''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' 663199
התוכנית של בנט מהזווית הסוציולוגית: "אלו שלעולם לא ילמדו 5 יחידות מתמטיקה".

כמה ציטוטים:

- אין קשר (ישיר) בין חמש היחידות לאיכות המתמטיקה, או החשיבה בכלל, שאותה ילמדו בוגרי התוכנית. התוכנית לא מכוונת לפיתוח המתמטיקה, התלמידים או החינוך המשמעותי; היא שואפת להפרדה חברתית ולצמיחה תעשייתית.

- המתמטיקה היישומית — הפרגמטית והתועלתנית, זו שזוכה לכינוי חמש יחידות לימוד — התמסדה על חשבון המתמטיקה המוחשית והמופשטת, האמיתית, ומטרתה היא לנתק את המתמטיקה ממוחשיות מקורותיה וממופשטות ייעודה. תוכניתו של בנט לא תקדם את פתרון הבעיות המתמטיות, וגם לא תפתח הוגים ברמה גבוהה, כאלו שלא מפחדים מחילוק שטח סופי באינסופי.

- השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב. כדי לנתק אותה מהקשרה מלמדים מתמטיקה כאילו היתה נטולת היסטוריה, התפתחויות או מאבקים. כך מייצרים מתמטיקה ומתמטיקאים שטחיים, לא מעורבים, שלא רואים את הקשרים הרחבים בינה לבין דיסציפלינות אחרות.

- ברור שהמתמטיקה אינה מנותקת מהעולם, ובכל זאת לא נלמדים מקורותיו המזרחיים של האפס, למשל. ההדרה הזאת לא מובילה רק לפערים חברתיים אלא גם מאיטה את התפתחות המדע.

- במקום חזרה אינסופית על ספרי הלימוד הרגילים, אפשר להקדיש שעה בשבוע להיסטוריה של המתמטיקה. במקום שינון אוטומטי של נוסחאות, יש להקנות לתלמידים יכולת המשגה והבנייה של בעיות. רק אז יוכלו לפתח בתורם את הפתרונות. אסור לנו להפוך תלמידים לרובוטים הנדסיים המוכנים לכל משימה שתטיל עליהם הממשלה. במקום זאת יש ללמד אותם להסיק מסקנות ביקורתיות ולעבוד עם הגיון מופשט ורב־שכבתי. כדי שיאהבו את המתמטיקה יש להתייחס אליה בתשוקה. כי במקום שבו יש תשוקה אין עצלות. אין גם הפרעות קשב וריכוז.
''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' 663200
אמת לאמיתה, ביחוד הפיסקה האחרונה.
''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' 663255
ניחשתי שזו תהיה התגובה שלך, הטור הזה מתאים לך כמו כפפה ליד
''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' 663256
כמו שלך מתאים להיות בעד חינוך המעודד בורות בהבנת העולם ומתמקד אך ורק בכישורים טכניים.
''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' 663258
נתעלם לרגע לרגע ממה מתאים או לא לך ולרחל.

אתה טוען (בלי לפרט) שהמאמר הזה מצביע על בעיות אמתיות. תגובות אחרות למאמר הביעו ספק בכך, וחלקן כללו גם נימוקים. האם אתה יכול להגיב לתגובות היותר מנומקות למטה?
''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' 663260
לא ראיתי כאן הרבה נימוקים. ראה קישורים בתגובה 618397 ותגובה 633650 דעתי בענין בפתיל המתחיל בתגובה 624936 וכן דיון 3375
''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' 663269
נתחיל מנימוק שהעלה יוסי: שהתייחס לקטע הבא: "תוכניתו של בנט לא תקדם את פתרון הבעיות המתמטיות, וגם לא תפתח הוגים ברמה גבוהה, כאלו שלא מפחדים מחילוק שטח סופי באינסופי." ושאל: מה בדיוק הבעיה עם חלוקת שטח סופי באינסופי? האם זה מפחיד בוגר חמש יחידות טיפוסי? יש לי הרגשה שהניסוח "חלוקה באינסופי" לא לגמרי נכון, אבל בדיוק בדברים הללו עוסק החשבון האינפיניטסימלי, ואת יסודותיו לומדים בתיכון. נגזרת ואינטגרל הם בחומר של חמש יחידות.
''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' 663270
הכוונה של המשפט היא שלימוד פתרון תרגילים לא מהווה הכשרה טובה של מתמטיקאים. לשם כך צריך ללמד חשיבה מתמטית כלומר איך ניגשים לניסוח מתמטי של בעיה וזה מתקשר למה שהמאמר מדבר עליו בכללותו - ראייה רחבה של הנושא הנלמד ולא רק שינון טכניקה צרה.
''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' 663272
האם ייתכן שטענות כגון הטענה שצוטטה מצביעות על כך שכותב המאמר לא מכיר מספיק טוב את דרך לימוד המתמטיקה? התעלם כרגע מהביקורת שיש לך על דרך לימוד זו.
''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' 663276
האם דרך הלימוד שונה מתקופתי שבה למדנו להציב פרמטרים במשוואות?
''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' 663279
בלי תרגול אתה לא יכול לפתח הבנה ''אינטואיטיבית''. זהו חלק חשוב מבניית ידע. כמובן שאי אפשר להסתפק בשינון בלבד, וצריך לבנות את הידע. אבל מתקופת לימודי בתיכון אני גם זוכר גם בניית ידע.
''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' 663275
מהן בעיות תנועה, הספק וכוח, ובעיות בסטטיסטיקה שבדרך כלל מתחילות בדוגמאות מהחיים‏1 אם לא 'תרגול איך ניגשים לניסוח מתימטי של בעייה'?

1 בכיתה ב' יש 20 תלמידות וחמישה עשר תלמידים. לעשרה מהם סוודרים ירוקים ולשאר אדומים. מה הסיכוי של תלמיד עם סוודר אדום לצאת עם תלמידה עם סוודר ירוק?
''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' 663277
הניסוח הזה מדבר על חשיבה בתבניות. כותב המאמר מתכוון שכדי להיות מתמטיקאי צריך להגות תיאוריות מתמטיות ולזה מערכת החינוך לא מכוונת.
''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' 663278
עם זאת שקשה לי לסתור את מה שאתה אומר, הבה נבין את ההקשר:
א. 99 אחוז מבוגרי מערכת החינוך לא יהיו מתימטיקאים. בוא נניח שה-‏80% שלומדים 4 יחידות וודאי שלא. נשארנו עם 20% בוגרי 5 יחידות, שיכולים למנף את זה כדי להיות מתימטיקאים, מתכנתים, מהנדסי חשמל/תוכנה/חומרה/מכונות/חומרים/אוירונאוטיקה וגו'. ז"א שגם מהם, אחוז קטן יהיה 'מתימטיקאים מקצועיים'.
ב. גם לאחוז הקטן שירצה להיות מתימטיקאי מקצועי, הבסיס גם לתיאוריות המורכבות יותר הוא הלחם והחמאה של ניסוח בעיות, אלגברה וטריגו וגיאומטריה מרחבית ואנליטית וסטטיסטיקה ומרוכבים וכל החבר'ה האלה. עם כל ההבדל ביניהם לבין מה שנדרש ממתימטיקאי באוניברסיטה (שציינתי איפשהוא בדיון על ההבדל בין חשבון למתימטיקה), עדיין קשה עד בלתי אפשרי ללמוד מתימטיקה גבוהה בלי שליטה בבסיס הזה.

כמובן, שמי מבוגרי חמש יחידות שימשיך למתימטיקה ברמה אקדמית, יזדקק לפתח מיומנויות חדשות מעבר לנלמד בתיכון. אבל זה טריוויאלי, לא?

יותר ספציפית, אני חושב שדווקא בעיות והוכחות בהנדסת המישור - שבוגרי תיכון נתקלים בהן רבות, ונחשבות לאחד התחומים הפחות שימושיים בחומר הנלמד - הן קשות מאד לניסוח (הפתרון) בתבניות ידועות מראש. הן מייצגות חשיבה מופשטת יותר שצריכה לבחור באחד הכלים שברשותה כדי לפתור את הבעייה (להשתמש בטריגו, או בזהויות משולשים, או לעשות בנייה כזו או אחרת שתפשט את הבעייה וכולי), וזה דוקא דומה יותר לחשיבה שנתקלים בה גם באוניברסיטה.
''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' 663280
אתה יכול לתת לי דוגמה לתאוריה מתמטית שאפשר להגות כחלק מהלימודים בתיכון?
''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' 663282
לא תאוריה מתמטית. הוכחת משפטים, לימוד מודלים מתמטים, לימוד דוגמאות יישומיות למתמטיקה וכמו שמציין כותב המאמר גם רקע היסטורי ופילוסופי של המתמטיקה.
''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' 663285
כל החומר של הנדסת המישור מלא בהוכחות משפטים.

אתה יכול לתת דוגמה למקום שבו הרקע ההיסטורי והפילוסופי של המתמטיקה יתרום להבנתה (ובגלל שככה כתוב במאמר)? אני הייתי דווקא שמח להיפר מפרקים היסטוריים כגון שיטת הספירה הרומית.
''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' 663286
רקע היסטורי ופילוסופי לא תורם להבנה אלא מעשיר את חווית הלימוד. הוא מציג את המתמטיקה כתחום נרחב ומעניין יותר מדרך לפתירת תרגילים.
''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' 663288
אני לא יודע בקשר ל"יתרום להבנתה" אבל כשלמדתי בפעם הראשונה מה מקור ה"דמיוני" ב"מספר דמיוני" - וזה היה כמה עשורים אחרי שהשלמתי את כל הלימודים הפורמליים שלי - היתה לי חווית "א-הה" רצינית, והרגשה שלא ברור למה לא שמעתי על זה במסגרת לימודי המתמטיקה בתיכון. הקרבות ההיסטוריים בקשר עם פתרון משוואות ממעלה שלישית נראה לי לא פחות מרתק ממשחקי הכס או משחקי הרעב או מה שהולך היום.

ובמקום "הרקע ההיסטורי והפילוסופי של המתמטיקה" הייתי משלב כמה נושאים שהם פשוט יפים מכדי לא לחשוף אותם לעיני התיכוניסטים (ואני רוצה להדגיש: דווקא אלה שלא יתעסקו עם מתמטיקה בהמשך חייהם, כי האחרים ייתקלו בזה ממילא בהמשך, בידוק כפי שקרה לי). משפט האלכסון של קנתור, משפט הראשוניים של אוקלידס, ההוכחה ששורש 2 הוא אירציונלי (וההכללה למספרים ראשוניים בכלל), ההוכחה שמס' אירציונלי בחזקת מס' אירציונלי יכול לתת תוצאה רציונלית‏1, האקויולנטיות בין אינדוקציה למשפט "לכל קבוצה לא ריקה של טבעיים יש איבר קטן ביותר" (עדיף בצורה של חידה, ע"י הצגת "הוכחה" של אקסיומת האינדוקציה). אלה דוגמאות לנושאים שאולי אינם חשובים במיוחד לכשלעצמם, אבל יש להם חשיבות אסתטית גדולה והם אמורים גם להציף בפני התיכוניסטים שהמתמטיקה אינה מסתכמת בפתרון של משוואות ריבועיות או חישובי מהירות. גם קצת דיבורים, אפילו ברמה של נפנופי ידיים, לגבי גיאומטריות לא אוקלידיות ובפרט לגבי ההיסטוריה שלהן‏2 נראים לי כמו משהו שחבל לא לחשוף בפני המתבגרים.

האם משהו מכל אלה כבר שולב בתוכנית הלימודים מאז שאני סיימתי תיכון?
______________
1- וכל זאת בלי שאנחנו יכולים להצביע על זוג מספרים כזה אלא רק להראות שני זוגות שאחד מהם בוודאות עונה על התנאי.
2- ובפרט, מה היו המחסומים הנפשיים הלא-מודעים שעיכבו את ההתפתחות של התחום הזה ואיך אפשר להשליך מזה לגבי תחומים אחרים.
''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' 663289
מבין כל התוצאות שציינת, נתקלתי בתיכון רק באחת: ההוכחה לאי-רציונליות של שורש 2.
''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' 663291
גם למתימטיקאים לעתיד הנושאים האלה יעזרו קמעה, כי הם יחשפו בפניהם ולו קצת את אופיה של מתימטיקה אוניברסיטאית, ויכולים קצת למתן את הרגשת ה-WTF המופתעת שרבים חווים כשהם נתקלים בשבועות הראשונים של האוניברסיטה באינפי א'.
''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' 663292
ואם כבר, אתה יכול לחלוק איתנו את הגירסה שאתה מכיר לדימיוניות ה"דימיוניים", ומה גרם לחווית ה"א-הה"?
''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' 663295
הסיפור טיפה ארוך, אבל מה שקרה הוא שבמהלך נסיון לפתור סוג מסויים‏1 של משוואות ממעלה שלישית נתקלו לפעמים בצורך להוציא שורש ממספר שלילי בדרך לפתרון. ברור שרוב האנשים שמגיעים לשלב הזה (ובפרט תלמידי התיכון שאמורים, לשיטתי, להגיע בעזרת המורה לאותה נקודה) מקללים קצת, זורקים את מה שעשו לפח ומנסים למצוא דרך אחרת. מתמטיקאי איטלקי בשם קרדנו עלה על הרעיון לנסות לראות מה קורה אם לא מתייאשים, כלומר הוא אמר משהו כזה: בואו נדמיין שיש שורש למספר השלילי הזה, ונמשיך את הפיתוח שלנו הלאה עם אותו מספר דמיוני שהנחנו, בתקווה שנצליח להפטר ממנו אח"כ, מה שבאמת קרה באותה משוואה. קרדנו עצמו, כמו מתמטיקאים אחרים בזמנו, היה ספקן גדול בקשר לחשיבות הרעיון הזה, והכריז עליו כחסר ערך. חסר ערך!
__________
1- מהצורה x^3 + mx + n = 0 . כל משוואה ממעלה שלישית ניתן להמיר לצורה הזאת ע"י הצבה מתוחכמת, אבל לא נכנס לזה כרגע. ספציפית המשוואה היתה
x^3 - 15x - 4 = 0 ובדרך לפתרון היה צורך לחשב את השורש הריבועי של 121- (למזלנו. אני מנחש שאם היה צורך להוציא שורש ריבועי של 342124.564646- הוא היה פשוט פורש).
''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' 663298
יופי של סיפור.

האירוניה (הנוספת) שמסתתרת מאחוריו היא שהרי הרבה לפני ה'צורך להוציא שורש ממספר שלילי בדרך לפתרון של משוואה ממעלה שלישית' כמו למשל x^3 - 15x - 4 = 0 הנזכרת, עלה מן הסתם הצורך להוציא שורש למספר שלילי כדי לפתור את המשוואה ההרבה יותר פשוטה ממעלה שנייה x^2 + 1 = 0. אלא שמי שסרב כבר כאן לדמיין שקיים כזה, נועד להיתקל בצורך הזה שוב בבעייה הרבה יותר מסובכת, ודוקא שם הסכים לחשוב על הבלתי נתפס.
אבל זאת כנראה תופעה נפוצה, מי שלא מספיק לו פטיש של קילו, לרוב יקבל פטיש של חמישה קילו בפעם הבאה.
''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' 663299
כאמור, הוא "הסכים לחשוב על הבלתי נתפס" בתקווה שאותו בלתי נתפס הוא ישות וירטואלית שתמות תוך כדי החישוב, כפי שאכן קרה, בניגוד לפתרון המשואה x^2 + 1 = 0 שאמור להיות משהו "אמיתי". כלומר "בואו נניח לרגע שהשורש הזה קיים ונראה מה קורה הלאה" הוא פחות מהפכני מ"בואו נחליט בכוח שקיים פתרון למשוואה הריבועית".

האנלוגיה לפיזיקה מודרנית די משעשעת: גם הרעיון שניתן יהיה להפטר מגודל משוגע בהמשך החישוב (שורש של מספר שלילי כאן, אינסוף בכל מיני חישובים בפיזיקה שנעלם בעזרת טכניקות נורמליזציה), וגם הרעיון שאותו מספר "דמיוני" מופיע ונעלם לו בהמשך קצת מזכיר חלקיקים וירטואלים.
''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' 663301
שתי האנלוגיות הנ"ל עלו במחשבתי וברגע האחרון לא הכנסתי אותן לתגובתי הקודמת. אכן כך‏1. אנלוגיה נוספת מעולם הפיזיקה המודרנית הוא האנטי-חלקיקים שנובאו כחלק מהפתרונות של משוואת דיראק. האנלוגיה הזאת אפילו דומה יותר, כי הסיבה שבתחילה סרבו להכיר בחלקיקים הללו היא שהם נושאים אנרגיה 'שלילית' בפרשנות הראשונית של המשוואה - דבר בעייתי בפיזיקה לפחות כמו שורש של מספר שלילי במתימטיקה.

1 טכנית כנראה שענין החלקיקים הוירטואליים פחות דומה, והוא מוצג באופן קצת שגוי בספרות הפופולרית, אבל נניח לזה כרגע‏2. קונספטואלית בהחלט יש דמיון.
2 טוב, למי שממש מתעניין, נתקלתי לאחרונה בהסבר מפורט יחסית אבל במושגים פשוטים שמתייחס לנקודה הזאת בהרחבה: 'חלקיקים' וירטואליים - האמנם?
''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' 663304
סתם הערה (קצת היסטורית, קצת מתמטית): אין שום צורך להוציא שורש למשוואה x^2 + 1 = 0. אפשר פשוט להכריז שאין לה פיתרון (וזו הכרזה מדוייקת, מעל הממשיים). לעומת זאת, כאשר עוברים למשוואות ממעלה שלישית נתקלים בתופעה שלא קיימת במשוואות ממעלה שנייה: משוואות עם פתרונות ממשיים, שאין דרך לבטא אותם כפונקציה אלגברית של מקדמי המשוואה מבלי שבדרך, כשלבי ביניים, יצוצו מספרים מרוכבים.

זה יוצר בעיה קשה למי שרוצה להכריז ש-"מספרים דמיוניים" הם דמיוניים לעומת "מספרים ממשיים" שהם ממשיים. הנה פולינומים עם מקדמים ממשיים - כלומר המשוואות הכי קונקרטיות שאפשר לבקש - להם פתרונות רגילים לחלוטין שאפשר ממש להצביע עליהם, אבל אין דרך לבטא אותם בלי לעבור דרך המרוכבים.

כמובן שהמספרים הממשיים גם לא נחשבו פעם "ממשיים", וסיפור מאד דומה הוביל לקבלתם ככאלה: אז היה מדובר בבניה גיאומטרית קונקרטית לגמרי שגרמה למספרים לא רציונלים לצוץ (כאורך האלכסון של ריבוע שאורך צלעו הוא 1). בשני המקרים הדבר שהוביל להתייחסות רצינית למושגים אבסטרקטיים (מספרים לא-רציונליים, מספרים דמיוניים) הוא ההופעה הטבעית שלהם בסביבה קונקרטית.

אני חושב שאפשר לראות דברים דומים גם במתמטיקה מודרנית יותר. נגיד, אני משער שעדיין היו רואים בתורת הקטגוריה "Abstract Nonsense" אלמלא עבודתו המטורפת (נו-פאן אינטנדד) של גרות'נדיק באלגברה הומולוגית וגיאומטריה אלגברית. אבל מן הסתם התפיסה המודרנית של המתמטיקה שונה מאד מהמצב בימי הביניים או ביוון הקלאסית (למשל, גיאומטריה אלגברית, בה הטופולוגיה שנוצרת על ידי האידיאלים של חוג היא רק נקודת ההתחלה, נחשבת לסביבה "קונקרטית").
''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' 663310
סיפור מעניין, אבל לפי ויקיפדיה,

The name "imaginary number" was coined in the 17th century as a derogatory term, as such numbers were regarded by some as fictitious or useless.

מי צודק?
''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' 663322
איפה הסתירה?

דקראט הוא זה שטבע את המונח "מספרים דמיוניים", מן הסתם במאה ה-‏17 (ישראל קליינר ב-"לקבל את הבלתי מתקבל על הדעת: סיפורם של המספרים המרוכבים" ובנו ארבל ב-"מתמטיקאים ואירועים גדולים בתולדות המתמטיקה" מסכימים על זה). לא נראה שהיה מדובר ב- derogatory term, כי הוא השתמש בהם בעצמו, ועושה רושם שהמונח נועד בסה"כ לבטא את אי-המצאותם של נקודות כאלה במישור הקואורדינטות (רעיונו הבאמת גדול של דקארט, עם כל הכבוד ל-cogito).

יחד עם זאת, הסיפור של שכ"ג פחות או יותר נכון. פרט לכמה אזכורים אנדקוטוליים מוקדמים יותר ללא השלכות של ממש, המספרים המרוכבים מופיעים לראשונה בעבודתם של מתמטיקאים איטלקיים (בעיקר קרדנו, בומבלי, טרטליה, דל פרו), על משוואות ממעלה שלישית במאה ה-‏16. כינו אותם בכל מיני שמות, כמו "מספרים שקריים לגמרי" - אבל להבנתי בכל מקרה לא מדובר בכינוי גנאי למינהם, ואפילו להפך: במעין תרגיל רטורי שנועד להקל על קבלת הרעיון בידי הקוראים (משהו בסגנון "כן, אני יודע שזה נשמע כמו שטויות - אבל רגע, תראו, זה עובד").
''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' 663336
הסתירה (הלא כל כך חמורה) היא בין הטענה בוויקיפדיה לפיה הביטוי "מספר מדומה" התחיל ככינוי גנאי, לבין הגרסה שהביא שכ"ג, לפיה מקור השם הוא בגישה הקונסטרוקטיבית (וחסרת הגנאי) "בואו נדמיין שיש שורש למספר השלילי הזה, ונמשיך את הפיתוח שלנו".

אם אני זוכר נכון, בספר החדו"א של זעפרני וקון (שדורות של תלמידי הטכניון למדו ממנו) כתוב שמספרים אי-רציונליים נקראים כפי שהם נקראים כי הם נראו פעם "לא הגיוניים". באמת? למיטב הבנתי המספרים הרציונלים נקראים רציונליים כי אפשר לבטא אותם כיחס (ratio) בין שני שלמים, ולכן האי-רציונלים הם פשוט אלה שלא ניתן לבטא אותם כיחס כזה.
''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' 663340
לגבי הרציונלים והאירציונלים גם אני חושב כמוך. אולי זה בגלל שאנחנו אנשים רציונלים.
''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' 663363
טוב, חברים, היום זה אחד הימים שיצא לנו משהו מהאייל.

בנוגע לאי-רציונליים, גם אני נתקלתי בטענת ה"לא הגיוניים", והייתי בטוח כמוך שהיא שגויה וזה קשור לרציו=יחס. אבל עכשיו פתאום שאלתי את עצמי: מה הקשר האטימולוגי בין "רציו"=יחס ל"רציונלי"=הגיוני?

אז הנה התשובה המדהימה: קון וזעפרני צדקו. כלומר, כמעט. "אירציונלי" בלטינית פירושו באמת "לא הגיוני", וזה היה תרגום אולי לא הכי טוב של "אלוגוס" שטבע אאוקלידס, שפירושו יכול להיות "לא הגיוני" אבל גם, יותר סביר, "לא ניתן לאמרו" או שמא (יותר מגניב, ומתאים לסיפור על אאוקלידס והמספרים האלו) "אסור לאמרו"‏1. בלטינית גזרו לאחור מ"מספר אירציונלי" את "מספר רציונלי". "רציו" קיימת בלטינית, אבל במשמעות של "נימוק"‏1 או "חישוב", לא במשמעות של יחס. את המשמעות "יחס", עד כמה שהמלומדים יכולים להסיק, גזרה האנגלית לאחור מ"מספר רציונלי".

בכלל, גזירות לאחור זה אחד התהליכים הכי מצחיקים שיש בשפות, והם תמיד מועדים לבלבל אנשים הרבה שנים אחר כך, כמונו, שיש להם רציונליות אבל חסרות להם עובדות.

1 קשה לי לדעת בדיוק, בגלל שאני מתרגם את ההסבר מאנגלית...
''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' 663365
יפה מאד. אכן יצא לנו היום משהו מהאייל.

וכדי שייצא משהו ליותר אנשים, מי מתנדב לתקן את הערך "מספר רציונלי" בויקיפדיה העברית? (שם כתוב: "המונח 'רציונלי' מקורו במילה 'ratio' שמשמעותה יחס, דבר המבטא את העובדה שמספר רציונלי הוא היחס בין שני מספרים שלמים.") כדאי אולי יהיה לתת שם סימוכין יותר משכנעים מאשר לינק לדיון ב-stackexchange.
''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' 663366
התחלתי (בדף השיחה של מספר רציונלי [ויקיפדיה]). עדיין אין לי מושג מושג מהם השימושים הראשונים באנגלית שאליהם מכוון העונה.
''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' 663390
זו תיאוריה בלבד.
''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' 663327
בנוסף למה שעומר ענה לך, אתה באמת מתכוון לקלקל את הסיפור שלי עם עובדות? תתבייש.
''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' 663388
תתפלא. מכניסים חלק מהנושאים ''שאינם חשובים במיוחד לכשלעצמם, אבל יש להם חשיבות אסתטית גדולה'' בתכניות העשרה של ''נוער חובב מתמטיקה'' כבר ביסודי.
''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' 713102
אבל לדעתי כדאי לחשוף דווקא את מי שלא מוגדר כ''נוער חובב מתמטיקה'' לנושאים כאלה. את שייקספיר מלמדים לא רק בתוכניות העשרה של ''נוער חובב ספרות'', וטוב שכך.
מתנה לשבת 713067
לא לגמרי קשור הנה ומן הסתם קצת קשה עבור תיכוניסט ממוצע, אבל אני לא יכול לעבור בשתיקה על הסרטונים הבאים:

שלושת סרטונים ביחד יגזלו קצת יותר מחצי שעה מזמנכם, ועבור מי שלא מכיר את הנושא אני מתקשה לחשוב על דרך טובה יותר לבלות שלושים ומשהו דקות. סנדרסון (לא דני, השני) כתב בהערות "If this doesn't blow your mind, I don't know what will" ואני הייתי משנה את זה ל: "If this doesn't blow your mind you probably don't have one", תחת ההסתייגות שקהל היעד הוא אנשים עם יותר מקמצוץ של חשיבה מתמטית.

אגב, הנושא טופל גם אצל החבר'ה מערוץ numberphile אבל אין מה להשוות.

תהנו.
מתנה לשבת 713069
אני מכיר את החידה, אבל הכחולאחדחוםאחד מוצלח מאד, וההסברים והויזואליזציה שלו באמת ראויים לציון.
מתנה לשבת 713101
אהבתי את הדרך שבה מעגל מצליח להשתחל לסיפור ואגב כך מסביר את מה שנראה בתחילה בלתי ברור לגמרי, דהיינו מה יש לפיי לחפש כאן. בניגוד למה שחשבתי עד לא מזמן, אני מתחיל לחשוב שבסופו של דבר מאחרי כל פיי כן מסתתר מעגל, לפעמים, אבל לא תמיד, בתיווך פונקציות טריגונומטריות. אאז''נ זאת דעתו של גראנט סנדרסון.
מתנה לשבת 713103
השאלה היא אם מאחורי כל פיי מסתתר מעגל, או אם מאחורי כל מעגל מסתתר פיי. זה כמובן לא אותו דבר.
מתנה לשבת 713104
א. אתה יכול לתת דוגמה בה פיי לכאורה אינו קשור למעגל? הוא מופיע לפעמים במפתיע, אבל כשמסתכלים בחישוב רואים שהוא הופיע בגלל מסלול אינטגרציה מעגלי או כגבול של אורך מצולעים ההולכים ונצמדים למעגל.
ב. מעניין אם לפיי יש אותו ערך גם בגאומטריות לא אוקלידיות?
מתנה לשבת 713105
ב. לא.
מתנה לשבת 713111
תודה
מתנה לשבת 713107
א. כן, פאי תפוחים
מתנה לשבת 713147
מדובר על עוגה.
מתנה לשבת 713148
לקח לי כמה שניות עד שנזכרתי בספרון ההוא https://kavimvenekudot.files.wordpress.com/2012/10/d7...
מתנה לשבת 713110
א. בפוסט הזה בquora אלון עמית, אייל ותיק בזכות עצמו, מסביר בפירוט את העמדה ההפוכה, לפיה פיי לא מוגדר על ידי גאומטריה או מעגלים.

אגב, על פי ההגדרה הזו, התשובה לשאלה למטה בפתיל האם פיי שונה בגאומטריות שונות היא בברור שלילית.
מתנה לשבת 713114
אני נוטה לא להסכים איתו.

קודם כל (זה לא העיקר, אבל זו אולי הנקודה שהכי הציקה לי בתשובה שלו) "הדרך הנכונה" להבין את הפונקציה האקספוננציאלית היא.... באמצעות מעגלים. הרפרנס האולטמטיבי לנושא הוא הספר Visual Complex Analysis1. אז בתשובה "פיי לא קשור למעגלים, אלא לפונקציה האקספוננציאלית המרוכבת" יש בעיה אינהנרטית.

העיקר הוא שבאופן עובדתי, יש לפיי ערכים שונים במרחבים שונים. הוא מודד אינטרקציה שהיא profound, incredible, and beautiful בין שני הגדלים הגאומטרים הכי יסודיים: מרחק ונפח, וככזה הוא כנראה הביטוי הכי אלמנטרי למשפחה רחבה של תופעות עמוקות הקשורות בעקמומיות ובממד‏2. אני לא חושב שזה "קוריוז היסטורי" שהוא מוגדר כך, אלא זה לב העניין. זה למשל קסם שהוא קבוע במרחבים נורמיים, ומינימלי כשהגאומטריה היא אוקלידית. ראוי להדגיש את זה, לא לטשטש את זה.

אלון, אתה כאן?

1 ספר נהדר ממש. אפשר לקרוא את רובו גם ללא רקע מתמטי רחב, וכדאי לכל מי שאוהב מתמטיקה לעשות את זה.
2 אני חושב על דברים כמו volume entropy, או אי-שוויונות גרומוב, או הפונקציה האיזופרימטרית.
מתנה לשבת 713134
הנה אחת שנתקלתי בה לגמרי במקרה לא מזמן: בהרחבה המקובלת לפונקציית העצרת (!) על מספרים לא שלמים בעזרת מה שנקרא פונקציית גאמה, !0.5 הוא חצי שורש π.
מתנה לשבת 713136
זה לא "הסבר", אבל אולי זה מוריד קצת מהמסתורין: פונקציית גאמא צצה בטבעיות בפיתוח הנוסחה לנפח של כדורים במרחבים נורמיים.
מתנה לשבת 713137
כמו שכתבת, זה לא "הסבר" שכן השאלה נשארת: מה לפונקציה ש"צצה בטבעיות בפיתוח הנוסחה לנפח של כדורים במרחבים נורמיים" ולהרחבה "טבעית" של פונקציית העצרת לשברים?
__________
את זה המקשה בחיים לא יפתור: בגלל האפשרויות הרבות לסדר את n המוזמנים הוחלט לבטל את טקס הזכרון (4,3) (ש).
מתנה לשבת 713140
אם תקרא את ההוכחה, תראה שהיא צצה שם כתוצאה של קשר רקורסיבי בין נפח של כדור בממד נתון, לנפח של כדור באותו רדיוס בממד נמוך יותר - שזהה למבנה הרקורסיה באמצעותה פונקציית העצרת מוגדרת. זה מה ש-''טבעי'' בהופעה של פונקציית גאמה בהקשר הזה.
מתנה לשבת 713145
אני מאמין לך בלי לקרוא את ההוכחה (הצרפתית שלי לא מה שהיתה פעם). רק לשם תזכורת, זאת תשובה לשאלה של שוקי "אתה יכול לתת דוגמה בה פיי לכאורה אינו קשור למעגל?" אחרי שכתבתי "אני מתחיל לחשוב שבסופו של דבר מאחרי כל פיי כן מסתתר מעגל". ההדגשה שלי.
מתנה לשבת 713157
דעתי כדעתך, אבל בוא נראה מה יש לאלון להגיד.
מתנה לשבת 713160
שמישהו יקרא לו הנה.
מתנה לשבת 713164
את רוב מה שיש לי לומר כתבתי כאן.

אני לא מבין את הטענה שמאחורי כל מופע של פאי ״מסתתר״ מעגל: אפשר למתוח את ההסתתרות כמה שרוצים ואז להכריז נצחון. סנדרסון מציג פתרון גיאומטרי נאה לבעיית בזל בעזרת מעגל, אבל אני לא רואה איך לעשות את אותו הדבר במצבים אחרים, כמו חישוב פונקציית זיטא ב-‏14 או כשמוכיחים שפאי אי-רציונלי.

הכל קשור להכל, בסדר; הטענה שלי היא שההגדרה הטבעית והיסודית ביותר של המספר הזה לא מתחילה ממעגל, ולמעשה ההגדרה עם המעגל היא לא פשוטה כלל וכלל. כנ״ל לגבי הפונקציות הטריגונומטריות. אם יש הוכחה של משהו עם פאי שמופיע בה קוסינוס זו לא סיבה להתפעל ממעגל כלשהו; כמעט תמיד המהות של הקוסינוס הזה היא היותו פונקציה המקיימת משוואה דיפרנציאלית מסויימת. מאחורי הקוסינוס ״מסתתר״ מעגל? נו טוף. לא מבין איזה אור זה שופך על המצב.
מתנה לשבת 713168
היי אלון, טוב לפגוש אותך שוב. אני מסכים שלא מדובר על משהו חשוב או עמוק במיוחד, אבל למה אתה זועף? לא התאוששת מההפסד של פריסקו?

(אגב, אאל"ט לפחות הוכחה אחת לאירציונליות של π מתחילה מפיתוח של TAN).
מתנה לשבת 713174
סליחה, בכלל לא התכוונתי לזעוף. פריסקו הפסידה?

(לא כל כך הבנתי את ההערה בסוגריים. כל ההוכחות לאי-רציונליות של פאי מתחילות מ-exp או מפונקציות טריגונומטריות, וכפי שניסיתי להסביר, אין טעם בלקרוא לזה ״מעגל מסתתר״).
מתנה לשבת 713178
אוקיי, אוקיי. חשבתי שאתה מתכוון שההוכחות לא מתבססות על פונקציות טריגונומטריות (מה אני יודע? אני מכיר בקושי אחת).
מתנה לשבת 713225
את הטענה ש-"מאחורי כל פאי מסתתר מעגל"‏1 אני מצדיק כך: במטריקת l1 היחס בין היקף של מעגל לקוטרו הוא גודל קבוע, ושווה תמיד ל-‏4, ואני רוצה להגיד שבמרחב הזה pi=4.

אני לגמרי מסכים עם שכ"ג שלא מדובר במשהו חשוב, אבל דווקא כן חושב שיש בו עומק. המודל המנטלי שלי הוא כזה: המספרים הממשיים והמרוכבים קשורים אינטימית לגיאומטריה האוקלידית (נגיד, בגלל הקשר בין הנורמה האלגברית שלהם לנורמה האוקלידית), ולכן באנליזה ממשית ומרוכבת הערך 3.14159... צץ בכל מקום. אבל זו תופעה גיאומטרית ביסודו של דבר, ובהקשרים שמערבים גיאומטריה שונה למספר הזה אין שום תפקיד, בעוד שלרעיון הגיאומטרי (האופן בו הנפח גדל עם הרדיוס - אם בכלל - וכדומה) נשאר תפקיד מרכזי.

למשל, באנליזה פי-אדית למספר 3.141592... יש איזשהו תפקיד? (רחוק מהתחום שלי - אבל אני חושב שלא).

1 אני לא עומד מאחורי הניסוח הזה בדיוק.
פלאטלנד כדורי 713230
נראה לי שגם אם היינו חיים בעולם דו-ממדי, אבל על כדור, כשיחס המעגל לרדיוס אינו פאי וכן הלאה, עדיין הפונקציה האקספוננציאלית היתה נשארת כמו היום, והמחזור שלה היה נשאר 2*פאי*i. הפאי האמיתי, לא זה של העולם הכדורי.
כנל גם ההתפלגות הגאוסית הנורמלית.
פלאטלנד כדורי 713232
יש התפלגות גאוסית לא נורמלית?
פלאטלנד כדורי 713236
אתה רשאי למחוק אחת מהן כרצונך.
או כמו שאני מנסה לחנך את הבת הגדולה שלי - זה שאמרתי לך משהו כבר פעם אחת לא אומר שאסור לי לומר אותו שוב.
פלאטלנד כדורי 713237
אני חושב שלפסיכיאטר מחוזי יש סמכות לקבוע את זה.

______________
אריק מתעל את התסכול שלו מכך שלא רק את הרעיונות בשרשור הזה הוא מתקשה להבין, אלא אפילו חלק מהמלים זרות לו לחלוטין.
פלאטלנד כדורי 713260
לאיזו פונקציה אקספוננציאלית אתה מתייחס? (זה מבלבל במיוחד, כי בחרת את הממד הנמוך היחיד בו הספרה אינה חבורת-לי...)

אני גם לא עוקב אחרי הטענה אודות ההתפלגות הנורמלית. אבל יש קשר הדוק בין התפלגות נורמלית לכדורים אוקלידיים, אז גם בלי להבין, אני מהמהר שאתה צודק.
פלאטלנד כדורי 713261
זו שפותרת את המשוואה f' = f.
פלאטלנד כדורי 717114
אגב, גם בהתפלגות גאוסית יש (שורש) פאי, שיש שיטענו שהוא נובע מאינטגרל וכולי, אבל אני רואה בזה פלא קטן.
פלאטלנד כדורי 717143
אכן, ההוכחה הרגילה לכך משתמשת בעובדה שלהתפלגות הגאוסית יש סימטריה סיבובית בשני מימדים, זאת הסיבה לכך שמופיע שורש פאי ולא פאי עצמו (וראה גם תגובה 713169).
פלאטלנד כדורי 717151
התגובה שלך יותר מדוייקת ועמוקה מתמטית (סימטריה רדיאלית של האינטגרל) אבל הסרטון הבא מדגים יפה ופשוט עד כמה מדובר בחישוב פני השטח של חצי כדור.
חישוב אינטגרל סופי של פילוג נורמלי
פלאטלנד כדורי 717169
לא הבנתי מה ההבדל בין התגובה שלי למה שמופיע בסרטון.
פלאטלנד כדורי 717170
לא התכוונתי שמדובר בהסברים שונים.
הסרטון מראה באופן טכני איך ה-pi מופיע כתוצאה של חישוב פני השטח של חצי כדור. ההסבר שלך מסביר את הסיבה מנין הופיע הכדור (הסימטריה הרדיאלית של הפונקציה וגו').
פלאטלנד כדורי 717178
איפה אתה רואה שם כדור, ואיפה אתה רואה שם חישוב של פני שטח?
פלאטלנד כדורי 717193
צודק. זה נפח של גוף סיבובי. וכדי להציל את כבודי, אומר, שזה סכום הנפחים של סדרה של גלילים אינפיניטיסימלים.
פלאטלנד כדורי 717217
הכל בסדר ;-)

בגלל הקורונה, יימח שמה, אני משקיע הסמסטר הרבה שעות בלהמיר את חומר ההרצאות שלי ב"מבוא להסתברות" לשקפים (עד היום לימדתי את הקורס בגישת אולד סקול, עם טוש על לוח). בצירוף מקרים מוחלט, הדיון הקטן הזה שלנו בדיוק נפל על הכנת השקפים בנושא ההתפלגות הנורמלית, ועל איך מוכיחים שהאינטגרל של הצפיפות שלה מסתכם ב-‏1 למרות שלצפיפות הנ"ל אין פונקציה קדומה אלמנטרית.

וחוץ מזה, הסרטון שקישרת אליו משתמש בבירור בחבילת האנימציה שהכין גרנט סנדרסון הגאון, לטובת ערוץ היוטיוב המהמם שלו, 3blue1brown.
פלאטלנד כדורי 717224
גרנט עומד להתחיל בערוץ שידורים ישירים של מה שלפי הבטחתו יהיה מתמטיקה תיכונית בצורה קצת אחרת מהמקובל. היום ב 22:00 הרצאה על משוואות מהמעלה השניה (כן, אני יודע). לא ברור לי מה היתרון בשידור ישיר וממילא בשעה היעודה אהיה עסוק בעניינים אחרים, אבל אולי מישהו ירצה לראות (או להפנות נערים ונערות בגיל המתאים). הנה: https://www.youtube.com/watch?v=MHXO86wKeDY
פלאטלנד כדורי 717225
כן, גם אני קיבלתי את ההודעה הזאת (האם גם אתה תומך בו בפטראון?).

ונאמן למשפט המפורסם של בגין, "לא שואלים ג'נטלמן איפה הוא בילה את הלילה", לא אחקור מהם העניינים האחרים שיעסיקו אותך ב-‏22:00.
פלאטלנד כדורי 717234
אני לא תומך אפילו בעצמי, אבל אני מנוי על הערוץ שלו.

לא שאלת אבל אענה: הערב אני עומד להפעיל את הסעיף "סיוע לאדם עם קושי או מצוקה הדורשים סיוע".
פלאטלנד כדורי 717244
ניטפיקינג לוגי פילוסופי - צורת החישוב של משהו היא טכניקה ספציפית, וייתכן שיש אחרות. האם טכניקה ספציפית מצדיקה את האמירה העקרונית "ההתפלגות הנורמלית קשורה לפאי כי... השתמשתי בעיגול כדי לחשב את האינטגרל"?

דוגמה ממקום אחר - מן הידועות שחלק מבעיות הבסיסיות שפותרת מכניקת הקוונטים ניתנות לפתרון בכמה שיטות. למשל, פתרון המשוואה הדיפרנציאלית של שרדינגר, או ע"י חשבון המטריצות של הייזנברג.
האם היינו אומרים ש"רמות האנרגיה של אטום המימן הן כאלה כי הפתרון משתמש במטריצות"?
האם שיטת פתרון ספציפית מצדיקה אמירה על התכונה הבסיסית של הבעייה המתימטית שפתרנו?
אני בכלל לא בטוח.
פלאטלנד כדורי 717253
יש למילה "סיבה" שני פירושים:

1. גורם של אירוע. "הסיבה לכך שנדבקת בקורונה היא שהיית במגע עם חולה מספר 241"
2. הסבר, תירוץ. "אתה לא יכול לתת לי דוח בלי סיבהײ. "הסיבה שאתם לא יכולים לראות טלוויזיה היא שכבר הייתם היום 27 שעות מול מסך"
פלאטלנד כדורי 717266
מסכים. וחלק מהדיון הוא האם מדובר כאן בדבר אחד או בדבר שניים.
האם הגורם להופעת פאי היכנשהוא הוא מעגל חבוי, או שכשהוא מופיע יש צורת הצגה כלשהיא - אבל לא הכרחית או יחידה - שניתן דרכה לתרץ את הופעתו.
פלאטלנד כדורי 717272
זה מעניין - אני לא בטוח אם פירוש מספר 1 בכלל קיים במתמטיקה.
פלאטלנד כדורי 717273
במקרה הספציפי, להרחבת הפונקציה בשני מימדים יש סימטריה מעגלית. כמו שאתה יודע היטב, זה כבר יותר מסתם עניין של בחירת צורת חישוב. גם אם הפיי היה נעלם מהתוצאה הסופית, הוא כנראה היה צץ איפשהו בדרך לשם.
פלאטלנד כדורי 717278
כמו שהקשה המקשה כבר אמר: במקרה זה המעגל קשור קשר הדוק, שכן הפונקציות מהצורה משהו בחזקת x בריבוע הן היחידות שיש להן את התכונה שכשאר מכפילים שתיים מהן מקבלים משהו שתלוי רק במרחק מהראשית (זה נכון גם במימדים גבוהים יותר).
פלאטלנד כדורי 717242
זו בדיוק היתה הטענה שלי, אחרת לא הייתי מזכיר אותה.
מתנה לשבת 713303
אולי חוסר ההסכמה בינינו הוא רק ענין של סמנטיקה. בעיני הקשר של הפונקציה האקספוננציאלית למעגל הוא ענין בסיסי ואי אפשר להגיד שפאי הוא חצי המחזור שלה בכיון המדומה אבל שמעגלים זה תופעת לוואי לא מהותית. לא, המשוואה הדיפרנציאלית שמגדירה את הפונקציה האקספוננציאלית מתארת תנועה מעגלית (בקצב של 1) כשמתקדמים בכיון המדומה וזהו לב הענין.
העובדה שזו פונקציה מרוכבת אולי מטשטשת קצת את זה אבל הענין הוא שאם
f'(z)=f(z)
ונגדיר
g(t)=f(it)
כאשר חושבים על t כעל משתנה ממשי, נקבל שמתקיימת המשוואה
g'(t)=ig(t).
מכיוון שהכפלה ב-i היא סיבוב ב-‏90 מעלות נקבל ש-g מתארת תנועה של גוף שהמהירות שלו תמיד מאונכת למיקום שלו, כלומר תנועה מעגלית סביב ראשית הצירים במהירות ששווה לרדיוס.
בקיצור, זה לא ש-
exponential function harbors the trigonometric functions and the trigonometric functions connect back to circles
אלא שלהתנהגות של הפונקציה האקספוננציאלית יש שני מרכיבים: 1) גידול מעריכי (במובל הרגיל) בציר הממשי 2) תנועה סיבובית בציר המדומה. איך אפשר לראות אותה ולא לראות מעגלים?
מתנה לשבת 713169
טוב, זה דווקא ברור: הנוסחאות הרקורסיביות של שתיהן קשורות זו לזו. זה מופיע בצורה הכי ברורה בנוסחה הרקורסיה שמורידה את המימד בשתיים:
שם יש מעגל ולכן מופיע פאי. מכיון שזו ירידה של שתיים במימד, נקבל באופן טבעי שורש פאי בחזקת המימד.
מתנה לשבת 713171
עכשיו אני בדילמה מה יותר מתסכל: לדבר עם דב על ענייני דיומא או לדבר איתך, עם עומר ועם אלון על ענייני מתמטיקה? דומני שהפיתרון נמצא אצל ויטגנשטיין.
מתנה לשבת 713179
אני לא מתמטיקאי והזיכרון שלי כבר די מעורבל, אבל פונקציות גמא אינן קשורות איכשהו לאינטגרלים אליפטיים שמחשבים אותם ע"י חישוב מסלול מעגלי או כדורי סביב קטבים במרחב?
ואם אתה כבר פה,
ב. יש לך איזה הפנייה או רמז טוב לאיך מחשבים את סכום הטור:
...+pai/4=1-1/3+1/5-1/7
(מקדמי טור טילור של איזושהי פונקציה?)
ג. האם כל הפונקציות הטריגונומטריות אינן מבטאות אורך קטעים על מעגל היחידה?
מתנה לשבת 713184
אל"ע אבל זה טור טיילור של ארקטאנגנס:
מתנה לשבת 713224
א. כן, אבל אני לא יודע על זה הרבה.
ג. אני לא בטוח למה אתה מתכוון, בד''כ מגדירים אותן גיאומטרית באמצעות אורכי היטלים של נקודות על מעגל היחידה. בכל מקרה, זו פרספקטיבה מועילה (מאד) רק במרחבים שטוחים. כאשר עקמומיות נכנסת לתמונה, אני חושב שאין הרבה ברירה אלא לדבר על משולשים גאודזיים.
מתנה לשבת 713252
ג. כן, פחות או יותר. לפי הבנתי מציירים מעגל יחידה וכל הטריגונומטריה עוסקת ביחסים בין קטעים שונים שאפשר לצייר במעגל זה. (אפשר להרחיב לפי מימדים). לכן גם האקספוננט של מס' מדומה איכשהו קשור למעגל).
מתנה לשבת 713847
א. דוגמא אחרת אצל ידידנו בעל העיניים המשונות (והפעם המעגל באמת נדחק הנה בקושי רב, כלומר הוא חלק מהדרך המוצעת לפתרון אבל בסוף הוא שם רק דרך העובדה שישר הוא מעגל ברדיוס אינסופי, מה שהופך את העניין לגרוטסקי במקצת).
מתנה לשבת 713855
בדיוק מה שחשבתי על הסרטון - המגניב כשלעצמו - הזה.
מתנה לשבת 713873
טוב, יש בעיה אחת בסרטון והיא שהוא לא מצדיק את המעבר ממעגלים הולכים וגדלים לישר. זה לא קשה (למי שמבין טורים), אבל קצת פוגם בטוהר הטיעון הגאומטרי.
מתנה לשבת 713075
לגמרי מסכים. כבר כתבתי כאן כמה פעמים שלדעתי גרנט סנדרסון הוא עילוי.
''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' 663283
"אני אפס" - נכתב על ידי יוצא התיכון בן ארצי בן ה-‏17.
''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' 663387
כותב המאמר טוען שבלימודי המתמטיקה, שידע אנקדוטלי ("האפס הומצא בהודו") חשוב לא פחות (ואולי יותר) מהבנה מתמטית (משמעותו וחשיבותו של האפס).
האם לדעתך כדאי שילדינו ילמדו על קורות חייו של פיתגורס במקום להבין שהמשפט הקרוי על שמו הוא מקרה פרטי של משפט הקוסינוסים?
''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' 663397
לימוד על מקורות האפס אינו מדע אנקדוטלי אלא חלק מלימוד התפתחותה של ההבנה המתמטית במהלך הדורות. כך גם המידע מנין הגיע פיתגורס למסקנותיו או הסיפור המעניין שמסופר ב'המשפט האחרון של פרמה' מאת סיימון סינג על כך ששילם לתלמיד על מנת שישמע את הרצאותיו אך משלב מסוים כשטען שאין לו יותר כסף לשלם לו, התלמיד בחר להמשיך ללמוד בחינם. על כך שהמשפט המפורסם הנקרא על שמו הוא מקרה פרטי של משפט הקוסינוסים ילמדו כשיגיעו לחלק הזה בתולדות התפתחות התפיסה המתמטית.

לימוד בצורה כזאת משרת שתי מטרות:
א. העברת התחום המתמטי בצורה יותר מעניינת ומרתקת, שכפי שמציין מחבר המאמר מעוררת יותר תשוקה ללימוד.
ב. הבנה של התלמיד שהמתמטיקה היא לא אוסף של אקסיומות, משפטים ושיטות פתרון תרגילים הקיימים מראש אלא דרך גיבוש מושגים הדרגתית הנבנית בסיס על גבי בסיס ותלויה בהתפתחויות החברתיות והתרבויות של אותם זמנים.

המטרה הראשונה אינה דרכה של מערכת החינוך הישראלית מימים ימימה המעדיפה לשעמם את התלמיד בלימוד טכני (לא רק במתמטיקה, גם במקצועות הומנים) והמטרה השנייה, כפי שצוין במאמר, מנוגדת לדרכה מכיוון שהיא תייצר תלמידים המבינים את יחסיות הערכים שבהם אנחנו מאמינים ועלולה חלילה לעודד אותם להטיל בהם ספק בענינים מסוימים תחת לייצר תלמידים הרגילים לגשת לבעיות אך ורק בצורה תבניתית וכך יהפכו להיות עדר אזרחים צייתן.
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • קוף ירוק
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • ירדן ניר-בוכבינדר
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • אישקש
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • יובל נוב
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • הפונז
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • יוסי
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • הפונז
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • צפריר כהן
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • יוסי
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • הפונז
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • easy
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • ירדן ניר-בוכבינדר
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • ידידיה
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • צפריר כהן
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • שוטה הכפר הגלובלי
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • אבל חסר פה הפאנץ'
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • הפונז
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • קוף ירוק
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • ידידיה
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • ידידיה
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • צפריר כהן
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • הפונז
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • קוף ירוק
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • הפונז
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • קוף ירוק
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • הפונז
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • קוף ירוק
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • הפונז
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • קוף ירוק
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • הפונז
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • קוף ירוק
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • צפריר כהן
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • קוף ירוק
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • הפונז
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • קוף ירוק
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • הפונז
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • קוף ירוק
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • הפונז
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • קוף ירוק
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • הפונז
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • קוף ירוק
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • צפריר כהן
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • ירון
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • קוף ירוק
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • ידידיה
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • קוף ירוק
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • ידידיה
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • ידידיה
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • קוף ירוק
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • ידידיה
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • צפריר כהן
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • ראובן
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • דורון הגלילי
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • ירדן ניר-בוכבינדר
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • קוף ירוק
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • נועה ו
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • ידידיה
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • ידידיה
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • קוף ירוק
  ''השלטון מכפיף את החשיבה לחישוב'' • צפריר כהן

חזרה לעמוד הראשי המאמר המלא

מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים