בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ', 27/09/05 17:39
אז ככה 333093
פסקל לא מתעלם מהאפשרות הזאת, היא פשוט באמת לא עולה.
אתה צריך להכריע במה להאמין. לא מדובר פה בניסיון לחקור מה אמיתי או מה אפשרי. אין טעם להכניס את כל התמונות האפשריות. אתה צריך לקבל החלטה פרקטית על איך לנהל את החיים שלך. זה לא דיון פילוסופי במובן המקובל של המילה, זה דיון פחות או יותר מעשי (פילוסופית :).
אם אתה חי את החיים שלך בצורה חילונית, אז דה-פקטו הכרעת שבתמונת העולם שלך אלוהים לא משחק תפקיד. זו החלטה לגיטימית לחלוטין, אלא שפסקל טוען שהיא לא החלטה רציונאלית.

תמונת העולם שלך בכל מקרה מכילה סימני שאלה. קיום האלוהים הוא בהכרח סימן שאלה כזה, מפני שהוא בלתי ניתן להוכחה מעצם הגדרתו. באורח החיים שאתה בוחר לחיות אתה בהכרח מבטא איזשהי אמונה לא מבוססת לגבי מה שמאחורי סימן השאלה, לכאן או לכאן. פסקל מציע לך דרך להכריע לגבי האמונה שהכי כדאי לך להחזיק בה.
אז ככה 333113
טוב, נזכרתי למה הדיון נפסק בפעם שעברה. באמת אין עוד לאן להתקדם.
אז ככה 333117
עוד לא שמעתי ביקורת עניינית לטיעון הזה שלא מניחה באופן סמוי ולא-מודע (ולא מבוסס) איזשהו מצב עניינים מטאפיזי. הטיעון הזה הוא מצויין, לדעתי, אם מקבלים באמת את ההנחה שאין לנו ולא יכול להיות לנו ידע של ממש על הדברים האלה (אלוהים). אני חושב שרוב הביקורות ששמעתי נובעות מאי-קבלת ההנחה הזאת.
אז ככה 333122
ואני חשבתי שדווקא הגישה שלי לא מניחה שום דבר מוקדם ואילו הגישה של פסקל כן (שהרי היא מניחה שלא ייתכן קיום של אל שמעניש את המאמינים בו ומתגמל את האתאיסטים). נו טוב.
אז ככה 333139
הגישה של פסקל לא מניחה את מה שאתה טוען שהיא מניחה. אני לא יודע איך הגעת למסקנה הזאת. גם אם האפשרות של האל המתעמר במאמיניו קיימת, עדיין אין שום סיבה לבחור להאמין בה. הרי אם בחרת בה הפסדת, ואם לא בחרת אז ממילא אתה לא מאמין שהוא קיים.
האלוהים שלך לא יותר סביר ולא פחות סביר מהאפשרויות האחרות. בלי להניח שום דבר, אין לך מושג במי לבחור. חוץ מאשר ע''י חישוב התוחלת. אבל תחשב בבקשה את התוחלת של ההימור על האלוהים המתעמר ותגיד לי אם הוא באמת נראה לך אופציה.

אני חושב שהנקודה החמקמקה כאן היא שההימור הוא על האמונה. כלומר, אם אני מהמר נגד אותו אלוהים שמתעמר במאמיניו, אז אני לא מאמין בקיומו. זו משמעות ההימור. אם אני מהמר על אלוהי הנוצרים, למשל, זה אומר שמעכשיו את כל ההחלטות שלי אני לוקח מתוך הנחה שהוא האלוהים האמיתי.
אז ככה 333156
בפעם העשירית: אף אחד לא מציע לבחור באמונה ב"אל המתעמר", פשוט אי אפשר להתעלם מאפשרות קיומו.

אולי כדאי להתחיל את הדיון מהבסיס, על ידי כך שנציג את ההימור כפי שאנחנו מכירים אותו.

אני מכיר אותו בצורה הבאה:

פסקל אומר ככה: יש שתי אפשרויות. להיות אתאיסט או להיות נוצרי טוב. כמו כן, אחד משני מצבים מתקיים: או שאלוהי הנוצרים קיים, או שלא.

אם אתה אתאיסט והוא קיים תזכה לגיהנום - רווח שהוא מינוס אינסוף. אם אתה אתאיסט והוא לא קיים לא קרה כלום - רווח אפס.

אם אתה מאמין והוא קיים תזכה לגן עדן - רווח שהוא אינסוף. אם אתה מאמין והוא לא קיים לא קרה כלום - רווח אפס.

חישוב התוחלת מעלה שללא תלות בהסתברות הקיום של האל, התוחלת של בחירה בנתיב האתאיזם היא מינוס אינסוף, ואילו בחירה בנתיב הנצרות היא עם תוחלת אינסוף.

עד כאן אני מדייק?

עכשיו, שים לב שיש כאן טבלה, ששורותיה הן "מאמין ב..." ועמודותיה הן "והמצב בפועל הוא...". אני טוען שאין צורך להוסיף שורות, אבל חסרה עמודה. בעמודה הזו יש את האלוהים המתעמר שאני מדבר עליו. במקרה שהוא קיים, האתאיסט יקבל רווח אינסופי והנוצרי יקבל רווח מינוס אינסופי. חישוב התוחלות הן עבור האתאיסט והן עבור הנוצרי הולך כאן לעזאזל, ובוודאי שלא נותן אינסוף.
אז ככה 333174
אה, הבנתי איפה הבעיה. אתה רואה את זה כעניין מתימטי נטו. אם זה היה משהו כזה אז ייתכן שהיית צודק. אבל הבעיה פה היא מתימטית רק מהיבט מסוים. יש כאן משהו מעבר למתימטיקה, וזה העובדה שההימור משנה את הטבלה. כל עוד לא הימרת יש באמת טבלה עם שתי שורות ושתיים או שלוש או יותר עמודות. אבל ברגע שהימרת אז אתה *מאמין* ממש בדבר שעליו הימרת. כלומר, כל התאים הלא-רלוונטיים מתבטלים - אתה לא מאמין בהם.

אתה צודק שזה לא חישוב תוחלת straightforward. השימוש במתימטיקה כאן הוא לא רגיל, מתוקף נושא ההימור, שהוא הנחת היסוד של תמונת העולם שלך.
אז ככה 333177
הוא אשר אמרתי קודם - אסור לך להכניס שיקולים שאתה לא ''מאמין'' בהם. לי זה נראה נאיבי במקרה הטוב כי השאלה היא על מה כדאי להמר, אבל כנראה שזה עניין של דעה.
אז ככה 333186
צריך פשוט להסתכל על כל בחירה בנפרד:
1. אם בחרתי בחילוניות וצדקתי, לא הרווחתי כלום.
2. אם בחרתי באלוהים וצדקתי, הרווחתי אינסוף.
3. אם בחרתי באלוהים המתעמר וצדקתי, הפסדתי אינסוף.

4. אם בחרתי במשהו וטעיתי - אין לי שום דרך לדעת זאת עד אחרי מותי (וגם אז לא בטוח). מכיוון שבחרתי להאמין במה שבחרתי, הבחירה הזאת היא עכשיו אמת עבורי.

(5. אם אני שם פתק לבן, זה כאילו שבחרתי בחילוניות.)

---

סיבה אחרת לא להוסיף את האלוהים המתעמר היא מפני שמי הוא בכלל? אלוהים האורתודוכסי הוא אופציה קיימת. יש עדויות לקיומו (עדויות שאתה לא חייב לקבל, אבל עדיין עדויות). האופציה החילונית נובעת מחוסר אמונה במה שלא ניתן לתפוס. דעה מכובדת, אבל גם היא לא מוצדקת במאה אחוז. המתעמר שלך הוא רק מין אפשרות היפותטית כזאת שנועדה להכשיל את הטיעון. אם אתה באמת מתלבט לגבי דרכך בחיים אז אני לא מציע לך לשקול אותו.
אז ככה 333189
אם אתה באמת מתלבט לגבי דרכך בחיים אז אני לא מציע לך לשקול את ההימור של פסקל. אתה טוען שיש עדויות לקיומו של אלוהים, ואם אתה מקבל אותן - זו נשמעת לי סיבה מספיקה להיות דתי.
לעומת זאת, ההימור של פסקל הוא לא סיבה מספיקה לבחור באורח חיים. יש בו כשלים רציניים, כמו העובדה שבמקום ''אמונה באלוהים'' ניתן להציב בו כל הצעה אחרת, כמו ''לרדת תמיד במדרגות בהליכה על הידיים''.
אתה אומר שהאמונה באלוהים סבירה יותר מהאמונה של ''כת המדרגות'', ואתה צודק. אך חשוב לשים לב שבכך אתה לא משתמש בהימור של פסקל, שכל הרעיון בו הוא שלפיו ההסתברות לקיומו של אלוהים (או לכל אמונה אחרת) לא רלוונטית.
אז ככה 333194
לקבל או לא לקבל את העדויות לגבי קיומו של אלוהים - זה בדיוק ההימור.

אני לא מסכים איתך לגבי הכשל שאתה מציין. אמנם פסקל לא אומר זאת במפורש (למיטב זכרוני) אבל בבסיס הטיעון מונחת ההנחה שהבחירה כאן היא בין אמונות מתחרות באמת. פסקל לא היה ממש פילוסוף, הוא לא התעסק עם כל מיני אפשרויות שמבחינה לוגית הן אפשריות אבל שאינן קיימות בעולם. הוא נדרש לשאלה אמיתית ורצה לתת פתרון ארצי והגיוני.
שים לב שבניגוד לפילוסופים אחרים בין זמנו (דיקארט בעיקר) הוא אינו טוען טענות מטאפיזיות. הוא לא אומר ''הוכחתי את קיומו של אלוהים'' או ''ישנו רק עצם אחד בעולם וכולנו רק אופנים שלו''. הוא רק אומר שמבחינה רציונאלית כדאי להאמין בו.
אז ככה 333206
כשאני אומר "ההימור של פסקל" אינני מתכוון להימור עצמו, כמובן, אלא לטיעון.

"הוא לא התעסק עם כל מיני אפשרויות שמבחינה לוגית הן אפשריות אבל שאינן קיימות בעולם"

העובדה ש"כת המדרגות" אינה קיימת מקטינה בהרבה את הסבירות לנכונות האמונה שלה, אבל ההסתברות שאמונה זו נכונה עדיין גדולה מ-‏0. לכן הטיעון של פסקל תקף לגביה באותה מידה כמו שהוא תקף לגבי אלוהים.
אתה מתקשה להוציא מהמשחק את ההסתברות לקיומו של אלוהים (ואת היחס בינה לבין הסתברויות של אמונות אלטרנטיביות). זה די סביר: אתה לא יכול לבחור להאמין באמונה שהיא לחלוטין לא סבירה בעיניך. *דווקא לכן* אתה לא יכול ולא צריך להשתמש בטיעון של פסקל. אתה לא יכול להשתמש בטיעון לפיו "ההסתברות לקיומו של אלוהים לא רלוונטית" אם כדי להשתמש בו אתה צריך להאמין ש"האמונה באלוהים סבירה הרבה יותר".

"שים לב שבניגוד לפילוסופים אחרים בין זמנו (דיקארט בעיקר) הוא אינו טוען טענות מטאפיזיות. הוא לא אומר 'הוכחתי את קיומו של אלוהים' או 'ישנו רק עצם אחד בעולם וכולנו רק אופנים שלו'. הוא רק אומר שמבחינה רציונאלית כדאי להאמין בו."

נכון.
אז ככה 333211
מה משמע "ההסתברות לקיומו של אלוהים"? איך מודדים אותה?
ההבדל בין כת המדרגות לבין אמונה בדת הנוצרית אינו בהסתברות הגדולה יותר שזו האחרונה אמיתית אלא בעובדה שסביר יותר להאמין בה‏1.

חשוב מתודית להפריד בין מה שנכנס לטיעון ומה לא. התשובה היא המוקד אבל חשוב גם לנסח את השאלה כראוי. הבחירה בכת המדרגות (בקצב הזה אני אתחיל להאמין בה) אינה צריכה להיכנס כלל לטיעון, לדעתי. האפשרויות צריכות לנבוע ממצב העניינים בעולם. במרחב לוגי נקי מעובדות א-פוסטריורי ייתכן שאתה צודק ושאין הבדל בין כתות דמיוניות לבין דתות קיימות. אבל הטענה הרי היא טענה מעשית (כביכול).

---

1 עקרונית אני יכול להמציא לי אל שעל פי הגדרתו הוא שווה לאלוהים היהודי פלוס אחד (כמו ילדים שמתחרים על מי יאמר את המספר הכי גבוה - אינסוף פלוס אחד). אבל כאן יש בעיה פרקטית - אני אדע שאני המצאתי אותו. לא סביר להאמין בו.
אז ככה 333487
אאל"ט, פעם התפרסמה באחד העיתונים ידיעה על סטטיסטיקאי שחישב ומצא שההסתברות לקיומו של אלוהים היא 67%. הוא גם ציין שבחישוב שקלל גם את קיום הרוע בעולם.

הסיפור הזה אמנם הזוי במקצת, אבל תיאורטית, אתה יכול למצוא הסתברות לכל מאורע בהינתן נתונים כלשהם ‏1. בכל אופן, יש הסתברות כלשהי p שאלוהים קיים. אז איך מחשבים את p? לא יודע. גם פסקל לא ידע. לכן פסקל התחמק מהשאלה, והראה באמצעות חישובי תוחלת שההסתברות שאלוהים קיים בכלל לא רלוונטית. לכן העובדה שסביר יותר להאמין בנצרות מאשר בכת המדרגות לא רלוונטית בעיני פסקל.

נשמע לי הכי רציונלי לקבוע את אמונתך לפי ההסתברויות לכל אמונה. מי שרוצה לעשות כן לא יכול להשתמש בטיעון של פסקל, לפיו ההסתברויות לא רלוונטיות.

1 בטח יש הסתייגויות שנדרשות לאמירה הזאת, אבל אני לא יודע מהן.
אל''ט 333577
אז ככה 335224
פסקל לא התעלם כלל מהשאלה. הוא אמר שבהסתמך על הנתונים שיש לנו, ההסתברות שאלוהים נמצא שווה להסתברות שהוא איננו. זאת משום שאין לנו ולא יכולים להיות לנו נתונים בנדון, מתוקף העובדה שאלוהים הוא א-פריורי לא נתפס ע"י התבונה.

תראה, זה נכון שפסקל מציג את הטיעון שלו בצורה מאוד מתימטית, אבל אני חושב שזה קצת מבלבל ועדיף להתייחס אל הטיעון אחרת.
אלוהים הוא הנחת יסוד. אתה יכול לפרש את העולם בהסתמך עליה או לא. פסקל טוען (ואני בעקבותיו) שלחיות בהנחה שיש אלוהים טוב בהרבה מאשר לחיות בהנחה שאין אלוהים, ואפילו טוב יותר מאשר לא להניח אף אחת משתי ההנחות האלה.

מה שחשוב כאן הוא שמצד אחד אין לנו דרך *לדעת* אם אלוהים נמצא או לא, אבל מצד שני יש לנו סיבה או בסיס *להאמין* בו, משום שיש לנו מסורת עתיקת יומין שמהווה עדות להתגלותו הישירה בפנינו. אני מדגיש, זו אינה הוכחה אלא עדות. היא עושה את ההבדל בין אלוהים לבין כל מיני אלים דמיוניים שעלו כאן כביקורת, אבל היא משאירה פתוחה את האפשרות לא להאמין.
אז ככה 335244
"הוא אמר שבהסתמך על הנתונים שיש לנו..." - אני לא יודע מה פסקל האדם אמר או לא אמר. אנחנו לא עוסקים בפסקל האדם, אלא בטיעון מסוים שנקרא על שמו. הטיעון המסוים הזה טוען בדיוק, שההסתברות לקיומו של אלוהים לא רלוונטית ‏1.

"פסקל טוען (ואני בעקבותיו) שלחיות בהנחה שיש אלוהים טוב בהרבה מאשר לחיות בהנחה שאין אלוהים" - אני לא מסכים. פסקל טוען שלמות בהנחה שיש אלוהים טוב בהרבה מאשר למות בהנחה שאין אלוהים. פסקל לא עוסק בשאלה איך האמונה משפיעה על איכות חייו של האדם. אם *אתה* רוצה לעסוק בשאלה הזאת, אתה מוזמן. אבל את הטיעון של פסקל תשאיר מחוץ לעסק.

"מה שחשוב כאן..." - אלו לא דברים שהטיעון של פסקל עוסק בהם. אלה שאלות חשובות כשעוסקים באלוהים (בעיני, השאלה "האם אלוהים קיים" היא השאלה הנכונה, ולא השאלה "האם כדאי להאמין שאלוהים קיים"), אבל אם דנים בהם, אז לא ניתן להשתמש בטיעון של פסקל.

1 וטענתו של פסקל מחזירה אותנו בעצם להערה ‏1 מתגובה 333487. פסקל מניח שלטענה שאין לנו שום נתונים עליה, ההסתברות היא 50%. אם כך, מה ההסתברות (מבחינתך) ששתי הספרות האחרונות במספר הזהות שלי זוגיות? גם זו טענה שאין לך מידע לגביה, ולכן התשובה היא 50%. מצד שני, היא חיתוך של שני מאורעות זרים שההסתברות לכל אחד מהם היא 50%, ולכן ההסתברות לה היא 25%.
נלך על מקרה יותר מעניין: נתונה לנו אוכלוסייה של 20 איש. אנחנו בוחרים אקראית מדגם של 5 מהם, ובודקים האם יש להם תכונה מסוימת. ל-‏3 מהם יש אותה. כעת אנחנו בוחרים אדם אקראי מה-‏20. מה ההסתברות שיש לו את אותה תכונה?
לכאורה, ההסתברות לא מוגדרת. מצד שני, ככה עובדת הססטיסטיקה, בסופו של דבר. יש מתמטיקאי או סטטיסטיקאי עם פתרון לתסבוכת?
אז ככה 335254
אני לא חושב שיש חשיבות לשאלה מהי ההסתברות לקיום אלוהים. מכיוון שה''רווח'' של אמונה בו אם הוא קיים הוא אינסוף הרי שתוחלת הרווח של אמונה בו היא אינסוף (בהנחה, שאני לחלוטין לא מסכים איתה, ששתי האפשרויות היחידות הן שהוא קיים ואז מקבלים את הרווח, או שהוא לא קיים ואז מקבלים אפס).
אז ככה 335258
רק כדי למנוע אי הבנות: זה אמור לסתור משהו שאמרתי?
אז ככה 335268
לא לסתור, אבל אולי לספק פתרון לבעיה שהצבעת עליה ב"לכאורה, ההסתברות לא מוגדרת". ההסתברות *כן* מוגדרת, הבעיה היא שאנחנו לא יודעים מהי. למרבה המזל, זה בכלל לא חשוב מהי, כל עוד יודעים שהיא גדולה מאפס.
אז ככה 335298
אבל זה בדיוק מה שאני אמרתי: "הטיעון המסוים הזה טוען בדיוק, שההסתברות לקיומו של אלוהים לא רלוונטית".

הבהרה: הערה ‏1 הייתה סתם אוף-טופיק, בלי קשר לאלוהים או לטיעון של פסקל.

אם ממשיכים את הקו שלך, מגיעים לטענות כמו: "ההסתברות ששתי הספרות האחרונות במספר הזהות של האייל הצעיר הן זוגיות היא או 1 או 0, אבל אני לא יודע מהי"; "ההסתברות שהמטבע הבא שאני אזרוק ייפול על עץ היא או 1 או 0, אבל אני לא יודע מהי".
הרבה פעמים קושרים הסתברות לאקראיות, אבל הסתברות יכולה לעסוק גם באירועים שהתרחשו בעבר, ש*לנו* אין מידע מלא עליהם.
אז ככה 335284
נכון, פסקל אמנם אמר שההסתברות לא רלוונטית, מהסיבות שגדי הסביר (אם כי הוא טען גם שההסתברות היא 50%). אבל זה נראה לי קצת מיותר להתעמק בהיבטים המתימטיים האלה.
הדרך הכי טובה להבין טיעון פילוסופי היא מה שנקרא "קריאה של חסד". כלומר, חפש את הפירוש שעושה את הטיעון לתקף, ורק אם לא מצאת, תדע שהטיעון לא טוב. במקרה הזה כדאי לנסות להבין למה פסקל מתכוון ב"אינסוף של טוב". הרי לא מדובר במספר.

---

תשובה ל-‏1: טוב, כאן אתה עושה טעות מתודית חמורה. שני המקרים שציינת לא מקבילים כלל למקרה של אלוהים. ההסתברות מבחינתי ששתי הספרות האחרונות במספר הזהות שלך הן זוגיות קשורה בעובדה שישנן רק 10 ספרות אפשריות ורק 5 מהן עשויות להיות זוגיות. זה די הרבה אינפורמציה, ואם לא היה לי אותה לא הייתה לי דרך לדעת מה ההסתברות לכך.
במקרה השני אתה נתת לי המון נתונים - 20 אנשים, מדגם של חמישה, מתוכם 3 וכו'. אין לי מושג איך מחשבים את ההסתברות הזאת אבל בבירור זה לא אותו מקרה.
אז ככה 335301
גם לי נראה מיותר להתעמק בהיבטים המתימטיים האלה, אבל זה בדיוק מה שעושה פסקל. אם אתה לא מתייחס למתמטיקה (וזה מה שאני ממליץ לך כבר כמה וכמה תגובות) אז אל תערב את פסקל. אתה יכול לכתוב מחדש את הטיעון של פסקל כמו שאתה מבין אותו, אבל אל תקרא לזה "הטיעון של פסקל", כי פסקל בוחן את שאלת האמונה במונחים מתמטיים.

---

1 קודם כל, הבהרה: בהערה ‏1 לא התכוונתי לדבר על אלוהים. סתם אוף-טופיק.
מספר הזהות באמת לא הייתה דוגמה טובה כי אתה יודע איך מתפלגות הספרות בתעודות הזהות, אז בוא ננסה דוגמה אחרת: יש לי בקופסה שני כדורים. כל אחד מהכדורים שחור או לבן. מה ההסתברות ששניהם שחורים?
בכוונה נתתי המון נתונים במקרה השני. בכוונה בחרתי בדיוק את הנתונים שיש לנו בכל מחקר סטטיסטי שאנחנו עושים. ובכל זאת, בבסיס, אני חושב שיש בו את אותה בעיה שיש בשאלה עם הקופסה ושני הכדורים.
אז ככה 335320
אני לא חושב שהמתימטיקה היא העיקר בטיעון של פסקל. היא רק דרך לבטא משהו. כשהוא אומר שיש 50% סיכוי שאלוהים קיים, העיקר בנתון הזה הוא להבין שבעצם אין לנו ולא יכול להיות לנו ידיעה של התשובה לשאלה הזאת. זו לא הסתברות במובן של הדוגמאות שאתה נותן.
כשהוא אומר אינסוף הוא משתמש במספר (שהוא לא בדיוק מספר) אבל הוא מתכוון למשהו ממשי. הוא מתכוון לטוב האבסולוטי שחורג מכל מה שמספרים (או מלים) יכולים לבטא.
ההימור בעצם אינו הימור כלל (שזו הפואנטה של הטיעון) מפני שבבחירתך להאמין, הסיכוי לזכות בטוב המוחלט נמצא איתך במהלך חייך, וכבר דרכו אתה מרוויח. אמנם זהו לכאורה רק סיכוי, אבל זה סיכוי לזכות בטוב המוחלט, בעוד שטובות העולם הזה, הגם שהן וודאיות, הן סופיות.

---

במה שונה הדוגמה עם הכדורים? גם כאן נתת לי הרבה מאוד אינפורמציה.
אז ככה 335330
"כשהוא אומר שיש 50% סיכוי..." - לא נקודה מרכזית בטיעונים שלך, אבל בכל זאת: הטיעון שבו אנחנו עוסקים, המכונה "טיעון פסקל" טוען שההסתברות לקיומו של אלוהים לא רלוונטית.

"ההימור בעצם אינו הימור..." - למה לא הימור? אם לא בטוח שתרוויח, זה הימור. הימור כדאי אולי, אבל הימור (בלי קונוטציות שליליות של המילה).

באופן כללי, אני חושב שהדיון מעל הקו קצת מיצה את עצמו.

---

לעומת זאת, מתחת לקו, הדיון רק התחיל: האם האינפורמציה הזאת מאפשרת לך לומר לי מה ההסתברות ששניהם שחורים?
אז ככה 335758
---

ההסתברות ששניהם שחורים היא, אאל"ט, 0.25. יש שני כדורים (2) ושני מצבים אפשריים (2), כך שהמצבים האפשריים של המערכת מונים 2 בחזקת 2 = 4. מצב שבו שני הכדורים שחורים הוא מצב אחד מבין הארבעה, ולכן 1\4 = 0.25. (לא?).
בשביל להגיע למספר הזה הייתי צריך לדעת את מספר הכדורים, מספר המצבים האפשריים ומה נדרש כדי להגיע למצב הנדרש. את כל המידע הזה סיפקת לי. אילולא היה לי, לא יכולתי לחשב את ההסתברות.

עכשיו אני אתן דוגמה. בוא נניח שבעקבות השיחה הזאת אני מזמין אותך לביתי ומציג בפניך קופסה. מה הסיכוי, מבחינתך, שיש בה כדורים?
אז ככה 335769
---

שים לב, אתה אומר שבגלל שאין לנו מידע על כדור א', ההסתברות שהוא יהיה שחור היא 50%, וכנ"ל לגבי סעיף ב'.
אני מציע פתרון אחר: אני לא יודע שום דבר על זוג הכדורים, ולכן הסיכוי שהם יהיו שחורים הוא 50%.
ברור שיש לנו נטייה פסיכולוגית לפרק את הטענה "שני הכדורים שחורים" לשתי טענות נפרדות (ולהגיע לתוצאה של 25%), אבל אני לא רואה הצדקה מתמטית לכך. לכן, לדעתי, ההסתברות לא מוגדרת.

גם במקרה שהבאת, ההסתברות לדעתי לא מוגדרת, ואיננה 50%.
אז ככה 335777
אני לא חושב שסטטיסטיקאי יסכים איתך. נראה לי שכל הפואנטה בחישובים סטטיסטיים היא לקחת את כל המידע שיש לנו, להתעלם מזה שאין לנו, ולעשות את החישוב. זו אינה נטייה פסיכולוגית אלא המתודה הסטטיסטית (שמישהו יתקן אותי אם אני טועה כי אין לי בעצם מושג בנידון).

לגבי המקרה שהבאתי, אני מסכים איתך שההסתברות לא מוגדרת. כזו היא גם ההסתברות לקיומו של אלוהים. כלומר, ההסתברות שהוא קיים לא עולה ולא נופלת מההסתברות שהוא איננו. 50% היא דרך פשטנית (ואולי שגויה במונחים של היום) להגיד בדיוק את זה.
אז ככה 336021
נה, נה.

אם הייתי מציע לך התערבות בתנאים שתוארו (את הכדורים שם מישהו שלישי שסולד משנינו באותה מידה), אני בטוח שהיית לוקח 25% בתור ההסתברות.

אהה, אתה טוען שלא היית מסכים להתערב כלל? יש בינינו תסריטאי צעיר שבדיוק עכשיו מכר את התסריט על מלחמות הפלישתים לשפילברג, והוא ישמח לטוות לך סיפור על חייזרים שחוטפים את שנינו ומכריחים אותך להתערב. ה line שלהם הוא 30% והם עורכים את הניסוי 100 פעמים, ובסיומו אחד מאיתנו מוצא להורג והשני נלקח לסיור מרתק באנדרומדה. אתה צריך לבחור אם אתה משחק מעל ה line או מתחתיו. סרוב לשתף פעולה מעביר את זכות הבחירה אלי.

3...2...1... מצטער, ידידי, מאוחר מדי. אני בוחר מתחת לקו.
אז ככה 336022
לא הבנתי את תנאי ההתערבות. מה פירוש "ה line שלהם הוא 30%"?
אז ככה 336038
מתוך 100 הנסיונות שייערכו, הצעיר צריך להחליט אם יצאו שני כדורים שחורים ביותר מ 30 מקרים, בפחות משלושים מקרים או שהוא מעביר את זכות הבחירה אלי.

הכדים, אגב, נחתמו עוד לפני שהצעיר ואני נבחרנו באקראי מתוך אוכלוסיית האיילים להשתתף במשחק (כדי למנוע את הספקולציות המיותרות על מה החייזרים עושים כדי להבטיח את חברתי הנעימה במסע הגלקטי המתוכנן).
אז ככה 336053
אהה. לפי הבטחון שאתה מפגין כאן, נראה שברור שהם בחרו בך ובצעיר.
ובכל אופן, למקרה שינסו עוד צמד מהאיילים, אשמח לדעת מה חביב יותר - הוצאה להורג או טיול באנדרומדה.
אז ככה 336222
גם אני די בטוח שהייתי לוקח 25%, אבל לא מהסיבות הנכונות. מההכרות שלי עם עצמי, אני לא נוטה לחשוב על דברים לעומק כשחייזרים חוטפים אותי ומאיימים להוציא אותי להורג.

אגב, סטיבן מוסר ד"ש.
אז ככה 337041
אני מהמר כמוך, וכמו רוב האנשים, אבל לדעתי אנחנו מכניסים כאן הנחה סמויה, לפיה עבור החייזרים שחור ולבן הם סימטריים. אם היינו יודעים שהמין הזה של חייזרים מתעב שחור, איך היה משתנה הליין? תגיד - בלי אם, נסתכל על העניין בלי הנחות נוספות. אבל ה"אם" הזה הוא בבירור הנחה לא-מתמטית, ולדעתי גם העדרו הוא הנחה לא-מתמטית. ומכיוון שמדובר בהנחה לא מתמטית, לא הייתי רוצה לשנות את הגדרת ההסתברות כדי לתמוך בה.
אז ככה 337142
כיוון שהם מתעבים שחור הם שמים את כל הכדורים השחורים בכד. או להיפך.
אז ככה 337707
בהיעדר כל ידיעה על החייזרים אין לנו דרך להעדיף צבע אחד על השני, ולכן ההחלטה להעניק לכל אחד מהם משקל שווה נראית לי כמתמטית בעליל: על פי המידע שבידי ישנם כאן שני מצבים סימטריים, ולכן אני מעניק לכל אחד אותה הסתברות. לא ברור לי מה ההבדל בין זה לבין הענקת הסתברות כזאת לכך שייצא לי "עץ" בהטלת המטבע הבאה.
אז ככה 337763
אכן, אם לא נתון שהמטבע הוגן, אני לא אייחס (בשיח מתמטי ריגורוזי) הסתברות לכך שייצא עץ. האמת היא שאין לי נימוק חזק למה אסור להניח סימטריה בהיעדר ידע; אני גם לא רואה שלך יש נימוק חזק למה צריך להניח סימטריה בהיעדר ידע. אבל נראה לי שהנחת הסימטריה היא אקסיומה נוספת, שאפשר לוותר עליה. אמנם במחיר זה שנוותר על הסתברות בכל מצב מעשי. מצד שני, ספק אם אפס ידע הוא מצב מעשי במיוחד; ובשיטתך, אני לא רואה מה אתה עושה עם ידע חלקי (החייזרים די אוהבים שחור).
אז ככה 337765
"אם לא נתון שהמטבע הוגן, אני לא אייחס (בשיח מתמטי ריגורוזי) הסתברות לכך שייצא עץ".
ובמטבע הוגן ייצא עץ? יש בימנו מטבעות מעץ?
אז ככה 337859
''שיח מתמטי ריגורוזי'' הוא מעבר ליכולתי.
אז ככה 337860
מה זאת אומרת "למה צריך להניח סימטרייה"? עוד לא קראת את מר שדמי?
LOL <מוחה דמעה> 337953
A rose by any other name 337867
הנחת הסימטריה נובעת מחוסר יכולתי להצדיק העדפה של אחד מהמצבים. הפתרון ''אז בואו לא נגדיר הסתברות במקרה זה'' אינו עומד במבחן המעשי, שכן כל הבחירות שלנו מבוססות על מצבים של ידע חלקי, ובהרבה מקרים ''ידע חלקי'' פירושו שעל חלק מהמשתנים אין לנו ידע בכלל.
A rose by any other name 337874
"המבחן המעשי" הוא בעיניי לא מבחן נכון. הרבה מושגים מתמטיים הם בעייתיים מבחינת קיומם בעולם המעשי - נקודה חסרת שטח, למשל. אני מעדיף להגדיר מודל מתמטי שכולל אידיאליזציות (נקודה, קוביה הוגנת), ומחוץ לגדר המתמטיקה להחליט באיזה אופן אני מחיל את המודל לצורך החלטות מעשיות; ואז להיות מודע במפורש להנחות שאינן מתמטיות.

בלי קשר, אני לא משוכנע שהנחת הסימטריה (כהנחת גישור‏1 בין המודל האידיאלי לעולם המעשי) היא פחות שרירותית מלתת העדפה לאחת האפשרויות, אם כי אני פתוח לנימוקי אנטרופיה.

1 אחרי הסימטריה, עוד ד"ש לד"ש.
A rose by any other name 337878
אני מדבר רק על ההחלה של המודל לצורך החלטות מעשיות - זאת הסיבה שאני מתרגם הכל ללשון התערבות. אם אתה, כמוני, שם את הקו על 25% בניסוי הכדים, דומני שאנחנו מחילים אותו באותו אופן.
A rose by any other name 337928
יכול להיות שאשים אותו על 25%, אבל בתחושת אי-נוחות של צעד שהרציונליות שלו מפוקפקת.

אולי זו השאלה המעניינת - עד כמה ההנחה (*) אי-ידיעה -> סימטריה היא רציונלית. נראה לי שמה שיוצא מהדיון הזה הוא שמדובר באקסיומה. וכמו כל האקסיומות ששייכות ליסודות הרציונליות, אין הרבה מה לנמק בהן - קבל או דחה לפי הטעם. אבל אקסיומות אחרות מהמשפחה - אינדוקציה, מודוס פוננס, האוניברסליות של חוקי הפיזיקה - נראות לי אבני יסוד של התבונה, ואני מוכן בלי נימוק ללכת אחריהן באש ובמים, ואילו (*) נראית לי יותר רעועה. הייתי שם אותה אי-שם בשולי הרציונליות.
A rose by any other name 337929
במחשבה שניה, האקסיומה שלנו היא לא בדיוק אי-ידיעה -> סימטריה, אחרת היינו אולי צריכים לקבל את טענתו של ד.ק. שההסתברות לקיום אלוהים היא חצי, ואם לא אותה - אז לפחות שההסתברות ש p=np היא חצי. צריך איזה תיקון שנוגע לפרמטרים שנראים לנו רלוונטיים או לא.
A rose by any other name 337991
נכון מאד. האקסיומה אומרת משהו בנוסח "אם אין דרך להעדיף, אל תעדיף". זה העקרון הידוע תיק"ו, והוא באמת נותן תיקו בתור התוצאה.

לגבי אלוהים, לדעתי יש דרך להעדיף (לא באופן לוגי, נכנסים כאן מה שראובן מכנה "אספקטים פיזיקליים"), ולגבי P=NP כנ"ל (מישהו מוכן להתערב איתי ביחס 1:1?).
A rose by any other name 338056
לא, היא אומרת משהו יותר חזק (גם כשאמרתי "אם לא יודעים, ההסתברות לא מוגדרת" הייתי מסכים לניסוח שלך): "אם אין דרך להעדיף, מוגדרת ההסתברות והיא לפי התפלגות אחידה".
A rose by any other name 338192
''לפי התפלגות אחידה'' שקול בעיני למה שאמרתי.
A rose by any other name 338333
בוודאי. החלק שאותו הדגשתי (ואם לא, דמיין שכן) הוא "מוגדרת ההסתברות". הניסוח שלך "אל תעדיף" מתחמק בנונשלאנטיות מסלע המחלוקת, וטוען בחוצפתו שהוא גורר(!) התפלגות אחידה.
אז ככה 335798
התוצאה נכונה. תיקון קטן לחישוב: אני חושב שיש למערכת שלך 3 מצבים (סדר הכדורים לא משנה). לא כולן בעלות הסתברות שווה. אבל הדרך הנכונה לחישוב היא כך: אתה בוחר פעמיים מתוך אינסוף כדורים שחציים שחורים וחציים לבנים. ההסתברות לכדור שחור בכל בחירה היא חצי וההסתברות ל-‏2 שחורים היא מכפלת ההסתברויות כלומר חצי בריבוע.
אז ככה 335800
למה החלטת שהכדורים "חציים שחורים וחציים לבנים"? למה לא "אתה בוחר פעם אחת מתוך אינסוף זוגות-כדורים שחציים זוגות-שחורים וחציים לא"?

ואיך בכלל האינסוף נכנס לתמונה?
אז ככה 335815
אתה מנסה להתעלם ב"כוח" מן העובדה שיש כאן שתי בחירות.
הכדורים האחרים יכולים להיות לבנים או סתם לא-שחורים.
למי שהאינסוף מפריע יש טקטיקה אחרת: לאחר כל בחירה, מחזירים את הכדור הנבחר למאגר הכללי (כדי שהסתברות הבחירה לא תשתנה).
הערעור הלגיטימי היחיד שיכול להיות לך הוא בכיוון של תלות סמוייה בין שתי הבחירות (בחירות לא "בלתי-תלויות").
אז ככה 335820
"אתה מנסה להתעלם ב'כוח' מן העובדה שיש כאן שתי בחירות."

אמת לאמיתה. כי פסיכולוגית, קשה לי להתעלם מהעובדה שהטענה "שני הכדורים שחורים" מתחלקת "בקלות" לשתי טענות, שלכל אחת מהן נוח לי להצמיד את ההסתברות של 50%. למה? כי אני רגיל לטענות בסגנון. העניין הוא שאני לא רואה סיבה *מתמטית* לחלק את הטענה לשתיים. אנחנו לא יודעים על הטענה "הכדור הראשון שחור" יותר משאנחנו יודעים על הטענה "שני הכדורים שחורים".
בוא ננסה דוגמה אחרת: נניח שאתה לא יודע כלום על העולם. מה ההסתברות שיש לי ביד משהו משולש וירוק?

"הערעור הלגיטימי היחיד..."

הנה עוד אחד: אתה לא יודע שההסתברות לכדור ראשון שחור היא 50%.
אגב, באמת לא אמרתי שהבחירות בלתי-תלויות! אין לך שום דרך לדעת!
אז ככה 335941
מתברר שהמשפט היסודי של תורת המוסר (תגובה 335260) הוא גם המשפט היסודי של תורת ההסתברות! זה מוכרח להיות איזשהו עקרון קוסמי.
אז ככה 336218
חשוב לראות את הדברים בהקשרם:

בתגובה 335224 הביא ד.ק. (בשם פסקל) את הטענה הבאה: "אם אין לנו שום מידע על טענה מסוימת, אזי הסיכוי לה הוא 50%".
אני טענתי שכדי להגדיר הסתברות, המצב צריך למלא כמה דרישות, ובמקרה זה ההסתברות בכלל לא מוגדרת. הבאתי את הדוגמה הבאה: נתונה קופסה ובה שני כדורים, שכל אחד מהם שחור או לבן. מה ההסתברות ששניהם שחורים?
חשוב לשים לב שלא ידוע לנו *כלום* על שני הכדורים. לא ידוע לנו שהצבע של כל אחד נבחר אקראית, לא ידוע לנו שקביעת הצבעים הייתה בלתי תלויה, וכו'.
אני, תוך שימוש בכלל של ד.ק., שאותו רציתי להפריך, הראיתי שתי דרכים סותרות לחשב את ההסתברות:

א. הטענה "שני הכדורים שחורים" היא טענה שלא ידוע לנו עליה כלום, ולפיכך ההסתברות לה הוא 50%.
ב. הדרך היותר אינטואיטיבית לחשב את ההסתברות, שלפיה (ע"פ אותו כלל) ההסתברות היא 25%.

מאחר שאין שום סיבה מתמטית (אלא אם כן פספסתי משהו) להכריע בין הדרכים, בהסתמך *רק* על הנתונים לא ניתן להגדיר הסתברות לטענה.

אם כך, מה שאותי מטריד (ובגלל זה אני שמח שהצטרפת לדיון) הוא הדוגמה של המדגם מתגובה 335244 (הפיסקה האחרונה בהערת השוליים). האם במצב המתואר שם מוגדרת ההסתברות המתוארת?
אז ככה 336226
אכן, בהרבה מאד מקרים ההסתברות לא מוגדרת. זה קצת מבלבל, כי אנחנו רגילים לקבל החלטות גם בסיטואציות כאלה, ולפעמים נדמה לנו שעצם ההחלטה (כמו בעלילות שכ"ג והחייזרים) פירושה שהיתה שם הסתברות ובחרנו באפשרות היותר מסתברת.

לגבי המדגם, השאלה הזו שייכת לתורת ההסקה הסטטיסטית. בהנחה שאכן (מלכתחילה) קיימת הסתברות מסויימת לתופעה באוכלוסיה, הנתונים מן המדגם אינם יכולים לשמש כדי לקבוע באופן חד משמעי מהי ההסתברות; אין לנו אפשרות להפוך את התהליך. במקום זה, אפשר *לאמוד* את ההסתברות, בין אם מדובר באמידה נקודתית (שאז אפשר לחשב אומד נראות מקסימלית, 60% במקרה הזה, או אומדים חסרי הטיה), או באמידת רווח בר-סמך (נאמר, "בין 45% ל- 85%, ברמת מובהקות של 90%").
אז ככה 336233
ייתכן, אולי, שההסתברות *לעולם* אינה מוגדרת? למי יש הגדרה טובה ל"הסתברות" (הגדרה שלא משתמשת בעצמה במונחים הסתברותיים)?
אז ככה (כה''ב) 336295
יש כמה גישות שונות למושג ההסתברות. אחת היא "תדירותית" (ההסתברות של מטבע ליפול על "עץ" היא חצי מפני שאם נטיל אותה N פעמים נמצא שהיא נפלה על "עץ" בערך N/2 פעמים, והדיוק ישתפר עם N). אחרת מדברת על "ידיעה חלקית", והיא מתאימה למשל לביטוי "הסיכוי שמחר ירד גשם הוא 30%" שהוא חסר-משמעות בגישה הראשונה. ויש עידונים ושיפורים שונים ומשונים, וגם לא מעט מחלוקת. הגישה הראשונה מיוחסת, בבסיסה, לפון-מיזס, והשנייה הודגשה (נדמה לי) ע"י ג'יינס.

עבור המתמטיקאים, כרגיל, השאלה "הסתברות מהי?" היא בד"כ לא מאוד רלוונטית ("תורת ההסתברות" היא, בקירוב טוב, "תורת המידה כשמידת המרחב היא 1").
אז ככה (כה''ב) 336395
אם זה מענין מישהו, אחת הביקורות על הניסויים של כהנמן וטברסקי (מהם עולה שיש לנו אינטואיציה הסתברותית גרועה) היא שהם השתמשו בהגדרה הראשונה, בעוד האינטואיציה שלנו עובדת עם השניה. לצערי לא ממש הבנתי את הטיעון הזה, כי בלי קשר להגדרה התוצאות המספריות אינן במחלוקת.
אז ככה (כה''ב) 336914
הגישה הראשונה שאתה מציע מכניסה את מושג ההסתברות בדלת האחורית (כי "הדיוק ישתפר עם N" לא בהכרח, כלומר רק ב*סבירות גבוהה*). בגישה השניה אני לא מוצא הגדרה להסתברות.

השאלה שלי היתה גם אינפורמטיבית, אבל בעיקר נורמטיבית. ניסיתי להציע שהבעיה שהאייל הצעיר (תגובה 335244) מעלה אופיינית לא רק למקרה הספציפי שהוא מציג, אלא לכל (או כמעט לכל) יישום-בפועל של מונחים הסתברותיים.
אז ככה 336989
רק ניסיתי לעזור.

1. אלו לא גישות "שאני מציע". לא מגיע לי הקרדיט הזה.

2. כאשר N שואף לאינסוף, הסטייה מ-N/2 תשאף ל-‏0. לא בסבירות גבוהה, אלא בהכרח.

3. לא ניסיתי לתת הגדרה להסתברות (אין כזו, ע"ע 4), אלא להסביר איך מפרשים את המושג, וגם את זה לא ממש עשיתי מפאת קוצר-זמן וחוסר עניין לציבור (שכחתי להזכיר שהגישה הזו מכונה "בייזיאנית").

4. להגדיר "הסתברות", כמו להגדיר "זמן", זו בעייה פילוסופית קצת צדדית ודי בעייתית (להגדיר דרך מה? ממה מתחילים?). יותר מעניין לבחון את השאלה "מה זה עושה" או "איך עובדים עם זה", וזה המקום בו נכנסות הגישות השונות למושג.

5. אני לא חושב שאני מסכים עם "הבעיה... אופיינית לא רק למקרה הספציפי שהוא מציג, אלא לכל (או כמעט לכל) יישום-בפועל של מונחים הסתברותיים", אבל אולי אני לא מבין את הטענה.
אז ככה 337035
האם ההוכחה של 2 לא מסתמכת על מושגים הסתברותיים - ולכן, לצרכינו, זו הגדרה מעגלית?
אז ככה 337068
לא, זו אינה הוכחה. אני לא מוכיח שהמטבע תיפול על "עץ" 50% מהפעמים בדיוק משתפר והולך; אני אפילו לא יודע אם זה נכון. אני רק אומר שהתופעה הזו, אם היא מתרחשת, קוראים לה בקיצור "המטבע נופלת על עץ בהסתברות 50%".
אז ככה 337114
לפעמים, לאותו הצד יש שני מטבעות.

המלצה: http://www.imdb.com/title/tt0100519/

עץ, עץ, עץ, עץ, עץ, עץ... אולי עכשיו? הממ... עץ.
אז ככה 337116
טרם הספיקותי לעיין בסרט, אבל ראיתי את ההצגה (ב''גשר'', מזמן).
אז ככה 337128
ב"גשר" מזמן? אני ראיתי את זה ב"חאן" כשיבגני אריה אפילו לא חלם לעלות לארץ.
אז ככה 337152
2. לא בהכרח, אלא בהסתברות 1...
אז ככה 337155
:-) חיכיתי לזה...
אז ככה 337193
זה לא בהכרח מקלקל את הטיעון. אני חושב שצריך להיות יותר קל להגדיר לאילו דברים יש הסתברות 0 (או 1) מאשר להגדיר מה זו הסתברות.
אז ככה 337044
נדמה לי שבלבלת בין שתי בעיות. אחת היא האם וכיצד *מושג* ההסתברות מוגדר. בעיה פילוסופית קשה, אין פתרון. השניה היא - בהינתן מושג ההסתברות המתמטי, האם בתיאור מצב נתון מוגדרת ההסתברות‏1, כלומר מידת ההסתברות. בעיה מתמטית, לרוב לא קשה, לפעמים כן ולפעמים לא.

1 ואני נזכר בפתיל אחר שבו השתתפתי לאחרונה, לשוני בכלל, על היידוע של מושגים מופשטים.
אז ככה 337317
אני לא בטוח ששתי הבעיות כל כך נפרדות במקרה של ההסתברות, אבל אני התכוונתי בעיקר לבעיה השניה.
הקשר בין הבעיות מתבטא, למשל, במה שאלון כותב בתגובה 337068 (אם הבנתי אותו נכון): הרי לא קיימים מקרים שקורים אינסוף פעמים; אני מתקשה לראות איך מקרה יכול לקרות פעמיים. יוצא מכאן שההסתברות לא מוגדרת באף מקרה ספציפי, *וגם* שיש בעיה בהבנה שלנו את מושג ההסתברות.
אז ככה 337328
אבל במתמטיקה כמו במתמטיקה, גם אם לא ניתן להגדיר הסתברות לאף מאורע מציאותי, זה לא מונע מאיתנו להגדיר את המושג "הסתברות" ולטעון לגביו טענות.

אז ככה 337335
כן, אבל (נדמה לי ש) כל הדיון התחיל מזה שאתה טענת לגבי מאורע מציאותי ספציפי, שההסתברות להתרחשותו איננה מוגדרת. בהקשר הזה, לטענה ''לשום מאורע מציאותי לא מוגדרת הסתברות'' יש השלכות מרחיקות לכת.
אז ככה 337337
בהחלט. אני רק "פרשנתי" את תגובה 337044.
אז ככה 337593
הבה נחדד: "אני הולך לזרוק קוביה הוגנת פעם אחת. מה ההסתברות שיצא שש?" - לשאלה הזו יש תשובה מתמטית, ההסתברות מוגדרת (גם אם מבחינה פילוסופית היא בעייתית). "אין לנו טיעון חזק בעד או נגד קיום אלוהים; מה ההסתברות שהוא קיים?" - אין תשובה מתמטית, ההסתברות לא מוגדרת (בפרט, התשובה של ד. ק. "חצי" היא שגויה).
אז ככה 337624
לא כל כך הבנתי למה ההסתברות לא מוגדרת. נניח שאני אומר "לפני שתי דקות זרקתי קוביה לא הוגנת. מה ההסתברות שיצא שש?"

האם במקרה הזה ההסתברות מוגדרת, ופשוט לא ידועה? אם כן, מה ההבדל? בשני המקרים מדובר על אירוע ש*כבר קרה* ושאין דרך מתמטית פשוטה (שיקולי סימטריה במקרה של הקוביה) להסיק מה ההסתברות שלו.
אז ככה 337628
אתה יכול להטיל שוב את הקוביה בתנאים מספיק דומים כמה פעמים שרק תרצה, ואז תיווכח שהיחס בין התוצאות השונות, אם תזניח את הפעמים הבודדות שהקוביה נעמדה על מקצועה או קודקוד, הוא 1:1:1:1:1:1, או שכל פאה הייתה העליונה בערך בשישית מההטלות. האם זה ימשיך ככה? אני מקבל את זה כאקסיומה (או כהיסק קצר מאקסיומה כללית יותר), אתה תקבל את כאקסיומה, כולנו נקבל את זה כאקסיומה. זה מתאים לאינטואיציה שלנו, וזה מוכח אמפירית בכל ניסוי כמעט. אם נטיל ספק בזה, מה כן נקבל כמובן מאליו?

אבל אתה לא יכול להתחיל את היקום מחדש, ולבדוק בכמה מהפעמים היה בבסיסו אלוהים העונה על הגדרתך, ובכמה פעמים לא. ואם אתה לא יכול לעשות את זה, איך תמדוד את ההסתברות של המאורע? אתה לא יכול להניח כברירת מחדל שמרחב ההתסברות הנידון הוא סימטרי בין "יש אלוהים (כהגדרתי)" ו"אין". חשוב לרגע מה היה קורה אם היית עושה הנחה דומה עם הטלת הקוביה - "או שהקוביה נחתה על שש, או שלא - הסתברות של חצי לכל אחת משתי האפשרויות."

כשאתה מצמיד הסתברות למאורע, אתה אומר בעצם מה תהיה ההסתברות שהוא יקרה, לא שהוא כבר קרה. אחרי שהוא קרה, ההסתברות שהוא קרה היא אחת או אפס[*]. בגלל שאתה לא יודע איזה מן השניים, צומחת לך תועלת מהתרגיל המחשבתי של העמדת פנים שהמאורע טרם קרה.

[*] - וגם לפני כן, אם המציאות דטרמיניסטית. אבל זה עדיין לא הופך את התרגיל המחשבתי הנ"ל לפחות מועיל עבורך.
אז ככה 337630
תודה, אבל אני לא מסכים עם ההפרדה שאתה מבצע. ראשית, אין בעיה להגיד "נזרקה קוביה לא הוגנת לפני מאה שנים, ולפני חמישים שנה היא נגרסה לחצץ" ואז היכולת שלי להטיל שוב ושוב את הקוביה זהה ליכולת שלי להתחיל את היקום מחדש שוב ושוב (כמובן שאפשר לעשות זאת בניסוי מחשבתי - אבל אפשר לעשות זאת גם לקוביה וגם ליקום).

שנית, אמרתי בפירוש שהקוביה נזרקה *בעבר*. אם אתה מצמיד הסתברות שאינה או 0 או 1 בהכרח אליה, אין שום סיבה לא להצמיד גם לאלוהים הסתברות שכזו.

שלישית, אני בהחלט מסכים שאני לא יכול למדוד את ההסתברות של המאורע "אלוהים קיים" וחס ושלום שאני אניח שהוא סימטרי. אבל בין "ההסתברות ניתנת למדידה על ידי והיא סימטרית" ובין "ההסתברות לא מוגדרת" יש הרבה מרחק. גם במקרה של הקוביה (מכיוון שאיננה הוגנת) אי אפשר לעשות משהו דומה ולכן לא ברור איך אפשר לדעת את ההסתברויות במקרה שלה פרט למה שהצעת - להטיל שוב ושוב, וזה בלתי אפשרי.
אז ככה 337631
אבל אתה יכול להטיל קוביה דומה מספיק, בתנאי הטלה מספיק דומים. אתה לא יכול לעשות שום דבר דומה ליקום ול"אלוהים".

הקוביה אכן נזרקה בעבר, והסתברות יש רק לאירועים שטרם התרחשו. אבל מבחינת *השימוש* שאתה עושה בערך ההסתברותי שאתה מחשב, מעניינת אותך ההסתברות שהייתה למאורע (יצא שש) להתרחש טרם רגע ההכרעה (ההטלה). יש לערך הזה שימוש עבורך, גם עכשיו, אחרי שהקוביה הוטלה. אתה אומר "ההסתברות שיצא שש", אבל מה שאתה באמת מתכוון, או מה שאתה צריך להתכוון, הוא "ההסתברות שהייתה טרם ההטלה שהיא תניב שש".

פסקה שלישית - לא לכל דבר מוגדרת הסתברות. ל"שוקי ירוק ביצה אדומה" יש הסתברות? אפילו משמעות אין לזה. כשאני מחשב את ההסתברות של תוצאה מסויימת להטלת קוביה, אני יוצא מההנחה שאני מסוגל לשחזר את התנאים. בלי ההנחה הזאת, המשפט "ההסתברות שיצא שש היא שישית" הוא סתם בליל מילים.
אז ככה 337634
מה זו "קוביה דומה מספיק"? איך אני יודע שהקוביה באמת דומה? לא ידעתי כלום על הקוביה המקורית חוץ מזה שהיא לא הוגנת. בלי שתהיה לי קוביה דומה מספיק אני צריך להסתמך על ניסוי מחשבתי, שניתן להחיל גם על היקום ואלוהים.

גם במקרה של אלוהים מעניינת אותי ההסתברות שהייתה למאורע (יהיה אלוהים) טרם רגע ההכרעה (היווצרות היקום).

בוודאי שלא לכל דבר יש הסתברות, אבל אני לא מסכים עם ההפרדה שאתה מבצע שאומרת שבמקרה של הקוביה יש הסתברות ובמקרה של אלוהים אין. כאמור, גם במקרה של הקוביה אני לא מסוגל לשחזר את התנאים אבל לא נראה לי בעייתי לדבר על זה שקיימת הסתברות במקרה הזה - אני פשוט מוגבל מדי מכדי לדעת מה היא הייתה.
אז ככה 337643
המאורע "יש אלוהים" לא מוגדר היטב, "טרם היווצרות היקום" לא מוגדר היטב, לא ברור אם בכלל האחד היה לפני השני, או מה זה בעצם אומר... הדיון פשוט עקר.

אני לא אומר שבמקרה של הקוביה יש הסתברות. אני אומר *שהייתה*, ושערכה עדיין מעניין אותנו גם אחרי ביצוע הניסוי, לפחות עד הרגע שבו אנחנו מסתכלים בקוביה ומגלים מה אכן קרה בניסוי. מה היה "לפני שנוצר היקום" או "לפני שאלוהים נוצר, או לפני שהוא לא נוצר"... איך אפשר לדבר על זה, ולמה בכלל כדאי?

[צ] "אני לא מסוגל לשחזר את התנאים אבל לא נראה לי בעייתי לדבר על זה שקיימת הסתברות במקרה הזה - אני פשוט מוגבל מדי מכדי לדעת מה היא הייתה." [/צ] - אולי כדאי שנסכים על הגדרה של "הסתברות" לפני שנמשיך את הדיון?
אז ככה 337678
נראה לי שהדיון די מיצה את עצמו ואין מה להמשיך. מעכשיו זה סתם ויכוח על הגדרות יסוד.
אז ככה 337933
המאורע ''יש אלוהים'' לא יכול להיות מוגדר כי לא ידוע מהו אלוהים.

''לפני שנוצר היקום'' מניח היווצרות וזוהי השערה ולא עובדה מוכחת.

הסתברות זה מונח סטטיסטי שאינו קיים אצל מאמין, מאמין שמניח הסתברות חייב להניח גם אפשרות שלילית, לשם כך הוא מפסיק להאמין.
אז ככה 337955
שתי שורות ראשונות שלך - אז אנחנו חוזרים אחד על הדברים של השני עכשיו? זה מה שאנחנו עושים?
אז ככה 337957
ככה זה עם מנטרות פבלוביות. זה מדבק.
אז ככה 337638
הנטייה שלי היא לומר שאכן גם במקרה זה ההסתברות *לא* מוגדרת. תנאי הכרחי לכך שההסתברות מוגדרת הוא שיהיו לנו מספיק נתונים.

אני מניח שיש דרכים אחרות להסתכל על זה, וגם זו של דורפל מקובלת עלי. כדי להיות יותר זהיר, אני מוכן לסגת מהעמדה כי ההסתברות לא מוגדרת, לעמדה כי כל תשובה מספרית לשאלה "מהי ההסתברות" בשני המקרים, ואפילו מתן חסם יותר הדוק מאפס או אחד, היא שגויה. אני מוכן, באי-נוחות, לחיות עם הקביעה שההסתברות לקיומו של אלוהים היא בין אפס לאחד (כולל).
אז ככה 337679
אם כך אז אנחנו מסכימים: גם לדעתי ההסתברות קיימת, אבל לא ידועה לנו.
אז ככה 337820
כן, אבל אני לא רואה משמעות אחרת לביטוי "קוביה הוגנת" מלבד "קוביה שה*הסתברות* מתחלקת שווה-בשווה בין כל צלעותיה". ההסתברות מוגדרת כאן, אמנם, אבל באופן מעגלי.
אז ככה 337826
נכון שההסתברות מוגדרת מתוך משיכה בציצת הראש שלה עצמה, ושהנחת הקוביה ההוגנת היא הנחה על הסתברות. אבל אין כאן בעיה *מתמטית*: הנחנו הסתברות אחידה, ועכשיו אנחנו יכולים להמשיך לעבוד. מה זה אומר שההסתברות היא אחידה? זה אצל פופטיץ הפילוסוף.
אז ככה 337892
אבל זה לא רק שהנחת הקוביה ההוגנת היא הנחה על הסתברות. הנחת הקוביה ההוגנת היא הנחה שלוקחת את המקרה שאתה מתאר מהתחום המציאותי אל תחום ההפשטה המתימטית. הרי אם אתה לוקח את ההנחה הזאת כהנחה אודות המצב המציאותי שבו מתרחש הניסוי ("הקוביה בנויה כך שהיא נוטה ליפול על פאותיה בהתפלגות בערך-שוויונית") ולא כהנחה מתימטית ("לצורך השאלה אנחנו מניחים שההתפלגות היא שוויונית"), תמיד יישארו לך תרחישים שאותם לא חזית מראש ולא הכנסת להנחות שלך, שעשויים לשנות את התוצאה: הקוביה היא אמנם הוגנת, אבל המשטח שהיא נופלת עליו לא הוגן (למשל), או שהזורק התמחה בלרמות בעזרת קוביות הוגנות (עוד משל), וכו'; ואז בכלל לא בטוח שההסתברות היא באמת 1/6. לכן ברגע שאתה מכניס את הנחת ההסתברות ההוגנת אתה בסך הכל מצליח להגדיר הסתברות לאירוע *מתימטי*, לא לאירוע במציאות. לאירועים מציאותיים אף פעם לא מוגדרת הסתברות, באותו מובן (ומאותם נימוקים) שבו לאירוע של "מציאות האל" לא מוגדרת הסתברות.
אז ככה 337930
בהחלט. אבל כשאתה בוחן אירועים מציאותיים, יש לך אפשרות לדון עד כמה סביר להחיל עליהם את המודל המתמטי. אם אתה קונה משחק חדש מהחנות, ותוהה על הקוביה שהגיעה בתוכו, אתה יכול לבצע כל מיני היסקי סבירות ולהגיע למסקנה שסביר להניח שהקוביה קרובה מאוד להיות הוגנת (למשל: לפי המראה שלה היא קרובה להיות סימטרית במידותיה; לפי הידע שלי בפיזיקה סימטריה או כמעט-סימטריה במידות של עצם דמוי-קוביה‏1 מבטיחות התפלגות כמעט אחידה בתוצאה; (סיטואציה אחרת) בקזינו יש מפקח מטעם המשרד לרגולציית הימורים שבודק את התקינות של הקוביות; וכו'). אתה יכול להוסיף גם את ההנחה מהפתיל שלי עם שכ"ג, לפיה אי-ידיעה, בתנאים מסוימים, גוררת סימטריה של הסתברות. אני לא רואה אילו היסקים דומים אפשר לעשות בנוגע למציאות האל - חוץ משלל הנימוקים המוכרים לעייפה למה חייב להיות אלוהים או לא ייתכן שיש אלוהים, ומה זה בכלל אלוהים, אבל אם נכנסים לדיונים כאלה ממילא יוצא העוקץ מהשאלה ההסתברותית.

1 קוביה כאן במשמעות של הצורה ההנדסית, להבדיל מקובית משחק.
אז ככה 338030
מה שניסיתי לומר זה שההנחה של "אי-ידיעה, בתנאים מסוימים, גוררת סימטריה של הסתברות" היא הכרחית *תמיד*, כדי שתוכל להתעלם בנוחות מכל הדברים שאתה בהכרח לא-יודע ברקע של המקרה שעומד להתרחש (אולי הצליחו לרמות את המפקחים של הקזינו וכו'). ואני לא רואה דרך לבצע את התיקון שאתה מחפש בתגובה 337929 , תיקון שיסביר למה אפשר להחיל את ההנחה הזו במקרים מסויימים (זריקת קוביה) ואי אפשר להחיל אותה במקרים אחרים (קיום האל).
אז ככה 338040
אני איתך בעניין הזה (וראה תגובה 337867 ).
אז ככה 338055
אז אתה כן חושב שהסיכוי לקיום אלוהים הוא חצי?
אז ככה 338057
פתאום נשמע לי ממש מטופש לומר "ההסתברות לקיום אלוהים היא חצי". איזה אלוהים? אלוהי היהודים, אלוהי הנוצרים או אלוהי המוסלמים? (הם לא אותו אחד, כי כל אחד הפסיק לשלוח נביאים בשלב מתקדם יותר). האם ההסתברות לקיום כל אחד מהם היא חצי? לא מסתדר לי כל כך מבחינה מתמטית.
אז ככה 338092
אם הוא איתי, אז לא. אני לוקח ברצינות את הטענה שלי: הסתברות מוגדרת רק למצבים מתימטיים, לא למצבים במציאות.
אז ככה 338202
לא, אני חושב שיש לנו מספיק ידע (''פיזיקלי'' אם תרצה) כדי להעדיף אחת האפשרויות, בדיוק כמו בהחלטה לגבי הדרקון הוורוד ההוא. זאת הסיבה שאינני מגדיר את עצמי כאגנוסטיקן אלא כאתאיסט.
אז ככה 338334
(ברור. רק רציתי שתבהיר שלחלק הזה אצל עומר אתה לא מסכים. ולאור הבהרתו האחרונה של עומר, כנראה שאתה לא מסכים איתו גם על כל השאר.)
אז ככה 338372
היי, "לחלק הזה אצל עומר" גם אני לא מסכים! (תגובה 338092)
  אז ככה • ירדן ניר-בוכבינדר
  אז ככה • עומר
  אז ככה • שוטה הכפר הגלובלי
  אז ככה • ראובן
  אז ככה • שוטה הכפר הגלובלי
  אז ככה • אלון עמית
  אז ככה • שוטה הכפר הגלובלי
  אז ככה • אלון עמית
  אז ככה • אביב י.
  אז ככה • אלון עמית
  אז ככה • גדי ו.
  אז ככה • אורי גוראל-גורביץ'
  אז ככה • אלון עמית
  אז ככה • אורי גוראל-גורביץ'
  אז ככה • שוקי שמאל
  אז ככה • אלון עמית
  אז ככה • שוקי שמאל
  אז ככה • שוקי שמאל
  אז ככה • האייל האלמוני
  אז ככה • שוטה הכפר הגלובלי
  אז ככה • דורפל
  אז ככה • שוטה הכפר הגלובלי
  אז ככה • דורפל
  אז ככה • שוטה הכפר הגלובלי
  בייסיאני בועז זברה שלוש אנטרופיה. • אורי גוראל-גורביץ'
  אז ככה • דורפל
  אז ככה • שוטה הכפר הגלובלי
  אז ככה • דורפל
  אז ככה • שוטה הכפר הגלובלי
  אז ככה • דורפל
  אז ככה • אורי גוראל-גורביץ'
  לא תרים, בחטיפה? • שוטה הכפר הגלובלי
  לא תרים, בחטיפה? • אלון עמית
  אז ככה • ראובן
  אז ככה • שוטה הכפר הגלובלי
  אז ככה • ראובן
  אז ככה • שוטה הכפר הגלובלי
  אז ככה • גדי ו.
  אז ככה • שוטה הכפר הגלובלי
  אז ככה • ראובן
  אז ככה • שוטה הכפר הגלובלי
  אז ככה • ראובן
  אז ככה • גדי ו.
  אז ככה • שוטה הכפר הגלובלי
  אז ככה • ראובן
  אז ככה • ראובן
  אז ככה • דורפל
  אז ככה • גדי אלכסנדרוביץ'
  אז ככה • שוטה הכפר הגלובלי
  אז ככה • ראובן
  אז ככה • אלון עמית
  אז ככה • גדי ו.
  אז ככה • גדי ו.
  אז ככה • ראובן
  אז ככה • שוטה הכפר הגלובלי
  אז ככה • ראובן
  אז ככה • שוטה הכפר הגלובלי
  אז ככה • ראובן
  אז ככה • שוטה הכפר הגלובלי
  אז ככה • ראובן
  אז ככה • שוטה הכפר הגלובלי
  פארדוקס גיבס • ראובן
  פארדוקס גיבס • שוטה הכפר הגלובלי
  אז ככה • האייל האלמוני
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • דורון הגלילי
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • ה.ב.נ
  אז ככה • גדי אלכסנדרוביץ'
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • גדי אלכסנדרוביץ'
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • קהלת
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • אביב י.
  אז ככה • אביב י.
  אז ככה • קהלת
  אז ככה • אביב י.
  אז ככה • עומר
  אז ככה • האייל האלמוני
  אז ככה • עומר
  אז ככה • דורפל
  אז ככה • האייל האלמוני
  אז ככה • מקובל מקובה
  אז ככה • האייל האלמוני
  אז ככה • קהלת
  אז ככה • אביב י.
  אז ככה • האייל האלמוני
  אז ככה • אביב י.
  אז ככה • האייל האלמוני
  אז ככה • אביב י.
  אז ככה • האייל האלמוני
  אז ככה • אביב י.
  אז ככה • האייל האלמוני
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • קהלת
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • כליל החורש נאורי
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • כליל החורש נאורי
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • כליל החורש נאורי
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • כליל החורש נאורי
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • שוטה הכפר הגלובלי
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • דורפל
  אז ככה • כליל החורש נאורי
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • כליל החורש נאורי
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • כליל החורש נאורי
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • כליל החורש נאורי
  אז ככה • דורון הגלילי
  אז ככה • כליל החורש נאורי
  אז ככה • דורון הגלילי
  אז ככה • כליל החורש נאורי
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • כליל החורש נאורי
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • כליל החורש נאורי
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • כליל החורש נאורי
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • כליל החורש נאורי
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • כליל החורש נאורי
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • כליל החורש נאורי
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • כליל החורש נאורי
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • כליל החורש נאורי
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • יוסי צרי
  אז ככה • יוסי צרי
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • יוסי צרי
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • האייל האלמוני
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • האייל האלמוני
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • האייל האלמוני
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • MRP
  אז ככה • גדי אלכסנדרוביץ'
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • גדי אלכסנדרוביץ'
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • האייל האלמוני
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • יוסי צרי
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • יוסי צרי
  אז ככה • ברקת
  אז ככה • יוסי צרי
  אז ככה • כליל החורש נאורי
  אז ככה • גדי אלכסנדרוביץ'
  אז ככה • האייל האלמוני
  אז ככה • כליל החורש נאורי
  אז ככה • גדי אלכסנדרוביץ'
  אז ככה • כליל החורש נאורי
  אז ככה • גדי אלכסנדרוביץ'
  אז ככה • כליל החורש נאורי
  אז ככה • שוטה הכפר הגלובלי
  אז ככה • האייל המשועשע
  אז ככה • שוטה הכפר הגלובלי
  אז ככה • האייל המשועשע
  אז ככה • שוטה הכפר הגלובלי
  אז ככה • האייל המשועשע
  אז ככה • שוטה הכפר הגלובלי
  אז ככה • האייל המשועשע
  אז ככה • עומר
  אז ככה • גדי אלכסנדרוביץ'
  אז ככה • שוטה הכפר הגלובלי
  אז ככה • גדי אלכסנדרוביץ'
  אז ככה • שוטה הכפר הגלובלי
  אז ככה • יוסי צרי
  אז ככה • גדי אלכסנדרוביץ'
  אז ככה • יוסי צרי
  אז ככה • האייל האלמוני
  אז ככה • יוסי צרי
  אז ככה • האייל האלמוני
  אז ככה • שוטה הכפר הגלובלי
  אז ככה • דורון הגלילי
  אז ככה • האייל האלמוני
  אז ככה • דורון הגלילי
  אז ככה • האייל האלמוני
  אז ככה • ראובן
  אז ככה • דורון הגלילי
  אז ככה • ראובן
  אז ככה • האייל האלמוני
  אז ככה • יוסי צרי
  אז ככה • האייל האלמוני
  בשביל ציטטות של סינים לא צריך להתאמץ • האייל הצעיר
  בשביל ציטטות של סינים לא צריך להתאמץ • שוטה הכפר הגלובלי
  בשביל ציטטות של סינים לא צריך להתאמץ • דורפל
  בשביל ציטטות של סינים לא צריך להתאמץ • שוטה הכפר הגלובלי
  בשביל ציטטות של סינים לא צריך להתאמץ • לא דורפל, מישהו אחר
  בשביל ציטטות של סינים לא צריך להתאמץ • שוטה הכפר הגלובלי
  בשביל ציטטות של סינים לא צריך להתאמץ • האייל הצעיר
  בשביל ציטטות של סינים לא צריך להתאמץ • שוטה הכפר הגלובלי
  בשביל ציטטות של סינים לא צריך להתאמץ • הקשה המקשה
  בשביל ציטטות של סינים לא צריך להתאמץ • האייל הצעיר
  בשביל ציטטות של סינים לא צריך להתאמץ • דורון הגלילי
  איפה היית ב 48' ? • דורון הגלילי
  איפה היית ב 48' ? • האייל הצעיר
  אז ככה • יוסי צרי
  אז ככה • דורפל
  אז ככה • יוסי צרי
  אז ככה • דורפל
  אז ככה • גדי אלכסנדרוביץ'
  ועדת הנצחה מחוזית • ברקת
  ועדת הנצחה מחוזית • דורפל
  ועדת הנצחה מחוזית • ברקת
  ועדת הנצחה מחוזית • האייל האלמוני
  אז ככה • יוסי צרי
  משל? • שוטה הכפר הגלובלי
  אתה שוכח משהו • דורפל
  אתה שוכח משהו • ירדן ניר-בוכבינדר
  אתה שוכח משהו • האייל הצעיר
  אתה שוכח משהו • האייל האלמוני
  אתה שוכח משהו • שוטה הכפר הגלובלי
  אתה שוכח משהו • האייל הצעיר
  אתה שוכח משהו • ראובן
  אז ככה • האייל האלמוני
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • האייל האלמוני
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • הנווד
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • דורפל
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • האייל האלמוני
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • האייל האלמוני
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • האייל האלמוני
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • האייל האלמוני
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • האייל האלמוני
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • האייל האלמוני
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • האייל האלמוני
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • האייל האלמוני
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • האייל האלמוני
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • האייל האלמוני
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • האייל האלמוני
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • דורפל
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • דורפל
  פוקר יהדוק • ראובן
  פוקר יהדוק • דורפל
  פוקר יהדוק • ראובן
  פוקר יהדוק • האייל האלמוני
  פוקר יהדוק • ראובן
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • דורפל
  אז ככה • ד.ק.
  אז ככה • דורפל

חזרה לעמוד הראשי

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים