסופיות.
כיון שכך, שום אובייקט אינסופי "סביר" אינו מוחלט כי ישנן תכונות שלו שאינן נקבעות ע"י שיטות החקירה שלנו. בפרט המספרים הטבעיים (מרמה 1 ומעלה) אינם מוחלטים.

עוד יותר בקצרה: הנימוק שלי הוא חולשתן של שיטות החקירה שלנו, כולל מערכות אקסיומטיות.

1ולפיכך אבדנו.
באשר עבדנו אבדנו‏1 458970
אולי אני מתפרץ לדלת פתוחה, אבל הנה שני הביט שלי:
משפט פיתגורס מוכח באופן כללי לכל זוג שלמים a ו-b המשמשים כניצבים במשולש ישר זווית. אם מתעקשים להיות אמפיריציסטיים, ניתן לנסח את ההוכחה כתוכנית מגירה שתופעל מחדש עבור כל משולש שמדען יתקל בו. כלומר, לכל הפחות ניתן להסכים (אני מקווה) שהמשפט נכון עבור משולשים שניתקל בהם. כך שבמידת הצורך, יתאפשר לבצע סיקול ממוקד במרכז היתר.
אם כמה עשרות אלפי תצפיות מספיקות כדי להניח ש*כל* שני גופים מושכים זה את זה בפרופורציה הפוכה למרחקם בריבוע, וזה נחשב חלק משיטות החקירה שלנו - אני חושב שיהיה זה אך הוגן להכליל את הוכחת משפט פיתגורס כחלק משיטות החקירה שלנו.
באשר עבדנו אבדנו‏1 459001
איפה כתבתי שהוכחת משפט פיתגורס אינה חלק משיטות החקירה שלנו?
ההוכחה היא סופית, לא?
באשר עבדנו אבדנו 461553
לא הצלחתי להמתין בסבלנות עד תום תקופת הצינון בין תגובות בדיוננו. סליחה, אם כך, על שאני מתפרץ לדבריך.

ראה, ברור שאיני יכול "לסתור" את הגישה שאתה מציג. את מה ששיטות החקירה שלנו יכולות לברר, שנינו מסכימים שהוא מוחלט (במידה ידועה). מה שלא מאפשר בירור כזה הוא, בהגדרה, בלתי-נודע, והויכוח אם הוא "מוחלט, אך לא ניתן לידיעה" או "לא מוחלט" הוא ויכוח תיאורטי או פשוט חסר-שחר.

בכל זאת אקשה. כמו שכבר הזכרנו, ישנם דברים ששיטות החקירה שלנו אינן קובעות ובכל זאת (נדמה לי) שאין ויכוח שיש להם ערך-אמת: "לקליאופטרה היה סוג דם A", "לשייח ספיר יש תודעה" וכו'.

אם אתה מסכים לזאת, אזי ישנם דברים שהם מוחלטים למרות שתכונותיהם אינן נקבעות ע"י שיטות החקירה שלנו, ומכאן שההיקש "אינו מוחלט *כי* ישנן תכונות שלו שאינן נקבעות..." אינו תקף. דרוש דבר-מה נוסף - מהו? מה הופך את הטענה "בפיתוח העשרוני של פאי יש רק מספר סופי של 7-ים" ליותר לא-מוחלטת מהשאלה על קליאופטרה?

ועדיין לא הצלחתי להבין אם אתה מסכים שלכל פסוק דמוי-גולדבך (פאי-‏0-1?) יש ערך אמת, או שגם זה לא.
באשר עבדנו אבדנו 478404
עדיין לא הגיע תורי להגיב, כמדומני, ואכן לא אגיב, רק אקשר ל:

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים