בתשובה ליהונתן אורן, 20/08/07 18:53
 |
|
 |
||
|
||||
 |
אתה מזהה את המתמטיקה עם הסימנים המתמטיים, וזה לא נראה לי נכון. כמו שהסימן "התפוח הזה" מסמן משהו שאינו הסימן, כך רצף הסימנים "2+3" מסמן משהו אחר - העובדה המתמטית. והעובדות המתמטיות, טוען אפופידס (ונראה לי שזו העמדה הדומיננטית, או עמדת-ברירת-המחדל) אינן תלויות בהכרתנו בהן או באופן בו בוחרים לתארן. |  |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
זה פלטוניזם מוחלט, לא? דברים מתקיימים כי הם "לוקחים חלק" בעובדות מתמטיות. אין לי כלים להתווכח עם העמדה הזאת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"מאחר שהיקום קיים, חזקה עליו כמבנה מתמטי שהוא עקבי; מאחר שהוא מבנה מתמטי עקבי, קיומו הוא כורח" לי זה דווקא הזכיר את העקרון האנטרופי שמקשר בין חשיבה אנושית (כמו מתמטיקה) וטבע היקום הנצפה, תגובה 250409 | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אנתרופי. כמו אנתרופולוגיה. אבל יש גם עיקרון אנטרופי שהוא נגזרת שלו: http://arxiv.org/abs/hep-th/0702115 | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא התכוונתי לעמדה פלטוניסטית. אני אדייק יותר. שכח מ"העובדות המתמטיות" שדיברתי עליהן, והחלף ב"טענות מתמטיות". פלטוניזם אומר שיש עובדות מתמטיות בלתי תלויות בטענות שניתן להוכיח או לא. אני מוכן לקבל שאין שום דבר במתמטיקה מלבד הטענות המתמטיות. אבל אתה הלכת צעד קדימה, וזיהית את המתמטיקה עם הסימנים. ומה שאני ניסיתי לומר הוא שיש הבדל בין הטענות לבין הסימנים. יש לנו כבר כמה מערכות סימנים שונות לציון אותן טענות (2+2=4, שתיים ועוד שתיים הם ארבע). תוכל להתנגד ולומר שמערכות הסימנים האלו איזומורפיות. אם כך, אז באמת המתמטיקה אינה אלא הסימנים המתמטיים (על הכללים הנהוגים בטיפול בהם1). אבל אם אתה אומר שזה כן תלוי בנו, בעצם אתה אומר ש"יש מתמטיקה אחרת". אני לא חושב שאפשר להוכיח שאין, אבל גם לטעון שיש כזו נראה לי מפוקפק - זה מסוג הדברים שספק אם יש להם משמעות. 1 לא לקפוץ, יהונתן ואני לא מדברים על מערכות פורמליות דווקא - אנחנו כוללים בזה גם הנמקות מילוליות של מתמטיקאים, וכמובן שהשפה במובן הזה מתרחבת ומשתנה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני קצת מבולבל. מה המשמעות של המושג "טענה" אם לא אוסף סימנים בשפה? בגסות-מה, אני מכיר שלוש דעות בסיסיות ביחס למשמעות של טענה: 1. משמעות פירושה יחס של התאמה כזו או אחרת של הטענה למציאות חיצונית. ואז, במקרה של מתמטיקה, אנחנו מגיעים לפלטוניזם. 2. אמיתות או שקריות של טענה תלויה במשמעותה, ומשמעותה נגזרת מכללי המשחק המכוננים. ואז בודאי יש כאן מרכיב שרירותי, ובודאי שהוא תלוי בנו. 3. ההוריה של טענה היא למושגים קוגניטיביים-אנושיים. (נניח, אפשר לטעון שבני אדם מבינים מה המשמעות של המושג "בריאות" ללא תלות במשחקי שפה, ולמרות שאין לו הוריה מדויקת במציאות). גם כאן, כמובן, הטענה תלויה בבני-אדם. אני לא מצליח להבין את כוונתך בטענה שיש "פער" בין טענה לבין הסימנים שבאמצעותם היא מובעת. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
1. שתיים ועוד שתיים שווה חמש 2. 2+2=5 האם אלו שתי טענות שונות, או אותה טענה? והרי אלו שני רצפי סימנים שונים לחלוטין! |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה כבר הצעת לי את התשובה של איזומורפיות. אבל זה התחום שלך, לא שלי. אז תרשה לי לשאול אותך: איזו משמעות - שאינה תלויה בנו - יכולה להיות לטענה מתמטית, אם אנחנו לא מאמצים פלטוניזם? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למשל, שלכל מערכת המקיימת כללים מסוימים יש תכונות מסוימות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוקיי. זאת תשובה שאני יכול להבין. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תוכן- או משמעות - אינם תמיד ובהכרח הוראה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבל אני לא הדלקתי את לפיד ה"לא תלויה בנו". בתגובה הראשונה שלי בפתיל ייחסתי את הגישה הזו לאליהו. נכון שאמרתי גם שזו הגישה הדומיננטית או גישת ברירת המחדל. אתה טענת נגדה את "טיעון הסימנים". הסימנים כשלעצמם הם בוודאי תלויי-אדם, אבל ברגע שאתה מכפיף אותם לאיזומורפיה, כבר לא ברור שהם תלויי אדם. כמו שניסיתי לומר בתגובה בהמשך, אני כבר קצת בספק אם יש לשאלה משמעות - אם כי נראה לי שהמשמעות הבאה היא מועמדת לא רעה: האם ליצורים תבוניים אחרים תהיה מתמטיקה אחרת. ודוק: לא האם הם יגיעו לתגליות אחרות מהמתמטיקאים שלנו, אלא האם ייתכן שהם יפתחו שיטות שלמתמטיקאים שלנו בכלל לא יראו כניתנות לאימוץ במתמטיקה שלנו - ואם כן, האם עדיין נאמר על זה "המתמטיקה". אז אין לי הרבה טיעונים לטובת התשובה השלילית, אבל אני גם לא רואה שום טיעון בעד תשובה חיובית. השלילית נראית לי עדיין ברירת המחדל, פשוט כי אני לא מצליח להתקרב לדמיין סיטואציה של תשובה חיובית, אבל אני מודה שטיעון שחוזקו מתבסס על חוזק הדמיון שלי הוא לא מרשים. אבל האם נראה לך, ולו אינטואיטיבית, שהתשובה חיובית? אם לא, האם אתה יכול להציע משמעות אחרת ל"תלויה בנו"? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מעניין. לי זה מזכיר טיעון מפורסם שבנוי באותה צורה ושמגיע למסקנות הפוכות: אנחנו לא יכולים לחשוב על עצמים שלא במסגרת החלל והזמן (ואנחנו כן יכולים לחשוב על חלל וזמן "ריקים" ללא עצמים), ומכאן, שהחלל והזמן הם א-פריוריים ותלויים במבנה התבונה האנושית ולא במבנה הממשות החיצונית. דהיינו, תלויים בנו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מסכים איתך (ועם קאנט) שהמתמטיקה היא תלוית-תבונה, ואני מוכן לסייג את זה לתבונה האנושית, כ"ביטוח" נגד מגבלות הדמיון שלי בטפלו בתבונות לא-אנושיות. אני לא חושב שיש לזה השלכה חזקה על הדיון של אליהו: ממילא את כל מה שנֹאמר על היקום אפשר לסייג, באופן טריוויאלי, תחת "עד כמה שאנחנו מבינים". עכשיו אני לא בטוח למה התכוון אליהו, ומה המקום של זה בשרשרת הטיעונים שלו. אולי זה: יש דברים שאנחנו יודעים במובן יותר חזק שהם תלויי-השקפה. חלוקה לעצמים, למשל: אנחנו רואים שולחן חום וקשיח, אבל תבונה שתתבונן בקנה מידה אטומי רק תראה התפלגות שונה של אטומים במרחב, בלי שולחן, בלי חום ובלי קשיח. ברגע שאנחנו יכולים להציג נקודת השקפה שבה מתבטל דבר, אנחנו יודעים שהדבר הוא תלוי-דרך-תיאור, ואנחנו יכולים להבין את התלות הזו בצורה חזקה יותר מאת התלות של המתמטיקה בתבונתנו. באקסטרפולציה משולחן, כל הישים הפיזיקליים חשודים, עד שיוכח אחרת, בתלות חזקה כזו. אולי מה שאליהו רצה לומר הוא שברגע שהדבר נגזר כאילוץ מתמטי, הוא זוכה למעמד האי-תלות - או תלות במובן החלש של הפסקה הראשונה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מערכת הטיעונים של אליהו היא לכידה, ומסודרת בצורה יפה וברורה. ובכל זאת המתמטיקה היא אחד הכלים שלנו להבין דברים שהם קיימים בלי קשר לקיום התבונה האנושית. השולחן שהבאת כדוגמה קלאסית, בין האדם המשקיף על השולחן אם על ידי החושים הפיזיים והן על ידי ההבנה בקנה מידה אטומי כדבריך, השולחן הוא 'נמצא' ללא תלות באדם וחושיו או תבונתו. אנו נוהגים לערבב בין החושים המוסרים לתודעה נתונים שהם מעוותים כי החושים מעוותים את הדבר עצמו, לבין הדבר עצמו. מהבחינה הזו המתמטיקה כמו מכשירים אחרים מביאה את הבנתנו להתקרב אל הדבר עצמו, עדיין רק להתקרב יותר. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני יכול להסכים שהמתמטיקה היא לא תלויית-השקפה (קאנט אפילו חושב שלמרות שהמתמטיקה היא סינתטית היא הכרחית, למרות שאני לא זוכר אם במובן של "הכרחית בכל העולמות האפשריים"). אבל אני לא בטוח שזה משנה. השאלה של פיזיקאים היא "מדוע לבחור במתמטיקה ככלי להבנה ותיאור העולם?". לשאלה הזאת ישנה תשובה ברורה: המתמטיקה היא הכלי הטוב ביותר שיש לנו להבנה ותיאור של העולם. לעומת זאת, השאלה של הפילוסופים היא "מדוע המתמטיקה היא הכלי הטוב ביותר שיש לנו להבנת העולם?". התשובה של דקרט ואליהו: כי הטבע כתוב באותיות מתמטיות. התשובה של קאנט: כי אנחנו מכוננים את עולם התופעות דרך הקטגוריות של התבונה, והמתמטיקה היא תבונית. דהיינו, ההתאמה עולם-מתמטיקה היא תוצר של ההכרה התבונית שלנו ולא של העולם. מה שאני מנסה לומר הוא שגם אם אתה חושב שהמתמטיקה אינה תלוית-השקפה, עדיין "העולם" הוא תלוי השקפה ("תלוי-דרך-תיאור"). בכל מקרה - אתה מתחיל מהשולחן החום והקשיח. כל ההכרחיות של המתמטיקה לא משנה את זה שאתה מנסה לתאר באמצעותה את העולם שהוא תלוי-דרך-תיאור. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
העיסוק ב-"למה המתמטיקה מוצלחת" מוזר לי. אני לא חושב שהמתמטיקה, *כשפה*, שונה מהותית מכל דרך אחרת שיש לנו לייצג רעיונות לגבי יחסים ומבנים (כלומר היא לא שונה מהעברית או מהאנגלית, למשל). היא אולי חסכונית יותר, או נוחה יותר, וקצת ברורה וחד משמעית יותר - אבל אלה הבדלים קוסמטיים. אני חושד שאם השאלה היא למעשה "מדוע אנו מתארים את העולם במונחים של יחסים ומבנים" אז התשובות שהיו מספקים לה היו מאד שונות, אז כנראה זה לא העניין. ואולי השאלה בכלל לא מתייחסת למתמטיקה כאל שפה, אלא תוהה מדוע ההיגיון המתמטי הוא כלי להבנת העולם? אבל ההיגיון המתמטי (בניגוד למתמטיקה עצמה) בר-רדוקציה ללוגיקה (בגדול, אבל אולי זה מסתבך כשמנסים לרדת לפרטים), ומכיוון שה-"הבנה" אליה מתייחסת השאלה היא ממילא "הבנה אנליטית", השאלה הופכת להיות טריוויאלית - כך שכנראה גם זה לא העניין. בקיצור - מה השאלה, בעצם? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"אני לא חושב שהמתמטיקה, *כשפה*, שונה מהותית מכל דרך אחרת שיש לנו לייצג רעיונות לגבי יחסים ומבנים". אני לא יודעת למה היית קורא שוני "מהותי", אבל המתמטיקה, גם כשפה, מגבילה באופן חזק פי כמה מכל שפה טבעית את מסקנותיך על העולם שאותו היא מתארת. בעיניי זה מהותי למדי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
למה ואיך היא עושה את זה? ואיך קשורה לכך הסקה, כשמדברים על תיאור? השפה המתמטיקה היא מיש-מש של שפה טבעית, עם עוד סימונים שכל אחד מביע רעיון שאפשר גם כן לנסח בשפה-טבעית (עובדה שהצליחו להסביר לי, בעברית ובאנגלית, את המשמעות שלהם). מה שאפשר לתאר במתמטיקה, אפשר לתאר גם בעברית. אני יכול לתרגם כל פסקה שכתובה "במתמטיקה" לעברית, במחיר של אלגנטיות ותימצות. האמת היא, שאני בכלל חושב שאי-אפשר לקרוא לאוסף הקוונבציות הזה "שפה". כמו שהוא, מדובר בפשוט אוסף של קיצורים שמאפשרים לנסח (בצירוף שפה טבעית כלשהי) כמה רעיונות מורכבים בעזרת מס' מצומצם של סימנים, ובאופן שהוא יחסית ברור וחד משמעי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
עצם הגדרתם של ה''ישים המתמטיים'' אומרת מה ניתן ומה לא ניתן לייחס להם. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא יודע ''מה השאלה, בעצם''. בדיון עם ירדן הסתובבנו סביב מספר שאלות. היתרון החשוב של דיון כזה הוא שאם אין לי תשובה טובה לשאלה אחת אני פשוט מתעלם ממנה ומתייחס לשאלה אחרת. מעבר לכך, נדמה לי שהמחלוקת הבסיסית היא בשאלה ''מה הקשר בין המתמטיקה לעולם''. הטענה שלך היא שהקשר הוא אפיסטמולוגי (ייצוג, הבנה). ואני חושב כמוך. הטענה של אליהו - אם הבנתי אותה נכון - היא ברמה המטאפיסית (''המציאות היא מתמטיקה''). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
קאנט טען שהמתמטיקה היא סינתטית ו*אפריורית*. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אז מה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם אינני טועה פירושו של דבר שהיא הכרחית בכל העולמות האפשריים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איני בטוח שאפלטון היה מאשר אותי כנציג משנתו. הסיבה הראשונה לכך היא שאפלטון טען ליכולת להשיג את האמת ע"י התבוננות פנימית בלבד. כל עוד יכולת זו מיוחסת לבני אנוש (להבדיל מכל האחרים...), אנו חלוקים (לכן כתבתי: "...כזה שלא הניבו ...והתבוננות פנימית"). השגת האמת על העולם דרשה ועודנה - אינטראקציה הדוקה עימו. הסיבה הראשית לכך היא שצמיחת היכולות הלוגיות אצל בני אדם, מתוך אלו הפשטניות, השגויות, המולדות, דורשת התבוננות, ניסוי וטעייה – כדי להגיע למסגרות חשיבה הדרושות להבנת האמת החיצונית לנו - יש צורך בלמידה. אך גם למוטנט בעל יכולות לוגיות מושלמות מבטן אימו, נדרשת תצפית כדי לברר איזה מן היקומים האפשריים הוא זה שלו – כפי שעשה למשל האבל וגילה שהיקום בו הוא חי מתפשט. סיבה שניה לאי-אפלטוניות המאמר היא הטענה שמאחר והיקום הוא כבר מבנה מתמטי (ולא מהויות עשויות ממשהו שאינו מתמטי שרק מתקיימים בינהן יחסים מתמטיים), אין כאן את ההפרדה האפלטונית בין עולם האידאות לבין זה המוחשי, אם תרצה, עולמנו הינו אידאלי כפי שהוא (: בסיבה שלישית איני בטוח, אך נדמה לי שאפלטוניסט אדוק יטען שהמספרים הטבעיים הינם ישויות המתקיימות כשלעצמן, בעוד שלמיטב ידיעתי אין הם אלא חלק ממארג המשפטים הנובע ממערכת אקסיומות מתאימה, ואין להם משמעות מחוצה למבנים כאלו. בעניין אחד דווקא כן מתיישבת העמדה במאמר עם זו של אפלטון: "טענה מתימטית נכונה היא 'דבר' אמיתי, אפילו יותר מאשר כיסא או שולחן" ("זמן ותודעה" של אבשלום אליצור, ע"מ 10). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
"המספרים הטבעיים... הם ... חלק ממארג המשפטים הנובע ממערכת אקסיומות מתאימה, ואין להם משמעות מחוצה למבנים כאלו." האם האקסיומות עצמן קיימות? אם כן, באיזה מובן? האם קיומן של כל מערכות האקסיומות האפשריות מובטח באותו אופן שכל מערכת מתמטית עקיבה קיימת, לפי התאור שלך? הטענה שלמספרים הטבעיים אין משמעות מחוץ למערכת האקסיומות נראית לי, איך לומר, תמוהה קצת. אנשים ספרו שלושה תפוחים ועשרה ראשי בקר אלפי שנים לפני שמישהו העלה בדעתו לבנות את המערכת האסיומטית שאתה מדבר עליה. פיתגורס לא הכיר את מערכת האקסיומות שלך, אבל קשה לומר שלטבעיים לא היתה משמעות לגביו. למעשה התרחש כאן תהליך אחר. לבני אדם היה מושג של מספרים טבעיים, ואז בא מישהו - פאנו, נניח - ובנה מערכת אקסיומטית שאיבריה מתנהגים באופן כזה שניתן ליצור התאמה בין כל התכונות של הטבעיים לבינו. מבחינתך זה מוחק את המושג הקודם, אבל אני איני רואה כיצד המושג נעלם רק משום שהראית דרך אחרת לתאר את מערכת החוקים שבעזרתה הוא פועל (והדברים נכונים, כמובן, גם לכך שמידול מתמטי מושלם של חלקיק אין משמעו שהחלקיק הוא מתמטיקה אלא רק שניתן למדל את התנהגותו באמצעים מתמטיים). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא חושב שהניסוח של האקסיומות משנה משהו, כי המבנה המתמטי כרעיון מופשט (''מושג'' בלשונך) בלתי תלוי בהן. המספרים של פיתגורס התנהגו כמו המספרים של פרמה, וההתנהגות הזו מתמצה במערכת האקסיומות שפיאנו ניסח (נגיד...). אפשר לנסח מערכות אחרות של אקסיומות שגם הן תתארנה את אותו מבנה מתמטי. שים לב גם שמערכת אקסיומות לא צריכה לתאר את כל התכונות של המבנה-המתמטי אותו היא מתארת (לזה קוראים ''תורה'') - צריך רק שכל תכונה שלו (''משפט'') תהיה בת-הסקה מתוך המערכת. העובדה שניסחו מערכת אקסיומות למושגים המתמטיים לא מבטלת את ה-''מושג'', אבל כן מגלה לגביו דברים מסויימים (שהתורה של המבנה אקסיומטית). עד כמה שאני מבין את המאמר, הוא מוסיף לרשימת הדברים שזה אומר עליהן עוד משהו (תכונה של ''קיום'' כנראה). יש גם מושגים (מבנים מתמטיים) שאי אפשר לנסח עבורם מערכת אקסיומות לא-טריוויאלית. כי הם לא עקביים, או כי התורה אינה אקסיומטית, למשל. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
השאלה היא מהו היחס בין המספרים הטבעיים עצמם לבין אותם יצורים המוגדרים בעזרת האקסיומות של פאנו. האקסיומות מגדירות מערכת כלשהי של יצורים מתמטיים ושל היחסים ביניהם. לעומת זאת, המושג המסורתי של מספרים טבעיים עוסק בספירת כמויות של עצמים ממשיים. כאשר אני מדבר על שלושה תפוחים אני לא מדבר על עוקב של עוקב של איזשהו איבר-יחידה. האקסיומות של פאנו בונות מערכת שבאמצעותה ניתן לתאר את היחסים בין כמויות שונות, כלומר ניתן ליצור התאמה חד-חד ערכית בין היצורים שהוא יוצר בעזרת המערכת שלו והיחסים האפשריים ביניהם לבין כלל המספרים היכולים לייצג כמויות של עצמים ממשיים והיחסים האפשריים ביניהם. השאלה היא האם האפשרות ליצור התאמה כזו הופכת את המספרים עצמם ללא יותר מאשר אוסף היצורים של פאנו? לדעתי לא. לדעתי הקביעה שהמספרים הם "חלק ממארג המשפטים הנובע ממערכת אקסיומות מתאימה, ואין להם משמעות מחוצה למבנים כאלו" פשוט לא נכונה. רוב רובם של מיליארדי בני האדם בעולם לא שמעו מימיהם על מארג המשפטים הנ"ל, והדבר אינו מונע מהם לדעת היטב את המשמעות של להיות בעל יתרה של מיליון דולר בבנק, למשל. התאור דרך מערכת האקסיומות הוא סוג של רדוקציה למודל; המערכת מתארת יפה את היחסים האפשריים מתמטית בין מספרים, אבל בינה לבין המספרים עצמם יש התאמה ולא זהות. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אפלטון מת, כך שאני לא רואה סיבה מיוחדת שתזדקק לאישור שלו. "פלטוניזם" היא עמדה כללית (למשל: http://plato.stanford.edu/entries/platonism/#4.1), כמו שקאנטיאניים היום אינם מאמינים שהפיזיקה זהה לתורת ניוטון. מעבר לזה, אני מוצא את הסיבה השנייה שציינת לאי-אפלטוניות המאמר כמעניינת מאוד ומקורית מאוד (וחוץ מזה אין לי מה להגיד עליה, אבל זה באמת כיוון מסקרן). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אינני בטוח שאני מבין את הדקויות של הדיון כולו. אני בעוונותי מטריאליסט, לאמור בסופו של דבר מה שקובע זה אם העובדה נכונה, כלומר אם יש משהו ממשי שעומד מנגד לטענה (האנושית). נדמה לי שיש כאן גם אידאליזציה של החשיבה המתמטית. אין טענות מתמטית קוהרנטיות וסדורות שהן בסופו של דבר טענות סרק, או שפשוט המציאות הוכיחה שהן אינן נכונות? אני למדתי כל השנים שמה שעמד ביסוד תורת היחסות הפרטית זה דווקא כן הניסיון החד משמעי של מיקלסון-מורלי. אינשטיין ראה זאת אחרת? יתכן. הוא בטח מבין בזה הרבה יותר טוב ממני. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |