מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300509
(וידוי: לא קראתי את התגובות ואם חזרתי על דברי קודמיי, אודה על קישור ואתנצל מראש)

אני זוכר שקראתי את המאמר הזה לראשונה,
או אז, אופן ההצגה של הפרדוקס של זינון לא נראתה לי מעניינת או מובנת דיה בכדי להתעמק בו.
עתה, פגשתי בו שנית בספר שאני קורא עתה ("המנושל" פרי עטה של אורסולה לה-גווין הנפלאה) והיא הציתה זיק של עניין בפרדוקס הזה:

הפרדוקס מוצג כך שאנו משליכים אבן על קיר.
בדרכה של האבן לקיר עליה לחצות את נקודת אמצע הדרך, וזה לוקח זמן.
אבל גם למקטע בין ההתחלה לאמצע יש אמצע, וגם להגיע אליו לוקח זמן.
וגם לאמצע הזה יש אמצע.. וכך עד אינסוף.
יוצא מזה שיעבור זמן אינסופי עד שהאבן תפגע בקיר, כלומר היא לא תפגע בו.
יתרה מכך, המיקום של הקיר הוא שרירותי ויכול להיות גם ממש סמוך לאבן, כלומר האבן בכלל לא יכולה לזוז.
מצד שני, אנחנו יודעים שהיא כן זזה וכן פוגעת בקיר.
פרדוקס.

משהו לא מסתדר, אז בואו נבדוק את הנחות המוצא פה, ונחפש את השגויה:
1. יש ממשות לאבנים וקירות.
2. יש לכל מקטע נק' המייצגת את האמצע שלו.
3. תנועה תמיד צורכת זמן.
4. יש תנועה.
5. יש פגיעה בקיר.

הנחות 1,4,5 נראות (בעיניי) לטריוויאליות ביותר.
אם ננסה להפר את 3 ונניח שיש מקטעי מרחב קטנטנים שהמעבר בהם הוא מיידי, הרי שניתן יהיה לחלק כל אורך למקטעים כאלה ואז התנועה בכל קנה מידה תהיה מיידית, וזה אינו קורה.
לעומת זאת, הנחה 2 היא לא מובנית מאליה שכן היא מניחה את הרציפות של המרחב והיכולת להמשיך לחלקו עד אינסוף.
די לנו שנסרב לקבל הנחה זו ונטען ל"אטומי מרחב" (כפי שעשה דמוקריטוס כשהניח אטומים עבור חומר) בכדי לעצור את הגלגל השועט של הפרדוקס ולהביא את האבן ליעדה.
בהנתן זאת, אני מוצא את מסקנתו של זינון כי דווקא הנחות 1,4,5 שגויות (וכי הכל אשליה ו-"There is no spoon") תמוהה.

בקיצור,
האין פרדוקס זה הוכחה בשלילה שהמרחב אינו רציף אלא בדיד?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300515
הבעיה היא במעבר מ''יקרו אינסוף דברים'' ל''יעבור זמן אינסופי''. אבנים יכולות לעשות אינסוף דברים בזמן סופי (בתנועה מכאן לשם הן עוברות באינסוף נקודות).
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300524
"בתנועה מכאן לשם הן עוברות באינסוף נקודות" הוא המשפט היחיד בתגובתך שהבנתי.
על סמך מה?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300527
אני לא טוען טענה פיזיקלית, אלא רק מנסה להצביע לשלב החסר בניסוח שלך את הפרדוקס. אמנם האבן עוברת באמצע הקטע, ולפני כן באמצע של המחצית, וכן הלאה - אז מה? למה זה צריך לקחת זמן אינסופי?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300517
(גם אני לא קראתי את כל ההודעות הקודמות, וגם אני מתנצל מראש)

אין בפרדוקס הזה הוכחה שהמרחב בדיד. משתי סיבות:
1) אפשר ליישב אותו גם בתורת הרצף. בעזרת העבודה שסדרות אינסופיות יכולות להתכנס למספר סופי. למשל 1+0.5+0.25+.... כך עד אינסוף.. הולך ומתקרב למספר סופי בהחלט, ודי קטן - 2.
כך גם החץ של זנון עושה מסלול רציף - המרחק כפונקציה של הזמן. x(t). אפשר לחלק את המסלול הזה לאינסוף חלקים, לכל אחד מתאים זמן מעוף משלו, אבל עדיין סכומם (זמן המעוף של החץ) יהיה סופי.
זה אולי סותר את האינטואיציה. שסכום של אינסוף איברים מתכנס. אבל זה רק אומר שאנחנו מספיק טפשים :). זה לא סותר את ההיגיון.

2) אם אי אפשר להוציא מפרדוקס זינון *כמה* הזמן והמרחב הם בדידים. (מספר, בשניות, או במטרים). אז הוא לא מוכיח שהמרחב הוא בדיד.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300519
2) למה ("אי אפשר להוכיח שמרחב הוא בדיד בלי שההוכחה תגיד כמה הוא בדיד")? אני מכיר המון הוכחות שדברים מסויימים הם סופיים בלי שיהיה אף רמז לגודל המדוייק שלהם.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300523
הסופיות של משחק שחמט למשל (אאל''ט)
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300529
מושג הגבול כנראה אלמנטרי למתמטיקאים,
אך אני מרשה לעצמי לאשש את הסטריאוטיפ על ביולוגים ולהקשות במופלא ממני:
יופי, אז סדרות אינסופיות *במתמטיקה* *מתכנסות*.
מה לזה ו*לעולם האמיתי*, וכל עניין ההתכנסות והאינסוף הם בעייתיים ביותר ונעשו נסיונות עקשים (וכושלים אאל"ט) לסלק את האינסוף מן המתמטיקה ע"י ענקי מתמטיקה בעבר.
אך עקרוני מכך,
מה הם אותם האיברים של הסדרה האינסופית שתיארת?
אם המרחק בין היד המשליכה את האבן לקיר הוא 2 מטר, האיברים 1,0.5,0.25 וכו' הם המרחקים שהאבן עברה כבר.
אולם זה בדיוק מה שאנו באים לבדוק, ולא יכולים להתלות בכך.
אם כבר עלינו לומר משהו כמו: האבן עברה 1 מטר. לא. היא עברה 0.5 מטר. לא. היא עברה 0.25 מטר. איפה זה יעצר? ‏1
האמנם המושגים שהגו מתמטיקאים בדורות שחלפו כמושג הגבול, הינם מספיק ממשיים עבור העולם האמיתי בו אנו חיים? מספיק ממשיים כדי לפייס אותנו עם הפרדוקס הזה?

בדיחה נושנה היא ששמים מתמטיקאי ופיסיקאי בקצה אולם כשבצד השני שאפה ומאפשרים להם בכל דקה לסגור מחצית מהמרחק ממנה.
המתמטיקאי אומר "למה לטרוח? ממילא לא אוכל להגיע" ואילו הפיסיקאי אומר "לצורך העניין, זה יספיק לי בהחלט".
אלא שלאבנים אין צורך להגיע קרוב לקירות.
הן פשוט מגיעות.

1 רקורסיה, זה לא יגמר אם לא תספר : )
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300535
זהו, שגם בעולם האמיתי סדרות אינסופיות יכולות להתכנס. הוכחה (לביולוגים): האבנים שאנחנו זורקים מגיעות לקיר.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300545
דווקא מושג הגבול נראה לי ממשי הרבה יותר מכל הטיעונים המשונים ("האבן חייבת לנוע במשך זמן אינסופי") שמשתמשים בהם כדי להסביר למה הפרדוקס הוא פרדוקס.

בוא נחשוב שנייה איך עובד מושג הגבול, מבחינה "פיזיקלית". אני טוען שבעזרת הגבול אני מסוגל לתת לך סרט צילום שבו רואים את האבן בכל נקודה מאינסוף הנקודות במסלול שלה. אתה, בתור בן אדם, מסוגל לעשות רק דברים סופיים, ולכן תסתכל בסרט רק על תמונה אחת בפעם (זה לא משנה אם זו תמונה אחת או מיליארד תמונות).

עכשיו, אתה רוצה להיווכח שהסרט באמת מתאר את כל התנועה של האבן אל הקיר. אתה חושב על מרחק כלשהו של האבן מהקיר (זה האפסילון שבהגדרת הגבול), ואז אני מביא לך את התמונה בסרט שהחל ממנה האבן קרובה יותר לקיר מאשר המרחק הזה (זה ה-N שבהגדרת הגבול), יחד עם הזמן שבו התמונה נלקחה. אתה מניד בראש ואומר וואלה. את זה אני יכול לעשות כמה פעמים שרק תרצה, עד שתשתכנע שהסרט באמת מתאר את כל המעוף של האבן אל הקיר. אמנם, ככל שאנחנו מתקדמים בסרט כך הולכים הפרשי הזמנים בין התמונות וקטנים, אבל עדיין יש אינסוף כאלה.

עד כאן תיארתי את ה*יכולת* לומר על משהו שהוא הגבול, כלומר את היכולת לתת N לכל אפסילון. הפואנטה היא שאני מוסיף לסרט הצילום את התמונה האחרונה, שבה האבן פוגעת בקיר וכתוב זמן הפגיעה הסופי בהחלט שלה. אתה, כזכור, מסוגל להסתכל רק על תמונה אחת בפעם. האם יראה לך לא הגיוני או "לא נכון" שזו התמונה האחרונה? המקום היחיד שבו זה חורק הוא אם תביט על התמונה ותגיד לי "יופי, תביא את התמונה שלפניה". אופס, את זה אי אפשר לעשות.

כמובן, כמו שה"אופס" הזה מראה, גם התיאור של הגבול לא מצליח להתיישב לגמרי עם האינטואיציה שלנו. השאלה היא האם הוא לא מתיישב איתה הרבה יותר מכל הסבר אחר. לדעתי הוא הרבה יותר טוב מכל הסבר אחר (לא שאני מכיר הרבה הסברים), ולכן מושג הגבול הוא בהחלט ממשי מספיק עבור העולם האמיתי שבו אנו חיים.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300600
אגב, התיאור שלי כאן מתאים להגדרת הגבול עבור סדרה, ואולי זה לא בדיוק מה שאתה מחפש כשזה מגיע לזריקת האבן. לא קשה לתקן את זה: עכשיו במקום סדרה של תמונות יש לי אוסף (לא בן מנייה אפילו) של תמונות כשלכל חלקיק זמן (שמיוצג על ידי מספר ממשי) יש תמונה, כך שבכל פעם שבו תדרוש מרחק כלשהו מהקיר של האבן, אני אוכל לתת לך פרק זמן מרגע כלשהו ועד לרגע שבו האבן פוגעת בקיר כך שכל התמונות של פרק הזמן הזה מראות את האבן קרובה לקיר לפחות במרחק שדרשת. כאן האנומליה של "אין איבר קודם" קיימת עבור כל האיברים, כי הרי אם יש לך תמונה של מה שקרה בשנייה מס' 1 אז לפניה יש תמונה של מה קרה בשנייה מס' 0, אבל ביניהן יש תמונה של שנייה 0.5 וכו', כך שזה נראה אפילו פחות חריג שאין קודם מיידי לתמונה ה"אחרונה", שמראה את האבן פוגעת בקיר.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 301361
לא הבנתי אם הצליחו לפתור לך את הבעייה?

"אז סדרות אינסופיות *במתמטיקה* *מתכנסות*. מה לזה ו*לעולם האמיתי*?...האמנם המושגים שהגו מתמטיקאים בדורות שחלפו כמושג הגבול, הינם מספיק ממשיים עבור העולם האמיתי בו אנו חיים? מספיק ממשיים כדי לפייס אותנו עם הפרדוקס הזה?"

יש, בערך, שתי אפשרויות. או שאתה מניח שה"עולם האמיתי" הוא דיסקרטי (הכל עשוי מפיקסלים בגודל זעיר, והשעון מתקתק), או שלא (בין כל שתי נקודות שונות יש עוד נקודה). הטיעון של האבן אינו יכול בשום אופן לקבוע עבורך מי משני אלה הוא הנכון. (למעשה, ככל הידוע לי אין בכלל דרך לקבוע מי משני אלה נכון).

אם אתה דיסקרטאי, הטיעון נופל, כמובן.

אם אתה רציפאי, תהיה רציפאי עד הסוף. זה לא עקבי (או, לפחות, לא מעניין במיוחד) להחזיק בשתי הדעות: בעולם האמיתי אפשר לחתוך כל מרחק לשניים, אבל "התכנסות" הוא מושג רלוונטי רק לתאוריטקנים המתמטיקאים. אם יש אינסוף אורכים שונים בין "מטר" ל"שני מטר", אז כמובן ששני מטר זה יותר ממטר, וגם יותר ממטר וחצי, וגם יותר ממטר ושלושת-רבעי, וכו'. אם מישהו "מסיק" מכך ששני מטר זה אינסוף, זו בעיקר בעייה בדרך הסקת המסקנות שלו. אני לא רואה כל סיבה להסיק את זה, וודאי לא רואה למה זה "מוכיח" שאין מרחקים רציונליים עדינים כרצוננו (לא צריך, אגב, להסתבך עם מספרים ממשיים).

במילים אחרות: אם אתה *מניח* (ואתה לא חייב) שיש מרחקים קטנים כרצוננו, אתה בהזדמנות זו גם מניח שמרחק סופי גדול מאינסוף מרחקים קטנים יותר. גם להניח את זה וגם לא להניח את זה נראה לי מוזר.

"כל עניין ההתכנסות והאינסוף הם בעייתיים ביותר ונעשו נסיונות עקשים (וכושלים אאל"ט) לסלק את האינסוף מן המתמטיקה ע"י ענקי מתמטיקה בעבר."

אני לא בטוח שאני יודע למה אתה מתכוון.

(אני זוכר שאני חייב לך עוד את השערת-רימאן, אבל האמת שעוד לא מצאתי דרך סבירה להציג אותה במגבלות המדיום הזה. יש כמה ספרים חביבים ופופולריים שיצאו לאחרונה...)
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 301363
"אני לא בטוח שאני יודע למה אתה מתכוון"

לדעתי הכוונה לנסיונות של המתמטיקאים להיפטר ממושגים כמו אינפיניטסימל בעזרת ה"אינסוף האקטואלי" (ככה קוראים לזה?)

בגלל שהגדרת הגבול של קושי לא באמת משתמשת באינסוף אלא רק בדברים סופיים, אוהבים לרדת עליה שהיא לא *באמת* מתארת את האינסוף. לאחרונה ניסיתי לקרוא ספר של זאב בכלר בשם "שלוש מהפכות קופרניקיות", ושם הוא קוטל את ההגדרה של קושי לסכום של טור אינסופי (שלו הוא קורא "סכום" ואומר שהוא לא מתאר כלום ובפרט לא פותר את הפרדוקס של זנון, זה עם אכילס), אז אולי יש דברים בגו (אצל הפילוסופים).
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 301544
יש לי איזה קושי עם התגובה שלך.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304271
ציטטת אך לא השבת על האופטופיק שלי,
האם המתמטיקה נותנת ייצוג אמין של המציאות (בפרט אחרי שברה בפטישו של גדל)?
האם בעצם לא יתכן ייצוג שכזה?
ואם כך איך זה יכול להיות ומה יש לפילוסופים להגיד על זה?

אני מתקשה לעקוב אחרי ההסבר,
לא הבנתי בעיקר את:
"אם אתה *מניח* (ואתה לא חייב) שיש מרחקים קטנים כרצוננו, אתה בהזדמנות זו גם מניח שמרחק סופי גדול מאינסוף מרחקים קטנים יותר. גם להניח את זה וגם לא להניח את זה נראה לי מוזר."
אם אני דיסקרטאי, הפרדוקס נופל כי לא לכל קטע אמצע.
עד כאן, בסדר.
אם אני רציפאי ומניח אינסוף נקודות, מה אז?
איפה התחלתי לפסוח על שתי הסעיפים?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304273
הבעייה איתך זה שכל פעם שאתה שואל שאלות אפשר לכתוב מאמר :-)

"האם המתמטיקה נותנת ייצוג אמין של המציאות?"

נראה שכן. אחרת, קשה להסביר את ההצלחה המסחררת של מודלים מתמטיים בפיזיקה בחיזוי תופעות. למשל, נראה שחיצים מתעקשים לעוף כמו המודלים המתמטיים שנבנו עבורם, למרות פלפוליהם של כל מיני יוונים.

"(בפרט אחרי שברה בפטישו של גדל)"

זה אחד החלקים הכי מתסכלים עבורי בדיונים האלה. לא שבר, לא משבר, וקשר פעוט אם בכלל ליכולת של המתמטיקה לתאר את העולם. אני יכול לפרט, אם תרצה, אבל זה תהליך בעייתי: במקום להסביר מה משפט גדל אומר (שזה דבר די מעניין עבור חלק מהאנשים), צריך להסביר מה הוא לא אומר, ולמרבה הפלא זה יותר קשה - במיוחד אחרי שהוא כיכב, שלא בטובתו, באינספור ספרים, מאמרים ומסות שהקשר בינם לבינו הוא מטפורי במקרה הטוב ולא קיים במקרה הגרוע.

"האם בעצם לא יתכן ייצוג שכזה?"

לא יודע. למה לא?

"ואם כך איך זה יכול להיות ומה יש לפילוסופים להגיד על זה?"

מה זה "אם כך"? אם יש ייצוג, או אין ייצוג?

לגבי הרציפאי: במקום להסתכל על העולם, אפשר להסתכל ישר על המתמטיקה שלו - כבר בתוכה יש "פרדוקס": 1 זה יותר מ-‏0.7 וגם יותר מ-‏0.77 וגם יותר מ-‏0.777 וכו' וכו'. מסקנה - 1 זה אינסוף. לא? למה לא? איך זה שונה מהטיעון "החץ צריך להיות גם פה, וגם פה, וגם פה, מסקנה - החץ לא יגיע לעולם"? או מ"אכילס לא ישיג את הצב פה, וגם פה לא, וגם פה לא, מסקנה - אכילס לא ישיג את הצב לעולם"?

אם אתה דן במספרים הרציונליים, או הממשיים, אתה צריך להתרגל לרעיון של סדרות מתכנסות. זה מבלבל בהתחלה, זה קצת משונה, אבל זה לא נורא, וחשוב יותר - זה בלתי נמנע. אם אתה עכשיו גם משליך את הרציונליים על העולם - כלומר, אתה רציפאי - מה קורה שפתאום "התכנסות" מפסיקה למצוא חן בעיניך?

אתה כתבת: "אז סדרות אינסופיות *במתמטיקה* *מתכנסות*. מה לזה ו*לעולם האמיתי*"? אני לא יודע מה לזה ולעולם האמיתי, שהוא אולי דיסקרטי; אבל אם *אתה* אומר שהוא רציף, אז *אתה* מכניס סדרות אינסופיות מתכנסות לעולם. אני לא מבין את המשחק שבו מוכנים להכניס הביתה את החצי הקדמי של החתול אבל דוחים כלא-רלוונטי את החצי עם הזנב, ואח"כ עוד מתפלאים שהוא מת.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304344
הייתי מאד שמח אם הייתי נתקל במאמר על מה משפט גדל לא אומר. החתול שלי, אגב, מגלה יותר עניין במשפט האחרון שלך.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304348
''הייתי מאד שמח אם הייתי נתקל במאמר על מה משפט גדל לא אומר.''
קשה להאמין. אין מחשב בעולם שיכול להכיל את כל האינפורמציה הזאת.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304424
יש לי משהו כזה בראש, אבל כבר הבטחתי הבטחות בעבר ולא קיימתי. נראה.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 304426
אם החתול שלך לא לקה בקטטוניה אחרי תיאורו המפורט של הניסוי של שרדינגר, נראה שהוא בריא בנפשו במידה יוצאת דופן, והעניין שהוא מגלה בתיאור של אלון יכול להיות אקדמי בלבד.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 305578
: ) I'll take it as a compliment

"נראה שכן. אחרת, קשה להסביר את ההצלחה המסחררת של מודלים מתמטיים בפיזיקה בחיזוי תופעות."
הפיסיקה נסמכת על מודלים מתמטיים המבוססים כל פעם על אקסיומות שונות (גיאומטריות שונות למשל, אני לא יודע אם יש עוד דוגמאות כאלה).
יוצא מכך לפי הבנתי, שאין מתמטיקה אחת שהיא *הנכונה* , המייצגת של המציאות, אלא אוסף גדול (ואולי אינסופי?) של מתמטמיקות אלטרנטיביות אשר הפיסיקאים עושים שימוש תועלתני ופרטי בהן בלבד.
ואם כך, לא ניתן להסיק מנכונות של סט אקסיומות מסויים עבור פתרון בעיה פיסיקלית כלשהי, שיש בסט זה ערך אוניברסלי לכלל האתגרים בעולם הפיסי.

אני עם שכ"ג.
מאמר!
מאמר!
(או לפחות הסבר קטנטן)

"לא יודע. למה לא?"
חשבתי שזו הפרשנות למשפטי גדל.

"מה זה "אם כך"? אם יש ייצוג, או אין ייצוג?"
אם אין ייצוג.

"לגבי הרציפאי: במקום להסתכל על העולם, אפשר להסתכל ישר על המתמטיקה שלו"
קשה לי לדבר ברצינות על חיצים מבלי להסתכל על העולם.
מה זה בכלל חץ בלי קונטקסט פיסי?
ובקונטקסט פיסי זה, ממנו אני מתקשה להפרד (חרף כל הוראותיו של הבודהא, הקבלה ו-neo) לוקח זמן בכדי לעבור מנקודה לנקודה, אפילו אם זהו מרחק קטן ככול שנרצה.
אם יש אינסוף מעברים כאלו, הלא יש אינסוף זמנים כאלו.
מה עושים?
האם הסדרות המתכנסות הן שמלמדות אותנו שבניגוד לאינטואציה הרגילה, סכום זמנים זה אינו אינסופי כי אם סופי בהחלט?
האם סדרות מתכנסות מתייחסות בכלל להנחה (הפיסיקלית) שהזכרתי?

אני מרגיש שאתה מאד משתדל להסביר ואני אסיר תודה על כך.
אולי אני כופה עלייך הליכה סחור סחור סביב חור שחור שהוא בסופו של דבר מחסום אינטואציה,שפה והשכלה שלי.
אם כך הדבר, הרי שזה בודאי מתסכל למדי עבורך, ואני מוכן לחדול ולקבל את בורותי בהכנעה.

תנו לחיות לחיות!!
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 305738
בעצם, מה הבעיה? האם יש לך בעיה, אינטואיטיבית, להבין או לדמיין חלוקה של דקה ללא הגבלה - חלוקה לאינסוף חלקים? אם כן, אז הנה לך אינסוף פרקי זמן שמסתכמים לדקה אחת סופית. מה אני מחמיץ?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 306051
כן.. אני חושב שאני מבין עכשו מה שאלון ואתה אומרים,
אם אני דיסקרטאי - אין פרדוקס כי ההנחה של נק' אמצע לכל מקטע אינה תקפה.
אם אני רצפאי - אין פרדוקס כי ביחד עם הרצף אני מתחייב לקבל גם את נכונות הכלי "סדרות מתכנסות" אשר מבטיח לי שגם סכום של אינסוף מספרים חיוביים יכול להיות מספר סופי, ולכן האבן לא תעצר אלא תנוע.

אמרתי נכון?

זה כמובן, בהסתמך על ההנחה (החתולית) שרצפים אינסופיים מחייבית טיפול של סדרות מתכנסות.
האמנם איך שלא הופכים בזה, זה הולך ביחד?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 306102
לא, בתגובה לעיל אני רוצה להגיד משהו אחר. אתה לא חייב לדעת שום דבר על סדרות מתכנסות כדי להבין, בצורה אינטואיטיבית לחלוטין, שאינסוף דברים גדולים מאפס יכולים להסתכם למשהו סופי. הניסוח שלי היה, במודע, חסר שחר מבחינה מתמטית: המתמטיקאים הרי למדו להתרחק בגועל ממשפטים כמו "חלוקה של דקה ללא הגבלה - לאינסוף חלקים". עכשיו שאני חושב על זה, כנראה זנון לא היה קונה את זה כפתרון: יש לו הרי פרדוקס (חלוקת הקטע) שמזקק בדיוק את הרעיון הזה, וטוען שזה פרדוקס. אבל בעיני הזיקוק הזה יכול לעבוד בכיוון ההפוך: מכיוון שחלוקת קטע לאינסוף כל כך לא קשה לאינטואיציה, אפשר להשתמש בהבנה הזו כמנוף להשתחרר מהתפיסה לפיה אינסוף דברים חייבים להסתכם לאינסוף. אבל יכול להיות שלמדתי מספיק מתמטיקה כדי לקלקל את האינטואיציה שלי.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 306249
אתה משתמש פה בתפיסה ובהכרה כבסיס להוכחת קיום. אין בעיה עם זה. השאלה היא למה אתה קורא "תפיסה ברורה"? הלו אם אבקש ממך לדמיין נקודה, ויזואלית יצוץ בעיני דמיונך משהו בעל אורך ורוחב וצבע. מתמטית תגדיר נקודה כגוף חסר מימד. גוף לפי הבנתי הוא משהו נתפס. הנקודה שאתה תופס בדמיונך היא גוף ויש לה 3 מימדים ברורים. מאיפה באה ההגדרה המתמטית?

גם יום מתבסס על הכלים עליהם אתה מתבסס אבל קובע שמושגים אמיתיים (כאלה שיש להם זיקה לעולם כפי שהוא) הם מושגים ברורים הנובעים מרושם של תחושה או הרהור. לדעתו המושג של חלוקה אינסופית נובע דווקא מהקושי שלנו לתפוס את החלקיק הסופי בצורה מוגדלת, למרות שהגיוננו מצביע על קיומו. לדוגמא, נדמיין קיום של יצור הקטן פי 1000 מפשפש הגלוי לחושינו (אמבה ודאי תתאים). יום אומר שאנו מסוגלים להעלות לפנינו באופן ברור את חלקיו של יצור זה זעירים ככל שיהיו, המקבילה לפה, עין וכו. הקפיצה לחלוקה אינסופית נעשית משום שאנו חשים שהיות וקודם לא צפינו ביצור כזה (או בחלקי הפשפש), כלומר דמיוננו וחושינו כשלו בתפיסתו ומכך שיש חלקיקים זעירים אף ממה שאנו מסוגלים לדמיין. העובדה היא לפי יום שאנו מסוגלים לדמיין חלקיק מינימלי ובלתי ניתן לחלוקה, ואם היינו מתאמצים היינו מדמיינים תווים מינימליים של פה עיניים וכו'. (כנ"ל לגבי אטומים - ברוחך אתה רואה חלקיק זעיר עם גרעין מסביבו מסתובבים אלקטרונים, את הגרעין אתה מחלק לפרוטונים ונוירונים, אותם אתה מסוגל לחלק לתת חלקיקים אבל בכל מקרה יש סוף לחלוקה הזו בעיני רוחך, ומכאן שיש לה סוף במציאות).

איננו מסוגלים לתפוס חלוקה אינסופית. היות ומושגינו נשענים על בסיס הכרתנו מובן שאיננו תופסים חלוקה כזו. אני וגם אתה (קרוב לוודאי) מסוגלים לדמיין (דמיון פגום שכן אנחנו סופיים) פעולה אינסופית של חלוקה אבל לא את תוצריה שייצוגם בעינינו בהכרח סופי (הנקודה לעיל). מכאן שיש לנו כשל אינטואיציה ואיננו מסוגלים להפוך את הכיוון ולומר שהיות ואינטואיטיבית זה כל כך קל, משמע זה ייתכן ואף קיים.

טענה שאינה מתבססת ישירות על הכרה היא טענת היחידה. אם יחידה היא מושג אמיתי אז היא גוף סופי שניתן להכפיל אותו עד אינסוף ולקבל גוף אינסופי. אם היחידה היא מושג יחסי וכל נקודה מורכבת מאינסוף נקודות הרי שאין נקודה בודדת (אין יחידה אמיתית) ואי אפשר להרכיב שום גוף, סופי או אינסופי. בגרסה הזו נראה שהרצף לא באמת קיים יש סופיות ודיסקרטיזציה, וזנון צדק למרות שטיב הקשר בין מצב א' (אכילס מפגר אחרי הצב) למצב ב' (הצב מפגר אחרי אכילס) עדיין לא ברור.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 310485
אהלן ירדן,
התגובה של האייל הבדוי (תגובה 306249) שיקפה את רחשי ליבי (חוץ מהפיסקה האחרונה שהיתה קשה מעט לעיכול..).
מה פתאום לחלק לאינסוף?!
מה אני כבר מכיר שאני *יודע* שמתחלק כך?
שאלתי את עצמי למה מתעקשת האינטואיציה שלי שסכומם של אינסוף מספרים חיוביים הוא אינסוף, והיא (אחרי התפתלויות לא מעט) ענתה לבסוף שזה מפני שהיא רגילה שכאשר מוסיפים משהו חיובי, אז הסכום גדל, ואם מוסיפים אינסוף פעמים, הסכום גדל באופן אינסופי.
ככה נראה מפנים (כנראה) הקורטקס של הלא-מתמטיקאי הממוצע.
דומני שאכן לימודי המתמתיקה שלך הרחיקו אותך מה-main streem האנושי : )
אגב, בדיוק אתמול ציין חבר באזניי כי נראה כי לעולם לא יוכל להפנים באמת חשיבה רקורסיבית (אשר בלא תנאי עצירה ראוי יכולה להיות אינסופית).

"אינטואיציה היא סכום כל הדעות הקדומות שלנו"
-היתה לי תחושה חזקה שאינטשיין אמר את המשפט הבא אבל לא מצאתי תימוכין ברשת
אז גם האינטואיציה אינסופית?... 310535
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 306180
אני חושב שאתה עדיין קצת מבלבל את עצמך. אתה לא "מתחייב" לקבל "כלי"; אין פה איזה מנהל עבודה שמכריח אותך לעשות דברים. סדרות מתכנסות זה לא כלי, זו אבחנה: הבט על המספרים הרציונליים. רואה אותם? רואה שם בקצה את המספרים 0.9, 0.99, 0.999, ...? כמה כאלה יש? (אינסוף). כולם קטנים מאחד? (כן). כולם קטנים ממשהו יותר קטן מאחד? (לא). זהו, לזה קוראים סדרה מתכנסת - זה סתם שם, קיצור, במקום להגיד כל פעם מחדש את התכונות האלה.

אתה מדבר גם על סכומים, שזה משהו טיפה אחר: תסתכל על 0.9, 0.9+0.09, 0.9+0.09+0.009, ... זו אותה סדרה כמו קודם, רשומה כסכום שהולך וגדל. כמו קודם, הוא מתקרב והולך ל-‏1, ואנחנו אומרים בקיצור שהטור האינסופי מסתכם לאחד.

בסוף כתבת "ולכן האבן לא תעצר אלא תנוע". זו אולי הנקודה הבסיסית: הרי לאבן לא באמת אכפת מההגדרות שלנו, נכון? היא לא נעה או עוצרת בגלל ההגדרה של סדרה מתכנסת. היא פשוט נעה. לשמחתנו, המודל המתמטי של מספרים ממשיים (או רציונליים), כולל הקיצורים המקובלים ל"סדרה מתכנסת" ו"טור מתכנס", מתארים את התנועה שלה יופי. לעומת זאת, המודל המתמטי שאומר "יש מספרים רציונליים, אבל כל סכום אינסופי הוא אינסוף" הוא מודל לגיטימי, מאוד משעמם, ולחלוטין לא מתאים לתיאור חיצים ואבנים. אז מי צריך אותו?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 306230
מי צריך אותו? כל מי שמתקשה לחשב אינטגרלים.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 310489
אהלן אלון,
(רק עתה גיליתי שירדן ואתה טרחתם על תשובות עבורי, תודה)

"אין פה איזה מנהל עבודה שמכריח אותך לעשות דברים. סדרות מתכנסות זה לא כלי, זו אבחנה"
אהממ.. דימיתי אותך כמנהל העבודה שמכריח בעת שאמרת:
"אבל אם *אתה* אומר שהוא רציף, אז *אתה* מכניס סדרות אינסופיות מתכנסות לעולם" (תגובה 304273).

הסדרה 0.9+0.99+0.999 מתכנסת אף היא למספר סופי? נראה לי שלא. (אז למה היא נקראת מתכנסת בעצם?)
ואם לא, מדוע היא עונה לאינטואיציה (הכוזבת, אולי) שלי ואילו הסדרה 0.9+0.09+0.009 לא?
יתכן שכאשר אבין את ההבדל בינהן, אדע גם מדוע סכומם של אינסוף חצאים הינו השלם.

"לשמחתנו, המודל המתמטי של מספרים ממשיים (או רציונליים), כולל הקיצורים המקובלים ל"סדרה מתכנסת" ו"טור מתכנס", מתארים את התנועה שלה יופי..אז מי צריך אותו?"
הוא שאמרתי, אנחנו *צריכים* את המודל המתמטי הזה כדי לעשות סדר בעניינים.
היה לנו פרדוקס:
הדיסקרטאי פתר אותו בכך שפסל הנחה (=לא ניתן לחצות כל דבר לשניים).
הרציפאי פתר אתו בכך שהוסיף הנחה (=מודל סדרה מתכנסת/טור מתכנס).
לפחות עפ"י התער של אוקהם, ידו של הדיסקרטאי על העליונה.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 310532
1. מי קורא לסדרה 0.9+0.99+0.999 סדרה מתכנסת?
2. הדיסקרטאי שלך מראה איך הפרדוקס נעלם בעולם דיסקרטי (הוא מניח הנחה על העולם לפחות באותה מידה שהוא פוסל הנחה). הרציפאי מראה איך הפרדוקס נעלם *גם* בעולם רציף. אי לכך, הוא נותן תיאוריה רחבה יותר באותו מחיר. אני קונה.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 310817
חוץ מלהצטרף לשכ"ג, אני רק מוסיף שבכלל לא ברור שהתורה הרציפה מסובכת יותר מהדיסקרטית. במתמטיקה, הרבה דברים נהיים קלים הרבה יותר כשעובדים בממשיים במקום בשלמים.

חוץ מזה, היה נדמה לי (אולי בטעות) שאתה רואה בניסוי המחשבתי של זנון *הוכחה* שהעולם חייב להיות דיסקרטי. אם אתה מדבר על אוקהם, אני מתאר לעצמי שאתה מסכים ששתי האפשרויות קיימות...?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 310854
עברתי על התכתובת מאזכור "המנושל" (ספר נהדר גם לדעתי) ואני מוצא משהו לא ברור בז'רגון הרציף. כמובן שאפשר לומר שנוח לראות את העולם כך או אחרת ולהשאיר את הפרדוקס בצד, אבל עדיין איני מבין איך אתם רואים אותו כמוכרע "רציפית".

אם ניקח את רצף התמונות של גדי, מה זה משנה שעל כל תמונה עוברים פעם אחת? יש אינסוף תמונות שמראות את האבן באינסוף מקומות ועלי לעבור על כל תמונה. אין שום סיבה שבמהלך חיים אינסופיים אני אצליח להגיע לתמונה שכתוב בה - האבן מצויה בנקודה 0.1. משום שגם בינה לנקודה 0 יש אינסוף תמונות. אם אני לא עובר על כל תמונה, אני מבצע הוקוס פוקוס או דיסקרטיזציה.

אם מדברים על האפסילון סביבה של האבן והקיר, נאמר שהאבן רצה מימין לשמאל, ונאמר שרואים את האבן והקיר באותו תצלום, אם יש אינסוף נקודות לעבור, האבן תמיד תהיה באפסילון סביבה ימנית של הקיר, ותמיד אוכל למצוא אפסילון קטן כרצוני, להגדיל את התמונה כך שתכיל רק את אפסילון סביבה זה, ולראות רק קיר בלי אבן.

נניח שצולם הרגע הרציף המיוחל בו הסיוט נגמר והאבן נגעה בקיר. האבן היא גוף שמורכב מאינסוף נקודות, האם קיימת נקודת קצה של האבן ונקודת קצה של הקיר שנוגעות זו בזו? למה אי אפשר לחלק אותן? הרי הכל רציף, גם המרחב וגם החומר שמצוי במרחב. איך שתי נקודות בעלות מימד אפס (לא משהו קטן כרצוננו, פשוט אפס) נוגעות זו בזו? אם הן יצליחו לעשות זאת, מה קורה להנחת צפיפות המספרים הרציונליים (כמדומני זה שמה)? יוצא שקיימות שתי נקודות שביניהן לא קיימת אף נקודה לא?

ובעניין ההתכנסות, מה מתכנס לאן? אם האבן עוברת אינסוף נקודות לאורך מרחב תנועתה, למה שהגבול יהיה בנקודת הקיר? למה לא ב-‏0.1, או בכל נקודה אחרת? יש שם אינסוף גבולות פוטנציאליים. זרקתי אבן וטענתי אותה באנרגיה. אם האנרגיה סופית, והאבן מצויה במצב אנרגטי שונה בכל נקודה ונקודה (אחרת יש לנו חוסר רציפות אנרגטי) וכן יש אינסוף נקודות, לא ייתכן כאן קוואנט של אנרגיה. ושוב אפשר לעשות אנלוגיה אנרגטית לטענת המרחק וכו'.

אם אנו רוצים לבחון מרחקים קטנים כרצוננו, הרי שבסוף אנו צריכים לבחון את המרחק שגודלו 0 (לא חייבים, אפשר להלביש את הפרדוקס על בחירת המרחקים ורצוננו נתקע גם הוא). למה את המרחק הזה מאשרים בנגיעת האבן בקיר, אבל מתעלמים ממנו במעבר בין נקודה לנקודה? כשאבן עוברת בין שתי "נקודות סמוכות שמימדן 0" (אין דבר כזה למיטב הבנתי, או שהן לא סמוכות או שמימדן סופי ואינו 0) איך בדיוק היא מבצעת את המעבר? היא נעה? לא נעה? מאבדת אנרגיה? קורה שם משהו בכלל? והרי הדרישה הזו קיימת לאורך כל הקטע, ולא רק בנגיעה בקיר.

אם מקבלים את הנחות הפרדוקס, או שאין ריבוי, או שהעולם הוא דיסקרטי ויש לנו בעיה במעבר בין חלקיקים סופיים של זמן ומקום. אם לא מקבלים את ההנחות, אז בסדר. בעייה בקשר הלוגי בין הטענות של זנון (בקבלת ההנחות) אני לא רואה, ולמיטב ידיעתי אף אחד לא הצביע על כזו.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 310858
"עדיין איני מבין איך אתם רואים אותו כמוכרע "רציפית"."

מי זה "אתם"? אני, למשל, לא רואה את שאלת דיסקרטי/רציף כמוכרעת, ונדמה לי שגם ציינתי זאת בפירוש.

לגבי כל ההמשך - לפני שניגע בפרטים, אני מנסה להבין מה אתה רוצה להראות. על זה שחיצים עפים ואבנים פוגעות בקירות אנחנו מסכימים, נכון? עכשיו מה הטענה?

1. התורה המתמטית של מספרים רציונליים/ממשיים מכילה סתירות פנימיות.

2. התורה המתמטית של מספרים רציונליים/ממשיים אולי לא סותרת את עצמה, אבל היא סותרת את ההגיון הבריא.

3. התורה המתמטית של מספרים רציונליים/ממשיים אולי טובה כתרגיל מופשט, אבל לא ייתכן שיש קשר כלשהו בינה לבין חיצים ואבנים בעולם האמיתי.

4. משהו אחר?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 310870
אתה צודק :)
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 310964
במה? (לא כל כך הבנתי את התשובה).
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 311286
אתה צודק בזה שאמרת שהעניין בלתי מוכרע. לגבי הבעיות שהעלית כאופציונליות, יהיה מעניין לקרוא את הניתוח לגבי כל אחת (אבל אני מניח שעשית זאת).
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 311390
1. התורה המתמטית של הממשיים (או הרציונליים) לא מכילה שום סתירה, ככל הידוע לנו, ומי שטוען שיש כזו יצטרך להסביר את עצמו מאוד מאוד במדוייק.

2. התורה הנ"ל מאוד הגיונית, ואם יש בה דברים הנראים לא אינטואיטיביים, אפשר בד"כ להתגבר עליהם די מהר. הרבה אנשים עשו זאת בהצלחה.

3. אם משתמשים במשוואה x=vt לתיאור תנועתו של כדור הנע בקו ישר (נניח), מתקבלת התאמה נהדרת בין המודל המתמטי למדידות האמפיריות. כנ"ל עבור חיצים, אבנים שפוגעות בקירות, וכו'.

התהיות שהעלית לגבי נקודות 0-ממדיות, חלוקת המרחב, תנועה מנקודה לנקודה וכו' - כולן נפתרות בקלות במודל המתמטי הדי-פשוט הזה. כאמור, ייתכן שבעצם הכל דיסקרטי; לא נורא. אבל אני לא רואה איך אחת מהשאלות שהעלית מחייבת אותנו לפסול את המודל הרציף (וכאמור, לא הצלחתי אפילו להבין אם זה מה שאתה טוען).
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 311753
טוב, יש באמת צורך להבהרה של מה שאני טוען. איני טוען שזנון צדק. התורה של פרמנידס רחוקה מלהסביר את המציאות. פרמנידס טען לבסוף שהחושים מטעים והמחשבה מגיעה לאמת, לפיכך גרסת המחשבה היא העדיפה. עם זאת, המחשבה של פרמנידס מניבה קפאון טוטלי ושום דבר מעבר לזה. לו הייתה מביאה הסבר לתודעה, הייתה פותרת אותנו מהפרדוקסים ונותנת תשובה טוטלית. במקום הסבר היא רק מעלה שאלה. אפשר לדחות את השאלה בדחיית ההנחות. אפשר לקבל את ההנחות ונשארת בעיה. הבעיה הזו מובילה אותנו לספקנות.

קיימת התאמה נהדרת כמו שכתבת בין המודל המתמטי למדידות האמפיריות. עם זאת, ההתאמה לא מושלמת, יש בעיות ואין בטחון שמדובר רק בחוסר בפרטים המוכנסים למודל ולא בפגמים בסיסיים יותר כמו מודל לא שלם או שגוי בחלקו. מדובר במודל תיאורטי ולא בתיאור נאמן של המציאות.

כשקראתי את תגובתך האחרונה הבנתי מה בלבל אותי בפתיל הזה. מצד אחד אתה גורס (תגובה קודמת שלך) שהפרדוקס לא מוכרע, ואף כתבת זאת קודם. מצד שני יש תחושה של נחרצות לגבי נכונות התורה המתמטית של הממשיים, והסיוג ''ככל הידוע לנו'' נראה לי סתמי לעומת הטון הכללי.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 311865
"ההתאמה לא מושלמת, יש בעיות" - במכניקה של תנועת גופים? אילו בעיות?

"תחושה של נחרצות לגבי נכונות התורה המתמטית של הממשיים" - הנחרצות מתייחסת לדברים שציינתי: הפרדוקסים-לכאורה אינם באמת פרדוקסים, ואינם מצביעים על כשל בתורה המתמטית או בהתאמתה למציאות.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 306179
It was meant as such...

"הפיסיקה נסמכת על מודלים מתמטיים המבוססים כל פעם על אקסיומות שונות". זה לא ניסוח מדוייק; הפיסיקה לא "נסמכת" על מודלים מתמטיים, אלא פיסיקאים בוחרים (או ממציאים) מודל מתמטי המתאר היטב את העולם כפי שהם מבינים אותו. מודל כזה יכול להיות מוחלף, עקרונית, רק מסיבה אחת: תגליות אמפיריות הסותרות את המודל הקיים. זה קורה מדי פעם, אבל אני לא רואה סיבה להסיק מכך שיש אוסף "גדול" של מודלים אלטרנטיביים, רלוונטיים כולם - בטח שלא אוסף אינסופי. ברור שגם אם יום אחד יתגלה המודל המתמטי הגדול והמאוחד, הרבה פיסיקאים ימשיכו לעבוד עם מודלים אחרים משיקולי נוחות, כמו שכיום לא משתמשים בתורת היחסות במערכות לניווט מטוסים. זה לא סותר את ההנחה הסבירה שיש מציאות פיסיקלית אחת והיא ניתנת לתיאור ע"י מודל מתמטי יחיד - כנראה, מודל די מסובך.

אולי צריך להדגיש: גם אם הגאומטריה של היקום היא, נניח, היפרבולית, ופיסיקאים ממשיכים להשתמש בגיאומטריה אוקלידית כשהם מסתכלים על כדורי גולף, זה לא בגלל שאין מתמטיקה "נכונה". יש אחת כזו (ההיפרבולית) ויש אחרת (האוקלידית) המהווה קירוב טוב מספיק, והיא יותר נוחה.

"חשבתי שזו הפרשנות למשפטי גדל."

לא ממש. בכלל, פרשנויות למשפט גדל הן דבר מסוכן: אם אתה רואה אחת, כדאי לסגת אחורה בזהירות ולקרוא למישהו (נגיד, לי. אני אשמח לנסות להתיר את הסבך).

אני אנסה לנסח את ההתנגדות שלי לפרשנות הזו. אפשר לומר (בצורה פשטנית) שהפיסיקאים חולמים להגיע לרשימה ממצה של אבני-הבניין של היקום ותיאור מדוייק של ההתנהגות שלהם, עד שניתן יהיה "לנבא את העתיד" - לומר מה יהיה מצב העולם, או חלק שלו, בכל נקודה בזמן.

יש כמה מכשולים מאוד עקרוניים בדרך להגשמת החלום הזה - למשל, בעיית האינדוקציה (אנחנו צופים רק בחלק זערורי של העולם, וכל השאר זו אקסטרפולציה לא מבוססת), בעיית דיוק המדידה, הסיבוכיות העצומה של פתרון המשוואות המתארות אפילו מצבים פשוטים מאוד ו(כנראה) גם הקשיים שמערימה מכניקת הקוונטים. לאף אחד מאלה אין כל קשר למשפט גדל. אם אתה מוכן לקבל את הגשמת החלום בתור הכרה פיסיקלית מלאה של העולם - גישה סבירה, להערכתי - אז אין כל סתירה בין המשפט להכרה כזו.

אם מתעקשים, אפשר לדמיין מצב שבו כל הבעיות הקטנות הללו כבר נפתרו, ואנו מביטים במודל פורמלי ומדוייק של העולם. אפשר לתאר, במצב כזה, שתהיינה שאלות שאין לה תשובה מסיבות "גדליות" (יש כמה דוגמאות מתחת לתגובה 175910), אבל יש הרבה סייגים: ראשית, אין כל ערבות שאכן תהיה בעייה כזו שיש בה איזשהו עניין פיסיקלי קלוש, ושנית, מדובר רק על בעיות הכוללות באיזשהו אופן את מושג האינסוף, שהוא אולי בכלל לא רלוונטי. יש עוד, אבל נשאיר משהו לאחר-כך.

כדי לחדד את העניין, שאל את עצמך - מה קורה אם כל היקום היה רק מערכת פשוטה, דטרמיניסטית, נניח מכונת טורינג בינונית, או המשחק "לייף". נניח שה"פיסיקאים" בחנו ולמדו ופיענחו לחלוטין את כל ה"יקום" הזה. זה אומר שאין להם שום בעייה לחזות *בדיוק* מה יהיה מצב כל היקום עוד שנייה, מחר או בעוד שבעת-אלפים שנה ויומיים. האם הם זכו להכיר את עולמם? הייתי אומר שכן. אבל ייתכן שהם לא יוכלו לענות על שאלה כמו "האם היקום שלנו ימשיך להתפתח לנצח, או שמא הוא יקפא מתישהו". זה אפשרי, אבל - הסיכוי לזה כנראה קטנטן, ובעצם עד כמה זו בעייה עקרונית? שים לב שעל השאלה "האם היקום עדיין יתפתח בעוד מיליארד מיליארדי שנים" אין שום מניעה (גדלית) להשיב. חוץ מזה, אם היקום שלהם הוא, במקרה, לא אינסופי (למכונת הטורינג יש "רק" 10 בחזקת 1000 משבצות על הסרט), גם השאלה הזו נפתרת. וממילא אין לפיסיקאים, הצופים בסביבתם הקטנה, כל דרך לדעת אם הסרט באמת אינסופי, או סתם ענק.

לסיכום, יש לפיסיקה מספר אתגרים יסודיים הרבה יותר ממשפט גדל להתמודד איתם, ורק לשוליים הסהרוריים שלה יש (אולי) עניין מסויים בו (ליתר דיוק, בדודנים שלו).

על השאר (חיצים וזנון וכאלה) אני אענה, אם עוד יש צורך, בפתיל שהתחיל ירדן.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 306060
>>"האם המתמטיקה נותנת ייצוג אמין של המציאות?"

נראה שכן. אחרת, קשה להסביר את ההצלחה המסחררת של מודלים מתמטיים בפיזיקה בחיזוי תופעות.>>

אבל המציאות, דומני, מתקשה לתת יצוג הולם למתמטיקה. ישנם לא מעט יצורים מתמטיים שאין להם כל מקבילה במציאות. בהם מיני יצורים שכבר הוזכרו בדיון זה.
יוצא שהמתמטיקה מצליחה לייצג את המציאות תוך שימוש בכלים שאין להם אח ורע במציאות.
זה עובד. נכון. אבל אנחנו לא יודעים איך.
האם המתמטיקה היא המצאה אנושית ?
האם היא "קיימת" בכלל ?
היא קיימת בתודעתנו, אבל המתמטיקה עצמה, לרבות 2=1+1, לא נמצאת בעולם התופעות. היא רק החוקיות שאנחנו מגלים מאחורי התופעות.
איזה סוג של קיום הוא זה שנמצא בתודעתנו אך לא בעולם התופעות ?

אני מסכים עם הסיפא - המציאות היא רציפה או דיסקרטית.
אם רציפה מושג האינסוף אכן קיים בעולם התופעות, אם דיסקרטית אז סופיות היקום מכל העברים די מחייבת את קיום בורא עולם, לא ?

מאז המאמר עליו קיבל איינשטין את הנובל נותר רק דבר אחד בעולם התופעות שיתכן והוא רציף וזהו המרחב זמן.
אבל למרחב זמן אין קיום עצמאי אלא רק בהיותו מכיל חומר ואנרגיה. מאז היחסות הכללית הם שלובים זה בזה. לכן קל יותר להאמין שגם למרחב זמן יש קוואנטום מינימלי.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 306181
"ישנם לא מעט יצורים מתמטיים שאין להם כל מקבילה במציאות".

נכון, אבל... אז מה?

"זה עובד. נכון. אבל אנחנו לא יודעים איך".

אני לא בטוח שאני מבין את השאלה "איך זה עובד?", אז אני לא נורא מתפלא שאנחנו לא יודעים להשיב עליה.

"האם המתמטיקה היא המצאה אנושית?"

בוודאי.

"האם היא "קיימת" בכלל?"

כאן אין ברירה אלא להיאנח ולשאול, למה אתה מתכוון ב"קיימת". תפיסתי האישית היא שהמספרים הטבעיים (למשל) קיימים בהחלט, אבל אני מתנצל מראש ומזהיר ששאלות מסוג זה נראות לי עקרות.

"איזה סוג של קיום הוא זה שנמצא בתודעתנו אך לא בעולם התופעות?"

זה סוג של קיום שנמצא בתודעתנו אך לא בעולם התופעות. מין קיום שכזה.

"אם רציפה מושג האינסוף אכן קיים בעולם התופעות, אם דיסקרטית אז סופיות היקום מכל העברים די מחייבת את קיום בורא עולם, לא?"

גם דיסקרטית יכולה להיות אינסופית (מה הקשר?). מה זה "סופיות היקום מכל העברים"? איך (בשם שמיים) מתחייב ממשהו מסוג זה קיום "בורא עולם"?

"מאז המאמר עליו קיבל איינשטין את הנובל נותר רק דבר אחד בעולם התופעות שיתכן והוא רציף וזהו המרחב זמן."

אתה *בטוח* שאתה מתכוון למאמר על האפקט הפוטו-אלקטרי? למה נובע ממנו שהחומר, נניח, לא יכול להיות רציף?

"אבל למרחב זמן אין קיום עצמאי אלא רק בהיותו מכיל חומר ואנרגיה."

למה?

"לכן קל יותר להאמין שגם למרחב זמן יש קוואנטום מינימלי."

זו אפשרות. אני לא בטוח שרוב הפיסיקאים יסכימו עם הניחוש הזה, אבל אולי.
גלישה נלבבת אל מחוזות הפיסיקה 310490
האם לא הראה אינשטיין במאמרו על אפקט הפוטואלקטרי שאור מתנהג באופן חלקיקי, כלומר דיסקרטי?

"אבל למרחב זמן אין קיום עצמאי אלא רק בהיותו מכיל חומר ואנרגיה"(תגובה 306060)
שאלה:
מה קיים מלבד חומר ואנרגיה (אשר חד הם אם להאמין לאינשטיין)?
אינפורמציה? תודעה? אלוהים?
מה עוד יכול מרחב לאכלס?
גלישה נלבבת אל מחוזות הפיסיקה 310533
מאיפה באה הדרישה שמרחב יאכלס משהו?
גלישה נלבבת אל מחוזות הפיסיקה 310581
''אבל למרחב זמן אין קיום עצמאי אלא רק בהיותו מכיל חומר ואנרגיה''
גלישה נלבבת אל מחוזות הפיסיקה 310583
אה, זה נשמט מעיני. תודה.
גלישה נלבבת אל מחוזות הפיסיקה 310799
פרמנידס, שוב.
אה, וגם היחסות הכללית אומרת על זה משהו.
גלישה נלבבת אל מחוזות הפיסיקה 310803
הוא הראה שאפשר להסביר התנהגות של תופעות מסויימות בעזרת ההנחה שאור מתנהג כחלקיק (בתופעות אחרות עדיף דווקא לחשוב על האור כגל). אין בעיני קשר ברור לשאלה אם המרחב רציף או דיסקרטי.

אני רק רוצה להזכיר שהמשפט ''למרחב זמן אין קיום עצמאי אלא רק בהיותו מכיל חומר ואנרגיה'' הוא לא שלי...

אני לא ממש יודע איך להשיב על השאלות האחרות.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315532
1.
- ישנם לא מעט יצורים מתמטיים שאין להם כל מקבילה במציאות".

- נכון, אבל... אז מה?

- אז השימוש בדברים שאינם קיימים במציאות הפיזיקלית (= מטאפיזיים) לתאר דברים פיזיקליים באופן שיוכל לנבא את התנהגותם בעתיד טוען לאיזה קשר או לפחות קורלציה ביניהם. טענה שאינה טריוויאלית כלל.

2.
- אני לא בטוח שאני מבין את השאלה "איך זה עובד?"

- העולם הפיזי מתנהג בצורה מסוימת. אנחנו בונים מודל מתמטי להתנהגות זו בתודעתנו. המודל מצליח לנבא את ההתנהגות העתידית בעולם הפיסי. הוא עושה זאת ע"י שהוא מגלה חוקיות מסוימת בהתנהגות העולם הפיסי. האם החוקיות הזו נמצאת באמת בעולם הפיסי או רק במודל ?
אם רק במודל, כיצד ממשיך העולם הפיסי לעקוב אחר הניבוי ?
אם החוקיות עצמה נמצאת בעולם התופעות, אז המתמטיקה נמצאת שם גם.

3.
- האם המתמטיקה היא המצאה אנושית?

- בוודאי.

- כלומר שאין לה דבר עם עולם התופעות ולכן סעיף 1. ו 2. לעיל.

4.

- איזה סוג של קיום הוא זה שנמצא בתודעתנו אך לא בעולם התופעות?

- זה סוג של קיום שנמצא בתודעתנו אך לא בעולם התופעות. מין קיום שכזה.

- קיום מטאפיסי

5.
- אם רציפה מושג האינסוף אכן קיים בעולם התופעות, אם דיסקרטית אז סופיות היקום מכל העברים די מחייבת את קיום בורא עולם, לא?

- גם דיסקרטית יכולה להיות אינסופית (מה הקשר?). מה זה "סופיות היקום מכל העברים"? איך (בשם שמיים) מתחייב ממשהו מסוג זה קיום "בורא עולם"?

- קח יקום עם מרחב זמן דיסקרטי והרץ קדימה מהמפץ הגדול עד היום. האם אין זו מטריצה סופית ? ואם מושג האינסוף אינו קיים במציאות הפיסיקלית עד כה כיצד יוכל להופיע ? ואם מושג האינסוף אינו קיים במציאות הפיסיקלית אך כן קיים במתמטיקה (המטאפיסית) אשר במערכת ההפעלה שלו אז ... (קפיצת הדרך מנטאלית לא מסודרת עדיין) יש אלוהים.

6.
- מאז המאמר עליו קיבל איינשטין את הנובל נותר רק דבר אחד בעולם התופעות שיתכן והוא רציף וזהו המרחב זמן."

- אתה *בטוח* שאתה מתכוון למאמר על האפקט הפוטו-אלקטרי? למה נובע ממנו שהחומר, נניח, לא יכול להיות רציף?

- מודה ועוזב. אבל ראה את הדיון מ תגובה 312698 והלאה, העוסק ברציפות התכונות הבסיסיות, ובסיומו תגובה 313054
"מה שנותן את ההרגשה שהמודל הנוכחי הוא חלקי בלבד (כמו הפיזיקה של ניוטון ביחס ליחסות) וקיים מודל סופי שיקוונטט את הגרביטציה ויסביר באופן טבעי את כל האיברים המאולצים."

7.
-אבל למרחב זמן אין קיום עצמאי אלא רק בהיותו מכיל חומר ואנרגיה.

למה?

- תגובה 310533
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315533
אין לי יכולת להתייחס להכל; זה או מסובך לי מדי, או שאני לא מבין אותך. אציין רק ש"המתמטיקה" איננה אטום שאינו ניתן לחלוקה; יש בה כל מיני חלקים, חלקם דורשים את מושג האינסוף, חלקם לא. אם היקום דיסקרטי וסופי, מסתמא אין צורך במושג האינסוף המתמטי כדי לתאר אותו. לא צריך לרוץ לאלוהים.

באותו אופן, המתמטיקה היא המצאה אנושית, שחלקים ממנה נבעו מהרצון לתאר את עולם התופעות, וחלקים אחרים לא.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315618
"תפיסתי האישית היא שהמספרים הטבעיים (למשל) קיימים בהחלט,"
מדוע דווקא הטבעיים?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315652
יש מושגים מתמטיים יותר ראשוניים ופחות מעורפלים מאחרים. אני אישית מאמין שלבעייה כמו "האם יש אינסוף twin primes" יש תשובה חד-משמעית; לבעייה כמו השערת-הרצף, אני פחות בטוח: היא נשענת (באחד הניסוחים) על המושג "קבוצה-שרירותית-של-מספרים-טבעיים", שהוא מושג פחות ברור מ"מספר טבעי".

בכל אופן, אני לא מתכוון לומר שהטבעיים "קיימים" במובן שניתן למצוא אותם זרוקים באיזה מחסן במעלה-החמישה.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315661
שאלה לא הכי קשורה על משהו שמציק לי: יש שמועות מרושעות שהשערת גולדבך עלולה להתגלות בתור אחד מהדברים הללו שאי אפשר להוכיח או להפריך במערכת של ZFC. עכשיו, אני יכול לקבל את זה שייתכן שלא נוכל להוכיח שההשערה נכונה אף פעם, אבל לא ברור לי האם זה גורר שקיימת מערכת שמכילה את ZFC שבה ההשערה נכונה, ומערכת שמכילה את ZFC שבה ההשערה לא נכונה. אם תגיד לי שזה לא גורר את זה, אני אשתוק. אחרת, יש לי שאלת המשך.

לצורך ההקבלה - אם הבנתי נכון, יש מערכת שמכילה את ZFC (או אולי ZF? או פאנו? אני לא ממש יודע) שבה השערת הרצף נכונה, ואחת שמכילה את ZFC שבה היא לא נכונה.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315666
לשמועות מרושעות אסור להאמין. הם עוד ישכנעו אותך להתנתק מ-ZFC או לנתק את C מ-ZF, ואז אנא אתה בא?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315670
דיברנו על זה פעם, חפש "גולדבך" בדיון על הטרחנים הכפייתיים. יש פה כמה דקויות שצריך להיזהר מהן.

השערת גולדבך GC היא פסוק מהצורה "לכל n מתקיים ש-...", כש-"..." היא נוסחה הניתנת לבדיקה פשוטה בזמן סופי לכל n נתון. לכן, אם GC אכן לא תלויה באיזושהי אקסיומטיזציה של המספרים הטבעיים כמו PA או ZFC, אז בפרט היא *נכונה* עבור המספרים הטבעיים הסטנדרטיים (כי אם לא, היתה דוגמה נגדית, ודוגמה כזו ניתנת להוכחה בכל מערכת סבירה כזו). מכאן שאם אפשר *להוכיח* ש-GC לא תלויה ב-PA, למשל, זו תהיה הוכחה (משונה קצת) לנכונותה של השערת גולדבך הטבעית. המצב הוא אחר לגמרי עבור טענות אחרות על הטבעיים, כמו twin primes.

שים לב גם שאם *מוכיחים* ש-GC לא תלויה במערכת X, זה גורר שהמערכת X היא עקבית, ולכן לא ניתן לבצע את ההוכחה ב-X עצמה. אפשר, למשל, להוכיח ב-ZFC ש-GC לא תלויה ב-PA, אבל אי אפשר להוכיח ב-ZFC ש-GC לא תלויה ב-ZFC - בשביל זה צריך מערכת אחרת שבה אפשר להוכיח את עקביות ZFC, ואין מי יודע מה מערכות כאלה שאנשים נוטים לקבלן כמובנות-מאליהן.

הניסוח שלך, "מערכת שמכילה את ZFC" אינו מדוייק. צריך לומר "מודל של ZFC שבו השערת הרצף נכונה, ומודל אחר שבו לא". וכן, זה אכן המצב.
הערונת 315770
לגבי הוכחות אי תלות ועקביות, אתה כמובן צודק, אבל הטיעון הנ"ל נכון לכל משפט שעליו אומרים "הוכחנו עקביות" או "הוכחנו אי תלות". בדרך כלל לא מתחילים ממערכת פורמלית חזקה יותר, אלא עובדים ב-ZFC ומוכיחים עקביות יחסית כלומר מוכיחים את המשפט הפורמלי:
Con(ZFC)->Con(ZFC+CH)

הערונת 315791
נכון, במיוחד ל-ZFC. נדמה לי שהוכחות אי-תלות ב-PA דווקא לעיתים נעשות פשוט ב-ZFC (או בחלק שלה), למשל משפט גודסטין הזכור לטוב.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315673
1. אני לא יודע מה רוצים מהשערת גולדבך. קצת קשה אז נשברים? אני לא רואה שום סיבה לחשוב שהמשפט הזה לא נובע (הוא או שלילתו, אבל רק האפשרות הראשונה סבירה) מ- ZFC.

2. השערת גולדבך אינה סימטרית. אם היא *לא נכונה*, אז אפשר להשתכנע בכך בזמן סופי (יש מספר זוגי N כך שלכל מספר ראשוני קטן יותר, N-p אינו ראשוני), ולכן זה נובע מ- ZFC. לעומת זאת אם היא כן נכונה אבל משום-מה לא יכיחה ב-ZFC, אפשר לצרף אותה (או טענה אחרת שההשערה נובעת ממנה) כאקסיומה נוספת.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315712
1. תאשים את הספר ההוא על "הדוד פטרוס והשערת גולדבך", שהמרצה שלי ללוגיקה אהב לרדת עליו. תמים ככל שיהיה, שמעתי שמועות מרושעות על שני אנשים שעזבו את הפקולטה למתמטיקה אחרי שקראו אותו. כן, אני בטוח שהם היו עוזבים גם ככה. כן, אני לא צריך להקשיב לשמועות מרושעות.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315675
בקשר ל-‏1 של עוזי, כדאי גם להזכיר (שכחתי קודם) שהשערת גולדבך כבר "כמעט" הוכחה (ביותר ממובן אחד), והיא נראית בהישג-יד. לאור זאת היא באמת לא מועמדת מוצלחת מדי להשערה-אולי-לא-תלויה. מועמדות מוצלחות הרבה יותר הן P=NP או בעיית ה-‏3n+1, למשל.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315771
כמובן שהבחירה בגולדבך היא בגלל שקילקלו לנו את פרמה ואין שום קשר לסבירות של תלותיותה. אתה יכול לפרט (או ללנקק) בקשר לכמעט הוכחה?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315781
מה זה "קלקלו לנו את פרמה"? בזה שהוכיחו אותו?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315807
אכן.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315790
2. תגובה 212764.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 315668
טוב שהבהרת שזה לא במעלה החמשה. נדמה לי ששם מחזיקים רק את האלכסון של קנטור.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300530
תודה על הסבר הפרדוקס. את פרדוקס אכילס והצב, למשל, הבנתי מרגע שהיכרתי אותו, כנראה בזכות האופן שבו הוא הוסבר לי. פרדוקס החץ, במקומות אחרים, מוסבר משום מה באופן מאוד לא ברור. כאן, אני לא מבינה רק למה צריך היה להפוך את החץ לאבן.
מאידך גיסא, ההנחה שהמרחב בדיד בהחלט לא מתיישבת עם השכל הישר יותר משמתיישבת איתו ההנחה שהחץ נשאר ללא נוע. מה הרווחת מזה?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300686
"ההנחה שהמרחב בדיד בהחלט לא מתיישבת עם השכל הישר יותר משמתיישבת איתו ההנחה שהחץ נשאר ללא נוע. מה הרווחת מזה?"
במה שונה הדבר מההנחה המקובלת על רובנו שלחומר יש אבני בניין סופיות?
דמוקריטוס טען שאם נמשיך ונחלק גוש חומר נגיע בסוף לנקודה בה לא נוכל לשוברה עוד מפני שהיא במצב אטומי (=בלתי ניתן לפירוק).
את אומרת שהנחה זו קשה כמו ההנחה שהאבן נעה ואני לא מבין למה.
מה לאינטואיציה שלי ולמקטעי מרחב זעירים? אולי הם באמת בדידים? (ואם כן אז הרווח שלי הוא לגלות זאת)
לעומת זאת, לאינטואיציה שלי יש הרבה מה להגיד על אבנים בגודל המוכר לנו, אשר נוע תנוע.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300780
מעניין. נראה שהאינטואיציות הבסיסיות ביותר שונות מאוד אצל אנשים שונים. עולם בדיד *ממש* לא ברור לי. מושג ההתכנסות, לעומת זאת, הגיוני בהחלט. (מעניין למה. דווקא לא שמו לי יותר מדי גבולות בילדותי הרחוקה, נדמה לי).
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300713
דווקא התגובה של ארז ליבנה לתגובה שלי הייתה מאוד לעניין.

יש בעייה - בשביל לפתור את פרדוקס זנון, או אכילס והצב, יש צורך במושג התכנסות, והמושג אינסוף.
אלה מושגים מאוד מאוד מופשטים - אנחנו לא יכולים לתאר בדמיוננו את המושג אינסוף בשום אופן. אין שום דבר ממשי שאנחנו רואים, שומעים, או חושבים, שהוא אינסופי. חיבור אינסוף מספרים הוא לא אפשרי הלכה למעשה.
מה שכן אפשר זה להגדיר אותו מתימטית מאוד במדויק. ולנסח תורה קונסיסטנטית לחלוטין שמטפלת באינסופים.

לי אישית לקח בדיוק שלושה חודשים שלמים, יום אחרי יום. להבין את ההגדרה של הגבול. אני זוכר בדיוק את התאריך - 15.1.93. היה גשם נוראי. :)

ככה שהטענה שהטבע מחייב את מושג האינסוף, למרות שאנחנו לא יכולים לתפוס אותו, היא קפיצת מדרגה מאוד קשה.

אין דבר. מתרגלים.

בקשר לשחמט - אני לא מכיר את ההוכחה. תוכל לתמצת לי אותה? אבל אולי אתה צודק. חשבתי על זה - למשל יש את ההוכחה שהיקום סופי (או במרחב או בזמן) - בהנתן ששמי הלילה אפלים. (כלומר - לא מגיע אלינו אור כוכבים מכל מקום ברקיע). כמובן שההוכחה לא נותנת מספר לגודלו של היקום.

בעצם איך זה יכול להיות? זה עדיין נראה לי חשוד....
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300715
מניין לך שבכל היקום יש כוכבים?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300725
אפשר לשאול שאלה חזקה פחות: מנין לך שצפיפות הכוכבים בכל היקום קבועה?

אה, הפרדוקס של אולברס, זכר לימים רחוקים.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300716
אני מסוגל לדמיין את מושג האינסוף בקלות. אני תמיד חושב על קטע שמציין את ציר המספרים בין 0 ל-‏1 וזוכר שבין כל שתי נקודות שנמצאות עליו יש עוד נקודה, וכך הלאה.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300721
מעניין שלאינסוף הזה הגעתי בגיל מבוגר יחסית, בעוד שכבר בתור ילד די צעיר (קשה לי לשחזר, אבל כנראה בכתות הנמוכות של בית ספר יסודי, או אולי אפילו בגן) הכרתי את האינסוף כתשובה למהו הספר הגדול ביותר. מיליון‏1? אז כמה זה מיליון ועוד אחד?

___
1 לא שידעתי כמה זה מיליון, או אפילו אלף, אבל ידעתי שזה המון.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300883
גם אני חשבתי על אינסוף ככה בתיכון, והסתבכתי די קשה במפגש הראשון שלי עם עוצמות. הרי את התכונה הזו יש למספרים הרציונליים בדיוק כמו לאי רציונליים, אז למה האינסוף של האי רציונליים הוא "יותר גדול"?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300895
אני לוקח את הבעיות אחת-אחת. מספיק לי קודם כל לתפוש מה זה אינסוף, אחר כך לעשות סדר בין האינסופים.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 300923
הבעיה היותר גדולה שלי הייתה, למה אינסוף הרציונלים אינו גדול יותר מזה של הטבעיים. השקילות הזאת אף פעם לא הסתדרה לי יותר מדי טוב. (כן, אני מכירה את הפונקצייה, אז מה?)
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 301001
לטעמי זה הרבה פחות לא-אינטואיטיבי, מהטעם הפשוט שאנחנו רגילים לחשוב על אינסוף "יחיד". אז אם יש "המון" מספרים טבעיים ויש "המון" מספרים רציונליים, כל עוד לא עשינו הבחנה בין סוגי אינסופים אי אפשר לצפות שיהיו "יותר" רציונליים מטבעיים. נכון, אמנם, שמרגע שמגלים שיש "יותר" אי רציונליים מרציונליים הפתח הזה נפתח.

דרך טובה לנסות ולהבין למה זה הגיוני שיש אותו מספר רציונליים כמו טבעיים היא לזכור מה זה בעצם רציונלי - כל מספר רציונלי ניתן להצגה בתור זוג של מספרים שלמים (ואני מניח שאת מסכימה שזה הגיוני שמספר השלמים הוא כמספר הטבעיים). זה אפילו פחות מזה - יש הרבה זוגות שמייצגים את אותו מספר רציונלי (1/2, 2/4, וכו') אבל מספיק להיות לארג'ים ולהניח שכל מספר רציונלי מיוצג על ידי זוג מספרים טבעיים. לכן השאלה הפשוטה היא: האם יש יותר זוגות מספרים שלמים מאשר מספרים שלמים?

אותי הנקודה הזו מאוד בלבלה בהתחלה, דווקא בהקשר של מספרים ממשיים ("האם בריבוע היחידה יותר מספרים מאשר בישר היחידה"?) ואני אתקשה לשכנע אותך לקבל את זה אינטואיטיבית - אבל לפחות יש לנו יתרון אחד והוא שהפסקנו לדבר על "טבעיים" ו"רציונליים", שביניהם יש ניגוד חריף שבגללו האינטואיציה שלנו מסרבת לקבל את שקילות הגודל שלהם: הטבעיים הם "בדידים" ואילו הרציונליים "צפופים", במובן זה שבין כל שני מספרים טבעיים סמוכים אין אף מספר טבעי, ואילו אצל הרציונליים לכל שני מספרים ניתן למצוא אחד ביניהם.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 301009
כן, רק שהצפיפות של הרציונלים יוצרת בעיה דומה מהכיוון ההפוך - אינטואיטיבית, נדמה שהעצמה שלהם הרבה יותר קרובה לזו של הממשיים.
וכמובן, הבעיות החריפות יותר מתעוררות בקרדינלים הגבוהים...
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 301019
אכן, כתבתי כאן קודם שלדעתי החלק הבאמת לא אינטואיטיבי הוא ההפרדה בין הרציונליים לממשיים (אני חושב שקנטור עצמו צוטט כאומר דברים בסגנון "ההוכחה הייתה נכונה, אבל לא יכלתי להאמין לה"). אבל אני לא בטוח שדווקא בקרדינלים גבוהים מתעוררות בעיות (איזה? כי הרי מרגע שעזבנו את הממשיים כבר הרבה פחות קל לדמיין את מה שהולך שם ולכן האינטואיציה לא שווה הרבה ממילא, ויש לנו את משפט קנטור על קבוצת החזקה שמבטיח לנו אינסוף קרדינלים שונים, ודווקא מוכיח את זה בצורה די אלגנטית ואינטואיטיבית.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 301022
הבעיה בקרדינלים הגבוהים היא כבר לא בדיוק של אינטואיציה, אלא של כל מיני משפטים ש''מתקלקלים'' שם.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 301023
איזה? זה מעניין, אני מכיר הפרדות חדות רק בין אלף אפס ועוצמת הרצף. כמובן, קרוב לודאי שזה בגלל שלא למדתי ברצינות שום דבר שמתעסק עם עוצמות גבוהות יותר...
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303091
אם מדברים על השוואת גדלים (של קבוצות, דה) ואינטואיציה, אני רוצה להזכיר כאן את תגובה 226962.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303092
תודה על התגובה. למען האמת לא חשבתי על "הכלה", למרות שהוא הרבה יותר אינטואיטיבי אפילו מרעיון ה"התאמה". הבעיה הבסיסית בגישה הזו היא, כמובן, שגם קבוצות סופיות (על מושג ה"כמות" אצל קבוצות סופיות אין ויכוח, נכון?) בעלות אותה כמות איברים יכולות שלא להיות מוכלות אחת בשנייה בכלל, כי אין בהן את אותו סוג איברים. לכן ההשוואה הופכת להיות לא-מוגדרת-היטב-כל-כך.

אין בעיה לפתור את זה, כמובן: פשוט נאמר "נעתיק כל איבר מאחת הקבוצות לאיבר בקבוצה האחרת, כך שניתן יהיה לדבר על יחסי הכלה וכו'." וכאן זה באמת משתגע כשעוברים לקבוצות אינסופיות, כי אפשר לתת העתקה אחת שבה יש הכלה הדדית, והעתקה נוספת שבה אין כזו. דוגמה קלאסית היא זו של המספרים הטבעיים: פעם אחת תעתיק אותם לעצמם, פעם אחרת לעצמם עם הזזה ב-‏1 (או הסרת 1948).

לכן הכלה, לדעתי, הוא גם כן מהמושגים שאומרים עליהם "הגיוני" בהתחלה אבל מהר מאוד משנים את זה ל"לא הגיוני". השוואת כמות באמצעות העתקות חח"ע ועל, למרות הפרדוקסליות שהיא לכאורה יוצרת, ממשיכה להיראות לי פחות "לא הגיונית" מאשר הגישה שאתה מציע.

אגב (סתם קוריוז), אחת מהתוצאות של התחושה שלנו שאפשר להגדיר הסתברות אחידה על הטבעיים למרות שאי אפשר היא "פרדוקס המעטפות":
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303106
מה הקשר בין פרדוקס המעטפות להסתברות אחידה על הטבעיים?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303108
מתוך הערך: "הפרדוקס מנוסח תוך התעלמות מן התהליך המשמש להגרלת הסכום המקורי, X. בפועל, אין אפשרות "לבחור" סכום בלי שתהיה התפלגות א-פריורית שממנה הסכום הזה נבחר. כעת, נקודת המפתח היא שלא קיימת התפלגות שבה הסיכוי להרוויח (לעבור מ- Y ל- 2Y) שווה לסיכוי להפסיד (לעבור מ- Y ל- Y/2). ביתר פירוט, כאשר הסכום Y במעטפה הראשונה ידוע, ההתפלגות א-פריורי של X קובעת את הסיכויים שהמעטפה השניה תכיל 2Y או Y/2, ובמעבר על כל האפשרויות, היתרון שברווח הגדול יותר מתאזן בכך ש'בדרך כלל' הסיכויים להפסיד גדולים מן הסיכויים להרוויח. חשוב להעיר כאן שאילו היתה ההתפלגות של X אחידה על פני כל המספרים (כלומר, כל הערכים של X היו סבירים באותה מידה), היה הפרדוקס עומד בעינו. אלא שלא קיימת התפלגות אחידה על כל המספרים."

בעברית: מה שגורם לפרדוקס הוא ההנחה שהסיכוי להימצאות סכום כסף כלשהו במעטפות (וסכום כסף הוא מספר טבעי או לכל היותר רציונלי) יכול להיות אחיד. בפועל זה לא כך, ולכל פונקצית הסתברות שרק תבחר, תמיד יהיה סכום כלשהו (אם הולכים לסכומים גדולים מספיק) שהסיכוי שתקבל אותו או משהו גדול ממנו קטן מהסיכוי שתקבל משהו מהסכומים האחרים. לכן לא תמיד משתלם להחליף.

(אם לא הבנתי את הפרדוקס, אשמח לקבל הסברים ופרשנויות אחרות)
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303127
עכשיו נזכרתי מה דיכא אותי תמיד בסטטיסטיקה: השעמום.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303166
הבנת את הפרדוקס, אבל try this: אני מטיל מטבע עד שיוצא עץ. נניח שהטלתי k פעמים, אז אני שם במעטפה אחת שלוש-בחזקת-k זוזים, ובמעטפה השנייה פי 3 מזה. אני נותן לך לבחור איזו מעטפה לפתוח, ומותר לך להחליף אחרי שהצצת בפנים. אתה לא יודע מהו k, אבל אתה יודע בדיוק איך בחרתי אותו.

* אתה רואה 3 זוז. מה אתה עושה?
* אתה רואה 9 זוז. מה אתה עושה?
* אתה רואה מה-שלא-יהיה. מה אתה עושה?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303169
ניסיון: התוחלת של משתנה מיקרי גיאומטרי עם פרמטר 0.5 היא 2, כלומר אם במעטפה יש 3*9 זוזים, או יותר, אני לוקח אותה. אחרת את השניה?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303171
אם במעטפה יש 27 זוזים, מה הסיכוי שבשנייה יש 9? 81? מה כדאי לעשות?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303187
אם יש בה 27 זוזים, ההטלה אשר הניבה עץ לראשונה היא השניה (בהסתברות א-פריורית של 0.25) או השלישית (בהסתברות א-פריורית של 0.0625). כלומר כדאי להשאר עם המעטפה שבידך.

לשם מה יש צורך בהסתברויות הפוסט-פריוריות?
(ניחוש: כי אם מחשבים אותן, מקבלים מסקנה שונה מזו שהצגתי לעיל).
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303189
למה 0.0625?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303191
כי אני לא יודע להכפיל שני מספרים בלי לטעות שלוש פעמים. 0.125.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303192
ועכשיו למה "כלומר כדאי להשאר עם המעטפה שבידך"? מאיזה חישוב אתה מסיק זאת?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303206
התכוונתי לכתוב "לא חישוב, אלא היוריסטיקה" ולהסביר שעומדת בפני בחירה בין שתי אפשרויות (מתוך הרבה), כאשר האחת סבירה יותר מהאחרת, ושאומנם אין ממש דרך להסיק מכאן על ההסתברויות הפוסט-פריוריות, אך "נראה לי" שכאן המסקנה דווקא תופסת.

אבל אז נזכרתי שמדברים על הסתברות, וחישבתי.

ההסתברות המותנית שבאחת המעטפות יש 9-זוזים, בהינתן שבשניה יש 27 - היא ההסתברות שבאחת המעטפות יש 9-זוזים ובשניה יש 27-זוזים, חלקי ההסתברות שבאחת יש 27 זוזים - כלומר היא ההסתברות שיצא "עץ" בהטלה השניה, חלקי סכות ההסתברויות של המאורע "יצא עץ בהטלה השניה" ו-"יצא עץ בהטלה השלישית" - והיא שווה לשני-שלישים.

ההסתברות המותנית שבאחת המעטפות יש 81-זוזים, בהינתן שבשניה יש 27 - היא ההסתברות שבאחת המעטפות יש 81-זוזים ובשניה יש 27-זוזים, חלקי ההסתברות שבאחת יש 27 זוזים - כלומר היא ההסתברות שיצא "עץ" בהטלה השלישית, חלקי סכות ההסתברויות של המאורע "יצא עץ בהטלה השניה" והמאורע "יצא עץ בהטלה הרביעית" - והיא שווה ל...שני-שלישים.

כלומר לא משנה אם מחליפים או לא. באופן מאד לא מפתיע, זו גם התוצאה הכללית.

אני מוכרח לציין שהטיעון השגוי שהצגתי במקור (זה עם התוחלת) עדיין נשמע לי משכנע.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303210
רגע. שמעתי פעם משהו על כך שההסתברויות אמורות להסתכם ל-‏1. כמה מביך. לרוע המזל, אאלץ לחזור לשולחן השרטוטים רק מחר.

לילה טוב.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303586
נו, סתם עוד טעות חישוב, היה צריך להיות "3\1".

נראה שה-"בעיה" היא שתוחלת הרווח לכל מטעפה היא אינסופית ([sum[(3/2)^n אינו מתכנס), ולכן לאחר שפתחת את המעטפה שלך, וראית סכום סופי של כסף - כדאי לך להחליף (ואם לא פתחת - אז לא שווה, תוחלת הרווח בשתי המעטפות זהה - ואינסופית).

המשחק שעוזי הציג למטה מציג catch דומה: גם בו תוחלת הרווח אינסופית, אך ההסתברות להשיג אותה היא אפס (מזכיר קצת חשבון גבולות...). איך באמת כדאי לנהוג במקרה הזה? מתי כדאי לפרוש?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303591
איזו אינפורמציה נוספה לך כתוצאה מפתיחת המעטפה?
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303600
מה זאת אומרת, עכשיו הוא יודע מה יש במעטפה.
מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים 303601
(במקרה ואתה לא צוחק, אנא הסבר).
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • עוזי ו.
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • שוטה הכפר הגלובלי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • ראובן
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • שוטה הכפר הגלובלי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • ראובן
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • שוטה הכפר הגלובלי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • ראובן
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • עומר
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • שוטה הכפר הגלובלי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • האייל האלמוני
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • תובל
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • האייל האלמוני
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • שוטה הכפר הגלובלי
  עניין אחר • שוטה הכפר הגלובלי
  עניין אחר • ראובן
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אלון עמית
  אתה אדם רשע :-) • אורי גוראל-גורביץ'
  אתה אדם רשע :-) • גדי אלכסנדרוביץ'
  אתה אדם רשע :-) • אלון עמית
  אתה אדם רשע :-) • אורי גוראל-גורביץ'
  אתה אדם רשע :-) • גדי אלכסנדרוביץ'
  אתה אדם רשע :-) • שוטה הכפר הגלובלי
  אתה אדם רשע :-) • אלון עמית
  אתה אדם רשע :-) • עוזי ו.
  אתה אדם רשע :-) • ראובן
  סט. פטרסבורג • שוטה הכפר הגלובלי
  סט. פטרסבורג • ראובן
  סט. פטרסבורג • אלון לרגע
  סט. פטרסבורג • ראובן
  לנינגרד • האייל האלמוני
  אתה אדם רשע :-) • תובל
  אתה אדם רשע :-) • אורי גוראל-גורביץ'
  אתה אדם רשע :-) • תובל
  פרדוקס היחפן • עוזי ו.
  אתה אדם רשע :-) • שוטה הכפר הגלובלי
  אתה אדם רשע :-) • תובל
  אתה אדם רשע :-) • יובל נוב
  אתה אדם רשע :-) • ראובן
  אתה אדם רשע :-) • שוטה הכפר הגלובלי
  אתה אדם רשע :-) • תובל
  אתה אדם רשע :-) • שוטה הכפר הגלובלי
  אתה אדם רשע :-) • עוזי ו.
  אתה אדם רשע :-) • תובל
  אתה אדם רשע :-) • שוטה הכפר הגלובלי
  אתה אדם רשע :-) • תובל
  אתה אדם רשע :-) • שוטה הכפר הגלובלי
  הבהרה. • סמיילי
  הבהרה. • שוטה הכפר הגלובלי
  תמשיך לחכות • סמיילי
  תמשיך לחכות • שוטה הכפר הגלובלי
  טוב, נו • אריק
  תמשיך לחכות • עוזי ו.
  תמשיך לחכות • שוטה הכפר הגלובלי
  אתה אדם רשע :-) • עוזי ו.
  אתה אדם רשע :-) • שוטה הכפר הגלובלי
  אתה אדם רשע :-) • תובל
  ניסוח נגיש יותר • סמיילי
  אתה אדם רשע :-) • יובל נוב
  אתה אדם רשע :-) • שוטה הכפר הגלובלי
  חצי שקל פעם ראשונה • סמיילי
  אתה אדם רשע :-) • אפופידס
  אתה אדם ספקולנט • יובל נוב
  אתה אדם ספקולנט • סמיילי
  אתה אדם ספקולנט • עוזי ו.
  אתה אדם ספקולנט • יובל נוב
  אתה אדם ספקולנט • עוזי ו.
  אתה אדם רשע :-) • גדי אלכסנדרוביץ'
  אתה אדם רשע :-) • אלון לרגע
  אתה אדם רשע :-) • גדי אלכסנדרוביץ'
  אתה אדם רשע :-) • אלון לרגע
  אתה אדם רשע :-) • גדי אלכסנדרוביץ'
  אתה אדם רשע :-) • אלון לרגע
  אתה אדם רשע :-) • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אלון עמית
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  עוד אחד • יובל נוב
  אתה משווה תפוחים לתפוזים‏1 • ירדן ניר-בוכבינדר
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • ראובן
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • שוטה הכפר הגלובלי
  אני רוצה להבין • סמיילי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • תובל
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • שוטה הכפר הגלובלי
  חברת סט פטרסבורג בע''מ. • ראובן
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אלון עמית
  חררמפ • ראובן
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • שוטה הכפר הגלובלי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • עוזי ו.
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • יובל נוב
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • עוזי ו.
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • שוטה הכפר הגלובלי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • שוטה הכפר הגלובלי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • עוזי ו.
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • שוטה הכפר הגלובלי
  שאלה קצת דבילית • סמיילי
  שאלה קצת דבילית • עוזי ו.
  שאלה קצת דבילית • עומר
  שאלה קצת דבילית • ראובן
  שאלה קצת דבילית • שוטה הכפר הגלובלי
  שאלה קצת דבילית • ראובן
  שאלה קצת דבילית • שוטה הכפר הגלובלי
  שאלה קצת דבילית • ראובן
  שאלה קצת דבילית • עוזי ו.
  שאלה קצת דבילית • ראובן
  שאלה קצת דבילית • שוטה הכפר הגלובלי
  שאלה קצת דבילית • עוזי ו.
  שאלה קצת דבילית • שוטה הכפר הגלובלי
  שאלה קצת דבילית • ראובן
  שאלה קצת דבילית • שוטה הכפר הגלובלי
  שאלה קצת דבילית • ראובן
  שאלה קצת דבילית • אריק
  שאלה קצת דבילית • שוטה הכפר הגלובלי
  שאלה קצת דבילית • אריק
  שאלה קצת דבילית • ראובן
  שאלה קצת דבילית • שוטה הכפר הגלובלי
  שאלה קצת דבילית • ירדן ניר-בוכבינדר
  שאלה קצת דבילית • אורי גוראל-גורביץ'
  שאלה קצת דבילית • שוטה הכפר הגלובלי
  שאלה קצת דבילית • אורי גוראל-גורביץ'
  שאלה קצת דבילית • שוטה הכפר הגלובלי
  שאלה קצת דבילית • האייל האלמוני
  שאלה קצת דבילית • האייל האלמוני
  שאלה קצת דבילית • סמיילי
  שאלה קצת דבילית • סמיילי
  שאלה קצת דבילית • עומר
  שאלה קצת דבילית • עוזי ו.
  ובתרגום לשפת בני אדם • סמיילי
  שאלה קצת דבילית • עומר
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אלון עמית
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • שוטה הכפר הגלובלי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אלון עמית
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • האייל האלמוני
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • easy
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אלון עמית
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • שוטה הכפר הגלובלי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אלון עמית
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • שוטה הכפר הגלובלי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • ב/אלון
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אלון עמית
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אלון עמית
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • easy
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • easy
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • easy
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • easy
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אורי גוראל-גורביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • easy
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אורי גוראל-גורביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • easy
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • easy
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • easy
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אורי גוראל גורביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • easy
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אלון עמית
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  אלוהי ציווני סט לעוללייך • ירדן ניר-בוכבינדר
  אלוהי ציווני סט לעוללייך • גדי אלכסנדרוביץ'
  אלוהי ציווני סט לעוללייך • ירדן ניר-בוכבינדר
  אלוהי ציווני סט לעוללייך • ירדן ניר-בוכבינדר
  אלוהי ציווני סט לעוללייך • גדי אלכסנדרוביץ'
  A rose by any other name • עוזי ו.
  A rose by any other name • גדי אלכסנדרוביץ'
  תורת המידה • אפופידס
  תורת המידה • גדי אלכסנדרוביץ'
  תורת המידה • עוזי ו.
  תורת המידה • גדי אלכסנדרוביץ'
  תורת המידה • גדי אלכסנדרוביץ'
  תורת המידה • אפופידס
  תורת המידה • גדי אלכסנדרוביץ'
  תורת הסירה • אפופידס
  תורת הסירה • האייל האלמוני
  תורת הסירה • גדי אלכסנדרוביץ'
  תורת הסירה • האייל האלמוני
  תורת הסירה • גדי אלכסנדרוביץ'
  תורת הסירה • האייל האלמוני
  תורת הסירה • גדי אלכסנדרוביץ'
  תורת הסירה • האייל האלמוני
  תורת הסירה • עוזי ו.
  תורת הסירה • אלון עמית
  תורת הסירה • האייל האלמוני
  תורת הסירה • אלון עמית
  תורת הסירה • גדי אלכסנדרוביץ'
  תורת הסירה • אפופידס
  Big bugs have little bugs upon their back to bite them • ראובן
  I never saw a purple cow • ראובן
  I never saw a purple cow • דורון הגלילי
  You can run, but you can't hide • ראובן
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • שוטה הכפר הגלובלי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • יזהר
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • שוטה הכפר הגלובלי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • דובי קננגיסר
  (פרדוקס הדיכוטומיה) • ערן בילינסקי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • דובי קננגיסר
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • האייל האלמוני
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • ארז ליבנה
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • שוטה הכפר הגלובלי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • יזהר
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • דובי קננגיסר
  domo arigato (=תודה ביפנית) • ארז ליבנה
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • טל כהן
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • דובי קננגיסר
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  אז חלק אותו עד אין סוף • פטר חמור
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אייל בדוי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • עוזי ו.
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אפופידס
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • עוזי ו.
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אייל בדוי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • שוטה הכפר הגלובלי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אייל בדוי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • שוטה הכפר הגלובלי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אייל בדוי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • עוזי ו.
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אייל בדוי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • עוזי ו.
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אייל בדוי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אייל בדוי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אייל בדוי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אייל בדוי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אייל בדוי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אייל בדוי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אייל בדוי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אייל בדוי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אייל בדוי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אייל בדוי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אייל בדוי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אייל בדוי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אייל בדוי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אייל בדוי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אייל בדוי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אייל בדוי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אייל בדוי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אייל בדוי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • עוזי ו.
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • easy
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אייל בדוי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • שוטה הכפר הגלובלי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אייל בדוי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • שוטה הכפר הגלובלי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אייל בדוי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • פטר חמור
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אייל בדוי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אייל בדוי
  bullshit • האייל האנומלי
  bullshit • אייל בדוי
  bullshit • שוטה הכפר הגלובלי
  bullshit • אייל בדוי
  bullshit • האייל האנומלי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • עוזי ו.
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • האייל האלמוני
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • עוזי ו.
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • עומר
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אורי גוראל-גורביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אייל בדוי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • שוטה הכפר הגלובלי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • עוזי ו.
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • עוזי ו.
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • עוזי ו.
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אלון עמית
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • עומר
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • שוטה הכפר הגלובלי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • האייל האלמוני
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • שוטה הכפר הגלובלי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • האייל האלמוני
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • שוטה הכפר הגלובלי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • שוטה הכפר הגלובלי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • עוזי ו.
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • עוזי ו.
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אלון עמית
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אורי גוראל-גורביץ'
  עוד מעט ויסקלונו • עוזי ו.
  עוד מעט ויסקלונו • אורי גוראל-גורביץ'
  עוד מעט וסקלונו • עוזי ו.
  עוד מעט וסקלונו • אורי גוראל-גורביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אלון עמית
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אורי גוראל-גורביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אלון עמית
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אורי גוראל-גורביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אלון עמית
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אורי גוראל-גורביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • עוזי ו.
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אורי גוראל-גורביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • עוזי ו.
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אורי גוראל-גורביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • שוטה הכפר הגלובלי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אורי גוראל-גורביץ'
  חרמפפפ • שוטה הכפר הגלובלי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • טל כהן
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אלון עמית
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • טל כהן
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אלון עמית
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • שוטה הכפר הגלובלי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • שוטה הכפר הגלובלי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • פטר חמור
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • שוטה הכפר הגלובלי
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אריק
  פתרון פרדוקס החץ • אריק
  פתרון פרדוקס החץ • גדי אלכסנדרוביץ'
  פתרון פרדוקס החץ • אריק
  פתרון פרדוקס החץ • גדי אלכסנדרוביץ'
  פתרון פרדוקס החץ • אריק
  פתרון פרדוקס החץ • גדי אלכסנדרוביץ'
  פתרון פרדוקס החץ • אריק
  פתרון פרדוקס החץ • גדי אלכסנדרוביץ'
  פתרון פרדוקס החץ • שוטה הכפר הגלובלי
  פתרון פרדוקס החץ • גדי אלכסנדרוביץ'
  פתרון פרדוקס החץ • שוטה הכפר הגלובלי
  פתרון פרדוקס החץ • גדי אלכסנדרוביץ'
  פתרון פרדוקס החץ • שוטה הכפר הגלובלי
  פתרון פרדוקס החץ • גדי אלכסנדרוביץ'
  פתרון פרדוקס החץ • אריק
  פתרון פרדוקס החץ • האייל האלמוני
  פתרון פרדוקס החץ • אריק
  פתרון פרדוקס החץ • אריק
  פתרון פרדוקס החץ • גדי אלכסנדרוביץ'
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • פטר חמור
  מחשבות חדשות (שלי) על מאמרים ישנים • אריק

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים