בתשובה לסמילי, 01/01/02 19:15
שלילתה של אקסיומה 50769
הממ... הנה מחשבה: רוב (כל?) האקסיומות הן בעלות מבנה של הכללה: כל זוג של ישרים מקבילים אינם נפגשים. לכל טענה P, או P נכונה או לא-P נכונה. כל חוק טבע נכון בכל זמן ובכל מקום. כל ההחלטות הכלכליות של בני-אדם רציונליות. כל מחלות הנפש נובעות מדחפים מיניים מודחקים.

אם תשלול טענה כוללת, תקבל טענת קיום: קיים זוג של ישרים מקבילים שאינם נפגשים, ..., קיימת מחלת נפש שאינה נובעת מדחף מיני מודחק. אולי אפשר להציע דבר כזה כאקסיומה, השאלה היא מה כבר יש לעשות עם אקסיומה כזו. לרוב אנו אוהבים לבסס טענת קיום על דוגמה - ואם יש דוגמה, הטענה כבר אינה אקסיומה.

דוגמה נגדית: האקסיומות "קיים אלוהים", או "קיים עולם פיזיקלי חיצוני לנו". גם הן וגם שלילתן (לא קיים אלוהים, לא קיים עולם חיצוני) - נראות לי שיכולות לעבוד בתור אקסיומות. האם יש משהו מקביל במתמטיקה?
שלילתה של אקסיומה 50809
מעניין, יכול להיות שזה ההבדל המבני בין אקסיומות לאמונות.
שלילתה של אקסיומה 50843
There isn't any problem with that. In Euclidean Geometry, the parallel axiom is assumed, which, simply stated, means that given a line and a point not on that line in the plane, there is only one line that passes through that point, and does not cross the original line. Previous assumptions can prove that at least one parallel exists.
Now, in Hyperbolic Geometry, the exact opposite is assumed: that there are more or less than one parallel line, which, because we already know that there is at least one, means that there is at least another parallel line.

By the way: even the most basic axiom in Euclidean Geometry is an assumption of existence: "between every two points there exists one line."
In Algebra, one of the axioms of groups is that a group has a neutral element.
The "Axiom of Choice" is an existence axiom: "given a set of non-empty sets, there exists a set that contains one element out of each set."

If we move towards theorems, Analysis is notorious for "existence theorems," namely, theorems that state the existance of certain objects, without pointing them out explicitly. An example:
"Let f be a continuous function on the interval [a,b], and f(a) < f(b). Then for every x in (f(a),f(b)) there exists a point c in (a,b) such that f(c) = x."
שלילתה של אקסיומה 50909
<נא לא לקרוא, אלא אם אתם אוהבים מתמטיקה>

כל הדוגמאות שהבאת הם, סבורני, טענות כוללות ולא טענות קיום! כלומר, הן במבנה לוגי של כמת כפול, "לכל-קיים". הרי אקסיומת המקבילים אומרת ש*לכל* ישר ונקודה מחוץ לו קיים ישר מקביל אחד. שלילתה תהיה הטענה שקיים ישר ונקודה מחוץ לו כך שיש יותר (או פחות) ממקביל אחד. וזו לא האקסיומה של הגאומטריה הלא-אוקלידית! האקסיומה האלטרנטיבית גם היא גורסת (נדמה לי) ש*לכל* ישר ונקודה מחוץ לו קיימים אינסוף ישרים מקבילים - שוב טענה כוללת! זו אמנם טענה שסותרת את האקסיומה האוקלידית, אך אינה מהווה את שלילתה.

באשר למשפטים, על זה לא דיברתי - הטענה שלי הייתה שטענות קיום "אמיתיות", כלומר כאלו שהכמת *החיצוני* בהן הוא קיים, לא שימושיות במיוחד כאקסיומות. במשפטים אולי המצב שונה. אבל הפלא ופלא, גם משפט הקיום שהבאת כדוגמא הוא טענה כוללת ("לכל פונקציה רציפה..."), במובן שאני מתייחס אליו. קוראים לבני מינה "משפטי קיום", אני מניח, מכיוון שהחלק "המעניין" שבהם הוא הכמת הפנימי, ה"קיים".

ועכשיו מסתמנת אפשרות עוד יותר מפתיעה (אותי, לפחות): אולי כל המשפטים במתמטיקה הם טענות כוללות? זה בוודאי לא נכון: המשפט המתמטי "קיים מספר ראשוני" הוא טענת קיום לכל דבר. אלא שהוא לא כל כך מעניין... האם קיימים משפטים "מעניינים" שהם טענות קיום אמיתיות?
שלילתה של אקסיומה 50984
The axiom I presented for Hyperbolic Geometry is the correct one. It can be used to prove that there are infinitely many parallel lines to each line, going through a point not on it.

But you are correct, my statements were a bit irrelevant. And your last conjecture seems to be true, to me. Mathematics, as far as I know it, is not really interested in what exists in the real world, and what doesn't. It does interest itself in the logical consequences of properties of objects. An Applied Mathematician can then say "Lo, for this Physical/Engineering-related/Literary(?) problem can be translated into yon Mathematical object, where it can be dealt with by the tools of Mathematics."

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים