בתשובה לעוזי ו., 01/08/02 2:36
באמת מה יהיה ? 82178
למה אתה שם במרכאות את שני המשפטים הראשונים, כאילו אתה מצטט אותי?

אני לא חושב שאני מחדש לך הרבה בטענתי שבתורת הקבוצות, כמו בכל מערכת אכסיומטית אחרת, יוצאים ממושגים לא מוגדרים, ושכל חיפוש מילונאי של, לדוגמא, המושגים: קבוצה, איבר, עוצמה הופך במהרה לחיפוש מעגלי (טוב, כל חיפוש מילונאי הופך לכזה בהכרח כי יש רק מס' סופי של מילים במילון). אני לא קראתי את ראסל ווויטהד, אבל אם הם לא השתמשו בשום מושג יסוד אני אשמח לשמוע איך הם הצליחו.

מה זאת אומרת ההגדרה של 2 היא 1+1? ראשית, אתה צריך להגדיר 1, וזאת אתה עושה בהסתמך על מה שנקרא "עוצמה" שמוגדרת עבור היצור שנקרא "קבוצה", ואם אני זוכר נכון גם "איבר" משתרבב לשם , וכמדומני גם מושג ה"הכלה", ונדמה לי שרק אז אפשר להגדיר את ה"0" בתור העוצמה של הקבוצה הריקה ומשם אתה כבר יכול באמת להמשיך ל"ההגדרה של 4 היא "3+1", ההגדרה של 3 היא "2+1", וההגדרה של 2 היא "1+1"" (אגב, מעניין למה החלטת ללכת דוקא בסדר הזה ולא הפוך).

אני מתנצל מראש אם עשיתי כאן איזו טעות נוראה והשתמשתי במשהו שהוא *כן* מוגדר באמצעות המושגים האחרים (שוטים נוטים לעשות טעויות כאלה). מכל מקום, אני לא חושב שאנחנו באמת מתווכחים על העיקרון שלא ניתן להגדיר שום דבר בלי להשתמש במושגי יסוד או בלי שההגדרה מעגלית.
באמת מה יהיה ? 82203
מר שוטה הנכבד,
הגבתי ל-GeG ולא לך; ציטטתי אותו, ולא אותך. (הציטוט אמנם אינו מלה-במלה, אבל בכל זאת מדויק והוגן).

אם לא תתעקש, אני גם מעדיף לענות באריכות (שמן הסתם תדרש) לו ולא לך.

בכל אופן (ובקיצור): ישנן שתי גישות ליסודות המתמטיקה. הגישה הנאיבית (והפרקטית) מניחה קיום של מושג לא-מוגדר אחד בלבד ("קבוצה"). עם כל השאר מסתדרים מצוין. הגישה הדקדקנית יותר לא צריכה אפילו את זה (היא עוסקת בעולם שיש בו קבוצות ויחס שייכות; כך לא צריך "להגדיר" כלום).

בכל אופן הסדר הנכון הוא להגדיר את הקבוצה הריקה, ולקרוא לה אפס. לקבוצה שאיברה היחיד הוא אפס, קוראים אחד. לקבוצה שאיבריה הם אפס ואחד, קוראים שתיים. באופן הזה מגדירים את המספרים הטבעיים (ופעולת החיבור) הרבה לפני שמתחילים לחשוב על עוצמות.
באמת מה יהיה ? 82216
מר ו. הנכבד מאד,

לא אתעקש. יתר על כן, אני מקבל בתודה את הערתך על תורת הקבוצות הפורמלית בה פשוט מדלגים על ההגדרות, ולהבא אשתדל לנסח טענות על המתמטיקה‏1 בצורה שתכלול גם את האפשרות הזאת.

בברכה,

ש. הכפר

-------------------

1 ובמיוחד אשתדל לא לנסח טענות על המתמטיקה.
קישור שוליים 82229
ששייך יותר לויכוח שלך בענייני חיות, אינטליגנציה וניסויים, אבל מתחבר יפה גם ל 1+1=2 שלנו כאן:
"היא עוסקת בעולם שיש בו קבוצות"? 85036
ועל מה מתבססת הידיעה של המתמטיקה שקיים עולם כזה??
למיטב ידיעתי, לא ניתן להגדיר כל מתמטיקה ללא יציאה מאיזשהו מושג יסוד. בד"כ מושג היסוד הזה הוא המושג 'קבוצה'. אחת הבעיות היא שהמושג הזה *אינו* כל-כך אינטואיטיבי כפי שהוא נראה, כפי שהוכיח הפרדוקס של ראסל.
"היא עוסקת בעולם שיש בו קבוצות"? 85037
זה היופי של כל הענין - המצב הוא הרבה יותר גרוע.
לא רק שאין הוכחה שקיים "עולם כזה" (דהיינו מודל לתורת הקבוצות); לפי אחד המשפטים של גדל, יתכן‏1 שאפשר להוכיח‏2 שאין עולם כזה.

1: "יתכן" כאן במשמעות קצת מוזרה: לא ניתן להוכיח את ההיפך.
2: להוכיח - בכך שנצביע על סתירה פנימית במערכת האקסיומות הסטנדרטית‏3.
3: המשפט של גדל נכון לכל מערכת חזקה מספיק (שזה די מעט), ולכן "סטנדרטית" הוא מונח רחב מאד.
"היא עוסקת בעולם שיש בו קבוצות"? 85278
Well said.

זו (היעדר ההוכחה) אגב הסיבה המקורית שזנחתי את הלוגיציזם, עוד לפני שידעתי מה *בדיוק* אומר גדל, ונזקקתי למטאפיזיקה (של קאנט. על הטיעונים הטרנסצנדנטליים שלו). מעניין אם נשארו עדיין חסידי לוגיציזם (אולי באייל?). למיטב ידיעתי זהו דינוזאור אינטלקטואלי, ממש מאובן מושלם!
נושא למשאל 85308
האם את/ה לוגיציסט/ית? אני בטוח שההענות תהיה פנטסטית.
נושא למשאל 85310
אני חושב שההענות תהיה באותה עצמה, אבל התשובה "מה זה לוגיציזם?" תהיה המנצחת. כאמור, זה דינוזאור אינטלקטואלי.

ובכל זאת, כל מי שמכיר את המושג יסכים שהוא מרתק. לפחות ממי שאני מכיר.

שווה ללמוד אותו; לא כדי לעשות סקר כזה...
נושא למשאל 85436
אה.

(דובי, הצתה מאוחרת)
"היא עוסקת בעולם שיש בו קבוצות"? 85360
מה זה "לוגיציזם"?
גם אני 85382
גם אני הייתי רוצה לדעת מה זה לוגיציזם. המחשבה שאולי אני כזה ואפילו לא ידעתי, מטרידה אותי.
גם אני 89030
ועוד יותר חשוב, זה מדבק?
"היא עוסקת בעולם שיש בו קבוצות"? 85449
במקום לשטוח הסבר של עמוד פוליו, בסופו אני אזכה רק לתגובה מסוג "אתה משעמם", אנסח את כל הרעיון בשלוש מילים: מה שראסל אמר.

או: מי שגדל הרס לו את החלום.

אגב,לכל אוהבי בעיית המורכבות במתמטיקה, מה אתם אומרים על קידוד תפיסה שלמה ומורכבת-עד-אימה לשלוש מילים? :-)
"היא עוסקת בעולם שיש בו קבוצות"? 85456
אולי תהיה נחמד ותסביר לנו את זה בשלושה משפטים בלתי מחייבים?

הנה עזרה:
"היא עוסקת בעולם שיש בו קבוצות"? 85460
לא יודע אם הרזולוציה של שלושה משפטים היא הטובה ביותר: אני (כרגיל) מקבל את ההסבר של xrefer; במשפט אחד: 'Mathematics is logic'

הרזולוציה המתבקשת הבאה היא החצי-עמוד של xrefer (אמרתי כבר שזה אתר נהדר?): http://www.xrefer.com/entry/552663, ולמעוניינים, הרחבה מתבקשת בערך 'גדל': http://www.xrefer.com/entry/552184 (ציטוט: the only serious alternatives to the empiricist view and Gödel's own were logicism, i.e. the view that mathematics is a body of tautologies deducible from a system of purely logical axioms, and formalism, i.e. the view that mathematics is a purely formal extension of finitary reasoning, an extension which could never lead us into falsehood; but these views, logicism and formalism, had been effectively destroyed by Gödel's mathematical work.)

אני, כמובן, רואה בכך את ניצחונו הגדול של קאנט מול הפוזיטיביזם הלוגי, שאמר 250 שנה לפני גדל, ש 12 = 7 + 5 איננו משפט אנליטי, ומכאן הגיע לאידיאליזם הטרנסצנדנטלי (בדיוק על זה מדברת היחידה השנייה בקורס "עיון ב"הקדמות" של קאנט" באוניברסיטה הפתוחה: http://www3.openu.ac.il/ouweb/owa/yed.daf_kurs?mid=3...)

זה גם המקום בו הפורמאליזם הישן שלי, בסיגנון של רודוךף קרנפ, הוגבל ע"י קאנט. לאט לאט תוכלו לעקוב אחרי נתיבי השכנוע שאני עברתי, ובגללם הפכתי לקאנטיאני...
"היא עוסקת בעולם שיש בו קבוצות"? 85474
זה יהיה מסע מרתק, אני בטוח, אבל אני פשוט אחכה לקרוא את הביוגרפיה שלך.
"היא עוסקת בעולם שיש בו קבוצות"? 85520
כנ"ל.

איך אמר אהוד ברק? "חכו ותראו".

(טוב, אז לא דוגמא מוצלחת...)
"היא עוסקת בעולם שיש בו קבוצות"? 85481
מקור בעברית: הספר "משפט גדל ובעית היסודות של המתמטיקה" של ארנון אברון, שהמלצתי עליו כבר:
תגובה 22928

(זה כמובן לא תכליתי במיוחד לקרוא אותו רק כדי לדעת על איזה מילה שמישהו זרק באייל, אבל זה ספר חובה בלי קשר)
"היא עוסקת בעולם שיש בו קבוצות"? 85521
מצטרף להמלצה. ספר נפלא באמת.
"היא עוסקת בעולם שיש בו קבוצות"? 85585
ומי שקורא אנגלית, בל יחמיץ את Goedel Escher Bach של הופשטטר.

את גדל הייתי זורק יחד עם הייזנברג לאגף מיוחד בגיהנום, וממנה את ראסל ואיינשטיין לאחראים על טמפרטורת הזפת.

נו, מה, צריך להוסיף אמוטיקון של קריצה?
"היא עוסקת בעולם שיש בו קבוצות"? 155043
האם תורגמו ספרים של הופשטטר לעברית?
"היא עוסקת בעולם שיש בו קבוצות"? 155047
למיטב ידיעתי לא, אבל מישהו ששנינו מכירים מנסה בימינו אנו לעשות בדיוק את זה.
"היא עוסקת בעולם שיש בו קבוצות"? 155048
תודה, אני אשמח לשמוע על התפתחויות בנושא.
בינתיים, האם יש דרך להשיג את הספרים האנגליים בארץ ללא צורך בכרטיס אשראי בין לאומי?
"היא עוסקת בעולם שיש בו קבוצות"? 155050
ניסית בספרייה?
"היא עוסקת בעולם שיש בו קבוצות"? 155054
תתפלא, אבל כן.
אפילו בכמה ספריות, שאינן ספריות של אוניברסיטאות.
אולי כאן נעוצה הבעיה.
"היא עוסקת בעולם שיש בו קבוצות"? 155062
את GEB קניתי בסטימצקי, אבל זה היה לפני המון שנים.
לתרגם את GEB? 155271
לא, נו, את ''זה''... סקס... 155278
(ask a stupid question...)
לא, נו, את ''זה''... סקס... 155283
אל תהיה מעצבן. הוא שאל על "ספרים של הופשטטר", רציתי לדעת אם התכוונת ל-GEB או לאחד מספריו האחרים.
לא, נו, את ''זה''... סקס... 155287
אה. תשאל במסדרונות של הטכניון. מסתבר שרצות שם שמועות בנושא.
"היא עוסקת בעולם שיש בו קבוצות"? 85494
שים לב:
"לוגיציזם: ההשקפה לפיה המתמטיקה היא גוף של טאוטולוגיות שניתן להסיקן מתוך מערכת של אקסיומות לוגיות לחלוטין."

הייתי טורח לנסות להבין מה זה אומר אם היה אכפת לי, אבל לא, אז לא.
"היא עוסקת בעולם שיש בו קבוצות"? 85525
מה לא ברור כאן?

אגב, בנוסף להמלצה של ירדן ניר, דיון מקיף בנושא קרוב מאוד (האנליטי והא-פריורי. והשאלה אם כל טענה אנליטית היא טאוטולוגיה) ניתן למצוא בספרו של שטייניץ, שכבר המצלתי עליו, "לעולם תהא המטפיזיקה".

ובכל זאת, נסביר את המשפט:
אם כל הטענות האנליטיות (המתמטיקה, למשל) הן טאוטולוגיות, הרי שניתן לעשות רדוקציה מלאה של המתמטיקה ללוגיקה ללא שום צורך בשום טענות מטאפיזיות, שאתם הפוזיטיביסטים שוללים (בהנחה שאתה אמפיריציסט-פוזיטיביסט, אסכולה שנעשתה הרבה פחות פופולרית מאשר בתחילת המאה).
מה לא ברור כאן? מממ... 85536
חצי מהמילים בתור התחלה. והפעם אני אפילו לא יכולה להאשים את העובדה שיש לי חסך רציני בשעות שינה ושאני אפוצה לחלוטין.

והחלק היותר בעייתי היה ההסבר שלך.
לי אמרו פעם שהסבר אמור לתת פירוש למושג מורכב בדרך פשוטה ומובנית יותר. יכול להיות שהדפיקות היא שלי (וזה אכן יכול להסביר הרבה מאד דברים), אבל מההסבר שלך הבנתי בעיקר את מילות הקישור, ואת המילה "שוללים"...

נו טוף,אני אתמודד עם זה.

_______
העלמה עפרונית, בפרץ חשיפה מרגש, עדיין מחפשת בית לשלושה חתולים.
מה לא ברור כאן? מממ... 85542
אה, טוב, נו. בשביל זה היה הקישור ל xrefer קודם לכן. לא ניסיתי להיות במקומו.

וההסבר שלי היה לדובי, שאני *יודע* שהוא מכיר ומשתמש במילים 'טאוטולוגיות' ו 'מטאפיזיות', שאלו המילים הקשות לדעתי, בהסבר. (המילה הקשה הנוספת 'האנליטיות', שהיא אולי הקשה מכולן, הוסברה כאן: תגובה 58018)
whatever 85543
____
העלמה עפרונית, עדיין מחפשת בית לשלושה חתולים. וגם עבודה באזור הנגב. יש הצעות?
whatever 85545
לגבי החתולים, אני אשלח לך דוא''ל.
מה לא ברור כאן? מממ... 86153
"לוגיציזם: ההשקפה לפיה המתמטיקה היא גוף של טאוטולוגיות שניתן להסיקן מתוך מערכת של אקסיומות לוגיות לחלוטין."

מה פירוש "לוגיות לחלוטין"? איך אקסיומה (מתמטית) יכולה להיות או לא להיות לוגית (ועוד לחלוטין)?
איזה כישרון 89028
להגיד ארבע שורות וחצי בלי שום משמעות בכלל. ועם המון מילים מסובכות שאני בטח הייתי טועה באיות שלהן. ומטאפורות נפלאות.

שיחקת אותה.
איזה כישרון 90260
אני לא יודע. לדעתי, אלו היו ארבע שורות וחצי דחוסות משמעות, באופן יחסי. אבל אצלי מעריצות זוכות ליחס מיוחד, אז אני אסביר לאט:

ראשית, "Well said". בערתן האדיבה של זוג המילים הללו הבעתי גם הסכמה לדבריו של עוזי וגם ציון לשבח על הבחירה הנאותה במילים.

"זו (היעדר ההוכחה) אגב הסיבה המקורית שזנחתי את הלוגיציזם" - כלומר, למרות שמהפרספקטיבה של מי שמכיר את דעותיי היום, נראה כאילו זנחתי את הלוגיציזם משום משפט אי השלמות של גדל, הרי שכבר זנחתי אותו קודם בשל אי יכולת ההוכחה לקיומו של העולם ההוא.

"עוד לפני שידעתי מה *בדיוק* אומר גדל, ונזקקתי למטאפיזיקה (של קאנט. על הטיעונים הטרנסצנדנטליים שלו)" - כלומר, כבר בגלל עצם הטיעונים הטרנסצנדנטליים של קאנט. כמובן שכאנטי-מטאפיזיקאי, וחסיד של הלוגיציזם, כפרתי בטיעונים הטרנסצנדנטליים של קאנט. עם קַבלתם, זנחתי את הלוגיציזם.

"מעניין אם נשארו עדיין חסידי לוגיציזם (אולי באייל?). למיטב ידיעתי זהו דינוזאור אינטלקטואלי, ממש מאובן מושלם!" - לא רק אני זנחתי. עם ירידת הפופולאריות של הפוזיטיביזם הלוגי, וגל הביקורות על אי השלמות במודל תורת הטיפוסים של ראסל/וויטהד (על שמו, כמובן, האימייל שלי, אם ניחשת...), חדל הלוגיציזם להוות זרם חשוב ורב משמעות כפי שהיה. הפופולאריות של משפט אי-השלמות הרגה אותו לחלוטין.

לכן, לא כל דבר שכבודה לא מבינה הוא חסר משמעות. רק בעיניך. ואני מתנצל אם השימוש הרב ב "מילים מסובכות", כפי שאמרת זאת בשפתך שלך, חורה לך. כבר הסברתי פעם (מי האייל הזריז שייתן את הלינק?) מדוע אני עושה זאת: חשוב לשמור על הקונסיסטנטיות של המושגים המקובלים, כך הקישורים שיעשה הקורא יהיו ברורים יותר. חוץ מזה, את רוב המושגים יהיה קשה ארוך ומתיש 'לתרגם' לשפה מדוברת.
אם כך... 90416
חשבתי קצת, ואם לוגיציזם הוא באמת ההשקפה ש"המתמטיקה היא גוף של טאוטולוגיות שניתן להסיקן מתוך מערכת של אקסיומות" (את הזנב "לוגיות לחלוטין" קצצתי, כי הוא חסר משמעות בעיני) - אז אני, כמו גם כל מתמטיקאי אחר שאני מכיר, לוגיציסט.

מתמטיקה היא מה שמתמטיקאים עושים (זו ההגדרה של G.H.Hardy, שהולמת ממנה אני לא מכיר).
מתמטיקאים מוכיחים משפטים.
את אלה אפשר להסיק מתוך האקסיומות (כך מוכיחים אותם).

צריך להעיר שהמתטיקה היא יצירה אנושית, ולכן הבחירה *אילו* משפטים לנסות ולהוכיח תלויה במה שמעניין; וזה כמובן עניין סובייקטיבי. ועדיין, המשפטים לא נחשבים לכאלה עד שעמדו בדרישות (דהיינו, נגזרו מן האקסיומות).
קפד זנבו 90445
הזנב שקצצת הוא, כמדומני, לב לבו של הלוגיציזם. הרעיון שעומד בבסיסו הוא שניתן למפות את המתמטיקה אל הלוגיקה הפורמלית (בדומה למיפוי של הגיאומטריה אל האלגברה דרך הגיאומטריה האנליטית) - והרעיון הזה נכשל בעקבות משפט גדל, אלא אם כן אתה מוכן לקבל שהלוגיקה אף היא מכילה משפטים נכונים אך אינם ניתנים להוכחה, מה שנשמע לאזני הלא מלומדות כבעיה גדולה בהבנת המושג ''לוגיקה''.
ואף על פי כן 90480
כמובן שהאקסיומות הן "לוגיות" ("לחלוטין") - מה הן יכולות להיות חוץ מזה?
הרעיון למפות את המתמטיקה אל הלוגיקה לא נכשל; משפטי גדל מוכיחים את מה שהם מוכיחים, לא יותר מזה.

לפי משפטי גדל, יהיו דברים נכונים שלא נוכל להוכיח ממערכת האקסיומות המקובלת. ברוב תחומי המתמטיקה, אלו לא יהיו טענות מעניינות (ולכן לא ניתקל בהן).
אנשי תורת הקבוצות הצליחו לבנות טענות רבות שהן בלתי תלויות באקסיומות היסודיות (ZFC); זו לא חוויה כל-כך טראומטית כמו שאפשר לחשוב: אם רוצים, מצרפים את הטענות החדשות האלה למערכת האקסיומות (ואם לא רוצים, אז לא).
ואף על פי כן 90487
כמובן שהן "לוגיות" במובן שהן הגיוניות, אבל הן אינן האכסיומות של הלוגיקה.

אתה מוכן לקבל שהלוגיקה מצריכה מס' אינסופי של אכסיומות (כי משפט גדל מראה איך אפשר לבנות סדרה אינסופית של "מס' גדל" שכל אחד מהם תצטרך להוסיף כאכסיומה כי הוא בלתי ניתן להוכחה)? או, לחילופין, אתה חושב שאפשר לדבר על "משפט נכון אך אינו ניתן להוכחה" בלוגיקה שמס' האכסיומות שבה סופי? יש משמעות בכלל לחיה כזאת? או שמא אתה מוכן לוותר על כך שהלוגיקה היא חסרת סתירות (וכידוע מסתירה לוגית אחת אפשר לגזור הכל)?

לפי הבנתי, אם התשובה לכל אלה שלילית, אתה לא יכול להיות לוגיציסט, שכן אלה הסדים שבתוכם נמצאת המתמטיקה עפ"י משפט גדל, או ליתר דיוק מערכות ברמת הסיבוך של המס' הטבעיים לפחות.

אני מניח שהמהGeg יכול לעשות כאן עבודה יותר טובה ממני, אז אני אשמח להעביר לו את הלפיד ולהתרכז יותר בפלירטוטים עם ברקת ועדי.
ואף על פי כן 90522
זה לא יהיה סימפטי לעבוד עם מספר אינסופי של אקסיומות (גם המתמטיקה הסופית שלנו מספיק מסובכת), ובפועל יספיק מספר קטן (וסופי עד מאד). אני מבין שבמקרה כזה יש משפטים נכונים שלא ניתן להוכיח אותם; אז מה? הטענות שהמשפטים האלה מייצגים הן, לרוב, לא מעניינות; אפשר להמשיך לעבוד בשאר התחום.

אין לי גם שום בעיה עם משפטים שהם ככל הנראה נכונים ולא יודעים להוכיח אותם; משלמים לי בשביל להקטין את מספרם של היצורים האלו.
עם סתירות בלוגיקה אני באמת לא מוכן לחיות.

ובהצלחה עם ברקת ועדי.
ואף על פי כן 90527
(דילגתי על המשפט הראשון שלך!)

עכשיו אני מבין ש"אקסיומות לוגיות (לחלוטין)" הן *האקסיומות של הלוגיקה הפסוקית*. שהן, כמובן, חלשות מכדי לעשות בהן משהו מעניין (דהיינו, לבנות את תורת הקבוצות). אז אני לא לוגיציסט; וגם לא אף מתמטיקאי שאני מכיר.
למה שמישהו ירצה להיות לוגיציסט?
ואף על פי כן 90636
לא רק הלוגיקה הפסוקית. אתה (בניגוד לי) יכול ודאי לקרוא את פרינציפיה מתמטיקה של וויטהד וראסל וללמוד על כל האמור לא מפי השמועה.

מי שרצה להיות לוגיציסט הם האדונים הנ"ל, וכמדומני מתמטיקאים לא מעטים בזמנם (הילברט?). אלא שלאחר משפט גדל אפילו ראסל הודה, במפח נפש גדול, שזה לא הולך.

(ורק בשביל לטהר את שמי ברצוני להדגיש שאת עניין ה"אקסיומות הלוגיות" לא אני הכנסתי לדיון, רק ניסיתי להסביר את הכוונה).
ואף על פי כן 90707
רשמתי לפני (כבר מזמן) לברר מה זה בדיוק לוגיציסם.
איזה כישרון 90584
תתפלא לשמוע, אבל כולנו, כל אחד מאיתנו, מבין היטב את משמעותן של מילות קישור, ובכלל, כל מיני מילים בעברית. נחש מה מהדברים שאתה אומר אנשים נורמליים לא מבינים?
תודה 90587
________
העלמה עפרונית, חוזרת לעמוד בפינה בשקט, ומהרהרת על יום העבודה הראשון שלה.
איזה כישרון 91351
היי! אתה סתם מקנה במעריצות שלי!

לא, באמת; מה לא ברור / לא בסדר?

(אף פעם לא טענתי לנורמליות‏1)

------------

1 באנגלית זה נשמע יותר נחמד.
איזה כישרון 91433
אויש, פאדיחה.

התכוונתי לומר 'מקנא', כמובן.

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים