 |
|
 |
||
|
||||
 |
התהיה אינה קשורה בהכרח למאמר (שקראתי אי אז בענין מין הסתם), ואולי עדיף לכתוב אותה תחת "הפרדוקס של זנון", אבל בכל זאת אשים אותה כאן. התהיה נוגעת להוכחת האלכסון של קנטור ואולי נובעת מחוסר בקיאות בה. למיטב הבנתי ההוכחה מתייחסת לדרגות של אינסוף (עוצמה א0, א1 וכו'). היא מראה כי גם קבוצה אינסופית בעצמה א0 אינה יכולה לייצר יחס התאמה למס' שנבחר בהתאם לפרוצדורת ההוכחה (זה בוודאי ניסוח גס ואולי שגוי. תיקונים יתקבלו בברכה). אני תוהה בעצם אם ההוכחה מגדירה משהו (עוצמות שונות של קבוצות) או שמא היא מגדירה גבול לידיעה ומצביעה על הבלתי מוגדר. נראה לי שאם ננסה לעשות את ההפך, למשל ניקח את המספר פאי ונאמר שנחלק אותו לנתחים, כאשר הנתח הראשון הוא בעל ספרה אחת (3), הנתח השני בעל שתי ספרות (14) השלישי בעל 3 ספרות וכך הלאה, ולכל נתח ניתן מספר אינדקס (1,2,3...), הרי שנקבל קבוצה אינסופית שכלל ההתאמה שלה מצביע בבירור על אברים שונים אף אם לא ניתנים לניבוי (אלא במידה שמכירים את המס' הטרנסצנדנטלי), אך בכל זאת הוא של קבוצה בעוצמה א0. הרעיון בטח שגוי ואולי אף טיפשי, ואם יש הסבר פשוט למה זה כך (מין הסתם זה קשור למשמעות הוכחת האלכסון, ובהחלט סביר שלא עמדתי עליה), אני אשמח לקרוא אותו. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
הוכחת האלכסון מראה שיש עצמה/עצמות שגדולה/ות ממש מ-א0. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא חושב שהבנתי את השאלה, אבל הנה כמה דברים. > "היא מראה כי גם קבוצה אינסופית בעצמה א0 אינה יכולה לייצר יחס התאמה למס' שנבחר בהתאם לפרוצדורת ההוכחה." לא, ממש לא. יש שתי טענות שונות הזוכות לכותרת "האלכסון של קנטור", ואלו הן: 1. אין אפשרות להתאים לכל מספר טבעי (1,2,3, וכו') מספר ממשי (כל מספר בעל פיתוח עשרוני) באופן "חד-חד-ערכי ועל", כלומר: לכל טבעי מותאם ממשי יחיד, ולכל ממשי מותאם טבעי יחיד. 2. אין התאמה חח"ע ועל (כמקודם) בין איברי קבוצה כלשהי לאוסף הקבוצות החלקיות של אותה קבוצה. במלים אחרות, יש "יותר" קבוצות של מספרים טבעיים בין 1 ל-10 מאשר מספרים טבעיים בין 1 ל-10, "יותר" קבוצות של טבעיים מאשר מספרים טבעיים, וכו'. > "אני תוהה בעצם אם ההוכחה מגדירה משהו (עוצמות שונות של קבוצות) או שמא היא מגדירה גבול לידיעה ומצביעה על הבלתי מוגדר." ההוכחה כשלעצמה לא מגדירה כלום. יש הגדרה נפרדת ל-"קבוצות שוות עוצמה", וההוכחה מראה שהמושג הזה הוא מעניין (למשל, אין זה נכון שכל הקבוצות האינסופיות הן שוות עוצמה). אין לי מושג איך הוכחה מתמטית יכולה "להצביע על הבלתי-מוגדר". > "נראה לי שאם ננסה לעשות את ההפך, למשל ניקח את המספר פאי ונאמר שנחלק אותו לנתחים, כאשר הנתח הראשון הוא בעל ספרה אחת (3), הנתח השני בעל שתי ספרות (14) השלישי בעל 3 ספרות וכך הלאה, ולכל נתח ניתן מספר אינדקס (1,2,3...), הרי שנקבל קבוצה אינסופית שכלל ההתאמה שלה מצביע בבירור על אברים שונים אף אם לא ניתנים לניבוי (אלא במידה שמכירים את המס' הטרנסצנדנטלי), אך בכל זאת הוא של קבוצה בעוצמה א0." מה זה "לא ניתנים לניבוי"? מה פירוש "להכיר" מספר כלשהו, טרנסצנדנטלי או אחר? נראה לי שאתה מתייחס במעורפל לאפשרות לייצר באופן אלגוריתמי את איבריה של קבוצה בת-מנייה. את הספרות של פאי (או רצפים מתארכים והולכים של הפיתוח העשרוני) אפשר בקלות לייצר אלגוריתמית (= "לנבא"...?), אך זה נכון בהחלט שיש הרבה קבוצות בנות-מנייה שאינן ניתנות לתיאור אלגוריתמי. תחום מעניין במתמטיקה עוסק בכך. קבוצה_רקורסיבית [ויקיפדיה] |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
ההוכחה כשלעצמה לא מגדירה כלום. יש הגדרה נפרדת ל-''קבוצות שוות עוצמה'', וההוכחה מראה שהמושג הזה הוא מעניין (למשל, אין זה נכון שכל הקבוצות האינסופיות הן שוות עוצמה). אין לי מושג איך הוכחה מתמטית יכולה ''להצביע על הבלתי-מוגדר''. גם השאר היה מעניין אבל זה בהחלט מספק אותי. תודה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אפשר לדמיין תורת קבוצות שבה כל הקבוצות האינסופיות שוות עוצמה? אם נוריד את אקסיומת קבוצת החזקה, נגיד? האם תורה כזו היא בהכרח לא מעניינת? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אזהרת הדיוט: בזמן האחרון בכל פעם שאני מעיר/שואל/עונה על עניינים מתמטיים אני יוצא טמבל גמור. מצד שני, כבר אין לי הרבה להפסיד, כך ש: אם אני מבין נכון, אכסיומת קבוצת החזקה מדברת על "*לכל* קבוצה אפשר להגדיר בלה-בלה-בלה". אם תוריד אותה, עדיין תשארנה קבוצות להן ניתן להגדיר את קבוצת כל התת-קבוצות שלהן אולי אפילו קונסטרוקטיבית - אני מעלה בדעתי איך לעשות זאת לקבוצת הטבעיים למשל בהשתמשי באינדוקציה גרידא - וכך שאיפתך לאינסוף אחד שמתאים לכולם לא תתממש. אגב, משהו דומה קורה גם לגרביים. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא יודע (לכן שאלתי). איך עושים את זה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני משאיר את זה כתרגיל לקורא (מה שאומר שהמשפט הראשון בתגובה ההיא מוכיח את עצמו שוב. איך חשבתי לעבור בעזרת אינדוקציה מעוצמה א0 לעוצמה גבוהה יותר, רק אלוהים יודע, ואפילו לו יש ספקות). האם אקסיומת החזקה אקויולנטית לאקסיומה החלשה יותר לגבי קבוצה אינסופית אחת שלה יש קבוצת חזקה? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
God should have his doubts, indeed.
AFAIK, if you do not assume the power set axiom, it is consistent (relative to consistency of ZF) that there are no cardinals bigger then ALEPH_0. About your weak power set axiom: I don't think it is equivalent to the regular one. My guess is that it is also relatively consistent that the integers have a power set, but the reals don't. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה זה "relatively* consistent*"? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
For many interesting axiom systems, one cannot proving consistency, because that would imply consistency of ZFC (which cannot be proved, assuming it's true). Therefore one can only prove relative consistency, i.e. that the system is consistent assuming ZFC is consistent.
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה:) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
שנה באמריקה וכבר שכחת לדבר עברית? מ. השור: אפשר גם לזרוק את אקסיומת האינסוף, ואז ודאי שכל העצמות האינסופיות שוות. יותר ברצינות, לא הייתי מהמר שתורת קבוצות ללא עוצמות תהייה מעניינת או מאירת-עיניים, אבל מה אני יודע. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
א. איזה שנה? בקושי חצי. ב. המחסור במקלדת עברית מקשה עלי. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא הוגן - אתה מתחמק. בלי אקסיומת החזקה עדיין אפשר לבנות קבוצות אינסופיות (נכון?). האם אפשר לבנות, למשל, את הרציונליים? או אלגברה מעל שדות סופיים? אם כן, אני לא מבין למה אתה טוען שהמערכת הזו לא מעניינת. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה לא הוגן בלהתחמק? "בלי אקסיומת החזקה עדיין אפשר לבנות קבוצות אינסופיות" זה קצת כמו "בלי פלפל חריף עדיין אפשר לאפות חלות". אקסיומת החזקה אינה עוזרת לבנות קבוצות אינסופיות, היא מאפשרת לבנות קבוצות בעלות עצמות שונות בהינתן קבוצה אינסופית אחת, אבל קבוצה אינסופית שכזו לא ניתן לבנות בעזרת אקסיומת החזקה. (חוץ מזה, "לבנות" זו אולי מילה מטעה קצת - אנחנו לא בונים דבר מה, רק מראים שקיומו נובע מהאקסיומות). בכל אופן, לא התכוונתי להתחמק - אולי פירשתי לא נכונה את השאלה. אפשר לעשות הרבה מאוד מתמטיקה אם מצטמטמים לקבוצות בנות-מנייה בלבד: יש הרבה חבורות, שדות, אלגבראות וכו' שהן בנות-מנייה, והן עשירות ומעניינות מאוד1. חשבתי שהשאלה היא מה קורה לתורת-*הקבוצות* אם מעקרים ממנה את אקסיומת החזקה, ואני חושב שמה שנשאר הוא לא נורא מעניין, אבל ייתכן מאוד שאני טועה (באופן כללי, סמוך הרבה יותר על התשובות של אורי - הוא מבין בדברים האלה פי שבע-מאות יותר טוב ממני). 1 אני לא לגמרי בטוח אם ואיך אפשר להגדיר ולעבוד עם משהו כמו מרחב טופולוגי בלי אקסיומת החזקה. באופן כללי, סביר שתחומים "אלגבריים" שורדים טוב יותר בלי האקסיומה הזו מאשר תחומים "אנליטיים". |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
טוב, העסק ממשיך להטריד אותי במקצת, אז נא להסביר לי איפה אני מפקשש (הפניה היא לכל אחד, כמובן): מה שעבר לי בראש כששלחתי את ההודעה הקודמת הוא שאני יכול לבנות את קבוצת החזקה של הטבעיים ע"י ספירה מאפס ועד שיבת הלובביצ'ר כשכל מספר אני מציג ביצוג בינארי הפוך, כלומר מימין לשמאל (כדי לא להסתבך אם אינסוף אפסים מובילים), כך: ltr mode, please ובכך "בניתי" את קבוצת החזקה. ברור ששניה אחרי ה"שלח" נזכרתי שאת הבניה הזאת גנבתי מקנטור עם משפט האלכסון המפורסם, שהוכיח בדיוק את זה שהיא לא אפשרית, אבל עכשיו אני שב ותוהה למה, בעצם, האלגוריתם הפשוט הזה לא עובד?
0000000... 1000000... 0100000... 1100000... 0010000... |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איפה בבנייה שלך מופיעה הסדרה: 1010101010... ? למעשה, בבנייה שלך מופיעות רק סדרות עם מספר סופי של אחדות (סדרה עם מספר אינסופי של אחדות תופיע לאחר שיבת הלובביצ'ר). ואכן, יש מספר בן מניה של סדרות מסוג זה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
על זה אני צריך לחשוב קצת (כלומר, הפעם אני אשתדל להמנע מתסמין ''שליחה מוקדמת''). תודה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
החברה שלך מבקשת שתפנה את המאמצים גם לתחומים קרובים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מה שמזכיר לי: מה עם ההעתקה מהמישור לעצמו שמעבירה כל מרובע קמור למרובע קעור? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, באמת תודה שהזכרת לי. גם שם בתחילה הייתי בטוח במשהו טריויאלי לגמרי, וחצי שניה אחרי ה"אשר" הבנתי שאני בכלל לא מבין על מה מדובר. אני מתחיל לחשוב שזה לא מקרי, הלחיצה הזריזה ההיא על הכפתור ההוא באותם מקרים בהם אני אמור לדעת טוב יותר (גם בבלוג של גדי כיכבתי כמה פעמים באופן דומה, וככל הנראה ההודעה הבאה שלי על אקסיומת קבוצת החזקה, אותה אני עומד לשלוח מיד, תתברר אף היא כאחד מאותם הילוכי שיכור). אבל היתרון של היותי אנונימי למחצה הוא שאני פטור מהסמקה, מלבד זו הוירטואלית, ואיתה אפשר לחיות. הידיעה שתמיד אני יכול להחליף את הניק ולקבל זהות חדשה היא ידיעה מחזקת, הלואי שזה היה כל כך פשוט גם בחיים. אז מה עם ההעתקה ההיא באמת? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
איזה גדי? גדי אלכסנדרוביץ'? לא ידעתי שיש לו בלוג. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש לו בלוג מצויין: http://gadial.blogli.co.il/ | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תודה (נחמד, המוטו הלקוח מג'ון פון נוימן. להזכיר לעצמי בכל פעם לפני שאני פותח את הפה, לא חשוב באיזה עניין..). | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הדיון יהיה מאוד משעמם אם לא מבינים על מה מדובר - והשאלהבאמת נוסחה באופן לא ברור, באשמתי. אז מהתחלה: אם יש 4 נקודות שונות במישור ABCD, הן יוצרות מרובע קמור או קעור כאשר מחברים אותן זו לזו *בסדר הזה* (A ל-B, B ל-C, C ל-D, D ל-A). לפעמים הן יוצרות מרובע מנוון (משולש, או סתם קו), ומזה נתעלם. אם נתונה העתקה f מהמישור לעצמו - לא בהכרח רציפה, סתם העתקה שלוקחת כל נקודה במישור לאיזו נקודה אחרת (או לא אחרת) - אפשר להתבונן במה היא עושה למרובעים הקמורים: ABCD מרובע קמור, f מעתיקה את A ל-a, את B ל-b וכו'. מה מצבו של המרובע abcd? עכשיו, סוף-סוף, השאלה היא: האם אפשר למצוא העתקה f כך שלכל מרובע קמור ABCD, תמונתו abcd היא מרובע קעור. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(-1,1), (1,1), (-1,-1), (1, -1) נחשב מרובע? קעור? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לפי ההגדרה שלי, עם הסדר - לא. אבל השאלה נהיית ברורה יותר (אני חושב) אם מתעלמים מהסדר: רביעייה של נקודות תיקרא "קמורה" אם יש מרובע קמור שקדקודיו הן הנקודות ברביעייה. על-פי ההגדרה ה*זו*, הנקודות בדוגמה שלך מהוות מרובע קמור. אני חוזר בי מהניסוח הקודם, וסליחה על הבלגן. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני מקווה שאני לא שובר את שיא הבורות בפתיל, אבל האם העתקה d=B (כלומר - המרובע abcd יהיה ABCB) היא חוקית? לחילופין, אם רוצים להימנע ממרובע מנוון, האם d יכולה להיות B פלוס חצי הדרך ל A פלוס חצי הדרך ל C ? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תשובה לא מוסמכת: קודם כל, רוצים העתקה אחת שתעבוד לכל המרובעים בעולם (טוב, במישור), כך שהעתקה שעובדת רק למרובע ספציפי לא מספיקה. שנית, ABCB הוא לא מרובע אלא "צורה מנוונת" כפי שהגדיר אלון והוא רוצה להעביר רק קמורים לקעורים. אגב, אלון - צריך שההעתקה תהיה חד חד ערכית ועל? הופכית לעצמה? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
Probably I'm missing something, but wouldn’t the transformation abcd = ABC[B + (C-B)/x + (A-B)/y] work for every ABCD and x,y bigger then 1?
|
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זאת לא העתקה של ה*מישור*. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
רק כדי להבהיר, כי אני הבנתי משהו אחר בפעם הקודמת: אתה מעתיק את קבוצת הנקודות המהווה את היקף המרובע (כולל הקטע בין A ל- B ושאר הקטעים) או רק את הקודקודים? אני חשבתי שכל ההיקף מועתק. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נראה לי שאם כל ההיקף מועתק אין מה לעשות. אם ההעתקה חייבת להעביר קווים ישרים לקווים ישרים, נדמה לי (כלומר, התעצלתי להוכיח) שהיא חייבת להיות ליניארית. העתקה ליניארית מעתיקה מקבילית למקבילית ולכן בפרט לא הופכת מרובעים קמורים לקעורים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בעצם זה מזכיר לי משהו שחשבתי עליו (ולא כתבתי למיטב זכרוני) בפעם הקודמת שהחידה הזו עלתה פה: נראה לי שאף העתקה אנליטית לא יכולה לעבוד כי כל העתקה כזו אפשר לקרב לוקאלית על ידי העתקה ליניארית ולכן אם ניקח מקבילית מספיק קטנה, היא תישאר מקבילית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אוקי, נראה לי שיש לי הוכחה למקרה הכללי. מי שלא רוצה לראות, שלא יסתכל (אבל אני מקוה שמישהו כן יסתכל כדי להגיד לי אם אני צודק). אגב, יש סיכוי למערכת לכתיבת תגובות עם תוכן מתמטי (כמו שלהם http://wordpress.com אולי?). > נניח בדרך השלילה שקיימת העתקה כזו ונסמנה (*). נתבונן בנקודות א, ב, ג במצב כללי (משולש), ההעתקה מעבירה אותן לנקודות א*, ב*, ג* שגם הן במצב כללי. כעת, נתבונן בנקודה ד במצב כללי מחוץ למשולש מ=אבג, אזי קיים מרובע קמור שקודקודיו אבגד. לכן בהכרח ד* נמצאת בתוך המשולש מ*=א*ב*ג* (כי מעתיקים מרובעים קמורים לקעורים). מכאן שההעתקה (*) מעתיקה את כל הנקודות במצב כללי מחוץ ל- מ אל תוך מ*. כעת נתבונן במשולש נ שקודקודיו נמצאים כולם במצב כללי ביחס ל- מ וכן קודקודי מ נמצאים במצב כללי ביחס ל- נ. אזי בהכרח נ* מוכל ממש ב- מ* אבל גם מ* מוכל ממש ב- נ* ומכאן סתירה.
> > > > > > > > > |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אופס, טעות בהוכחה. מקוה שלא בזבזתי את זמנו של אף אחד. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
תיאורטית ההעתקה יכולה להעתיק קטע לזוג קטעים עם קודקוד ביניהם, או אפילו לתת קבוצה של נקודות במרובע בתמונה, אשר תושלם ע''י שאר הקטעים במרובע המקור להיות כל מרובע התמונה. אני מסכים שיש המון אילוצים על העתקה כזאת, אבל אין לי נימוק למה היא בלתי אפשרית. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא, מדובר רק על הקדקודים. כושר הניסוח שלי התדרדר מאוד מאז שאני ממעט לכתוב כאן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
זה בדיוק מראה לך מה עליך לתקן! | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
נחמה קטנה :) ברגע שלחצתי על "אשר" הרגשתי שעברתי ממצב של הדיוט לאידיוט. לא בטוח שהבנתי את הדיון, אבל נראה מעניין. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני צריכה להעביר פרזנטציה בנושא הפאי. המרצה דורש שנמצא את ההוכחה של הפאי שמוכיחה שהפאי הוא בעצם המספר 6.28 שאליו הגיעו ע"י כך שחילקו את המעגל או משו כזה..ואז חילקו את המס' הנ"ל לשתיים בגלל הקוטר.. ומשם הגיעו ל 3.14... בבקשה בבקשה אם משהו מכיר את המקור או איזה שהיא דרך שאוכל להגיע להוכחה הזו..אני יודה לו מאוד!! תודה מראש,עדן |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אם תמצאי את ההוכחה תשלחי אלינו, כי: א. זוהי ההגדרה של פאי, היחס בין היקף המעגל לקוטרו. ב. פאי איננו 3.14, אלא מספר לא רציונלי שקרוב לזה. מקווה שלא טרוללתי, ואם כן - לא נורא. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לא יודע דוקא על 6.28 אבל מן הסתם הכוונה של המרצה שלך הוא לקירובים של פיי ע"י מצולעים משוכללים שחסומים ע"י המעגל או שחוסמים אותו, קירובים שהתפרסמו ע"י ארכימדס (לצערי אף אחד מהם אינו נותן 3.14). אם את שולטת באנגלית מדוברת (קצת ידע ב spreadsheet לא יזיק) תוכלי להעזר בסרטון http://www.youtube.com/watch?v=_rJdkhlWZVQ&featu... כדי להעביר פרזנטציה מעולה. | |
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |