בתשובה לגיל לדרמן, 29/08/03 19:03
 |
|
 |
||
|
||||
 |
המקרה של ( sin(n בעצם שקול לשאלה הבאה: מסתכלים על הסדרה 1*pi , 2*pi , 3*pi, ... ושואלים עד כמה היא מתקרבת למספרים השלמים.במקרה של ( sin(n^2 שואלים עד כמה הסדרה מתקרבת למספרים שהם ריבועים מושלמים (כלומר הם שווים למספר שלם כלשהו בריבוע). אולי אפשר לקבל אינטואיציה אם זה נכון או לא אם נדמיין ש pi הוא מספר אקראי בין 3 ל 4 (כלומר הוא שווה ל 3. x_1 x_2 x_3 .... כאשר x_1,x_2,... נבחרים באקראי בין 0 ל 9 ).לגבי המקרה של sin(n) קל לראות שהאינפימום אכן יהיה אפס. לכל j, תמיד יהיה איזושהי ספרה i שבה יש במספר pi שנבחר באקראי j אפסים רצופים. לכן, אם נכפיל את pi ב 10^i נקבל מספר קרוב מאוד לשלם. על המקרה של sin(n^2) צריך עוד קצת לחשוב.. |
 |
 |
 |
|
|
|
||
|
||||
|
במחשבה שנייה, נראה שיהיה מאוד קשה לנתח את המקרה של ( sin(n^2 כאשר pi נבחר באקראי, בגלל התלויות בין האירועים. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
...וגם לא נראה שזה מאוד כדאי. "מספר מקרי בין 3 ל-4" הוא אי-רציונלי, ולא לגמרי טריויאלי להראות שפאי הוא כזה; הו גם לא-אלגברי, ו*ממש* לא קל להראות שפאי הוא כזה; והוא גם נורמלי, ועד היום לא יודעים אם פאי הוא כזה, וזה כבר ממש נושק לשאלה הנוכחית. אני לא אומר שלא שווה לקבל איזושהי אינטואיציה, אבל בשאלות מסוג זה תמיד הרבה יותר קל להוכיח ל-"רוב" המספרים מאשר למספר ספציפי. במקרה של n לעיל, מה שהראית עבור מספר מקרי זה overkill רציני - כל כך רציני, שאפילו לא יודעים להראות עבור פאי את מה שהראית, ומצד שני להראות את הדרוש בשאלה (שיש לפאי קירובים רציונליים טובים כרצונך) זה קל מאוד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני בטוח שראיתי מאמר (לפני שבועיים בערך) שבו סופר על הוכחה שפאי הוא נורמלי. צויין שם שזה שומט את הרעיון של הספר (והסרט) Contact כי למעשה כל הודעה סופית ניתן למצוא מקודדת בפאי. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לאהההההההה! אתה בטוח?? יש תוצאות חלקיות מהזמן האחרון (דומני משהו של Crandall, שמראה משהו על פאי אבל מותנה בהשערה פתוחה אחרת). איפה ראית? רמז? קצה? חוט? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אתה צודק, זה לא הוכח. הראו שפאי הוא נורמלי אם טענה אחרת בתחום של תורת הכאוס היא נכונה, והם טוענים שהטענה הזאת ניתנת להוכחה. זה התפרסם בנייצ'ר האחרון. (וזה הצריך שיחת טלפון לאבא שלי לשאול אותו את זה) |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
יש אכן ידיעה על המאמר של Crandall ו-Bailey בנייצ'ר, והוא אכן דן ב-"קשר לתורת הכאוס" (שזה לדעתי קצת מטעה), אבל זה מלפני שנתיים. יש משהו חדש יותר? אם זה לטורח, עזוב. אני אחפש יותר לעומק. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אבא שלי הראה לי את הידיעה בנייצ'ר לפני שבועיים. הוא מנוי. אני הסקתי שזה מהגליון האחרון. אני אשאל אותו מחר ממתי הגליון הזה. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
מזל שיש חבר טלפוני... (: | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
''בשאלות מסוג זה תמיד הרבה יותר קל להוכיח ל-''רוב'' המספרים מאשר למספר ספציפי'' זאת הסיבה שחשבתי שזו יכולה להיות דרך לקבל מושג אם זה בכלל נכון או לא. אבל דווקא במקרה הזה נראה לי שלהוכיח ל''רוב'' המספרים זה מאוד קשה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
הבנתי. דומני שהניחוש הטבעי הוא שזה נכון, והדרך בה הייתי בודק את זה (לא עשיתי זאת) היא להסתכל על ההתנהגות של המינימום של sin של n^2 עבור n בין 1 ל-N כפונקציה של N. יתרה מזו: השאלה, כפי שציינו, תלויה באיכות הקירובים הרציונליים לפאי. כדי לקבל מושג, לא הייתי מסתכל על "פיתוח עשרוני מקרי", ולמעשה לא הייתי מסתכל על פיתוח עשרוני בכלל, אלא על הפיתוח לשברים משולבים, כפי שכנראה עשה גיל. האם יש לפאי אינסוף קירובים רציונליים p/q הקרובים עד כדי אחד חלקי q^3? כנראה שזה לא ידוע. אני מוכן להמר שהמכנים בפיתוח לשברים משולבים של פאי אינם חסומים ("לעדות", ראה ה-292 המופיע מיד בהתחלה, והאחראי לקירוב המשובח 355/113). האם זה מספיק? לא יודע. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בעזרת שברים משולבים אפשר להוכיח שלכל מספר אירציונלי t קיימים אינסוף קירובים p/q כך ש- t-p/q|<C/q^2|, כאשר (C=1/sqrt(5 (מידע נוסף: Continued Fractions של Khinchin). הקבוע הזה הוא הטוב ביותר האפשרי, ולכן די בטוח שיש רק מספר סופי של קירובים לפאי שהם טובים עד-כדי אחד חלקי המכנה בשלישית. יש משפט של Siegel על קירובים למספרים אלגבריים (נתקלתי בו בספרון של Dickson משנות השלושים), אבל הוא כמובן לא רלוונטי כאן. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סבורני שהעובדה שזה הקבוע הטוב ביותר האפשרי לא רלוונטית כאן. ברגע שאתה מתעלם משורש חמש וצאצאיו, הקבוע משתפר, ואפשר להמשיך ולשפר כך אם מעיפים בכל פעם עוד מספר מדרגה 2. בכל אופן, מספרים אלגבריים קשה לקרב, אבל מספרים טרנסצנדנטיים קל הרבה יותר (ברור שזה המצב ל-e, למשל). כאמור, אני באמת לא יודע מה המצב עם פאי, אבל לא הייתי מנחש כך סתם שאין לו אינסוף קירובים טובים כמו אחד חלקי המכנה בשלישית. לגבי המשפט של Siegel, הוא "נבלע" בתוך משפט חזק הרבה יותר של Roth. זוהי שרשרת משפטים שהחלה עם Liouville ועברה גם דרך Thue ואחרים, אם אינני טועה. Roth הראה שלמספר אלגברי אי-רציונלי יש רק מס' סופי של קירובים עד כדי אחד חלקי המכנה בריבוע (פלוס אפסילון). |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(גם אתה מחזיק את העותק של Hardy & Wright פתוח בהערות של פרק XI?) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
(האמת, לא... אבל רעיון טוב :-) | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
לפי מה שהבנתי המספר שהחל ממנו והלאה לא ניתן יותר לקרב את פאי הוא "מספר ליוביל" שלו, וחסם מלעיל הטוב ביותר עליו זה בערך 8, מה שבכל אופן עונה על השאלה לגבי סינוס של n^7 (?) . אבל הבנתי שלא ידוע אם זה אכן 2. | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אני לא בטוח... איך זה עונה על השאלה עם n^7? אם אתה מתכוון לחיוב (האינפימום הוא 0), הייתי עונה שלא כי 8 הוא רק חסם מלעיל. ואם לשלילה, הייתי עונה שלא כי הכיוון ההפוך לא ברור לי: יכול להיות שבאורח פלא יש לפאי הרבה קירובים רציונליים סבירים (סתם עד כדי מכנה בחזקת 1) עם מונה שהוא חזקת 7. נדמה לי שאם היו מראים חסם *מלרע* על מספר ליוביל, היית יכול להוכיח את הטענה שלך. אני כותב מאינטואיציה גרידא, וייתכן (כפי שכתבתי קודם) שאני מחמיץ משהו. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
כן, אתה כמובן צודק. התכוונתי לשלילה, אבל לצערי זה לא ממש עוזר. כמו שציינת, אולי במקרה יש קרובי פלא. בכל אופן חיפשתי קצת חומר של Ruzsa באינטרנט ולא מצאתי הרבה מעבר להודעות שקישרת, ומהן אני לומד שזו כנראה בעיה קשה מאוד. יש בכלל דרך לדעת משהו על פתוח לשבר משולב של מספר במקרה והוא לא פתרון של משוואה ממעלה שניה? יש תוצאות לגבי פיתוח לשברים משולבים "מוכללים" - עם מנות לא בהכרח שלמות? |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
סבורני שידוע מעט מאוד על שברים משולבים של מספרים שאינם אלגבריים ממעלה שתיים. למשל, אין למיטב ידיעתי שום תוצאה על הפיתוח של השורש השלישי של שתיים (חוץ מזה שהוא לא מחזורי, כמובן). שברים משולבים "מוכללים" אני לא מכיר כלל. נדמה לי שהתוצאה על קירובים לכפולות-פאי ע"י חזקות איננה *שקולה* לתוצאה כלשהי על הפיתוח שלו לשברים משולבים, רק שהיא יכולה לנבוע מתוצאה מספיק חזקה כזו, כפי שציינו. אבל בכל מקרה נראה שזה עסק קשה מאוד. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
במסגרת שיטוטי נתקלתי בפתיל הלזה. לא קשה להראות שלכל סדרה n_k ששואפת לאינסוף Inf(Sin(x n_k))=0 בהסתברות 1, כאשר x מוגרל לפי מידה רציפה בהחלט ביחס למידת לבג.n_k לא צריכים אפילו להיות שלמים. הכל בהסתייגות - השעה מאוחרת .כבר קרה לי שהוכחתי דברים נאים מאד בשעות מאוחרות והתברר שההוכחה עובדת רק בלילה. |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
אכן נאה מאד. תכתוב בהזדמנות סקיצה של הוכחה שעובדת גם ביום? ורק ליתר בטחון, זה לא פותר את השאלה המקורית שלא קשורה לכלום, נכון? | |
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
בגדול, אני טוען שהמאורעות E_n := [xn]<epsilon ו- E_m(כאשר [z] הוא החלק השבור של z) הם כמעט ב"ת כאשר m>>n ו-x מוגרל אחיד באיזשהו קטע חיובי (נאמר, בין 1 ל-2). כמובן שהסיכוי של כל מאורע כזה הוא לפחות C epsilon וסיימנו. ולא, זה לא אומר כלום על השאלה המקורית. |
|
|
|
| חזרה לעמוד הראשי | המאמר המלא |
| מערכת האייל הקורא אינה אחראית לתוכן תגובות שנכתבו בידי קוראים | |
 RSS מאמרים |
כתבו למערכת |
אודות האתר |
טרם התעדכנת |
ארכיון |
חיפוש |
עזרה |
תנאי שימוש
|
© כל הזכויות שמורות |