בתשובה לגדי אלכסנדרוביץ', 24/12/06 19:11
 |
|
 |
||
|
||||
 |
גדי, יש המון מקומות בהם יש קשר בין העולם התיאורטי והממשי. כשאני קונה בחנותך היוקרתית לחם, משלם בעשרה שקלים ומקבל 5.90 שקל עודף, מימשנו כפלא תיאוריה בעולם המעשה. זה עדיין לא אומר כלום לגבי נטל ההוכחה... |  |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
לא הבנתי. בוא ננסה שוב, בעזרת דוגמת הדומינו שהאלמוני הביא: האם לדעתך יש איזה קסם ב"עולם האמיתי" שמאפשר לנו לרצף לוח שחמט שנגזרו ממנו שתי פינות מנוגדות באמצעות אבני דומינו? (ניתן להוכיח בקלות יחסית כי הדבר בלתי אפשרי מבחינה מתמטית) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ודאי. בעולם האמיתי אתה יכול לשייף מעט את אבני הדומינו, ובינגו. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איך אפשר לשחק בינגו עם לוח שחמט ודומינו ? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ואז יש לך תטל''א. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"לא הבנתי. בוא ננסה שוב, בעזרת דוגמת הדומינו שהאלמוני הביא: האם לדעתך יש איזה קסם ב"עולם האמיתי" שמאפשר לנו לרצף לוח שחמט שנגזרו ממנו שתי פינות מנוגדות באמצעות אבני דומינו? (ניתן להוכיח בקלות יחסית כי הדבר בלתי אפשרי מבחינה מתמטית)" עכשיו אני לא הבנתי (וזה מפתיע פחות, לאור העובדה שאין לי מושג על מה מדובר כאן). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש לי דוגמא יותר פשוטה. אין שום אלגוריתם שפותר את המשוואה הבאה: x+3=x+2
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מדובר בבעיה די יפה, לדעתי. קח לוח שחמט ותוריד ממנו את הפינה הימנית התחתונה והפינה השמאלית העליונה (שתיהן משבצות לבנות). עכשיו נותרו על הלוח 62 משבצות. נותנים לך 31 אבני דומינו, כל אחת מהן בגודל שתי משבצות, ושואלים האם ניתן להניח את האבנים על הלוח כך שכל אבן מונחת בדיוק על שתי משבצות, בלי "חפיפות". התשובה, כאמור, היא שזה בלתי אפשרי. הסיבה לכך פשוטה: מכיוון שזה לוח שחמט, הוא משובץ בלבן ושחור. כל אבן דומינו שנניח על הלוח מכסה שתי משבצות סמוכות - כלומר, משבצת לבנה אחת ומשבצת שחורה אחת. לכן אם נניח 31 אבנים על הלוח, בפרט צריכות להיות 31 משבצות לבנות מכוסות. הבעייה היא ש*שתי* המשבצות שגזרנו בהתחלה היו לבנות, כך שיש רק 30 משבצות לבנות על הלוח, ומכאן שלא ניתן לבצע כיסוי שכזה. (בגרסה "מתקדמת" יותר שואלים את השאלה בלי להזכיר שמדובר בלוח שחמט משובץ אלא סתם בלוח שמורכב מ-8 על 8 משבצות לא צבועות - היופי הוא בלחשוב על עניין הצבעים בעצמך). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה בטח מכיר גם את החידה על כיסוי הלוח בעזרת מסעי פרש. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נראה לי שהכרתי פעם. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אכן שעשוע נאה (אני עצמי חשבתי שפתאון אי האפשרויות הוא בכך שיש לנו שבע משבצות בשורה 1 ו-8, ואין דרך לכסותן בלי להפוך את שורה 2 ו-7 לאי-זוגית וכן הלאה עד שיש לך שבע משבצות פנויות בשורות 4 ו-5 (ואפשר גם בטורים). לדעתי הבעיה תעמוד בעינה עם כל משבצת בשורות או טורים קיצוניים. אבל איך זה בדיוק מתקשר ל"עזרת דוגמת הדומינו שהאלמוני הביא: האם לדעתך יש איזה קסם ב"עולם האמיתי" שמאפשר לנו לרצף לוח שחמט שנגזרו ממנו שתי פינות מנוגדות באמצעות אבני דומינו? "? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איפה ההוכחה שלך נכשלת אם הורדנו שתי פינות לא מנוגדות (כלומר באותו צבע)? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לדעתי ההוכחה שלי מראה שגם בעולם האמיתי, *בודאות מוחלטת*, לא ניתן לרצף לוח שחמט גזור שכזה באבני דומינו מבלי "לשנות את החוקים" (לשייף את אבני הדומינו כפי שהציע שכ"ג, להדביק מחדש את הלוח וכיוצא בזה). אם אני מבין נכון, אתה טוען ש*בגלל* שהלוח אינו אובייקט מתמטי אלא משהו מוחשי, לא קיימת ודאות מוחלטת. אם כן, איפה כאן המקום לספק, ולמה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבעיה היא שאתה לא יודע אם "העולם האמיתי" הוא מרחב אוקלידי (ליתר דיוק אתה יודע שכנראה הוא לא, אבל לא זאת הנקודה). אני מנחש שאפשר למצוא דרך מפליאה לרצף לוח שחמט כזה על יריעות כלשהן במרחבים משונים מספיק(ד"ר וישנה מתבקש לקבלה). עם קצת מזל, אולי גם במרחב שהוא אחד מאלה שתורת המיתרים משחקת איתם, דהיינו אולי הוא הוא המרחב בו אנו חיים. תצטרך, מן הסתם, לוח שחמט זערורי למדי, אבל זה לא שובר שום "חוק" בחידה שלך. ניסיתי לחשוב איך נראה לוח שח על טבעת מוביוס, והגעתי לתגלית מדהימה, שאחרי היסוס מה החלטתי לשתף עם קוראי האייל: אין לי מושג1! _____________ 1-- וגרוע מזה: אין לי דבק. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כל זה לא רלוונטי. אחד מהחוקים הוא שכל אבן דומינו צריכה לכסות בדיוק שתי משבצות. עוד אחד מהחוקים הוא שמדובר בלוח שחמט (כלומר, למשבצת לבנה סמוכות רק משבצות שחורות ולהפך, לא משנה מה מושג ה"קרבה" הטופולוגי שבו אתה משתמש). עוד אחד מהחוקים הוא שמהלוח הזה הוסרו שתי משבצות לבנות. בהינתן החוקים הללו, לא ברור לי למה אתה מניח שיהיה ריצוף אם נשחק מספיק עם הפרמטרים. בכלל, נראה לי שאתה מתעלם ממה שאצלי נתפס כאחת מהתכונות החשובות של המתמטיקה: ההפשטה. הרעיון בשאלת הדומינו הוא שהיא מוצגת על ידי התעלמות מכל הפרטים הלא רלוונטיים, והדבר מקל הן על הבנתה והן על פתרונה. מרחב אוקלידי או רימאני? תורת המיתרים? כל הפרטים הללו לא רלוונטיים לשאלה. יש מספר תכונות שמגדירות "לוח שחמט", וזה כל מה שמעניין. המרחב שבו אנחנו נמצאים לא יוכל לשנות את לוח השחמט - לכל היותר אפשר יהיה לטעון שלוח שחמט שכזה אינו בנמצא במרחב שלנו ולכן השאלה תיאורטית לגמרי. לסיום עוד שאלה נחמדה שפתרונה מראה שכוחה של המתמטיקה (גם) בהתעלמות מפרטים לא רלוונטיים: יש לנו שולחן חד ממדי (כלומר, אפשר ללכת עליו ימינה או שמאלה אבל לא קדימה ואחורה) באורך מטר ועליו צועד מספר כלשהו של נמלים. אנחנו לא יודעים כמה נמלים יש, איך הן מסודרות, ולאיזה כיוון כל אחת מהן הולכת (יכול להיות או ימינה או שמאלה). כל מה שאנחנו יודעים הוא שהנמלים צועדות בקצב של מטר לדקה כל אחת, ושאם שתי נמלים מתנגשות (כלומר, הולכות עד ששתיהן חוסמות זו את דרכה של זו) הן פשוט מסתובבות ומתחילות כל אחת ללכת בכיוון ההפוך. עכשיו, אם נמלה מגיעה לקצה השולחן, היא נופלת. השאלה היא: כמה זמן לכל היותר יידרש עד שכל הנמלים ייפלו מהשולחן? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני חושב שבלוחות שחמט מסויימים יכולות להיות משבצות סמוכות באותו צבע (לוח שמשתרע על טבעת מוביוס שלמה נראה לי קנדידט אפשרי - גם אם זה לא נכון - להדגמת הרעיון: השורה הראשונה והשמינית צמודות, ועם קצת מזל אולי הן עושות את זה באופן מתאים). אם זה כך, ואם לוח השחמט שלך מכסה את כל היקום, אולי בכל זאת אפשר לכסות את הלוח. אם זה לא כך, עדיין ייתכן1 שקימת יריעה אחרת תמלא את מבוקשנו במרחב מסוים. ההפשטה כמובן מועילה מאד ליצירת מודלים של העולם, אבל לעולם אינך בטוח שהמודלים האלה מתאימים למציאות במאה אחוזים. לפני מאתיים שנה אולי היית מעלה בפני אורי את האתגר לבנות לך משולש שסכום זויותיו אינו 180 מעלות במקום לכסות לוח שח. מצד שני בימים זוגיים של השבוע אני די פלטוניסט, והיום יום שישי. בעניין הנמלים (בהנחה שזאת לא היתה חידה רטורית) - אם הן היו אלקטרונים בכלל לא היית יכול לדעת אם הם התנגשו ושינו כיוון או חלפו זה דרך זה, כך שהפתרון מיידי. אגב, למה לא לשאול את החידה על שולחן אמיתי, דו-ממדי? ____________ 1- "ייתכן" במובן שאני לא יודע אחרת. אם למישהו יש הוכחה שאני מקשקש, גם זה לא ממש יפתיע אותי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נראה לי שבשולחן דו ממדי הפותר הפוטנציאלי ינסה להתחכם באלף ואחת דרכים (''מסלול של נמלה הוא בעל עובי אפסי ולכן אין שני מסלולים מתנגשים'') במקום לחשוב על הפתרון. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה, ובקשר ללוחות: כאמור, הטופולוגיה של הלוח (איזו משבצת מחוברת לאיזו משבצת) היא חלק מהגדרת הבעיה. אם תמצא לי מרחב מופרע שבו משכנים את הלוח והטופולוגיה שלו שונה בו, אני אולי אמחא כפיים אבל עדיין אומר שפתרת בצורה נאה בעיה אחרת. הבעיה של המשולש עם 180 המעלות היא הרבה יותר משעממת, כי כאן ההגדרות חדות מאוד. אם הייתי מקבל את כל אקסיומות הגיאומטריה האוקלידית הייתי אומר לאורי "תבנה לי בגיאומטריה אוקלידית משולש עם 180 מעלות" והוא היה אומר שגיאומטריה אוקלידית זה משהו מתמטי שלא קיים במציאות - ובאמת, לא הייתה לי סיבה להניח שהיא כן קיימת במציאות. אם לא הייתי מקבל את כל אקסיומות הגיאומטריה האוקלידית, ממילא לא הייתי משוכנע בעצמי שסכום הזוויות במשולש חייב להיות 180 מעלות. לכן השאלה היא האם אנחנו מאמינים שקיימים ביקום שלנו לוחות שחמט בעלי הטופולוגיה שאני מתאר, או לא. אני נוטה להאמין שכן, אבל אולי זה באמת שד מתעתע. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לוח שחמט על טבעת מביוס? איך ייתכן שאשר פספס את זה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לעומת זאת הנמלים מהחידה של גדי דוקא מצאו את דרכן לשם. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(יש לי חשד לא מבוסס שכיוון המעבר היה הפוך) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מאיפה באמת חידת הנמלים? (אני יודע איפה *אני* ראיתי אותה, אבל זה פרסום כל-כך נידח, שקשה לי להאמין שיש לו עוד (הרבה) קוראים בארץ). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני שמעתי עליה מפרופסור רון אהרוני. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
פוטונים, לא אלקטרונים. זה גם יותר מתאים לאוירת הריהוט, וגם לא מסבך אותנו עם דחיה חשמלית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה בדיוק ההבדל בין השולחן החד והדו מימדי? (בקיצור, רוחב השולחן) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה? נניח מטר. ________ שכ"ג מרחרח בחשדנות. ברור שיש כאן מלכודת פתאים, אבל ייקחנו השד אם הוא לא ינגוס בפתיון. לא רק האקס-צ'יף סובל מבעיות של כוח רצון רופס. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, תמיד אמרו לי שיש לי נטיה לקצרנות יתר1. האם על שולחן דו-מימדי הנמלים המתנגשות לא יכולות להראות כמי שעוברות האחת דרך השניה? 1 פעם קיבלתי מבחן עם ההערה: "ניכר שהתלמיד יודע יותר ממה שניתן לראות מהתשובות הטלגרמיות שלו". אחרי שהסבתי את תשומת לבו של המרצה לסתירה הפנימית בדבריו, הוא הסכים להעלות לי את הציון. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1 שיט. לי כתבו רק "אין לכתוב תשובות *לקוניות*!" | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
גם אני קיבלתי את ההערה הזאת... איזה נוסטלגיה... | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ודאי שכן (בהנחה שהן נקודתיות, או לפחות מתנהגות כאילו הן כאלה ולא ככדורי ביליארד1). זאת הסיבה שתמהתי למה גדי לא שאל את החידה לגבי שולחן דו-ממדי. ____________ 1- שם המצב שונה, כידוע, ומצדיק חידה משלו. אגב, מדי פעם אני שואל אנשים כמה זמן, לדעתם, לוקח לפוטון שנוצר במרכז השמש להגיע אל פני השטח שלה. מי שלא יודע את התשובה די מופתע. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
והתשובה היא? (אגב, זה לא תלוי בדרך שהוא בוחר לעצמו?) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה מתכוון לכיוון המהירות שלו ברגע שהוא נוצר? אם הוא נוצר במרכז השמש המהירות שלו רדיאלית (כלומר מהמרכז החוצה. דה). התשובה? אם לא איכפת לך, אשהה אותה קצת, בתקוה שאיילים נועזים ינסו לנחש. הרדיוס של השמש, לצורך העניין, הוא 700,000 ק"מ, ומהירות האור 300,000 ק"מ/שניה. בלי לחפש באינטרנט, מה הניחוש שלך? ושלך? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם אור מהשמש פוגע בגג ביתך והגג פולט קרינה תרמית אל תוך הבית, איזו משמעות יש לטענה שהקרינה התרמית היא אותה קרינה שהגיעה מהשמש (למרות הקשר ההדוק בין השתיים)? (וזה עוד לפני שנגענו בשאלה האם תיקונים של יחסות כללית נחוצים לטיפול בניוטריני שחומקים מליבת השמש). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עוכר שמחות, זה מה שאתה. אתה מצפה שאסתבך עם ניסוח מסורבל רק בגלל שאולי פוטון שהתפזר הוא בעצם פוטון שנבלע ופוטון חדש שנוצר (אולי בתדר קצת שונה)? בשביל זה יש שולחנות חד-ממדיים. אני כמובן לא בקי בפרטים, אבל אני מניח שיש גם פוטונים שנוצרים במרכז השמש ולא נבלעים בדרך אלא מתנהגים כפי שמצפים מפוטון מחונך: ככדורי ביליארד ניוטוניים להפליא (לפחות אם נתעלם מאפקט דופלר). לא? (ואת העניין שלנו בניוטריני בהקשר הזה לא הבנתי) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חלילה לי מלצפות שתסתבך עם ניסוח מסורבל (עוד יאשימוני בעכירת שמחות ואז אנה אני בא?). מצד שני, ניסוח שמבהיר היטב את כוונת השואל בהחלט עוזר. מה לעשות שפוטונים, אפילו כשהם מחונכים 1 להפליא, אינם כדורי ביליארד, וגם לא כדורים של, נו, איך קוראים למשחק ההוא? זה שמספר המסגרות בו כמו בשניה שלמה של PAL ? בקיצור, בכלל לא היה ברור לי שהפואנטה של השאלה עוסקת בהילוך אקראי 2 ולא במשהו אחר (יחסות כללית, למשל 3). 1 ניסית פעם לחנך פוטון? זה אפילו יותר קשה מלאלף ħ 2 הילוך אקראי עוסק בערכי תוחלת. עם מספר הפוטונים האדיר שנוצר במרכז השמש, לא הייתי שולל א-פריורי (ז"א: מבלי לבצע הערכה חישובית כלשהי) את האפשרות שאחת לפרק זמן לא ארוך במיוחד יש איזה פוטון שמצליח לעשות את כל הדרך החוצה מבלי לעבור פיזור. 3 במקרה כזה, היה עדיף לנסח את השאלה לגבי ניוטריני. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ברור שמדובר על התוחלת. מאחר והעניין נסחב ומסתבך, הנה התשובה שאני שמעתי: כמאה אלף שנים (עד כדי פקטור עשר, תלוי במקור שאתה מאמין לו). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ברור? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אי אפשר לצפות שכל פוטון יתנהג בדיוק כמו האחרים (אם כי השונות קטנטנה, מן הסתם, בגלל שמספר הפיזורים עצום). לא? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה העניין עם "מספר הפיזורים עצום"? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כל פוטון מתנגש המון פעמים באטומים שמסביבו, כך שחוק המספרים הגדולים תופס. אם החומר היה דליל וההתנגשויות מועטות, היתה שונות גבוהה יותר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הייתי בונה על כך שהשונות קטנטנה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אחרי ששלחתי את ההודעה חשבתי שאם האינטואיציה שלי היתה נכונה בעניין הזה, דיפוזיה של צבען בתוך נוזל שקוף1 היתה צריכה להיראות כמו מעטפת מתפשטת של כדור, והיא לא. בקיצור, השונות של מהלכי שיכור כנראה לא קטנטנה. השכל שלי כן. ___________ 1-נו, טיפה של צבע בתוך מים. פעם היה דבר כזה שנקרא "כחול כביסה" שגרגר אחד ממנו היה צובע את כל הפיילה בכחול, למרבה השמחה של זאטוט אחד שהכרתי היטב. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה זה מהלכי שיכור? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תגובה 191274 (ואלו שאחריה). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אל תחמיר עם עצמך יותר מדי. זה מגמד אותנו. --------- דוקא חשבתי שתאהב את העסק ההוא עם ה-PAL. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אה, ניסיתי להקדים את פגיונו של הגלילי, ללא הועיל. _________ חשבתי שאני מבין את כוונתך, אבל בסנוקר יש 21 כדורים - 22 אם אתה סופר את הלבן - וב- PAL משדרים 25 פריימים בשניה, כך שהחלטתי לשתוק ולא להסתבך שוב. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הלכתי לבדוק (היתה לי ברירה?). חשבתי שבאליפויות העולם משחקים עד 25 פריימס בכל סיבוב, אבל וויקיפדיה מספרת שזה נכון רק ברבע ובחצי הגמר. פעם אחרת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נו, באמת. איפה היית בשיעור שהדגימו בו תנועה בראונית? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עזרתי לאמא שלי לעשות כביסה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
התהליך שגורם להתפשטות הצבע של כחול כביסה איננו דיפוסיה מולקולרית (סדר הגודל של הזמן ארוך מידי). לדעתי מה שאנו רואים (בהתחלה) זה תוצאה של זרמי מים שנוצרו כתוצאה משקיעת החלקיק. אגב: |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הולי שיט. בכל פעם שאני חושב שסוף סוף הבנתי משהו, מישהו טורף לי את הקלפים. לא ידעתי שדיפוזיה מולקולרית היא תהליך איטי בנוזל בטמפ. החדר (אגב, מה המרחק הממוצע בין התנגשויות?). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בנוזל? אני משער שבערך גודל של מולקולת הנוזל. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
חשבתי שאתה שואל כי אתה לא יודע את התשובה לגבי דו-מימדי. הסיבה ששואלים את החידה לגבי חד מימדי, היא ש-''אחורה פנה'' קל יותר לתאר מאשר ''התנגשות אלסטית'' (או לפחות מצריך פחות רקע). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוקיי. מה שאני התכוונתי, אם זה עדיין לא ברור, הוא שניתן לשאול את החידה לגבי שולחן דו-ממדי אבל בחוקי התנגשות ''נמליים'', דהיינו נמלה שפוגשת נמלה אחרת מסתובבת במאה ושמונים מעלות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל אז מתחילים לתהות מה קורה אם נמלה שהולכת מימין לשמאל נתקעת בנמלה שהולכת מאחורה לקדימה, וכו'. כדי לחסוך את כאב הראש הזה מסתפקים בחד מימד. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בסדר. אישית אני שונא שולחנות חד ממדיים בגלל נטייתם המעצבנת ליפול הצידה, אבל זה רק אני. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לי יש בעיה דומה עם שולחנות דו-מימדיים בעולם הארבע-מימדי שלי. (עכשיו אני צריך לחשוב אם זה הגיוני) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, שולחנות מקו-מימד 2 ומעלה תמיד עושים בעיות. אגב, בעולם ה- 100 מימדי שלי לא תמצא כמעט שולחנות מרובעים (2 בחזקת 99 רגליים - אתה כל היום מבלה אצל הנגר). שולחנות עגולים הם הרבה יותר נפוצים, כי הם דורשים רק 100 רגליים לשולחן יציב (האמת שהעיצוב הנפוץ הוא תיבה בכמות קטנה של מימדים וכדור בשאר המימדים). (עכשיו אני צריך לחשוב אם *זה* הגיוני...) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רגל אחת רחבה במרכז תספיק בכל כמות של מימדים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בין כל 3 נקודות עובר קו ישר, בתנאי שהוא מספיק עבה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה תלוי כמה מימדים יש לרצפה, ובפיזור המרחבי של כוח הכובד, לא? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לרצפה ולשולחן מן הסתם חייב להיות אותו מספר מימדים, לגבי פיזור הכובד הנחתי אחידות אפס בכולם וגרדיאנט באחד (כמו על שטח כדור N מימדי). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם הן סתם עושות ''אחורה פנה - קדימה צעד'' אז אפשר לסדר ארבע מהן בריבוע, כך שהן תהיינה במחזור. כל יחידת זמן שני זוגות של נמלים יפגשו בשתי פינות מנוגדות של הריבוע. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
צודק (הן תתנגשנה גם באמצע הצלע, אבל זה לא משנה). השולחן החד ממדי של גדי מתחיל להיראות כמו רעיון טוב. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה כנראה חושב על שמונה נמלים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, הוא חושב על רשות הנמלים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה צודק שוב. מה יהיה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''כל יחידת זמן שני זוגות של נמלים יפגשו בשתי פינות מנוגדות של הריבוע''. יש להניח שהעניין הזה יארך זמן קצר מאוד, שאחריו הזוגות יתפרקו, יתחילו מריבות נוראות, והן ישנו מסלולים כל הזמן כדי לא להיתקל זו בזו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
דקה ? לגבי המשך הדיון, אפשר להגביל את בעיית השולחן לזרימת מסה/אנרגיה אפסית בסביבתו (במקום לכפות הגדרות מתמטיות) ולדרוש גודל מסויים שלו, כך קיבלנו קירוב טוב מאוד של גאומטריה אוקלידית. מצד שני אז יתחילו דיבורים על סופרפוזיציה של אבני הדומינו, ועל כך שהבעיה נפתרה כל זמן שאף אחד לא מביט בלוח. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ברגע שאתה מתחיל להוסיף מגבלות הקהית את העוקץ. הרי גדי בחר דוגמא שכביכול עמידה בפני הצורך בתיקוני אד-הוק כאלה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אכן דקה (שכ''ג כבר סיפק את הנימוק היפה). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני נאלץ להסכים עם גדי - אם "לוח שחמט" הוא חלוקה של תת-קבוצה קומפקטית של משטח רימן למצולעים סגורים בעלי פנים לא ריק הנחתכים בצלעות משותפות או בפינות, והמצולעים מחולקים לשתי קבוצות זרות ושוות בגודלן כך שכל שניים הנחתכים בצלע שייכים לקבוצות שונות (ובינינו, *זה* "לוח שחמט"), אז הבעיה אינה תלויה במשטח שעליו הלוח נמצא. (במחשבה שניה, לוחש לי לאקאן משהו על חיתוכים של טבעות מביוס, אתה בטח מחפש את ד"ר וישנה, ולא אותי). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"נאלץ"? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אלא מה? בוחר באופן חופשי? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה חושב שיש עודף באינווריאנטים של יריעות רימן? היה יכול להיות נחמד מאד למצוא אינווריאנט קומבינטורי (חדש) מהסוג הזה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"*אם* "לוח שחמט הוא..." כזכור, אנחנו דנים בשאלה אם בעולם האמיתי (נניח לרגע שיש דבר כזה) אפשר לקבוע בוודאות שבעיית כיסוי הלוח אינה פתירה. בעולם האמיתי לוח שחמט אינו תת-קבוצה קומפקטית של משטח רימן אלא חתיכת קרטון, עץ או שיש. אתה וגדי טוענים שאותה חתיכת קרטון מיוצגת נאמנה ע"י היצור המתמטי עליו כתבת את הפואמה הקטנה שלך, כך שכל מה שתוכיחו לגביו יהיה נכון גם לגבי הלוח שלנו, אבל בשביל זה אתה צריך להראות שהוא באמת מקיים את כל התנאים שפירטת. התנאי "כל שניים הנחתכים בצלע שייכים לקבוצות שונות" נראה לי מפוקפק לגבי לוח בעולם האמיתי1, וטבעתו של מוביוס נועדה להסביר את הרעיון הזה. ____________ 1- אני מקוה שאני ברור מספיק. מדובר בעולם "אמיתי" בפוטנציה, נניח משהו עם עשרה ממדים שחלקם זערוריים ו"סגורים" על עצמם - נדמה לי שנתקלתי בתאור אפשרי כזה ואני מקוה שאני לא הוזה - ובתור שכאלה אולי יוצרים יריעות עליהן השורה הראשונה והשמינית של הלוח מחוברות, ואולי אפילו בצורה המבוקשת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני דווקא יצאתי מהכיוון ההפוך - תחשוב על לוח שחמט ''מתמטי'', ואז תבדוק את הטענה עבור מימושים שלו בעולם האמיתי. אתה בעצם מצמצם את הבעיה לשאלת ''האם קיים במציאות לוח שחמט''. אפשר כמובן להגיד שלא, אבל לי אישית זה נראה די טיפשי (וזה ייאלץ אותי לחזור לדוגמת המשוואה ממעלה חמישית שהיא הרבה פחות אינטואיטיבית אבל כנראה פחות קל ''לתחמן''). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מוכן להניח שיש בעולם לוחות שחמט, אבל לגמרי לא בטוח שיש בו משוואות מהמעלה החמישית. איפה הן גרות? (היום הוא יום אי-זוגי, ולכן אינני פלטוניסט) "תבדוק את הטענה עבור מימושים שלו בעולם האמיתי" הוא לוז העניין. לכולנו יש מימוש יומיומי שאנחחו מכירים היטב ולגביו בעיית הריצוף פתורה. האם ייתכנו מימושים אחרים? הטענה שלי היא שאולי כן. לא "אולי" במשמעות שהייתי מוכן לשים על זה כסף, אלא "אולי" שפירושו "לא ממש בלתי אפשרי". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא צריך שהמשוואות יגורו בשום מקום. אני צריך שתביא לי נוסחה עבורן, ולא אכפת לי איפה היא גרה. השאלה היא האם העובדה שאתה בן אדם שחי בעולם האמיתי ואת הנוסחאות שלך אתה כותב על נייר (שיכול להיות גם טבעת מביוס) ובעיפרון עוזר לך במשהו. דווקא כאן הקשר לנושא המאמר מורגש יותר טוב. מכונת טיורינג היא מודל מופשט של מחשב; כל מחשב בימינו הוא מימוש פיזי כלשהו של מכונת טיורינג (שבשל אילוצים טכניים הוא אפילו יותר מוגבל מאשר מכונת טיורינג), ממש כמו שהנוסחאות שאתה כותב על נייר ועיפרון הן ייצוג פיזי של רעיון מתמטי. אם אפילו הרעיון המתמטי ה"אידאלי" לא בר-ביצוע, על אחת כמה וכמה המימושים הפיזיים לא יהיו מסוגלים לבצע זאת. (ושוב, השאלה "האם יש מימושים אחרים" מפספסת את הנקודה - מימוש ש*לא* מקיים את התכונות שעוזי הציע הוא תשובה טובה לבעיה אחרת - הוא *אינו* מימוש של לוח שחמט). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
המשוואות שאתה מדבר עליהן הן יצורים מתמטיים, או לפחות כך אני תופס זאת. מה שכתוב על נייר הם כל מיני סימנים משונים, שאין שום טעם לשאול אם יש להם שורש: הם לא צמחים ולא שיניים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השאלה היא לא שאלה של "האם קיים שורש" (תמיד קיים) אלא של "האם קיימת נוסחה שמופיעות בה רק הפעולות האלו והאלו". כלומר, מה שנבדק הוא במפורש יכולת הביטוי הפיזית שלנו. אבל אם זה מפריע לך, באמת שקיימות אלפי דוגמאות אחרות. בוא נניח שאני נותן לך טקסט שהוצפן בעזרת פנקס חד פעמי ושואל אותך האם יש לך דרך כלשהי (חוץ מניחוש) לגלות מהו הטקסט. האם זה שאני נותן לך את הטקסט פיזית ואנחנו בעולם פיזיקלי יעזור לך לפענח אותו? האם הטקסט הוא "יצור מתמטי" ומה שכתוב על הנייר הוא "כל מני סימנים משונים"? ונניח שכן, אז מה? עדיין, האתגר של להמיר את הסימנים המשונים הללו לאוסף סימנים משונים אחר ששמור אצלי בכספת הוא אתגר פיזי שאתה לא מסוגל לבצע. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אשר לרישא: אתה כמובן צודק והניסוח שלי היה מטופש (אבל אם אנחנו כבר כאן, יש מבחן פשוט שקובע אם יש שורש ממשי?). הדוגמא עם פענוח טקסטואלי מעניינת, אבל בעולם האמיתי אני אוכל לבצע את המטלה בקלות יחסית בעזרת רתכת. עכשיו בטח תטען שאם הפירוש נמצא אצלך במוח ולא בכספת לא אוכל לעמוד במשימה. לא יודע. אולי לשב"כ יש, או יהיה, fMRI שמתגבר גם על המכשול הזה. (אני לא יודע בעצמי באיזו מידה אני רציני. נראה לאן הדיון הזה יוביל) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בקיצור, בכל פעם שאני מציג לך בעיה, עם "כללי משחק" מוגדרים, אתה אומר שהיא פתירה על ידי זה שמתעלמים מכללי המשחק. בדוגמה הנוכחית אולי אפשר בכל זאת ללכוד אותך: המקור של הטקסט לא נמצא בשום מקום (הוא הושלך ללוע הר האבדון). עכשיו לך תפענח את הטקסט ותוודא שהפיענוח שלך אכן נכון. (אני משער שהצעד הבא יהיה לטעון שתמיד קיימת הסתברות לגלות את הטקסט על ידי ניחוש, פשוט אי אפשר לוודא שהניחוש נכון). (אם הפולינום הוא במקדמים ממשיים וממעלה אי זוגית, תמיד יש לו שורש ממשי. מעבר לכך אני לא יודע - תצטרך לחכות למתמטיקאים). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, אני אומר ש"כללי המשחק" משאירים פתח לספקנות מסויימת. כתבתי כאן הודעה די ארוכה, אבל בסיומה הגעתי למסקנה שאני לא באמת רוצה להגן על העמדה הזאת. נראה, אני צריך לחשוב על זה עוד קצת1. ____________ 1- בד"כ זה אומר שאף פעם לא אחזור לזה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם אתה מעוניין בספקנות בלבד, בבקשה; כמו שאמרתי קודם, תמיד אפשר לומר "מה אם" על הכל. שנזכיר כאן שהמתמטיקאים עובדים עם מערכת אקסיומות שלא יכולה להוכיח שאין בה סתירה? הבעיה מתחילה כשהגישה של "אי אפשר להוכיח שום דבר" גורמת לאנשים לחשוב "היי, הבעיה בבעיית העצירה היא בסך הכל שהחבר'ה האלו עובדים עם מודל מיושן כמו מכונת טיורינג! אני *בטוח* שעל הפנטיום החדש שלי אפשר לפתור אותה, אז אני אבזבז חודש בלכתוב תוכנה שעושה את זה!". (מצד שלישי, לרוב האנשים שיאמרו כזה דבר הם בדיוק מהסוג שהיית רוצה שיעזוב אותך במנוחה למשך חודש). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני ממש לא נמנה עם האוחזים בדעה שכל ההשערות שקולות כי לא ניתן להוכיח אף אחת מהן. להיפך, הגישה הזאת מעלה אצלי את הסעיף פעם אחר פעם. בעולם האמיתי בעית העצירה פתורה, כמובן: כל מימוש פיזיקלי של מכונת טיורינג עוצר בסופו של דבר, גם אם "סופו של דבר" הוא בעוד כמה מיליארד שנים, כשכל היקום יהיה בשיווי משקל תרמודינמי בסביבות האפס המוחלט. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נכון, אבל בדיבורים כמו ''בעולם האמיתי בעיית העצירה פתורה'' לוקה באותה בעייתיות שאפיינה את הדיון המוקדם יותר שלי עם זה שלא הבין מה השוס הגדול כאן. אולי בעיית העצירה לכשעצמה אינה בעלת עניין מעשי בעולם שלנו, אבל אפשר להוכיח בעזרתה אי כריעות של בעיות שיישארו לא כריעות גם בעולם שלנו, דוגמת בעיית מציאת דרך כללית לפתרון משוואה דיופנטית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמובן. אני בהחלט איתך בקשר לעניין העיקרי, כל עוד אנחנו זוכרים ש"משוואה דיופנטית" היא יצור מתמטי, לא פיזיקלי (גם ביום שישי). הדוגמא היפה שקהלת הביא בקשר לפתרון "משוואות" בעזרת מערכת קפיצים ומשקולות1 מבהירה את זה. _____________ 1- וכאן המקום לשאול אם מישהו מכיר את הטופולוגיה של מערכת כבישים מסוימת, לא נורא מסובכת, שבה סלילת כביש נוסף *מגדילה* את זמן הנסיעה הממוצע, למרות שכל נהג ממשיך להתנהג באופן אופטימלי מבחינתו. נתקלתי בזה לפני שנים בירחון Omni, התרשמתי עמוקות, אבל הגליון אבד לי ואני לא מצליח למצוא שום דבר בקשר לזה מאז. הקשר לענייננו: גם שם הדגימו איך זה קורה בעזרת מערכת קפיצים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1 לא מכיר, אבל נראה לי כך: אם מהירות הנסיעה בכביש אינה תלויה במספר הנהגים המשתמשים בו, דומני שמערכת כזו לא תיתכן. אם, לעומת זאת, יש במודל גורם של "עומס תנועה", אז נראה שזי די קל: מספיק שיש שני נהגים הבוחרים בכבישים שונים לפני התוספת, אך שניהם בוחרים בכביש החדש כי הוא יותר מהיר עבור כל אחד מהם אישית - וכך שניהם מפסידים בגלל "עומס התנועה" הנוצר בכביש המשותף. קל לממש זאת אם הנהגים מתחילים ממקומות שונים, ואם הכבישים אינם סימטריים (מהירות הנסיעה תלויה בכיוון). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה לא נשמע מאוד סביר, אלא רק בהנחה שלרוב המכריע של הנהגים הכביש החדש מתאים יותר. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עכש''ז המהירות היתה באמת תלויה בעומס, אבל אם ''שניהם מפסידים'' כנראה שכדאי להם, או לפחות לאחד מהם, לחזור ולנסוע בנתיב הישן. זה לא היה המצב במקרה עליו אני מדבר (אולי אם יש יותר משניים כבר צריך קואליציה של כמה נהגים כדי לשפר את המצב, וקואליציה כזאת אינה יציבה כי לכל נהג משתלם לא להיות חלק ממנה. אני עוד מקווה שמישהו מכיר את הסיטואציה וישלח לי קישורית). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא בטוח שהבנתי. לנסוע בנתיב הישן ולהתעלם מהחדש אפשר תמיד, ולכן קואליציה הכוללת את כל הנהגים תמיד יכולה להבטיח שמצבה לא יורע. הנחתי שהכוונה היא שהנהגים פועלים בצורה לא קואליציונית (אם יש מגבלות על גודל הקואליציות, השאלה כבר הופכת למלאכותית מדי). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה לא בטוח שהבנת? *אני* לא בטוח שהבנתי! הרעיון שאני מנסה לגלגל הוא שבמצב החדש יש יתרון לנהג בודד (או לקבוצה קטנה) שיבחר בכביש החדש, אבל זה גורם להרעה בתנאים של אלה שלא בוחרים אותו נתיב, לכן עוד ועוד יעברו אליו, והסה"כ יהיה בכל-זאת יותר גרוע מהמצב הקודם. זה יכול לקרות, אולי, אם הכביש החדש מוליך לנתיב אחר, צואר בקבוק כזה, שדרכו עוברים גם אלה שלא נוסעים בחדש. כאמור, אני ממשיך לקוות שמישהו יבוא לעזרתי, שכן אני בטח מקשקש (מה שקורה לי לא מעט לאחרונה, ועם הקהל הסליחה). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
4 נקודות: A B C D. המטרה: להגיע מ-A ל-D. בין A ו-B יש כביש מהיר אך ארוך שלוקח שעה ללא קשר לנפח התנועה. כנ"ל בין C ו-D. בין B ו-D יש כביש קצר וצר שלוקח זמן פרופורציונלי לנפח התנועה, כך שבמקרה של עומס 1 (נאמר 1000 מכוניו לשעה) לוקח שעה לנסוע בו. כנ"ל בין C ו-D. נניח שהעומס הנוכחי (של מכוניות הרוצות להגיע מ-A ל-D) הוא 1 (דהיינו, 1000 מכוניות לשעה). מצב שיווי המשקל הוא שחצי מהן יסעו דרך B וחצי מהן דרך C. זמן הנסיעה הוא שעה וחצי: שעה בכביש המהיר ועוד חצי שעה בכביש הצר (בכל אחד מהם יש עומס חצי). כעת, אם יסללו כביש מהיר נפלא בין B ו-C, המצב רק יורע. במקרה הקיצוני, נניח שהכביש החדש לוקח זמן זניח. אז כולם יסעו מ-A ל-C ל-B ול-D. העומס יהיה 1 ולכן הנסיעה כולה תיקח שעתיים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לפני שאני מייגע את מוחי, "כנ"ל בין C ו-D" מופיע פעמיים בהסבר שלך. רצית לכתוב A ו-C בפעם השניה? (כלומר צלעות נגדיות במקבילית שלך הן בעלות אותו אפיון תעבורתי?) אחרי שאבין את זה, אצטרך לחשוב למה כל הנהגים יבחרו אותו נתיב, אם בכביש הצר התנועה דלילה ואפשר לגמור אותו בחצי שעה. (למיטב זכרוני הטופולוגיה באותו מקור שנעלם לי היתה טיפה יותר מסובכת. אני זוכר שתמהתי אם ישנם בפועל מקומות בהם מוטב לסגור כביש קיים, ואם מישהו מחפש מקרים כאלה) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אכן, הכוונה היתה "בין A ן-C". הנקודה היא שכל הנהגים יסעו דרך שני הכבישים הצרים (AC ו-BD) ובאוטוסטרדה (CB) המקשרת בינהם. כמובן, אם העומס יגדל מעבר ל-1, חלקם יעברו לכבישים המהירים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נכון!!! כל עוד זמן הנסיעה בכבישים הצרים הוא פחות מ-1, משתלם לכל נהג ליסוע דרכם. אכן מפתיע. ללמדכם שלא תמיד אפשר לסמוך על "ידיים נעלמות"!! |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"למיטב זכרוני הטופולוגיה באותו מקור שנעלם לי היתה טיפה יותר מסובכת". אתה מתכוון שהרעיון התייחס למערכת כבישים מסוימת, לא לכל מצב שבו יש כביש חדש? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כמובן. (אתה מתלוצץ?) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, ואתה? מהתגובה המקורית שבה תיארת את העניין קיבלתי רושם שמדובר ב*כל* מצב של כביש חדש. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |