בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ', 18/09/05 20:51
אכן בכאילו 331500
מתמטיקה אינה מבוססת על "אמונה" באקסיומות. מתמתיקה אומרת משהו כמו: הנה כמה חוקים שהשתמשנו בהם (באופן מרומז). בואו נתחיל מהם וננסה ללכת קדימה וליצור תורה עקבית.

אחרי כמה (מאות) שנים, המתמטיקה אומרת: המממ... נראה שהגענו די רחוק. אולי ננסה ללמד כמה סטודנטים לתואר ראשון איך להבין את זה.

כמובן שזו התייחסות קצת מופשטת, וההתקדמות לא היתה ליניארית אלא בכיוונים שונים וברמות שונות של מופשטות. התוצאה, עם זאת, מרשימה, והיא אינה "מאמינה" באקסיומות, אלא מסתמכת עליהן כהגדרות יסוד.
אכן בכאילו 331527
כוונתך שהמתמטיקה לא מאמינה באקסיומות. מה שתיארת כאן הוא בדיוק מה שאני קורא לו ''אמונה''.
אכן בכאילו 331569
האם אתה מאמין באקסיומה החמישית של אוקלידס? בהשערת הרצף? באלוהים שנתן לנו את התורה?

מערכות אקסיומטיות מאפשרות לנו, למצער, לתחום את ה"אמונה" ולהפריד בצורה טובה בינה לבין מה שנובע ממנה.
אכן בכאילו 331571
כשאני משתמש באקסיומה החמישית, אני "מאמין" בה - מניח את נכונותה כדי לראות מה יוצא מזה. באלוהים אני לא מאמין. עוד מישהו רוצה להמשיך את הויכוח הסמנטי המיותר הזה?
אכן בכאילו 331574
לא אני, זה בטוח.
אכן בכאילו 331753
האקסיומות היחידות שאתה ממש *מקבל* הן כללי ההיסק. למשל שכל טענה חייבת להיות אחד מבין השניים הבאים, לא יותר ולא פחות - נכונה או שגויה. בשום שלב לא נדרש ממך "להאמין" באקסיומות אחרות - אתה מתקדם בשני מסלולים שונים - אם האקסיומה נכונה, אתה מסיק מסקנות מתאימות. אם היא לא נכונה, הרי היא שגויה, כלומר נכונה האקסיומה שמהווה הטענה הנגדית, ותקפות המסקנות המתאימות לה. מאחר שאתה אדם עסוק, אתה תטרח ללכת רק במסלול שיש בו לדעתך עניין וטעם. אתה יכול להאמין במה שאתה רוצה, אבל בעבודה שלך לא מגולמת "אמונה" באקסיומות.
אכן בכאילו 331764
ברשותך, לא אמשיך את הויכוח הסמנטי המיותר. רק אומר שאני מסכים איתך - אני לא מאמין באקסיומות.
אכן בכאילו 332058
אין הכרח לקבל את כללי ההיקש. ההגדרה של מערכת אקסיומות אפילו לא כוללת את מושג השלילה - "לא" היא רק מילה בשפה שלנו. אפשר בהחלט ליצור לוגיקה שלא תניח את כללי ההיקש הרגילים.

עם זאת, בדבר אחד אני כן מאמין: שבני אדם לא יכולים באמת לעבוד עם מערכת אקסיומות לא-אפקטיבית. כל מערכת אקסיומות אפקטיבית ניתנת לבנייה בתורת הקבוצות. לכן, מי שמקבל את חוקי ההיקש ה"רגילים" (בתורת הקבוצות) יוכל לעבוד בתוכם עם כל מערכת מערכת אקסיומות אפקטיבית אחרת.

האם זה אומר שאני מאמין שיש משהו מיוחד בחוקי ההיקש ובתורת הקבוצות שאין בלוגיקות אחרות? לא בהכרח. בהחלט יכול להיות שיש מערכות אקסיומות אפקטיביות נוספות ‏1 שניתן לבנות בהן כל מערכת אקסיומות אפקטיבית. בכל אופן, השימוש בחוקי ההיקש הרגילים פרקטי מאוד.

1 שלא מכילות את ZF וש-ZF לא מכילה אותן.
אכן בכאילו 332197
אני תמה על ההתנגדות העזה כלפי המילה אמונה. גם אם אקסיומה היא רק הנחת עבודה, אנו מאמינים בה ובתוצאות שהיא מניבה. אם נקבל תוצאות שנראות לנו לא הולמות, סבירות, אמינות, נדחה את האקסיומה או נגביל את כלליותה, ונחפש אחת אחרת/נוספת להאמין בה. לא מדובר כאן באמונה בעל טבעי ובמסתורי.

כאשר אנו מביטים בנסיוננו, אנו רואים שכל חושינו עשויים להטעות אותנו, וההגיון שמסיק מסקנות מהנתון לו, עשוי ללכת שולל גם כן. ההגיון אינו חסין מהטעיות רשמים ודמיונות איתם הוא עובד, ואף אינו יכול לעשות יותר מאשר לנתח את הנתון לו (ולא מעט מזה הוא פרי דמיון). משמע שכל פעולותיו מתבססות על אמונה.

אכן טובה אמונה הגיונית (אין זה אוקסימורון) מאמונה לא הגיונית. אבל לאור כך שבידינו סברות ולא האמת לאמיתה, הרי שברמת הבסיס דרושה לנו אמונה.
מטה-אמונה 331828
(Totally ripped out of context)
Achilles: ... Are you atheist, Mr. T? Or are you agnostic?
Tortoise: I don't think I'm agnostic. Maybe I'm meta-agnostic.
Achilles: Whaaat? I don't follow you at all.
Tortoise: Let's see... If I were meta-agnostic, I'd be confused over wheather I'm agnostic or not – but I'm not quite sure if I feel THAT way. hence I must be meta-meta-agnostic (I guess).
מטה-אמונה 332342
אני מזמינה ציטוטים נוספים של הופשטטר. אחלה ברנש זה.

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים