בתשובה לדורון שדמי, 19/11/05 19:31
מי מכיר את האיש שבקיר? 347416
אני לא ממש בטוח למה הכוונה ב"אלמנט מתמטי שלם", אבל נראה לי שזה עונה על הדרישה: בתורת הקבוצות, כל קבוצה קונקרטית מיוצגת באופן סופי, וכן ניתן להוכיח (במספר סופי של צעדים) שקיימות קבוצות שלא ניתן לייצג באופן סופי בשפה הזאת. מערכת האקסיומות אמנם עוסקת באינסוף, אבל מתארים את המערכת עצמה, כל משפט במערכת וכל הוכחה במערכת באופן סופי!
מי מכיר את האיש שבקיר? 347448
"אני לא ממש בטוח למה הכוונה ב"אלמנט מתמטי שלם""

אלמנט מתמטי שלם הינו אלמנט ש*כולו* בר השגה, לדוגמא:

1) *כל* איבריו של אוסף סופי הם ברי-השגה.

2) אינסוף שלם, הינו *כל* שלמותו בבת-אחת, בין אם הוא מייוצג ע"י קטע סופי רציף לחלוטין או קו אינסופי רציף לחלוטין, כאשר אי-רציפות מוחלטת הינה מרחב קשיר לחלוטין (שאין בו שום תת-אלמנטים).

3) אלמנט מתמטי לא-שלם הינו אוסף אינסופי סדור/לא-סדור כלשהו, אשר אינו מכיל את *כל* איבריו, כי ברגע שהוא מכיל את *כל* איבריו, הוא הופך מייד לאוסף סופי *שכל* איבריו ניתנים להשגה.

הסברתי זאת בבהירות מוחלטת ב:

תגובה 346385

תגובה 346414

תגובה 346721

אני תוהה מדוע אינך יכול להבין את הנ"ל.

אוליי הפעם יועיל כבודו לקרוא את *כל* תגובה 342686 אם הוא *באמת* רוצה להבין אותי?
מי מכיר את האיש שבקיר? 347451
הרעיון הוא פשוט: אוסף אינסופי אינו בר השגה, אבל מערכת אקסיומות שמתארת תכונות מסוימות שלו היא כן בת השגה.
מי מכיר את האיש שבקיר? 347467
"אוסף אינסופי אינו בר השגה, אבל מערכת אקסיומות שמתארת תכונות מסוימות שלו היא כן בת השגה."

אז מה?

אני טוען באקסיומה המנוסחת *סופית* כי *כל* איבריו של אוסף אינסופי אינם ברי-השגה, וזה *בדיוק* מה שמבדיל *קטגורית* בין אוסף *אינסופי* לאוסף סופי או לאלמנט רציף (קשיר) לחלוטין כמו קטע או קו, שאין למצוא בתחומם שום תת-אלמנטים.

כמו-כן ידוע כי מערכת-אקסיומות אשר יש בכוחה לקיים אריתמטיקה של מספרים טבעיים, אינה עיקבית עם היא שלמה (ש*כל* האקסיומות שלה ברי-השגה) לפי משפטי אי-השלמות של גדל.
מי מכיר את האיש שבקיר? 347470
א. אתה מודע לעובדה שאצל גדל המילה "שלמה" מופיעה במשמעות אחרת, נכון?

ב. האם "בר-השגה" משמעותו "ניתן לחישוב (במספר צעדים סופי)"?
מי מכיר את האיש שבקיר? 347515
"א. אתה מודע לעובדה שאצל גדל המילה "שלמה" מופיעה במשמעות אחרת, נכון?"

זוהי *בדיוק* כוונתו של גדל והיא:

שמערכת אקסיומות שיש בכוחה לקיים אריתמטיקה של מספרים טבעיים, תמיד ייתקיימו בה משפטים בלתי-כריעים, אשר יצריכו הוספת אקסיומות נוספות למערכת בניסיון להכריע משפטים אלה, וחוזר חלילה לאינסוף, ולכן מערכות אקסיומטיות כנ"ל הן עיקביות רק עם הן פתוחות להוספת אקסיומות נוספות, ולכן מערכות אקסיומטיות פתוחות לעולם אינן שלמות.

יותר מכך, אם הן שלמות, הריי שניתן בעזרתן להוכיח הכל כולל דבר והיפוכו, ולכן מערכות החזקות דיין בכדי לקיים אריתמטיקה של מספרים טבעיים, *חייבות* להיות בלתי-שלמות בכדי להחשב לעיקביות.

למעשה, אפשר לומר כי כל מערכת אקסיומות העוסקת באוסף אינסופי, היא בלתי-שלמה בהכרח אם אנו רוצים שהיא תהיה עיקבית, ולכן המתמטיקה של האוסף האינסופי היא *פתוחה* בהכרח, ואינה דדוקטיבית-טהורה.
מי מכיר את האיש שבקיר? 347681
"שמערכת אקסיומות שיש בכוחה לקיים אריתמטיקה של מספרים טבעיים, תמיד ייתקיימו בה משפטים בלתי-כריעים"

כן, לזה בדיוק התכוון גדל כשהוא אמר "לא-שלמה". זאת בניגוד להגדרה "שכל האקסיומות שלה ברי-השגה" מתגובה 347467.

"למעשה, אפשר לומר כי כל מערכת אקסיומות העוסקת באוסף אינסופי, היא בלתי-שלמה בהכרח אם אנו רוצים שהיא תהיה עיקבית, ולכן המתמטיקה של האוסף האינסופי היא *פתוחה* בהכרח, ואינה דדוקטיבית-טהורה."

למעשה, אתה טועה. כפי שאלון כבר לימד אותנו:
הגיאומטריה האוקלידית עוסקת באוסף אינסופי, והיא שלמה.
גיאומטריית לובצ'בסקי-בוליאי עוסקת באוסף אינסופי, והיא שלמה.
גיאומטריית רימן עוסקת באוסף אינסופי, והיא שלמה.
תורת השדות הממשיים הסגורים עוסקת באוסף אינסופי, והיא שלמה.

"המתמטיקה של האוסף האינסופי היא *פתוחה* בהכרח, ואינה דדוקטיבית-טהורה"

למה אתה קורא מערכת דדוקטיבית-טהורה?
אי-שלמות הגיאומטריה האוקלידית והלא-אקלידית 348967
"למעשה, אתה טועה. כפי שאלון כבר לימד אותנו:
הגיאומטריה האוקלידית עוסקת באוסף אינסופי, והיא שלמה.
גיאומטריית לובצ'בסקי-בוליאי עוסקת באוסף אינסופי, והיא שלמה.
גיאומטריית רימן עוסקת באוסף אינסופי, והיא שלמה.
תורת השדות הממשיים הסגורים עוסקת באוסף אינסופי, והיא שלמה."

אף אחת מהמערכות האקסיומטיות שציינת אינה שלמה, מן הטעם הפשוט שאין בהן הבחנה קטגורית בין מרחב קשיר-לחלוטין (שאינו ניתן להגדרה במונחים של אוסף) למרחב לא קשיר-לחלוטין (שניתן להגדרה במוניחם של אוסף סדור.לא-סדור).

עם התקיימות ההבחנה, מובן מייד כי אוסף אינסופי כלשהו, אינו שלם בהכרח, כאשר הוא מושווה למרחב קשיר-לחלוטין.
אי-שלמות הגיאומטריה האוקלידית והלא-אקלידית 348970
הלו? לא אמרת "שלום ולא להתראות"?
אי-שלמות הגיאומטריה האוקלידית והלא-אקלידית 348988
שוב אתה מערבב בין "שלמות" של אוסף, ל"שלמות" של מערכת אקסיומות. נכון, זו אותה מילה, אבל המשמעויות שלה שונות. מערכת אקסיומות היא שלמה אם כל טענה _שניתן לנסח בשפה שלה_ ניתנת להוכחה או להפרכה באותה מערכת. התורות שציינתי עונות על הדרישה הזאת.
אי-שלמות הגיאומטריה האוקלידית והלא-אקלידית 349002
אייל צעיר,

אני מגיב כאן לתגובה ישנה שלך, שפיספסתי.

אומר את דברי בפשטות:

מערכת אקסיומות המפרידה קטגורית בין אינסוף שלם (מרחב קשיר-לחלוטין שאיננו ניתן להגדרה במונחים של אוסף) לאינסוף לא-שלם (מרחב לא קשיר-לחלוטין המוגדר במונחים של אוסף), הינה מערכת פתוחה אשר אשר תמיד יתקיימו בה מצבים שאינם ברי-הכרעה, המצריכים הוספת אקסיומות נוספות למערכת.

יותר מכך, הלוגיקה של שניי-מצבים עצמה (זו שאמורה לאפשר הכרעת כל משפט במערכת אקסיומטית סופית) נפתחת והיא אינה ברת-הכרעה כאשר היא עוסקת באינסוף, וניתן לראות זאת בבירור ב- http://www.geocities.com/complementarytheory/PTree.p...
ובדיון המתועד ב-http://www.createforum.com/phpbb/viewtopic.php?t=33&... .

הוכחתי *מעל ומעבר לכל ספק* כי אסכולת המחשבה הקנטוריאנית הינה טעות טראגית, המבוססת על ביטול החשיבה המקבילית (אינטואיטיבית) והסתמכות אך ורק ואך על חשיבה סדרתית (אנליטית), וכל מערכות האקסיומות המבוססות על טעות טראגית זו, דינן להתנדף מן העולם כרגע שטעותן נחשפה.

*וטעותה אכן נחשפה ותמשיך להחשף עד להיותה זכרון טראגי בנבכי ההיסטוריה של התפתחות המדע והתודעה האנושית*
אי-שלמות הגיאומטריה האוקלידית והלא-אקלידית 349025
הולך ואוזל זמנן של מערכות דדוקטיביות, המצטיינות במדידה מדוייקת של "העקומות החינניות" של גופות ציפורים מתות המוטלות לחלל האוויר.

במקומן תתפתחנה מערכות אינדוקטיביות/דדוקטיביות, המצטיינות במדידה מדוייקת של המסלולים הבלתי-צפויים של ציפורים חיות, כאשר אי-וודאות אינה אנטי-תיזה של דיוק (אליבא באסכולת החשיבה הדדוקטיבית-בלבד) אלא תכונה אינהרנטית של המציאות הנחקרת.

לסיום:

Moshe Klein wrote:

Hi Doron:

In the book "The man who loved only numbers" about Poul Erdos it's written that Gödel tried to understand Leibeniz" so it is very clear to me today more the ever, that Leibeniz was right when he wrote that the fundamental problem in the human race is using a wrong language.

What do you think about that, one day before your Travel?

Let me give some analogy:

30 years ago scientists had to kill any living creature, in order to examine it under an electronic microscope.

Today we can examine living creatures without killing them first.

Standard Math has to kill any living insight in order to examine it under the rigorous mathematical microscope, because it has no ability to deal with redundancy and uncertainty as first-order properties of the examined insight.

The result is that standard Math can deal only with trivial problems, which mostly based on black XOR white state of mind, which is a very trivial way of thinking when compared to colorful realm.

Standard Math can deal only with dead flock of birds, but in order to deal with a living flock of birds we need a paradigm-shift in the language of Mathematics and its standard logical reasoning.

It is a very trivial thing to through a dead bird in the air, and then calculate its ballistic path, according to Newtonian calc.

But in order to deal with a living bird thrown in the air, we need a deeper and finer language that does not kill first in order to define its trivial ballistic path.

When a language is tuned to kill first, the first victim is the cognition that uses it, and we can clearly see how most of professional mathematicians around our planet have lost their ability to think freely, without the continuous control of the agreed terms of their community.

Real Mathematics, first of all has to educate its users to develop their natural abstract skills, in such a way that it is not depends on any specific school of thought.

By this educational process, any student and any teacher, learn together and develop together abstract skills through a real-time dialog, which is the heart of the mathematical education.

Gödel's incompleteness theorems clearly show us that any axiomatic system is actually an open framework, which can be deeply changed when deeper insights of its fundamental concepts are invented/discovered by its speakers.

Strictly speaking, rigorous definitions must not kill insights in order to define them, and the best way to do it, is to accept redundancy and uncertainty as welcome first-order properties of the language of Mathematics and its logical reasoning.

Monadic Mathematics is the first mathematical framework that uses redundancy and uncertainty as its first-order properties, as can be shown here:

http://www.geocities.com/complementarytheory/TAP.pdf
אי-שלמות הגיאומטריה האוקלידית והלא-אקלידית 349052
"מערכת אקסיומות המפרידה קטגורית בין אינסוף שלם (מרחב קשיר-לחלוטין שאיננו ניתן להגדרה במונחים של אוסף) לאינסוף לא-שלם (מרחב לא קשיר-לחלוטין המוגדר במונחים של אוסף), הינה מערכת פתוחה אשר אשר תמיד יתקיימו בה מצבים שאינם ברי-הכרעה, המצריכים הוספת אקסיומות נוספות למערכת."

שטויות. וגם אם זה היה נכון, כמו שזה נכון עבור אקסיומות פאנו או ZFC, אז מה?

"יותר מכך, הלוגיקה של שניי-מצבים עצמה (זו שאמורה לאפשר הכרעת כל משפט במערכת אקסיומטית סופית) נפתחת והיא אינה ברת-הכרעה כאשר היא עוסקת באינסוף, וניתן לראות זאת בבירור ב..."

אתה באמת חושב שהציור הצבעוני והטקסט חסר-המשמעות בן 5 השורות מוכיחים משהו? וכנ"ל לגבי ה"דיון" רב-המשתתפים? תן לי שורה ומקום בשורה, ואני אדע תוך מספר צעדים סופי איזה מספר נמצא שם בוודאות גמורה, בלי שום הסתברויות ובלי בטיח.

"הוכחתי *מעל ומעבר לכל ספק*" - זה משעשע שכך אתה קורא לטיעון שרק שני אנשים בכל העולם מקבלים.

"וכל מערכות האקסיומות המבוססות על טעות טראגית זו, דינן להתנדף מן העולם כרגע שטעותן נחשפה." - אני ממתין.

--- הצהרה נבואית בקול דרמטי ---

"וטעותה אכן נחשפה ותמשיך להחשף" - למה שתמשיך להחשף? המערכות אמורות להעלם עם חשיפת הטעות הראשונה, לא?

"עד להיותה זכרון טראגי בנבכי ההיסטוריה של התפתחות המדע והתודעה האנושית" - )-;
אי-שלמות הגיאומטריה האוקלידית והלא-אקלידית 349075
לא נמאס? הרי זה לא שהתשובה שלך אומרת משהו שאינו מובן מאליו, או שהיא תשנה משהו לדורון.
אי-שלמות הגיאומטריה האוקלידית והלא-אקלידית 349081
לתשובות שלי אין השפעה מיידית, אבל בזכותן תגובות כמו תגובה 349002 (זו של דורון שלה הגבתי, עם הסיום הנבואי המלודרמטי) או תגובה 349025 (זו עם הציפורים) באות לעולם. מהן אני דווקא די נהנה (ומתרגז, ומגיב, וחוזר חלילה).
אי-שלמות הגיאומטריה האוקלידית והלא-אקלידית 349129
הכוכבים חוזים לך ביקור נוסף אצל האורתודנט (אלון עמית, בתולה שכמותו, מתכוון לבקר בארץ ולסגור כמה חשבונות).
אי-שלמות הגיאומטריה האוקלידית והלא-אקלידית 349135
תגובה 214551
אי-שלמות הגיאומטריה האוקלידית והלא-אקלידית 349209
אוי ואבוי. אני מתאהבת סדרתית בשוורים מתמטיים, והשמות ''אלון'' ו''עמית'' קרובים במיוחד ללבי... אצטרך להיזהר שלא להיתקל בך אישית בביקוריך כאן...
אי-שלמות הגיאומטריה האוקלידית והלא-אקלידית 349159
''הרי זה לא שהתשובה שלך אומרת משהו שאינו מובן מאליו''

המובן-מאליו אינו אלא המדרגה הנוכחית בגרם-המעלות של הלא-נודע.

רק חמורי-גרם-המעלות טוענים כי דבר לא משתנה תחת פרסותיהם.
אי-שלמות הגיאומטריה האוקלידית והלא-אקלידית 349119
''זה משעשע שכך אתה קורא לטיעון שרק שני אנשים בכל העולם מקבלים.''

אתה צעיר, ותזכה לראות בימי חייך איך עולמך הקנטוריאני מתפוגג.
מי מכיר את האיש שבקיר? 347522
"ב. האם "בר-השגה" משמעותו "ניתן לחישוב (במספר צעדים סופי)"?"

פשוט יותר, בר-השגה משמעותו, שניתן להגיע אליו במספר צעדים סופי, כאשר הצעד יכול להיות צעד יחיד מקבילי (*כל* האוסף במכה אחת) או אחד עד n צעדים.

אוסף אינסופי אינו בר-השגה לא בצעד יחיד מקבילי ולא באינסוף צעדים סדרתיים, מן הטעם הפשוט שהוא אינו שלם מעצם טבעו, ולכן לא ניתן להשיג את *כל* איבריו וזוהי *בדיוק* שגיאתו המושגית של קנטור בעניין האוסף האינסופי, אשר *כפה* שלמות (תכונה הקיימת או האוסף סופי *שכל* איבריו אכן קיימים או באלמנט לא-לוקאלי ורציף לחלוטין, אשר אין למצוא בתחומו שום תת-אלמנטים) על אוסף אינסופי בכך שהגדיר לו קרדינל מדוייק.

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים