בתשובה לדורון שדמי, 09/09/05 12:00
מחשבות טרחניות על אקסיומת הקיום של ZF 328579
האייל הצעיר • בתשובה לדורון שדמי יום ו', 9/9/2005, 12:09
"מכיוון שזוהי אקסיומת הקיום של A , אין ל-x את התכונות של A בעת הגדרת A, הכמת "לכל" אינו מוכל על A ואסור לנו לעשות מקצה-שיפורים בנושא, לאחר הגדרת A."

כאן אתה טועה. A בהחלט קיימת לפני שהגדרנו אותה, ולכן טענה שעוסקת ב"כל x" עוסקת גם בה.

"אם האקסיומה הנ"ל עוסקת בתכונה של a לאחר ש-a הוגדר היטב בעזרת אקסיומת-הקיום שלו, אז x מוכל על a ואין כאן שום הנחה סמויה."

אתה מוכן להסביר איפה ההבדל בין שני המקרים? לי זו נראית דוגמה מצוינת. במילים אחרות: תסביר לי למה ההגדרה של המספר המינימלי חוקית.
מחשבות טרחניות על אקסיומת הקיום של ZF 328583
דורון שדמי • בתשובה להאייל הצעיר יום ו', 9/9/2005, 12:24
"כאן אתה טועה. A בהחלט קיימת לפני שהגדרנו אותה, ולכן טענה שעוסקת ב"כל x" עוסקת גם בה."

מה שכתבת שקול למשפט הבא:"A בהחלט קיימת טרם קיומה".

"אתה מוכן להסביר איפה ההבדל בין שני המקרים? לי זו נראית דוגמה מצוינת. במילים אחרות: תסביר לי למה ההגדרה של המספר המינימלי חוקית."

קיומם של המספרים הטבעיים נובע מאקסיומה המקיימת אותם.

לאחר שהם קיימים, ניתו להפעיל אליהם אקסיומות המתארות תכונות כמו סדר רכו' שלהם.

במקרה זה אין שום בעייה להפעיל את הכמת "לכל" על כל a , כי כל a כבר קיים בזכות אקסיומת הקיום שלו (שאיננה עוסקת בתכונות משניות כמו סדר בין אברי a).
מחשבות טרחניות על אקסיומת הקיום של ZF 328593
האייל הצעיר • בתשובה לדורון שדמי יום ו', 9/9/2005, 12:49
א) מה שעוזי אמר. הסבר מצוין.
א2) מה שכתבתי שקול למשפט: "A בהחלט קיימת גם לפני שאנחנו יודעים שהיא קיימת".
ב) הטענה הייתה "קיים a", לא "לכל a". "קיים a כך שלכל x, מתקיים: a קטן-או-שווה ל-x."
זו הגדרת המספר המינימלי. האם יש בה לדעתך בעיה?
מחשבות טרחניות על אקסיומת הקיום של ZF 328588
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה להאייל הצעיר יום ו', 9/9/2005, 12:34
אני אנסה לענות כי לדעתי יש כאן סוגיה מעניינת. כשאתה מתעסק עם מספרים ומדבר על המספר "הקטן ביותר" זה לא משנה את העובדה שהמספר הוגדר קודם לא בתור "המספר הקטן ביותר" אלא בדרך אחרת. למשל, אם אתה מגדיר את X בתור המספר הטבעי הקטן ביותר שגדול מאפס, תקבל ש-X=1, והרי את 1 הגדרנו כבר בעבר בתור {{}}, ולכן אין כאן שום בעיה. לא הגדרנו את 1 בתור "המספר הטבעי הקטן ביותר שגדול מ-‏0" (לכל היותר אנחנו משתמשים באקסיומת העוקב כדי להגדיר את 1).

לעומת זאת, *אם* אקסיומת הקיום של הקבוצה הריקה היא מה ש"יוצר" אותה (אתה טוען שהיא לא) אז יש כאן בעייתיות.

השאלה המעניינת שעולה מהאמירה "A בהחלט קיימת לפני שהגדרנו אותה" היא - קיימת איפה?

באקסיומות של תורת החבורות דורשים שבחבורה יהיה איבר יחידה. כשמסתכלים על חבורת השלמים עם פעולת החיבור רואים ש-‏0 הוא האיבר הזה. זו דוגמה מובהקת למקרה שבו "0 בהחלט קיים לפני שהגדרנו אותו באמצעות אקסיומות החבורה" - כי כשבנינו את השלמים הגדרנו את 0 בתור {}. כשזה מגיע לקבוצה הריקה, שהיא מושג היסוד שממנו אנחנו בונים את השאר - זה כבר פחות ברור. האם לא עולה ניחוח פלטוניזם מאמירה כמו "A בהחלט קיימת לפני שהגדרנו אותה" *בהקשר הזה*?
מחשבות טרחניות על אקסיומת הקיום של ZF 328652
האייל הצעיר • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' יום ו', 9/9/2005, 16:20
"המספר הוגדר קודם לא בתור "המספר הקטן ביותר" אלא בדרך אחרת"

יכול (מאוד) להיות שאני טועה, אבל עכש"י אקסיומות פאנו לא שוללות את הקיום של מספרים שלא ניתן לכתוב כ-"0"""'...". לכן הטענה שקיים מספר מינימלי לא בהכרח מדברת על מספר שכבר הוגדר.
(אתה התייחסת אמנם ל-‏1 כ-{{}} ולא כ-‏0', אבל במקרה הזה, כדי להראות מקבילה לטענה בתורת הקבוצות, כדאי דווקא ללכת לתחום אחר.)

"קיימת איפה?"

הטענה "יש קבוצה ריקה" הייתה נכונה במקרים פרטיים מסויימים של מערכת האקסיומות שהייתה לנו קודם. בהוספת האקסיומה הזאת, אנחנו מתייחסים כעת רק לאותם מקרים פרטיים. עבורם, הטענה הייתה נכונה גם קודם.

"באקסיומות של תורת החבורות..."

אם אתה רוצה לטעון טענה כללית על חבורות אתה צריך להתייחס לסעיפי ההגדרה של חבורה כאקסיומות ‏1. אם אתה רוצה להראות שהמספרים השלמים מקיימים את ההגדרה הזאת, אתה צריך להוכיח טענות מסוימות על השלמים.
אותם סעיפים ממלאים בשני המקרים תפקידים שונים: במקרה אחד הם אקסיומות, ובמקרה השני הם סעיפים של הגדרה.

"האם לא עולה ניחוח פלטוניזם..."

אני לא מומחה גדול לניחוחות. בכל מקרה, אני מקווה שהתשובה שלי לשאלה "קיימת איפה?" היא תשובה מספקת.

‏1 ואם נחזור לדיון הקודם על מיקום הכמת "לכל": עבור כל חבורה, תוכל לקבל את הדרישות כאקסיומות, ולהוכיח שהיא מקיימת את משפט לגראנז'. לעומת זאת, כדי להוכיח ש"בכל חבורה (סופית) הסדר של כל חבורה חלקית מחלק את סדר החבורה" תצטרך לקבל את הדרישות כהגדרה.
מחשבות טרחניות על אקסיומת הקיום של ZF 328662
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה להאייל הצעיר יום ו', 9/9/2005, 17:51
אני חושש שלא ענית לי ל"קיימת איפה". אתה אומר "הייתה נכונה במקרים פרטיים מסויימים..." וזו בדיוק השאלה שלי: איפה הם, אותם מקרים פרטיים מסויימים? תוכל לתת לי דוגמה שלהם בלי להשתמש במושג "הקבוצה הריקה"?
מחשבות טרחניות על אקסיומת הקיום של ZF 328682
האייל הצעיר • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' יום ו', 9/9/2005, 20:08
לא.

אבל העובדה ש_אנחנו_ לא יכולים לדבר עליהם בלי להגדיר את הקבוצה הריקה, לא אומרת שאין להם קיום ללא ההגדרה. "הגדרה" היא סך הכל פעולה שבה אנחנו נותנים שם למשהו (ואגב כך, לפעמים, טוענים גם שהוא קיים ושהוא יחיד).
מחשבות טרחניות על אקסיומת הקיום של ZF 328686
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה להאייל הצעיר יום ו', 9/9/2005, 20:20
אכן, אבל טענה לפיה משהו קיים גם בלי שנגדיר אותו מדיפה, כאמור, ניחוח של פלטוניזם, כשאותו ''משהו'' הוא לא אובייקט פיזיקלי או דבר מה דומה, אלא מושג מתמטי לחלוטין.
מחשבות טרחניות על אקסיומת הקיום של ZF 328691
עומר • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' יום ו', 9/9/2005, 20:39
לא תמיד. למשל ברור שקיימים מספרים ראשוניים (למשל ב-PA) גם בלי שנגדיר "מספר ראשוני".

נדמה לי שה-"בעיה" כאן טמונה בשאלה למה מתייחס הכמת "לכל". אם הוא מתייחס באמת "להכל" אז ברור שבמשפט כמו "לכל x, x אינו ב-A" אז x מתייחס גם ל-A. אבל נראה לי שזו גישה בלתי סבירה (במובן מסויים, היא מניחה גם את קיומה של קבוצה-לגמרי-אוניברסלית, שכידוע, אינה יכולה להיות מוגדרת היטב - וגם את אקסיומת הבחירה).

כנראה ש-"לכל" מתייחס לכל מה שאפשר לנסח בשפה ולהוכיח את קיומו בעזרת האקסיומות (כולן, בדיעבד) - כלומר לכל מה שקיים בתורה. אני לא חושב שיש כאן בעיה של מעגליות, ופלטוניזם אינו נחוץ לצורך העניין.
מחשבות טרחניות על אקסיומת הקיום של ZF 328703
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה לעומר יום ו', 9/9/2005, 23:19
יודע מה? אני די משוכנע עד שיבוא הצד השני ויביא טיעונים משכנעים משל עצמו. אני בטוח שנצטרך לחכות מעט מאוד...
מחשבות טרחניות על אקסיומת הקיום של ZF 328726
דורון שדמי • בתשובה לעומר שבת, 10/9/2005, 1:00
"לא תמיד. למשל ברור שקיימים מספרים ראשוניים (למשל ב-PA) גם בלי שנגדיר "מספר ראשוני"."

ברור למי?

מי הוא זה שברור *לו* שיש מספרים ראשוניים מבלי ש*הוא* מגדיר אותם?

הרי זו הנחה סמויה אפלטוניסטית לעילא ולעילא.

כפי שכבר הסברתי, רק מצבים מוחלטים כמו מלאות מוחלטת או ריקנות מוחלטת, יש בהם את הפשטות שמעבר לצורך שלנו להגדיר אותם.

כל שאר המצבים המופשטים תלויים בהגדרות של תודעתנו, ואם הם אינם מוגדרים אז כל מה שיש זה המוחלט בכבודו ובעצמו, שקיומו נובע מעצמו ללא כל תלות בשאינו עצמו.
מחשבות טרחניות על אקסיומת הקיום של ZF 328727
האייל הצעיר • בתשובה לדורון שדמי שבת, 10/9/2005, 1:08
''הרי זו הנחה סמויה אפלטוניסטית לעילא ולעילא.''

זאת הפעם הראשונה שאתה טוען להנחה סמויה פלטוניסטית, ואני מסכים איתך.

עם זאת, יש לציין שאין חילוקי דעות בין פורמליסטים ופלטוניסטים לגבי הדרך שבה עוסקים במתמטיקה. השאלה היא שאלה פילוסופית תיאורטית לחלוטין, על המשמעות שנותנים למשפטים לאחר שהוכחו.
(במילים אחרות, העובדה שזו הנחה סמויה לא מוכיחה את הטענה ''במתמטיקה יש הנחות סמויות''.)

''רק מצבים מוחלטים כמו מלאות מוחלטת או ריקנות מוחלטת, יש בהם את הפשטות שמעבר לצורך שלנו להגדיר אותם.''

לא שכנעת אותי בזה.
מחשבות טרחניות על אקסיומת הקיום של ZF 328740
דורון שדמי • בתשובה להאייל הצעיר שבת, 10/9/2005, 2:19
"לא שכנעת אותי בזה."

אין לי שום צורך או רצון לכפות עליך את דעתי.

כל מה שאני עושה הוא לשתף אחרים ברעיונותי.

כמו שאומרים בבדיחה המפורסמת:"ירצו יאכלו, לא ירצו לא יאכלו".
מחשבות טרחניות על אקסיומת הקיום של ZF 328743
האייל הצעיר • בתשובה לדורון שדמי שבת, 10/9/2005, 2:28
לכפות? לא דיברתי על כפייה. דיברתי על שכנוע.

והסיבה שלא שכנעת אותי בזה היא כנראה כי אין לך טיעון משכנע להצדקת הטענה שלך.
מחשבות טרחניות על אקסיומת הקיום של ZF 334362
דורון שדמי • בתשובה להאייל הצעיר יום א', 2/10/2005, 14:14
"והסיבה שלא שכנעת אותי בזה היא כנראה כי אין לך טיעון משכנע להצדקת הטענה שלך."

פשטות שאין פשוט ממנה כמו ריקנות מוחלטת או מלאות מוחלטת, אינה משכנעת אותך?

תמהני מה לא משכנע בתגובה 334032 ונספחיה.
מחשבות טרחניות על אקסיומת הקיום של ZF 328763
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה להאייל הצעיר שבת, 10/9/2005, 8:30
דווקא לזה אתה מסכים? ואני לחלוטין מתנגד...

נניח שאנחנו מגדירים את המספרים בעזרת PA. קיבלנו קבוצה של מספרים שאפשר לכפול, לחלק עם שארית וכו'. אנחנו לא מדברים על זה שאולי קיימים מספרים שמתחלקים רק בעצמם וב-‏1 ובטח שלא מגדירים אותם. האם זה אומר שהם לא קיימים בקבוצה שאנחנו עובדים איתה ושהגדרנו בעזרת PA? בטח שהם קיימים.

זה בדיוק כאילו שנעבוד עם המספרים השלמים ופעולת החיבור ולא נקרא לאפס "איבר יחידה". זה אומר שאין במספרים השלמים איבר יחידה, כי לא הגדרנו אותו? בטח שיש.
מחשבות טרחניות על אקסיומת הקיום של ZF 328714
האייל הצעיר • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' שבת, 10/9/2005, 0:22
לא "בלי" שנגדיר אותו. *לפני* שנגדיר אותו.
מחשבות טרחניות על אקסיומת הקיום של ZF 328718
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה להאייל הצעיר שבת, 10/9/2005, 0:44
יש הבדל? אם משהו קיים לפני שאנחנו מגדירים אותו, אז גם אם נחליט "ברגע האחרון" שאנחנו לא מגדירים אותו, הוא עדיין יהיה קיים.
מחשבות טרחניות על אקסיומת הקיום של ZF 328817
האייל האלמוני • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' שבת, 10/9/2005, 13:14
''הוא עדיין יהיה קיים.''
אבל זה בדיוק הפלטוניזם.
מחשבות טרחניות על אקסיומת הקיום של ZF 328820
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה להאייל האלמוני שבת, 10/9/2005, 13:25
לא נראה לי. בוא ניקח את המספרים השלמים עם פעולת החיבור. גם לפני שאנחנו מדברים על ''איבר נייטרלי'' קיים כזה - אפס. מה שלא קיים הוא השם שאנחנו נותנים לו (''איבר נייטרלי'') ומתייחס לתכונות שלו. גם בלי שניתן לו שם בהתבסס על התכונות הללו, האיבר עדיין יהיה קיים והתכונות שלו עדיין יתקיימו (תחבר כל מספר איתו ותקבל את המספר).
מחשבות טרחניות על אקסיומת הקיום של ZF 328824
האייל הצעיר • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' שבת, 10/9/2005, 13:38
או.קיי, אנחנו צריכים להקפיד להבחין בין שתי פעולות שונות שאנחנו עושים. "הגדרה", כמו של יחידת החיבור, ו"אקסיומת קיום + הגדרה" כמו של הקבוצה הריקה.

פורמלית, אנחנו יכולים להסתדר בלי הגדרות בכלל. זה פשוט יסבך לנו את החיים בצורה יוצאת-דופן. גם אם לא נגדיר "יחידה", נוכל להוכיח על המספרים השלמים שקיים e כך שלכל a מתקיים: e+a=a+e=a.

לעומת זאת, אם ננסה להסתדר בלי _אקסיומת הקיום_ של מה שאנו עתידים לכנות "הקבוצה הריקה", נקבל מערכת שבה (כנראה) הרבה משפטים מהמערכת שלנו יהיו בלתי-כריעים.

(אכן, טעיתי בסיווג המספרים הראשוניים. זאת רק הגדרה. מעתה נצטרך לזכור שהדיון כולו הוא על אקסיומות קיום, ולא על הגדרות.)
מחשבות טרחניות על אקסיומת הקיום של ZF 328841
גדי אלכסנדרוביץ' • בתשובה להאייל הצעיר שבת, 10/9/2005, 14:36
אם אתה מסכים איתי שיש הבדל בין "אקסיומת קיום" כמו זו שבה אומרים "בחבורה קיים איבר שנסמנו e והוא מקיים..." ובין אקסיומת הקיום "קיימת קבוצה שלא מכילה אף איבר ונקרא לה הקבוצה הריקה" דיינו.
מחשבות טרחניות על אקסיומת הקיום של ZF 328843
האייל הצעיר • בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ' שבת, 10/9/2005, 14:54
לא, אני לא רואה הבדל בין שתי האקסיומות שהצגת.
אם במקום האקסיומה הראשונה שכתבת היית כותב "קיים *מספר שלם* שנסמנו 0 והוא מקיים..." אז אכן הייתי רואה הבדל, כי זו אינה אקסיומת קיום, אלא משפט קיום.

(בכל מקרה, התעלמתי מהמילים "ונקרא לה הקבוצה הריקה" ו"שנסמנו", כי אלה הגדרות, ולא חלק מהטענה.)
מחשבות טרחניות על אקסיומת הקיום של ZF 328687
דורון שדמי • בתשובה להאייל הצעיר יום ו', 9/9/2005, 20:28
אייל צעיר,

אתה בכיוון הנכון אך לא הולך מספיק עמוק.

הדברים היחידים שאנו יכולים להיות בטוחים בהם לגמרי חייבים להיות מוחלטים ולא-אישיים.

מלאות מוחלטת ו/או ריקנות מוחלטת הן בדיוק המצב הפשוט ביותר והלא-אישי שאיננו תלויי לחלוטין בקיומנו היחסי, כאשר קיומנו היחסי איננו אלא אוסף של מצבים מופשטים ו/או לא מופשטים של חיינו האישיים.

היות ובמתמטיקה "טהורה" אנו מגבילים עצמינו לאוסף המחשבות שלנו, הריי ששום אוסף מחשבות אינו קיים בלעדינו, אלא הוא תוצר ישיר של תודעתנו, כאשר היא פועלת כפונקציית-גישור בין המוחלט והלא-אישי ליחסי והאישי.

מתמטיקה עמוקה היא למעשה מחקר ישיר של מרחב-הגישור שבין המוחלט והלא-אישי לבין היחסי והאישי, ובו התודעה הלכה למעשה חוקרת את מרחב-הגישור ומנסה להגדיר מערכת סדורה של מצבים המתקיימים בין המוחלט והלא אישי ובין היחסי והאישי.

וזהו *בדיוק* שדה פעולתה של המתמטיקה-המונדית.
מחשבות טרחניות על אקסיומת הקיום של ZF 328715
האייל הצעיר • בתשובה לדורון שדמי שבת, 10/9/2005, 0:25
"הדברים היחידים שאנו יכולים להיות בטוחים בהם לגמרי חייבים להיות מוחלטים ולא-אישיים."

כרגע, עושה רושם שהדברים שאתה בטוח בהם הם מאוד יחסיים ומאוד אישיים. אתה חווה את הזיכרון שלך כקו ואת המחשבות שלך כנקודות. חוץ ממך וממשה, אף אחד אחר לא חווה כך את הדברים. ובכל זאת, אתה טוען שוב ושוב בבטחון שאלה בדיוק המאפיינים האוניברסליים של התודעה.

א) על סמך מה אתה מסיק את זה לגבי עצמך בכזה בטחון?
ב) על סמך מה אתה מסיק את זה לגביי ולגבי שאר העולם?
מחשבות טרחניות על אקסיומת הקיום של ZF 328721
דורון שדמי • בתשובה להאייל הצעיר שבת, 10/9/2005, 0:46
"כרגע, עושה רושם שהדברים שאתה בטוח בהם הם מאוד יחסיים ומאוד אישיים. אתה חווה את הזיכרון שלך כקו ואת המחשבות שלך כנקודות. חוץ ממך וממשה, אף אחד אחר לא חווה כך את הדברים. ובכל זאת, אתה טוען שוב ושוב בבטחון שאלה בדיוק המאפיינים האוניברסליים של התודעה.

א) על סמך מה אתה מסיק את זה לגבי עצמך בכזה בטחון?
ב) על סמך מה אתה מסיק את זה לגביי ולגבי שאר העולם?"

הזכרון הוא לא קו והמחשבות הם לא נקודות.

הקו והנקודות משמשים רק כאצמעי ייצוג של הרצף המוחלט והאוסף היחסי.

אם אבקש ממך להגדיר את המצב המתאר את התודעה שלך, האם היית בוחר לתאר אותה רק כאוסף או שהיית מכליל גם תכונה מאגדת כלשהי?
מחשבות טרחניות על אקסיומת הקיום של ZF 328725
האייל הצעיר • בתשובה לדורון שדמי שבת, 10/9/2005, 0:57
מהי "תכונה מאגדת", לצורך העניין?
חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא
מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים
האייל הקורא RSS מאמרים | כתבו למערכת | אודות האתר | טרם התעדכנת | ארכיון | חיפוש | עזרה | תנאי שימוש © כל הזכויות שמורות