בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ', 09/09/05 20:13
 |
|
 |
||
|
||||
 |
אני אולי שוב מפספס משהו, אבל מה הבעיה לחשב באמצעות אינטגרל פשוט את שטח מעגל היחידה? 1) עוברים לקוארדינטות פולריות. 2) מחוג ברדיוס 1 מסתובב על פני זווית של 2pi. 3) כל תזוזה ב-dTheta מכסה שטח של 0.5*dtheta שזה שטח משולש בעל גובה 1 (הרדיוס) ובסיס dtheta (שזה אורך הקשת עבור רדיוס 1). 4) עושים אינטגרציה על 0.5dtheta (במקור זה 0.5*R^2*dtheta) מ-0 עד 2pi ומקבלים שהשטח הוא pi. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
הבעיה היא שכלל לא ברור שהחישוב הזה לא מתבסס על זה שהוכחנו את הגבול הזה פעם. זה כמו שאוסרים להוכיח את הגבול עם כלל לופיטל למרות שהוא יוצא פשוט מאוד ככה - כי כלל לופיטל מסתמך על גזירה, ובשביל לגזור את סינוס צריך את הגבול הזה. השלבים בהוכחה שלך שמטרידים אותי הם 1 ו-3. בקשר לשלב 1: אני מודה ומתוודה שעד היום אין לי ממש מושג מה בדיוק קורה בזמן המעבר לקוארדינטות פולריות, אבל אני זוכר שיש שם יעקוביאן ואקשן, ויעקוביאן כולל גזירה, והגזירה היא של סינוס וקוסינוס - בעיה. בקשר לשלב 3: תזוזה קטנה (להבדיל מאינפיניטסימלית) בהחלט לא מכסה שטח של משולש אלא שטח קצת יותר גדול. כמובן שכשאנחנו עוברים לתזוזה אינפיניטסימלית זה שואף להיות שטח של משולש - אבל איך אתה מבצע בצורה פורמלית את המעבר הזה? האם אין שם תהליך גבולי שמעורב בעניין ומתבסס על הגבול שלנו? אני לא יודע, אבל אני צריך לראות יותר לעומק מה אתה עושה. אני, אגב, הכי אוהב את ההוכחה שהבנתי שמיוחסת לארכימדס, ומתבססת על חסימת מצולעים משוכללים במעגל ובדיקה לאן מתכנס השטח שלהם (ארכימדס גם השתמש במצולעים חוסמים, דומני). אם מנסים לכתוב בצורה פורמלית את הגבול רואים בדיוק איך בסוף הדרך אנחנו מקבלים פאי כפול הגבול sinx/x כאשר x שואף לאפס. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא מכיר שום בעיה במעבר לפולריות, אבל יכול להיות שזה ידע שחסר לי. עזוב את "מעבר הקוארדינטות" ותחשוב על האינטגרל כגבול של סכימה של משולשים שווי שוקיים. אתה נשאר עם הבעיה שלך ב-3 (כמובן שהתכוונתי לתזוזה אינפיניטסימלית) אבל אני לא מבין אותה בדיוק - יכול להיות שחסר לי רקע פורמלי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"גבול של סכימה של משולשים שווי שוקיים" נשמע לי דומה לשיטה של ארכימדס. נסה לכתוב מהו בדיוק הגבול הזה (מה השטח של כל אחד מהמשולשים וכמה יש?) לא אמרתי שיש "בעיה" במעבר לפולריות. אמרתי שצריך לחשב יעקוביאן ולגזור סינוסים תוך כדי התהליך. אתה טוען שזה לא כך? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שברתני בפעם השניה. אכן, בגבול של הסכימה שהצעתי מופיע sinx/x (מכפלת הבסיס בגובה היא בדיוק sinx ומספר המשולשים הוא 2pi/x). אני לא מכיר שום חישוב יעקוביאן במעבר וגזירת סינוסים במעבר קוארדינטות, אבל אני סטודנט לפיזיקה - אצלנו פשוט עוברים קואורדינטות ולעזאזל עם הפורמליזם... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
על פי מסורת פיזיקלית עתיקה שקיבלתי ממורי, כשעוברים באינטגרל לקורדינטות קטביות יש לשבת בהסבת ימין ולרשום r^2 sinθ לזכר יעקובי אבינו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה כאשר עוברים לקוארדינטות כדוריות (תלת מימד), לא פולריות (דו-מימד). במעבר בדו מימד dxdy הופך ל-rdThetadr. אבל במקרה שלנו r קבוע ולכן אין dr. בכל מקרה אין סינוס. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושש שאתה לא צודק. יש r, אחרת האינטגרל היה יוצא שני פאי ולא פאי. תחשוב על זה שנייה: אתה עושה אינטגרל על מעגל ברדיוס 1 עם הפונקציה f(x)=1. אם לא יהיה לך r, איזה אינטגרל תקבל? באופן כללי, גם ה-r שמתווסף בקוארדינטות פולריות וגם ה-r^2sinθ שמתווסף בקוארדינטות כדוריות שניהם נובעים מחישוב היעקוביאן. בחדו"א לא נותנים לחשב יעקוביאנים? באינפי 3 עשיתי את זה עד שיצא מהאף... מה שקורה בפולריות זה שאתה כותב x=rcosθ, y=rsinθ ואז כדי לעבור לקוארדינטות הפולריות לא מספיק לבצע את ההצבה: צריך גם לכפול בגורם כלשהו שנקרא "היעקוביאן של הטרנספורמציה" שהמטרה שלו לתקן את הפרופורציות של השטחים שהתעוותו. היעקוביאן זו הדטרמיננטה של מטריצה שכל שורה בה היא גרדיאנט של אחד מהרכיבים של הטרנספורמציה. בשורה השנייה יהיה למשל (sinθ, rcosθ) (גזרנו את y קודם לפי r ואח"כ לפי θ). אתה מחשב את הדטרמיננטה הזו, נעזר בזהות הנחמדה (sinθ)^2+(cosθ)^2=1 ואז כל הסינוסים והקוסינוסים נעלמים לך (במקרה הפולרי). זה לא משנה את זה שכדי להגיע לזה היית צריך לדעת נגזרות (ומכיוון שאף פעם לא הצלחתי לעקוב עד הסוף אחרי ההוכחה של מעבר הקוארדינטות, לא ברור לי איזה עוד דברים מתוחכמים אתה כבר צריך להניח שאתה יודע).אם הקטע של "הפרופורציות של השטחים שהתעוותו" לא ברור, נסה את הדבר הבא: צייר ריבוע עם אורך צלע 1 על דף משובץ ותכתוב את הקוארדינטות של הקודקודים שלו. עכשיו תעשה את מעבר הקוארדינטות הבא: s=(x+y)/2 ונסה לכתוב את הקוארדינטות של הקודקודים על פי המערכת החדשה. תגלה שהריבוע שלך הסתובב. עכשיו נסה לחשב את השטח של הריבוע במערכת החדשה על ידי העלאה בריבוע של אחת הצלעות (במערכת הקודמת, כזכור, השטח היה 1) - מה קיבלת? (כדאי מאוד לצייר את הריבוע החדש, זה עוזר מאוד להבין מה השתנה).
r=(x-y)/2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא אמרתי שאין r אמרתי שאין dr. לנו פשוט הראו את זה ככה: "בקוארדינטות קרטזיות, שטח של מלבן אינפי' הוא dx*dy, כשאנחנו רוצים לייצג את זה בקוארדינטות פולריות, אז האורך הופך להיות dr והרוחב r*dTheta (אורך הקשת). נכון שזה לא בדיוק מלבן, אבל כששואפים לגבול אינפי' זה יוצא מלבן". יכול להיות שנלמד את זה פורמלית יותר בשנה הבאה - אני עדיין סטודנט, כאמור - אבל אני די בספק. הדגשים מעכשיו הם בעיקר פיזיקליים ולא מתמטיים. אם כבר יהיו דגשים מתמטיים הם כנראה יתמקדו יותר באופרטורים ובמשוואות דיפרנציאליות. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש גם r וגם dr. האינטגרל הכפול שמתקבל הוא rdrdθ על המלבן שאורך צלע אחת שלו היא 1 ואורך הצלע השנייה 2 פאי. אם אתה עוד לא משוכנע, נסה לפתח עם אינטגרל את השטח של מעגל כללי ולא רק מעגל היחידה. אני לא כל כך אוהב את ההסברים של הפיזיקאים. הם טובים מאוד כדי לתת את האינטואיציה, אבל אתה לא באמת מסוגל להבין מהם מה הולך שם (שלא לדבר על "למה זה חוקי" ו"מתי זה חוקי", שאלו שאלות שאליהן כמעט ולא התייחסו בשני הקורסים הפיזיקליים שאני למדתי). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מבינה שהאינטגרל הזה נולד בליל הסדר. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |